3/1+15/1+35/1+63/1+99/1=?（裂项法计算）

an=1/2*2/[n(n+1)(n+2)]
=1/2*[(n+2)-n]/[n(n+1)(n+2)]
=1/2{[(n+2)/[n(n+1)(n+2)]-n/[n(n+1)(n+2)]
=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
所以Sn=1/2*{1/1*2-1/2*3+1/2*3-1/3*4+……+1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
=1/2*{1/1*2-1/[(n+1)(n+2)]}
=(n²+3n)/(2n²+6n+4)

1/(x²-1)+1/(x²+4x+3)+1/(x²+8x+15)+…+1/(x²+4nx+4n²-1)
=1/(x-1)(x+1) + 1/(x+1)(x+3) + 1/(x+3)(x+5) + ...+ 1/(x+2n-1)(x+2n+1)
=1/2 * [1/(x-1) - 1/(x+1) + 1/(x+1) - 1/(x+3) + 1/(x+3) - 1/(x+5) + ...+ 1/(x+2n-1) - 1/(x+2n+1)]
中间的各式相加为零
=1/2 * [1/(x-1) - 1/(x+2n+1)]
=1/2 * [(x+2n+1-x+1)/(x-1)(x+2n+1)]
=(n+1)/[(x-1)(x+2n+1)]

--!错位相减 当然是错位减了 也就是说 不是第一个减第一个 而是第二个 甚至是第三个减去 第一个等式中的第一个
看提其实就是 2同次幂的项相减
这样就得到了相同的系数4

72应该改为70
1-1/4-1/28-1/70-1/130
=1-1/(1×4)-1/(4×7)-1/(7×10)-1/(10×13)
=1-1/3（1-1/4）-1/3（1/4-1/7）1/3（1/7-1/10）-1/3（1/10-1/13）
=1-1/3×（1-1/4+1/4-1/7+1/7-1/10+1/10-1/13）
=1-1/3×（1-1/13）
=1-1/3×12/13
=1-4/13
=9/13
【希望可以帮到你!祝学习快乐!】

1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7
=1-1/7
=6/7

就是把一个式子变成多个,以便于计算的方法.
小学阶段常见的就是用裂项加消元计算分式的和.
如
1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100
=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) (裂项）
=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100 (消元）
=2-1/100
=199/100

1/3+1/15+1/35+1/63+1/99
=1/2*[(1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+(1/7-1/9)+(1/9-1/11)]
=1/2*(1-1/11)
=1/2*10/11
=5/11

1/2+1/6+1/12+1/20.1/9900=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+.-1/99+1/99-1/100=1-1/100=99/100

比如下列的裂项法：：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）n·n!=(n+1)!-n!
（6）n/(n+1)!=1/n!-1/(n+1)!
（7）n^2=n(n+1)-n=[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]/3-n
（8）n^3=n(n+1)(n+2)-3n^2-2n=[(n+3)(n+2)(n+1)n-(n+2)(n+1)n(n-1)]/4-3n^2-2n

1/110=1/10-1/11,1/(k*(k+1))=1/k-1/(k+1)

分最后一项,为（6-1）/（2*3*4*5*6）=1/（2*3*4*5）-1/（2*3*4*5*6）
所以原式=1/2+2/(2*3)+3/(2*3*4)+4/(2*3*4*5)+1/（2*3*4*5）-1/（2*3*4*5*6）
=1/2+2/(2*3)+3/(2*3*4)+1/（2*3*4）-1/（2*3*4*5*6）
=1/2+2/(2*3)+1/（2*3）-1/（2*3*4*5*6）
=1/2+1/2-1/（2*3*4*5*6）
=1-1/（2*3*4*5*6）

1/1*3+1/3*5+...+1/(2n-1)(2n+1)
=1-2/3+2/3-3/5+3/5-4/7+...+n/(2n-1)-(n+1)/(2n+1)
=1-(n+1)/(2n+1)
n/(2n+1)

