设x≥y≥z>0,用排序不等式证明x^12/yz+y^12/xz+z^12/xy≥x^10+y^10+z^10

lober2022-10-04 11:39:541条回答

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shuijingshui 共回答了18个问题 | 采纳率100%
先去分母,变成x^13+y^13+z^13>=xyz(x^10+y^10+z^10).(1)
(1)的左边是以下两个数列对应项之积的和:
x^10,y^10,z^10.
x^3,y^3,z^3 .
这两个数列都是递减的.
由排序不等式,顺序和大于乱序和:
x^13+y^13+z^13>=x^10y^3+y^10z^3+z^10x^3 (2)
x^13+y^13+z^13>=x^10z^3+y^10x^3+z^10y^3 (3)
x^13+y^13+z^13 = x^13+y^13+z^13 (4)
将(2),(3),(4)三式相加得:
3(x^13+y^13+z^13)>=(x^10+y^10+z^10)(x^3+y^3+z^3)
所以3(x^13+y^13+z^13)>=(x^10+y^10+z^10)(3xyz)
即x^13+y^13+z^13>=(x^10+y^10+z^10)(xyz)
(1)式证毕,所以原不等式成立.
(柯西先生答)
1年前

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fggfgfgtrtr 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%
解题思路:由排序原理:顺序和≥反序和,结合基本不等式,即可得到结论.

证明:不妨设a≥b≥c>0,∴a2≥b2≥c2
由排序原理:顺序和≥反序和,得:
a3+b3≥a2b+b2a,b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥a2c+c2a
三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2).
又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
所以2(a3+b3+c3)≥6abc,
∴a3+b3+c3≥3abc.
当且仅当a=b=c时,等号成立.

点评:
本题考点: 排序不等式.

考点点评: 本题考查排序原理:顺序和≥反序和,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

关于排序不等式的基本概念集合A中n个元素 a1.a2.a.3.a4.an集合B中n个元素b1.b2.b3.b4.bn那么
关于排序不等式的基本概念
集合a中n个元素 a1.a2.a.3.a4.an
集合b中n个元素b1.b2.b3.b4.bn
那么按照排序不等式排序 有多少种序?n²还是n!(感觉是n!可记忆中老师说是n²)
还有在排序不等式证明切比雪夫不等式时 (a1+a2+.+an)·(b1+b2+.+bn)
总***生n²个单项式才对 为什么可以把它看成n种排序的总和 从而可以大于n个反序和?
其叶青青-QQ1年前1
西溟三峰 共回答了21个问题 | 采纳率71.4%
你说的没错 总共是有n!种不同的和 ,排序不等式告诉我们在这些和中 顺序和最大,逆序和最小. 至于证明切比雪夫不等式时,只选了其中n种和 凑成了
(a1+a2+.+an)(b1+b2+.+bn) 的形式 它再除以n 自然是介于顺序和和逆序和之间了
已知正整数a1,a2,a3为正整数,则a1+a2/4+a3/9的最大值(用排序不等式解)谢谢
弦莫轻弹1年前2
jinlantian 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%
需要a1,a2,a3的限制条件
已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
qq56789001年前1
nibawawa 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%
解题思路:由(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2≥0,得a3+b3≥a2b+ab2,同理,a3+c3≥a2c+ac2,b3+c3≥b2c+bc2三式相加,能证明2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).

证明:先证明:a3+b3≥a2b+ab2
∵(a3+b3)-(a2b+ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a2-b2)(a-b)
=(a+b)(a-b)2
≥0,
∴a3+b3≥a2b+ab2,取等号的条件是a=b,
同理,a3+b3≥a2b+ab2
a3+c3≥a2c+ac2
b3+c3≥b2c+bc2
三式相加,得:
2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),
取等号的条件是a=b=c,
∴2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).

点评:
本题考点: 排序不等式.

考点点评: 本题考查不等式的证明,是基础题,解题时要认真审题,注意作差法的合理运用.

