2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不

（Ⅰ） 众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．…（4分）
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．…（6分）
因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进．…（8分）
（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则 P(A)=
9
10 ．…（9分）
随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且 ξ～B(2，
9
10 ) ．
所以 P(ξ=k)=
C k2 (
9
10 ) k (1-
9
10 ) 2-k (k=0，1，2) ，…（11分）
所以变量ξ的分布列为

ξ 0 1 2
p
1
100
18
100
81
100 …（12分）
Eξ=0×
1
100 +1×
18
100 +2×
81
100 =1.8 （天），或 Eξ=nP=2×
9
10 =1.8 （天）．…（13分）

解题思路：（Ⅰ）利用题设条件，能够求出众数和中位数．
（Ⅱ）先求出去年该居民区PM2.5年平均浓度为40.5（微克/立方米）．因为40.5＞35，所以该居民区的环境需要改进．
（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)＝

9

10

．随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B(2，

9

10

)．由此能求出变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

（Ⅰ） 众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．…（4分）
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．…（6分）
因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进．…（8分）
（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)＝
9
10．…（9分）
随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B(2，
9
10)．
所以P(ξ＝k)＝
Ck2(
9
10)k(1−
9
10)2−k(k＝0，1，2)，…（11分）
所以变量ξ的分布列为

ξ 0 1 2
p [1/100] [18/100] [81/100]…（12分）
Eξ＝0×
1
100+1×
18
100+2×
81
100＝1.8（天），或Eξ＝nP＝2×
9
10＝1.8（天）．…（13分）

点评：
本题考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．

考点点评： 本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．

（Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A ₁ ，A ₂ ，A ₃ ，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B ₁ ，B ₂ ．
所以5天任取2天的情况有：A ₁ A ₂ ，A ₁ A ₃ ，A ₁ B ₁ ，A ₁ B ₂ ，A ₂ A ₃ ，A ₂ B ₁ ，A ₂ B ₂ ，A ₃ B ₁ ，A ₃ B ₂ 共10种．…（4分）
其中符合条件的有：A ₁ B ₁ ，A ₁ B ₂ ，A ₂ B ₁ ，A ₂ B ₂ ，A ₃ B ₁ ，A ₃ B ₂ 共6种．…（6分）
所以所求的概率 P=
6
10 =
3
5 ． …（8分）
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…（10分）
因为40＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…（12分）

（Ⅰ）由题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，
则P（ξ=0）=

C 34

C 310 =
1
30 ，P（ξ=1）=

C 16
C 24

C 310 =
3
10 ，P（ξ=2）=

C 26
C 14

C 310 =
1
2
P（ξ=3）=

C 36

C 310 =
1
6 ，故其分布列如下：

ξ 0 1 2 3
P
1
30
3
10
1
2
1
6 …（6分）
故甲答对试题数ξ的数学期望Eξ= 0×
1
30 +1×
3
10 +2×
1
2 +3×
1
6 =
9
5 ．…（8分）
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，
则P（A）=

C 26
C 14 +
C 36

C 310 =
60+20
120 =
2
3 ，P（B）=

C 28
C 12 +
C 38

C 310 =
56+56
120 =
14
15 ，
因为事件A、B独立，所以甲乙两人均通不过的概率为：P（
.
A
.
B ）=P（
.
A ）P（
.
B ）
=（1-
2
3 ）（1-
14
15 ）=
1
3 ×
1
15 =
1
45 ，
故甲、乙两人至少有一人通过的概率为P=1-P（
.
A
.
B ）=1-
1
45 =
44
45

解题思路：（Ⅰ）利用频率分布表，能估计该居民区PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的概率．（Ⅱ）利用频率分布表，能求出样本众数、中位数、平均数，由此能判断该居民区的环境是否需要改进．

（Ⅰ）由已知共监测了20天，
用频率估计相应的概率p=0.15+0.1=0.25．…（3分）
（Ⅱ）样本众数约为37.5（微克/立方米），…（5分）
中位数约为37.5（微克/立方米），…（7分）
平均值约12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）…（10分）
∴去年该居民区PM2.5年平均浓度为：40（微克/立方米）．
∵40＞35，∴去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
∴该居民区的环境需要改进．…（12分）

点评：
本题考点： 众数、中位数、平均数；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．

考点点评： 本题考查频率分布表的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意读表识图能力的培养．

7

解题思路：（Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A₁，A₂，A₃，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B₁，B₂，求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；
（Ⅱ）利用组中值×频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进．

（Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A₁，A₂，A₃，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B₁，B₂．
所以5天任取2天的情况有：A₁A₂，A₁A₃，A₁B₁，A₁B₂，A₂A₃，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂共10种．…（4分）
其中符合条件的有：A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂共6种．…（6分）
所以所求的概率P＝
6
10＝
3
5．…（8分）
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…（10分）
因为40＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…（12分）

点评：
本题考点： 概率的应用．

考点点评： 本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．