1.∵tana=tan(2a-a)=(tan2a-tana)/(1+tan2atana)
--->1+tanatan2a=(tan2a-tana)/tana
∴--->tanatan2a=(tan2a-tana)/tana-1
同理：tan2atan3a=(tan3a-tan2a)/tana-1
tan3atan4a=(tan4a-tan3a)/tana-1
…………
tan(n-1)atana=[tanna-tan(n-1)a]/tana-1∴tanatan2a+tan2atan3a+……+tan(n-1)atanna=(tan2a-tana)/tana-1+(tan3a-tan2a)/tana-1+……+[tanna-tan(n-1)a]/tana-1=[tan2a-tana+tan3a-tan2a+……+tanna-tan(n-1)a]/tana-(n-1)=(tanna-tana)/tana-n+1=tanna/tana-1-n+1=tanna/tana-n2.sinπ/nsin2π/n……sink(n-1)π/n=n/2n-1
然后利用上面的得的公式求解sin1°sin2°sin3°……sin89°
（sin1°sin2°sin3°……sin89°）2
=sin1°sin2°sin3°……sin89°sin91°sin92°...sin179°
=sin1°sin2°sin3°……sin89°sin90°sin91°sin92°...sin179°
=sinπ/180sin2π/180sin3π/180……sin179π/180
=180/2179
∴sin1°sin2°sin3°…sin89°=3√10/289

第一个是列项相消,利用公式:1/[(2n-1)(2n+1)=(1/2)*{1/(2n-1)-1/(2n+1)}
所以原式=0.5*{1-1/(2n+1)}=n/(2n+1)
列项相消就是把原来式子里的每部分拆开,使前一项中的某一项能够和后一项中的某一项相抵消,从而得到最后的计算结果也就是没有被抵消的几项的相加减.
第2个是用等比求和可直接求出来,是以0.5为第一项.0.25为公比的等比和
类似的列项还有1/(n-1)n(n+1)..

嘿嘿,我来试试
1／3+1／6+1／10+1／15+1／21+1／28+1／36+1／45
=2*(1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90)
=2*(1/2*3+1/3*4+1/4*5+1/5*6+1/6*7+1/7*8+1/8*9+1/9*10)
=2*(1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10)
=2*(1/2-1/10)
=2*2/5
=4/5
1/3+1/15+1/35+1/63+1/99
=1/2×(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9+1/9-1/11）
＝1/2×(1－1/11)
＝5/11
7/8+7/24+7/48+7/80+7/120
=7/4(1/2+1/6+1/12+1/20+1/30)
=7/4(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6)
=7/4(1-1/6)
=7/4 * 5/6
=35/24

1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5+.+1/n(n+1)(n+2)
sn=1/2*[1/1*2-1/2*3+1/2*3-1/3*4+1/3*4-1/4*5+.+1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
=1/2*[1/2-1/(n+1)(n+2)]
=1/4-1/2(n+1)(n+2)

4=5-1=9-4=……
相邻两项分母的差
基本题型是.
保险起见,你可以计算1/5-1/9,看看它和原来的4/45差多少倍.
(另外你的题目写错了……是（一乘五）分之一,（五乘九）分之一……)

因为1+2+3+.+n=n(n+1)/2
所以1/(1+2+3+...+n)=2/n(n+1)=2[(1/n)-(1/n+1)]
原式=2[(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/n-1/n+1)]
=2[1-(1/n+1)]
=2n/n+1

你能知道自己的问题出在哪里就很好了
建议你特地找这种类型的题
一次过做它二三十道
包你下次再看到这种题就偷笑

　　这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
　　（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