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排序不等式
高中数学选修4-5上有这么一题:10个人拿水桶打水,设水龙头注满第i个人的水桶需Ti分钟,设时间各不相同,问只有一个水龙头时,如何安排10个人的次序,使他们花费的总时间(包括自己打水+等待时间)最短.
我们可以用排序不等式得出应该排序后小的在前面,使得总时间最短.
现在我们需要探究拓展问题:
当有两个水龙头可用时,如何安排这10个人的顺序呢?
那么,当有n个水龙头可用时又怎么样?
根据我们的探究发现,只有最后打水的人,才不需要别人等待.所以要将最费时的人放在最后面,如果有2个水龙头,即双线程,就安排最后2个人在两个水龙头任意的最尾.接着根据递推得出,分10/2=5批装水能使总时间最少.
以上是我个人的想法,但是还不成形.希望大家一起探究,能有比较完整的解法.另外,本人是信息学奥赛的,本来希望用程序解决以上问题,但是头脑中还没办法构建一个比较好的算法.单纯模拟也不现实.我想这是不是和线段树还有多线程的DP有关?等待回答...
一个比较可行的做法就是大家按从快到慢的顺序排好队,分别在2个水龙头之间,一个龙头空闲便马上补上去,这样能最省时间。
注意,我们算的是总用时。所以不管什么时候结束。这不会有任何影响,其实我们只要Focus on 等待的时间就可以了。
viandy1年前1
随 和 共回答了25个问题 | 采纳率96%
一个比较可行的做法就是大家按从快到慢的顺序排好队,分别在2个水龙头之间,一个龙头空闲便马上补上去,这样能最省时间.
对了 这个方法比较粗糙的最快,
但从精细方面说不是绝对的,比如最后 一个比较大,那么一个最后的时候 一个龙头空,一个龙头还要好长时间才能完成 ,也不是最科学的.具体算法现在还没有.这个在最初就要把方案定好,以免让一个龙门空太长时间
设a,b,c都是正数,求证a/b+c +b/c+a +c/a+b≥3/2用排序不等式解.
tttjo1年前0
共回答了个问题 | 采纳率
排序不等式的现实生活应用:5个人各拿一只水桶搭配水龙头接水,如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间反别是4分钟,8分钟,
排序不等式的现实生活应用:5个人各拿一只水桶搭配水龙头接水,如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间反别是4分钟,8分钟,6分钟,那么如何安排这5个人的节水顺序,才能使他们等待的总时间最少谢谢!
xikuangjie1年前1
猫_妖 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%
设依次时间为a、b、c、d、e分钟,则:
总时间为:5a+4b+3c+2d+e
若要最少,则:5x4+4x5+3x6+2x8+10=84分钟
顺便比较一下最长时间是:5x10+4x8+3x6+2x5+4=114分钟,两者差30分钟哦!
尤其是当第一个人要是用10分钟时,其他4人也要等上10分钟,一下子就5x10=50分钟去掉了.
一排序不等式在锐角△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,求证:a+b+c≤2acosC+2bcosB+2cco
一排序不等式
在锐角△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,求证:a+b+c≤2acosC+2bcosB+2ccosA
荒漠的草草1年前1
oxetb41qp7a38 共回答了18个问题 | 采纳率83.3%
证明:不妨设a≥b≥c 2acosC+2bcosB+2ccosA ≥acosB+bcosC+ccosA+acosC+bcosA+ccosB(排序不等式)……① 因为在△ABC中,对边a、b、c与角A、B、C有:sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB……② 且对②式用正弦定理有:a=bcosC+ccosB 所以①式右端=a+b+c,即:2acosC+2bcosB+2ccosA ≥a+b+c 所以a+b+c≤2acosC+2bcosB+2ccosA 得证
已知a、b、c∈R+,求证:a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab>=a^10+b^10+c^10,用排序不等式
已知a、b、c∈R+,求证:a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab>=a^10+b^10+c^10,用排序不等式解答
即将毕业1年前1
fishcwr716 共回答了20个问题 | 采纳率95%
不妨设a>=b>=c,所以(a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab)=(a^10*a^2/bc+b^10*b^2/ac+c^10*c^2/ab),然后由排序不等式得(a^10*a^2/bc+b^10*b^2/ac+c^10*c^2/ab)>=1/3*(a^10+b^10+c^10)*(a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab)
而(a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab)由均值不等式得>=3,
所以(a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab)=(a^10*a^2/bc+b^10*b^2/ac+c^10*c^2/ab)>=1/3*(a^10+b^10+c^10)*(a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab)>=a^10+b^10+c^10
得证
如何理解在排序不等式中“其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……,bn的任一排列”中的“任一排列”的意思
ai浪子1年前1
men9177 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%
就是将b1,b2,……,bn的下标进行重新排序所组成的新的一列数 ,具体的说它可以是b5,b3,b6,...,b1(一共N个数,顺序随意,不重复)
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凤飞来1年前2
jim_cafc7 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
解题思路:由(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2≥0,得a3+b3≥a2b+ab2,同理,a3+c3≥a2c+ac2,b3+c3≥b2c+bc2三式相加,能证明2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).

