双曲线16x 2 -9y 2 =144的左、右两焦点分别为F 1 、F 2 ,点P在双曲线上,且|PF 1 |•|PF

luxxx2022-10-04 11:39:541条回答

双曲线16x 2 -9y 2 =144的左、右两焦点分别为F 1 、F 2 ,点P在双曲线上,且|PF 1 |•|PF 2 |=64,求△PF 1 F 2 的面积.

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真爱点滴 共回答了20个问题 | 采纳率85%
双曲线方程16x 2 -9y 2 =144化简为
x 2
9 -
y 2
16 =1
即a 2 =9,b 2 =16
∴c 2 =25,解得a=3,c=5,可得F 1 (-5,0),F 2 (5,0)…(3分)
设|PF 1 |=m,|PF 2 |=n,
由双曲线的定义知|m-n|=2a=6,又已知m•n=64,…(5分)
在△PF 1 F 2 中,由余弦定理知
cos∠ F 1 P F 2 =
|P F 1 | 2 + |P F 2 | 2 - | F 1 F 2 | 2
2|P F 1 |•|P F 2 | =
m 2 + n 2 - (2c) 2
2m•n
=
(m-n) 2 +2m•n-4 c 2
2m•n =
36+2×64-4×25
2×64 =
1
2
∴ ∠ F 1 P F 2 =6 0 0
因此,△PF 1 F 2 的面积为
S △ F 1 P F 2 =
1
2 |P F 1 |•|P F 2 |•sin∠ F 1 P F 2 =
1
2 m•n•sin6 0 0 =16
3 …(12分)
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