裂项法和错位相减法一般是是求和的方法…… 求通项的话可以参考如下：（一）一阶常系数线性递推数列与待定系数法 a(n+1)=k*an+h （n∈N*,k,h为常数） 其中,当k=1,{an}为等差数列 特别的,k=1且h=0时,{an}为常数列 k不为0,且h=0时,{an}为等比数列 当k不为0或1,且h不为0时,可转化为等比数列：a(n+1)+h'=k*(an+h') 其中h'=h/(k-1) 变式1：a(n+1)=h*an^k （n∈N*,k,h为常数） 可令xn=ln(an) 则有x(n+1)=k*xn+h 转化成了一阶常系数线性递推数列.变式2：a(n+1)=k*an+f(n) （n∈N*,k为常数） 其中k=1时,a(n+1)=an+f(n) 此时称为等差型数列.当f(n)=d（d为常数）时,为等差数列.变式3：a(n+1)=f(n)*an^k （n∈N*,k为常数） 可令xn=ln(an) 则有x(n+1)=k*xn+ln(f(n)) 转化成了一阶常系数线性递推数列.其中k=1时,a(n+1)=f(n)*an 此时称为等比型数列.当f(n)=q（q为非零常数）时,为等比数列.（二）二阶常系数齐次线性递推数列与特征根法 递推式：a(n+2)=p*a(n+1)+q*an （n∈N*,p,q为常数） 1）待定系数法 a(n+2)=p*a(n+1)+q*an 可转化为等比数列：a(n+2)-α*a(n+1)=β*(a(n+1)-α*an) 和 a(n+2)-β*a(n+1)=α*(a(n+1)-β*an) 其中α+β=A α*β=-B 2）特征根法 a(n+2)=p*a(n+1)+q*an 其特征方程为x^2-p*x-q=0 i.若其有两个不相等的根（称作特征根）α、β 则an=A*α^n+B*β^n 其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.ii.若其有两个相等的根α 则an=(A*n+B)*α^n 其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.最终可得：当{an}有两个不等的特征根为根α,β时 an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1) 当特征根为重根α时 an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2) 变式1 递推式：a(n+2)=a(n+1)^p*an^q （n∈N*,p,q为常数） 可令xn=ln(an) 则有x(n+2)=p*x(n+1)+q*xn 转化成了二阶常系数齐次线性递推数列.变式2 递推式：a(n+2)=(a(n+1)^2+k*c^n)/an （n∈N*,c,k为常数） 变式3：双数列 变式4 递推式：a(n+2)=p*a(n+1)+q*an+f(n) （n∈N*,p,q为常数） （三）分式常系数线性递推数列与不动点法 递推式：a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D) （n∈N*,A,B,C,D为常数,C不为0,AD-BC不为0,a1与a2不等） 其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D) 特征方程的根称为该数列的不动点 这类递推式可转化为等差数列或等比数列 1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β,则有：(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β)) 其中k=(A-α*C)/(A-β*C) x=(A*x+B)/(C*x+D) C*x^2+(D-A)*x-B=0 α不等于β (D-A)^2+4*B*C不等于0 C*α^2+(D-A)*α-B=0 C*α^2-A*α=B-α*D a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D) a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D) (a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β)) 由 (an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β)) 得 an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1) 2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α,则有 1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k 其中k=(2*C)/(A+D) x=(A*x+B)/(C*x+D) C*x^2+(D-A)*x-B=0 C*α^2+(D-A)*α-B=0 α=(A-D)/(2*C) a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D) 1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α)) =1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C))) =1/(an-α)+(2*C)/(A+D) 由 1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α) an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α 变式 递推式：a(n+1)=(an^2+P)/(2*an+Q) （n∈N*,P,Q为常数） 其特征方程为x=(x^2+P)/(2*x+Q) 1）若其有两个不等根α、β,即Q^2+4*P不等于0 则有：(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=((an-α)/(an-β))^2 令xn=ln((an-α)/(an-β)) 则有：x(n+1)=2*xn 转化为了等比数列.ln((a(n+1)-α)/(a(n+1)-β))=2*ln((an-α)/(an-β)) an=(β*((a1-α)/(a1-β))^(2^(n-1))-α)/(((a1-α)/(a1-β))^(2^(n-1))-1) 2）若其有重根α,即Q^2+4*P=0 则有：an=(a1-α)/(2^(n-1))+α

原式=1/2+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.+(1/49-1/50)
=1-1/50=49/50
完毕

1/Sn=2/(n+n^2)=2*（1/n(n+1)）=2*（1/n -1/（n+1)）
1/S1+1/S2+……+1/Sn=2*(1- 1/2 + 1/2 - 1/3 +……+1/n - 1/(n+1))=2*(1- 1/(n+1))=2-2/(n+1)

设份子为A 另一个为B 用待定系数法 简单点就是对应项要相等

=1/3*(1/2-1/5)+1/3*(1/5-1/8)+.+1/3*(1/2006-1/2009)+1/3*(1/2009-1/2013)
=1/3*(1/2-1/5+1/5-1/8+.+1/2006-1/2009+1/2009-1/2013)
=1/3*(1/2-1/2013)
=1/3*1/2011
=1/6033

1乘3分之2就是1-1/3,3乘5分之2就是1/3-1/5,5乘7分之2就是1/5-1/7.式子变成1-1/3+1/3-1/5+1/5-.+1/19-1/21可约成1-1/19=18/19
这才是裂项法,楼上错了.