证明:先证明:a3+b3≥a2b+ab2
∵(a3+b3)-(a2b+ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a2-b2)(a-b)
=(a+b)(a-b)2
≥0,
∴a3+b3≥a2b+ab2,取等号的条件是a=b,
同理,a3+b3≥a2b+ab2
a3+c3≥a2c+ac2
b3+c3≥b2c+bc2
三式相加,得:
2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),
取等号的条件是a=b=c,
∴2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).

点评:
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参见百科
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由排序原理:顺序和≥反序和,得:
a3+b3≥a2b+b2a,b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥a2c+c2a
三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2).
又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
所以2(a3+b3+c3)≥6abc,
∴a3+b3+c3≥3abc.
当且仅当a=b=c时,等号成立.

点评:
本题考点: 排序不等式.

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∵(a3+b3)-(a2b+ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a2-b2)(a-b)
=(a+b)(a-b)2
≥0,
∴a3+b3≥a2b+ab2,取等号的条件是a=b,
同理,a3+b3≥a2b+ab2
a3+c3≥a2c+ac2
b3+c3≥b2c+bc2
三式相加,得:
2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),
取等号的条件是a=b=c,
∴2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).

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相加得:
a/(b+c)+b/(d+c)+c/(d+a)+d/(b+a)>=a/(b+a)+d/(b+c)+b/(d+a)+c/(d+c)>=2
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=(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/abc
=2(b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2)/2abc
=[a^2(b^2+c^2)+b^2(a^2+c^2)+c^2(a^2+b^2)]/2abc
因为
a^2+b^2>=2ab,
b^2+c^2>=2bc,
a^2+c^2>=2ac
所以
原式=[2abc(a+b+c)]/2abc
=a+b+c当且仅当a=b=c时等号成立
>=a+b+c
所以:bc/a+ca/b+ab/c>=a+b+c
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一是先来先打水,不能加塞!
二是打水时间少的在前
4分钟,5分钟,6分钟,8分钟,10分钟
4*5人+5*4人+6*3人+8*2人+10*1人
使用排序不等式证明:a1b1+a2b2+……+anbn≥(a1+a2+……+an)(b1+b2……+bn)
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展开排一下就正了
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三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2).
又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
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∴a3+b3+c3≥3abc.
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用排序不等式证明不等式
peilin1年前1
晚灯 共回答了19个问题 | 采纳率84.2%
