微分算子法 y'''-3y'+2y=2xe^x 求特解

微分算子法适用于求非齐次微分方程的特解,对应的齐次微分方程的通解通过特征方程（二阶或者可以转化成二阶）和分离变量法（一阶,此时的非齐次方程常用常数变易法解比较简单）求解.
2.方程转化：令 则,……将微分方程改写为的形式,即特解.
有这样的结果：
常系数微分方程,直接将求导的阶数改写成D的指数,其常系数不变,即可.
变系数微分方程（我只知道欧拉方程）,先做变换,那么：
,
带入方程即可.
3.F(D)的性质：
(1)D表示微分,1/D表示积分；
(2)F(D) g（x）表示对g（x)做对应F（D）的微分运算,[1/F（D）] g（x）亦表示表示对g（x）做对应1/F（D）的微分运算,其中1/F（D）按多项式除法写成假分式的形式；
(3),；
（4）按照（3）的公式带入使得分子为零时也即此时的k是方程的特征根,为了使特解与通解线性无关,只要将若分子还为零直到使分子不为零.

就是个记号而已,把 D 定义成 d/dx .你写的 ODE 对应的算子是 D 的多项式,不是 D 本身.(D^2 - 2D + I)

其实,不用这种方法,用书上的方法,也是非常快的难道你没发觉,“书上的方法”,和“算子法”,一样快么?而且,“算子法”,已经超出了高数的范围,是其他书的内容,严格来说,是超纲内容 查看原帖

求二阶非奇次线性微分方程特解的一种方法，貌似比待定系数法计算量少一点，不过要记的东西太多，如果是考研书上介绍的话，可以忽略。待定系数法蛮好用的，好记，计算量也不算太大。

就是多项式的一个除法,具体讲不清楚发个链接吧,我也是看了这个视屏才弄懂的.
http://v.youku.com/v_show/id_XNTI4MTkyNjg=.ht
最后提下,我一开始看到这个也觉得是个好方法,但是题做多了还是基本的求微分比较好,我们考研辅导老师也说微分算子法可以看下,但是不用记,个人觉得不用看没事

这里我只对你的疑惑进行解答
左边你可以用对欧拉方程的处理方法得到一个有关D的多项式,除到右边,把右边的分成两部分分别求解(想加就可以了),对前面的好求(你既然知道这个方法应该知道怎么求),后面其实也有现成的公式就是把2看成多项式(这个法则也有(除法))
你自己算一下就行了.

告诉你，如果你是准备考研的话，建议你这个就不用看了，因为考研不会考这么难的。我去年刚考过。当时我也花了很多时间去学习这个微分算子法，后来学会了；可是过了一段时间后，发现又忘了，没课本上的方法实用。个人认为微分算子法，记前面几种就行了，最后关于多项式相除的可以不管。如果你真的很想学这个方法，我建议你去网上找找微分算子法的视频，一看就明白了，去年我就是这么做的。具体视频现在在哪，我也不记得了，你去优酷...

1/D可以理解为不定积分运算
1/P(D) f(x)：当f(x)是m次多项式时,将1/P(D)化为升幂的幂级数,取其前m＋1项来使用
1/(1＋2x＋x^2)＝1/(1＋x)^2＝－[1/(1＋x)]'＝－[1－x＋x^2－x^3＋.]'＝－(－1＋2x－3x^2＋...)＝1－2x＋3x^2＋.
所以,y＝1/(1＋2D＋D^2)(x^2＋x＋1)＝[1－2D＋3D^2](x^2＋x＋1)
＝(x^2＋x＋1)－2(x^2＋x＋1)'＋3(x^2＋x＋1)''
＝(x^2＋x＋1)－2(2x＋1)＋3×2
＝x^2－3x＋5

[qq:16] 我直接无视,还是用待定系数法更稳 查看原帖

用1÷（-1+D)=-1-D,注意在1/(D-1)后面接的只能是一次函数,否则还得继续做除法

当然有,只不过把（kx） 或者（i kx） 看作整体,对整体进行运算即可
至于前面的线性系数 3 ,照搬

通常情况下,求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解有3种方法：
①待定系数法 ②拉普拉斯变换 ③微分算子法
虽然它们的解法过程形式迥异,但最后的特解形式一般情况下却是惊人的一致.
但值得一提的是对于一些特殊形式下的二阶常系数非齐次线性微分方程(如缺少y项),按照“待定系数法”和“微分算子法”可能结果微有差异,但两者的特解形式均可.
例：2y''-y'=x^2-3x,
“待定系数法”求得y*=-1/3x^3-1/2x^2-2x
“微分算子法”求得y*=-1/3x^3-1/2x^2-2x+12（提出1/D）,
或y*=-1/3x^3-1/2x^2-2x-4（不提出1/D,直接大除法）.
该方程的齐次通y=C1e^(1/2x)+C2 非齐次通y=C1e^(1/2x)+C2-1/3x^3-1/2x^2-2x
但无论如何,这两种方法得到的特解形式都是正确的,你会发现相差的一个常数在求导的时候就没了（而这种特殊的缺乏y项的二阶常系数非齐次线性微分方程刚好满足：“待定系数法”是特解,而“待定系数法”加任意常数依然是该微分方程的特解,而“微分算子法”的特解不过是诸多结果中的两个特殊形式解而已.而以上分析可以由方程的非齐次通解形式很直观的看出.）
终上所述：
1.一般情况下,不同的方法求解出来的特解形式是一致的.
2.特殊的微分方程,用不同的方法求解出来的特解形式不完全一致,但其结果都是正确的并满足要求的.
3.既然是特解,必然也属于通解中的一员.
故特解理论上的形式绝不唯一,关键看你是如何逆向求得的.
希望对你能有所帮助.

特解不止一个,任何一个满足条件的解都是特解.
你的结果和陈文灯书上的结果应该都对,对本题若p(x)是一个解,则p(x)+c显然也是一个解,因为c'''-2c''-3c'=0.
这种寻找其他解决途径的精神是值得鼓励的,但是还是要把基本概念搞清楚啊,祝你考试顺利!

Re：数学符号：取一个复数的实部
可以说它就类似是一个运算法则吧
就像取整啊,取绝对值这类的,没有具体形式的

还是你问的啊...
微分算子法的算子变换是根据后边的式子决定微分算子中D的取值的
你不给出后边的式子根本就没办法说是怎么变化的
就像后边若是e^(kx)则把其提到微分算子前,然后另D=k即可
若是sin(kx)则令D=ki
微分算子法很实用,但是,得硬背,你得把其后边接e^(kx),sin(kx),cos(kx),多项式,e^(kx)*f(x) 的情况背下来,如果你实在理解不了,用别的方法算了,比如待定系数法,就是令不含y的单独的f(x)项换成0,求出通解,然后将通解中的c换成c(x),带回去解除即可,一般也能应付.

用微分算子主要还是要熟悉算子的那些个性质,至于用,就放心大胆用,不会出圈的