由于字数限制,我把东西发我Blog里边了,里边有部分内容没写完,但对付常见数列题够了……

裂项,第一项可以拆成1/3*(1/2-1/5),同理,每一项都可以这样拆,然后把所有拆开的项相加,中间大多数项都消掉了,只剩下了第一项和最后一项,即原式化为了1/3*(1/2-1/2012)
即原式=335/2012

1.解.裂项法.
1/[n(n+1)(n+2)]=(1/2){1/[n)n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
=(1/2)[1/n-1/(n+1)-1/(n+1)+1/(n+2)]
=(1/2)[1/n-2/(n+1)+1/(n+2)]
2.
原式
=1/2×[1/x-1/(x+2)]+1/2×[1/(x+2)-1/(x+4)]+.+1/2×[1/(x+2006)-1/(x+2008)]
=1/2×[1/x-1/(x+2)+1/(x+2)-1/(x+4)+.+1/(x+2006)-1/(x+2008)]
=1/2×[1/x-1/(x+2008)]
=1/2×[(x+2008)-x]/[x(x+2008)]
=1/2×2008/[x(x+2008)]
=1004/[x(x+2008)]
=1004/(x^2+2008x)
ps:这种方法在数学中叫做‘裂项相消法’.

把（1/6n-5 - 1/6n+1）分母化为（6n-5）（6n+1）再看看

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

=1/（1*3）+1/（3*5）+1/（5*7）+1/（7*9）+1/（9*11）
=（1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9+1/9-1/11）*1/2
=（1-1/11）*1/2
=10/11*1/2
=5/11
懂了吗?

Y＝2X／（5X＋1）=[2(x+0.2)-0.4]/(5x+1)=0.4-0.4/(5x+1)
5x+1不等于0 所以值域为y不等于0.4
Y=2X+1/4X+3的值域是 Y不等于2/4, 也就是Y不等于1/2.
分式函数以Y=AX+B/CX+D(A,C不为零)的形式出现时,那么它的横向渐进线(也就是值域Y不等与某个数时)就是A/C.
在这道题里,A=2,C=...

1/(n^2-1)=1/2x[1/(n-1)-1/(n+1)]

由于[1/n]-[1/(n+3)]= 3/[n(n+3)]
所以有1/[n(n+3)]=(1/3)[(1/n)-1/(n+3)]
所以原式1/2*5+1/5*8+1/8*11+...+1/2006*2009+1/2009*2012
=(1/3)[(1/2-1/5)+(1/5-1/8)+(1/8-1/11)+...+(1/2006-1/2009)+(1/2009-1/2012)]
=(1/3)[1/2-1/2012]
=(1/3)*(1005/2012)
=335/2012

1.倒叙相加法：
最基本的
1+2+3+4……+100
=(1+100)+(2+99)+(3+98)...(48+53)+(49+52)+(50+51)
=101*50
=5050
稍微复杂的
f{x}=1/[2^x+√2]求f[-5]+f{-4}+……+f{0}+……+f{5}+f{6}的值
所以S=f(-5)+f(-4)+……+f(0)+……+f(5)+f(6)
S=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+[f(-3)+f(4)]+[f(-2)+f(3)]+[f(-1)+f(2)]+[f(0)+f(1)]
而f(-5)+f(6)...f(0)+f(1)等式子都满足f(x)+f(1-x)的形式
也即使f(-5)+f(6)...f(0)+f(1)的值都是√2/2
所以S=6×√2/2=3√2
2.裂项法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
（ 1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
( 2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
　　（5） n·n!=(n+1)!-n!
简单的
1.求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
设 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
　　则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
　　＝ 1-1/(n+1)
　　＝ n/(n+1)
复杂的
3.合并法

1-1/2＋ (1/2-1/3)＋ (1/3-1/4) ＋（1/4-1/5)＋（1/5
-1/6) 1/6-1/7

1/1*2*3+1/2*3*4+……1/n(n+1)(n+2)
=1/2(1/1*2-1/2*3)+1/2(1/2*3-1/3*4)+...+1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
=1/2[1/1*2-1/2*3+1/2*3-1/3*4+...+1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
=1/2[1/1*2-1/(n+1)(n+2)]
=1/2*[(n+1)(n+2)-2]/2(n+1)(n+2)
=(n^2+3n)/4(n+1)(n+2)
=n(n+3)/[4(n+1)(n+2)]