没必要用排序不等式,柯西不等式即可
由柯西不等式:(a²+b²)×(1²+1²)≥(a+b)²得(a²+b²)≥(a+b)²/2
故同理有:(c²+b²)≥(c+b)²/2,(a²+c²)≥(a+c)²/2
则原式≥(a+b)/√2+(a+c)/√2+(c+b)/√2=√2(a+b+c),证毕
求用排序不等式证明一道题已知a b c为三个大于0 的正数 求证 lg((a+b)/2)+lg((a+c)/2)+lg(
求用排序不等式证明一道题
已知a b c为三个大于0 的正数 求证 lg((a+b)/2)+lg((a+c)/2)+lg((c+b)/2)>lga +lgb+lgc
韦小晴1年前1
爱跳舞的小蘑菇 共回答了15个问题 | 采纳率100%
lg((a+b)/2)+lg((a+c)/2)+lg((c+b)/2)>=lga +lgb+lgc
(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc
用均值不等式就可以了:
a+b>=2√ab
b+c>=2√bc
c+a>=2√ca
三式相乘即得:
(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc
故原不等式成立,证毕.
如果非要用排序不等式的话,也可以的,直接代入乘积形式的排序不等式就行
参见下面的证明【思路跟证明排序不等式一样,调整法.】
(关于排序和的乘积的不等式)设有两组有序正数:
0<a1≤a2≤…≤an,0<b1≤b2≤…≤bn
则对于1,2…n的任一排列i1,i2,…in,有
(a1+b1)(a2+b2)…(an+bn)(同序和的乘积)
≤(a1+bi1)(a2+bi2)…(an+bin)(乱序和的乘积)
≤(a1+bn)(a2+bn-1)…(an+b1)(逆序和的乘积)
证明 :若bi1≤bi2≤…≤bin,则bik=bk(k=1,2,…,n),那么,同序和的乘积=乱序和的乘积;
若bi1,bi2,…bin中至少有两个反序,不妨设bi1>bi2那么
(a1+bi1)(a2+bi2)-(a1+bi2)(a2+bi1)=(a1-a2)(bi2-bi1)>0.
由此,同序和的乘积<乱序和的乘积.进而,若bi1,bi2,…,bin是全反序,则乱序和的乘积≤逆序和的乘积.
事实上,也可以用柯西不等式的推广【holder不等式】直接证明:
(a+b)(b+c)(c+a)>=((abc)^(1/3)+(bca)^(1/3))^3=8abc 【注意字母的顺序】
其实用最一般的想法也可以:A>=B A-B>=0
(a+b)(b+c)(c+a)-8abc
=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-6abc
=ab(a-c)+ac(a-b)+ba(b-c)+bc(b-a)+ca(c-b)+cb(c-a)
=b(a-c)^2+c(a-b)^2+a(c-b)^2
>=0
方法还有很多,楼主可以自己研究下.
一道关于排序不等式的题目设a1,a2,a3为正数,求证:(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2
一道关于排序不等式的题目
设a1,a2,a3为正数,求证:(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2≥a1+a2+a3
这题是课后练习的第三题,
河云1年前3
hahahaer 共回答了20个问题 | 采纳率80%
不妨设
a1≥a2≥a3
则a1a2≥a1a3≥a2a3
(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2≥a1+a2+a3
即证(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3^2)≥(a1+a2+a3)a1a2a3
(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1^2a2a3+a1a2^2a3+a1a2a3^2
同序和≥乱序和
(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1a2*a1a3+a1a2*a2a3+a1a3*a2a3
即(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1^2a2a3+a1a2^2a3+a1a2a3^2
则原不等式得证
排序不等式.设a,b,c是正数,求证:a^ab^bc^c>等于(abc)^(a+b+c
排序不等式.设a,b,c是正数,求证:a^ab^bc^c>等于(abc)^(a+b+c
)/3(求过程)
xubinwen1年前1
justinfun 共回答了14个问题 | 采纳率64.3%
a^(3a)*b^(3b)*c^(3c)/[(abc)^(a+b+c)]
