f(x)=x^3+3ax^2+(3-6a)x+12a-4,若f(x)在X=X0处取得极小值,x0属于（1,3）求a的取值

（I）由题意得：f′(x)＝
1−a−lnx
x2；令1-a-lnx=0，即x=e^1-a；
∴当x∈（0，e^1-a），f′（x）＞0；x∈（e^1-a，+∞），f′（x）＜0；
∴函数f（x）在x=e^1-a处有极大值；
∴e^1-a=1⇒a=1；函数f（x）解析式f(x)＝
1+lnx
x，
（II）由（I）得g(x)＝
(1+x)(1+lnx)
x；x∈[1，+∞)，
∴g′(x)＝
x2−lnx+1
x2，令h（x）=x²-lnx+1
发现当x∈[1，+∞）时，h（x）＞0；
∴函数g（x）x∈[1，+∞）在单调递增；
故存在最小值为：g（1）_min=2．
（III）由（II）得g(x)＞
2
x+1恒成立，即lnx≥
x−1
x+1＝1−
2
x+1＞1−
2
x
令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1−
2
n(n+1)，
∴ln(1×2)＞1−
2
1×2，ln(3×4)＞1−
2
3×4ln[n(n+1)]＞1−
2
n(n+1)；
叠加可得：ln[1×22×32×n2×(n+1)]＞n−2[
1
1×2+
1
2×3+
1
n(n+1)]
=n−2(1−
1
n+1)＞n−2+
1
n+1＞n−2（不等式性质传递性）
则1×2²×3²×n²×（n+1）²＞e^n-2．
故[（n+1）!]²＞（n+1）×e^n-2（n∈N^*）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本小题主要考查函数、导数等基础知识，利用函数单调性和极值与导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．

（1）生长素是微量、高效的一类化合物，对植物生长发育有重要调节作用．观察图2可以看出1mg/L浓度的生长素溶液中培养，促进切端伸长的效果最明显．
（2）震荡培养可增加溶液中的氧气的量，还能使切段与溶液成分混合均匀．
（3）对照试验的溶液为含糖的磷酸盐缓冲液，所以生长素类似物A要溶解于含糖的磷酸盐缓冲液中；切段浸泡在蒸馏水中可以减少切段自身产生的生长素的影响．
（4）据图2，生长素类似物A溶液浓度为0的即为对照组，切段的平均长度是7mm，与7mm比较，浓度为0.001mg/L的溶液对切段伸长有促进作用，与浓度为1mg/L的结果相比．浓度为10mg/L的溶液对切段的影响是促进伸长的作用减弱．
（5）试验得到的数据要如实填写，误差大的可以重复试验．
故答案为：
（1）调节 1
（2）①氧气 ②均匀
（3）含糖的磷酸盐缓冲液 切段中内源激素．
（4）7.0 有 促进伸长的作用减弱
（5）C 重复实验

点评：
本题考点： 生长素类似物在农业生产实践中的作用．

考点点评： 本题考查生长素和赤霉素的相关实验，同时考查考生从题干和图形中获取信息的能力，以及对知识的理解和应用能力．

（1）由 f（x）=x³+ax²+bx，得 f′（x）=3x²+2ax+b．
∵1和-1是函数f（x）的两个极值点，
∴f′（1）=3-2a+b=0，f′（-1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=-3．
（2）由（1）得，f（x）=x³-3x，∴g′（x）=f（x）+2=x³-3x+2=（x-1）²（x+2）=0，解得x₁=x₂=1，x₃=-2．
∵当x＜-2时，g′（x）＜0；当-2＜x＜1时，g′（x）＞0，
∴-2是g（x）的极值点．
∵当-2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x） 的极值点．
∴g（x）的极值点是-2．
（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）-c．
先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[-2，2]
当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=-2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，
∴f（x）=2的两个不同的根为-1和2．
当|d|＜2时，∵f（-1）-d=f（2）-d=2-d＞0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d＜0，
∴一2，-1，1，2 都不是f（x）=d 的根．
由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x-1）．
①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．
此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．
②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．
又∵f（1）-d＜0，f（2）-d＞0，y=f（x）-d的图象不间断，
∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．
同理，在（一2，一1）内有唯一实根．
③当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．
又∵f（-1）-d＞0，f（1）-d＜0，y=f（x）-d的图象不间断，
∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．
因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根 x₁，x₂，满足|x₁|=1，|x₂|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x₃，x₄，x₅，满足|x_i|＜2，i=3，4，5．
现考虑函数y=h（x）的零点：
（ i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t₁，t₂，满足|t₁|=1，|t₂|=2．而f（x）=t₁有三个不同的根，f（x）=t₂有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．
（ i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t₃，t₄，t₅，满足|t_i|＜2，i=3，4，5．
而f（x）=t_i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．
综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数的零点．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．

将原方程变形得kx+x=4即（k+1）x=4，
∵关于x的方程kx=4-x的解为正整数，
∴k+1也为正整数且与x的乘积为4，
可得到k+1=4或k+1=2或k+1=1，
解得k=3或k=1或k=0．
故k可以取得的整数解为0、1、3．

点评：
本题考点： 解一元一次方程．

考点点评： 本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义．