(1)先整数部分相加：1+3+5+7+9+11=36,
再分数部分：1/6=1/2-1/3、1/12=1/3-1/4、1/20=1/4-1/5 .
可见相加后大部分抵消,得结果：1/2-1/7=5/14,答案为36又5/14.
(2)先整数部分相加：1+3+5+7+9+11=36,
再分数部分：1/15=0.5*(1/3-1/5)、1/35=0.5*(1/5-1/7)、1/63=0.5*(1/7- 1/9) .
可见相加后大部分抵消,得结果：0.5*(1/3-1/15),答案为36又2/15.

一、基本概念：
1、 数列的定义及表示方法：
2、 数列的项与项数：
3、 有穷数列与无穷数列：
4、 递增（减）、摆动、循环数列：
5、 数列{an}的通项公式an：
6、 数列的前n项和公式Sn:
7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：
二、基本公式：
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式；当d=0时,an是一个常数.
11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=
当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式.
12、等比数列的通项公式：an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时,Sn= Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列.
15、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则
16、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则
17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列.
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列.
19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an bn}、 、 仍为等比数列.
20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.
21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
24、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列.
25、{bn}（bn>0）是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列.
26.在等差数列 中：
（1）若项数为 ,则
（2）若数为 则,,
27.在等比数列 中：
（1） 若项数为 ,则
（2）若数为 则,
四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构.
28、分组法求数列的和：如an=2n+3n
29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求
(1)当 >0,d

[1-1/2]+[1/(1+1)-1/(2+1)]+……+[1/(1+2006)-1/(2+2006）]
=1-1/2008=2007/2008

原式=1/2×（1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9+1/9-1/11）
=1/2×（1-1/11）
=5/11

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
　　（1）1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
　　（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
　　（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
　　（5） n·n!=(n+1)!-n!
　　（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

你看看这个吧,
裂项法求和
　　这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
　　（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
　　（5） n·n!=(n+1)!-n!
　　[例1] 【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
　　则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
　　＝ 1-1/(n+1)
　　＝ n/(n+1)
[例2] 【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.
an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）
　　则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）
　　＝ (n-1)n(n+1)/3
　　小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.
　　注意：余下的项具有如下的特点
　　1余下的项前后的位置前后是对称的.
　　2余下的项前后的正负性是相反的.
　　易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等,典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）
　　附：数列求和的常用方法：
　　公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.(关键是找数列的通项结构)
　　1、分组法求数列的和：如an=2n+3n
　　2、错位相减法求和：如an=n·2^n
　　3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
　　4、倒序相加法求和：如an= n
　　5、求数列的最大、最小项的方法：
　　① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
　　② (an>0) 如an=
　　③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
　　6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求
　　(1)当 a1>0,d

如果n也是负数,那么没问题.如果n+k的值有正有负,不能使用此公式.

显然,由第n项得
an=1+2+3+4+…+n=n*(n+1)/2=1/2*n^2+1/2*n
因为∑n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
∑n=n*(n+1)/2
所以
∑1/2*n^2+1/2*n=1/12n(n+1)(2n+1)+n*(n+1)/4
=1/6n(n+1)（n+2）
2.
显然,对分母为n的分式,之和为1
所以.当分母为n时,有1+2+...+n=n(n+1)/2个数
当n=13时,则为13(13+1)/2=91个数.所以
前91项到为分母为1,2,...13的所有项,14为分母的只有9个
所以为1*13+9/14=191/14

平方差公式
原式=(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)……(1-1/10)(1+1/10)
=(1/2)(3/2)(2/3)(4/3)……(9/10)(11/10)
中间约分约去
=(1/2)(11/10)
=11/20

1/(2*5)=(1/2-1/5)/3
1/(5*8)=(1/5-1/8)/3
所以原式=(1/2-1/5)/3+(1/5-1/8)/3+……+(1/2009-1/2012)/3+(1/2012-1/2015)/3=(1/2-1/5+1/5-1/8+……+1/2009-1/2012+1/2012-1/2015)/3=(1/2-1/2015)/3=671/4030

=1/2(1-1/3)+1/2(1/3-1/5)+1/2(1/5-1/7)+1/2(7/1-1/9)+1/2(1/9-1/11)
=1/2(1-1/11)
=5/11
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