=a^(2a-b-c)*b^(2b-c-a)*c^(2c-a-b)
=(a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a),
当a>=b>0时a/b>=1,a-b>=0,(a/b)^(a-b)>=1;
当0=1,(abc)^(a+b+c)>0,
∴a^(3a)*b^(3b)*c^(3c)>=(abc)^(a+b+c),
两边开立方,就得待证式.
设a,b,c属于正数,利用排序不等式证明
设a,b,c属于正数,利用排序不等式证明
1.a^ab^b>a^bb^a(a不等于b)
2.(a^2a)(b^2b)(c^2c)>=[a^(b+c)][b^(c+a)][c^(a+b)]
米欣1年前1
kitty大魔头 共回答了24个问题 | 采纳率75%
1、两边取对数则alga+blgb>algb+blga
不妨设a>b>0,则lga>lgb
由排序不等式alga+blgb>algb+blga
故不等式成立
2、不妨设a>=b>=c,则lga>=lgb>=lgc,所以
alga+blgb+clgc>=blga+clgb+algc
alga+blgb+clgc>=clga+algb+blgc
相加得2alga+2blgb+2clgc>=(b+c)lga+(a+c)lgb+(a+b)lgc
即(a^2a)(b^2b)(c^2c)>=[a^(b+c)][b^(c+a)][c^(a+b)]
排序不等式证明设x>0,求证1+x+x^2+x^3+.+x^(2n)>=(2n+1)*x^n实在用排序证不出来用其他的也
排序不等式证明
设x>0,求证1+x+x^2+x^3+.+x^(2n)>=(2n+1)*x^n
实在用排序证不出来用其他的也行.
wyx21181年前1
叱是12谁 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%
给你两种证法:
1.用排序不等式:
1+x+x^2+...+x^2n
=x^0*x^0+x^(1/2)*x^(1/2)+x^1*x^1+...x^(n-2/2)*x(n-2/2)+x^(n-1/2)*x^(n-1/2)+x^n*x^n(顺序和)
≥x^0*x^n+x^(1/2)*(x^(n-1/2)+x^1*x^(n-2/2)+...+x^(n-1/2)*x^(1/2)+x^n*x^0(乱序和)
=x^n+x^n+x^n+...+x^n
=(2n+1)x^n
等号成立当且仅当x=1
2.用基本不等式,算术平均≥几何平均
1+x+x^2+...+x^n
≥(2n+1)(1*x*x^2*..*x^2n)(1/(2n+1))
=(2n+1)(x^(2n+1)*n)^(1/(2n+1))
=(2n+1)x^n
等号成立当且仅当x=1
2(a^3+b^3+c^3)》a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a),用排序不等式证明
2(a^3+b^3+c^3)》a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a),用排序不等式证明
abc都是正数 2(a^3+b^3+c^3)》(a^2)(b+c)+(b^2)(a+c)+(c^2)(b+a),用排序不等式证明
itimesweek1年前2
fxm2002 共回答了18个问题 | 采纳率77.8%
不妨设:00
排序不等式:设n为正整数,有两个均为正数的有序组A1,A2,A3到An和B1,B2,B3,B4直到Bn 且有A1小于等于
排序不等式:设n为正整数,有两个均为正数的有序组A1,A2,A3到An和B1,B2,B3,B4直到Bn 且有A1小于等于A2小于等于A3小于等于到An ,B1小于等于B2小于等于B3小于等于到Bn,Bj1,Bj2到Bjn是将B1至Bn任意调整顺序后的一组数.称A1B1+A2B2+A3B3+...+AnBn为同序和 A1Bj1+A2Bj2+A3Bj3+...+AnBjn为乱序和 A1Bn+A2B(n-1)+...+AnB1为逆序和且有 同序和大于等于乱序和大于等于逆序和 且A1=A2=A3=...=An或 B1=B2=...=Bn时等号成立 根据上述材料解决问题 设A B C均为正实数求证 ( A比B+C)+(B比C+A)+(C比A+B)大于等于 2分之3.
求证:我说的清楚点!A/(B+C)+B/(C+A)+C/(A+B)≥3/2
风月571年前1
紫霞狼_10000 共回答了19个问题 | 采纳率84.2%
设A≥B≥C(上式对称)
A+B≥A+C≥B+C
1/(B+C)≥1/(A+C)≥1/(A+B)
A/(B+C)+B/(C+A)+C/(A+B) (同序和)
≥B/(B+C)+C/(C+A)+A/(A+B) (乱序和)
同理 A/(B+C)+B/(C+A)+C/(A+B)≥C/(B+C)+A/(C+A)+B/(A+B)
两式相加 得:
A/(B+C)+B/(C+A)+C/(A+B)≥3/2