同余方程求解通过直接验算,求x^2+8x-13≡0(mod 28)的解和解数,急,收到请速回复谢谢!

设三只船行驶的天数分别为X、Y、Z,其中X

题三：xx+3x+3==0 mod 169
169=13^2
先解xx+3x+3=0 mod 13
即xx-10x+25-22==0
(x-5)^2==22==9
于是x==8或2 mod 13
即x=8+13a (#1#) 或x=2+13b (#2#)
由 (#1#)得
169aa+13*16a+64+(24+39a)+3==0 mod 169
即13(19a+7)==0 mod 13*13
即19a+7==0 mod 13,即6a==-7==6,即a=1 + 13k
于是x=21 +169k ==21 mod 169
由 (#2#)得
169bb+4*13b+4+(6+39b)+3==0 mod 169
即13(7b+1)==0 mod 13*13
解得b==-2 mod 13, 即b=-2+13t
于是x=2+13(-2+13t)=-24 +169t, 即x==-24==145 mod 169
综上述,原二次同余式有两解,x==21或-24 mod 169

注：将21或-24代入均得到 507==0 mod 169.我想还有简便方法.

题四：x+3y==3 mod 11; 2x+y==3 mod 11
第一式乘2得,2x+6y==6 mod 11, 与第二式作差得5y==3 mod 11==25, 故y==5
代入得x==-3y+3==-12 ==-1
即原同余式组的解为 x==-1, y==5 mod 11

求以下同余方程组的最小四位正整数解.
x ≡ 1（mod 3）
x ≡ 2（mod 5）
x ≡ 3（mod 7）


70≡1 mod 3.(1)
21≡1 mod 5.(2)
15≡1 mod 7.(3)
由(1)得 490≡1 mod 3 且490≡0 mod 35
由(2)得 126≡1 mod 5 且126≡0 mod 21
由(3)得 120≡1 mod 7 且120≡0 mod 15
故最小的四位数是490×1+126×2+120×3=1102

同余方程就是指包含取余操作的整数方程.如 x=2 mod 3
典型的同余方程组就是韩信点兵问题：
x=2 mod 3
x=1 mod 5
x=4 mod 7
求x

首先考虑m为素数的情形
若5或11中有一个modm的二次剩余,不妨设为5
I={r1,r2,...r[(m+1)/2]}为modm的所有二次剩余
由勒让德符号定义的运算（或二次剩余的欧拉判别法）知,r1为二次剩余时5*r1亦为二次剩余
且5*ri不同余于5*rj,如果ri不等于rj
I1={5r1,5r2,...5r[(m+1)/2]}为modm的所有二次剩余
即5x^可以取I1中任意值
易知1属于I
则方程5X²≡1（mod m）有解,再取y=0即可
若5或11都不是modm的二次剩余
r1为二次剩余（r1非0）时5*r1和11*r1为二次非剩余
即I2={5r1,5r2,...5r[(m+1)/2]}为modm的所有二次非剩余和{0}的并集
下面应用反证法,若原方程无解
则I2/{0}中任意两元素和不为m+1
考虑下列（m-1）/2个集合
{2,m-1}{3,m-2}{(m-1)/2,(m+3)/2}和{(m+1)/2}
I2/{0}中（m-1）/2个元素皆取自此（m-1）/2个集合
若有一个集合中同时含有两个I2/{0}中元素
则方程5X²≡i（mod m）11Y²≡m+1-i（mod m）皆有解
原方程亦有解
若任一集合中不同时含有两个I2/{0}中元素
则(m+1)/2为I2/{0}中元素
方程5X²≡(m+1)/2（mod m）11Y²≡(m+1)/2（mod m）皆有解
原方程亦有解
以上证明了m为质数时方程有解
下面证明m为质数幂时方程有解
m=p^n,对指数n归纳（不考虑p=2,5,11时情形,这些情形的证明很容易）
n=k时成立,n=k+1时
5X²≡i+t*p^k（mod m）
计x1=x,x2=x+p^n,x3=x+2*p^n.xp=x+(p-1)p^n
以上p个数代入方程左端modm两两不同余,
必有一j使xj满足5xj^≡i（mod m）
对于11同理,则n=k+1时亦得证
对于一般的m,对m进行质因数分解,
m=p1^a1*p2^n2*...
计m1=p1^a1
m2=...
(xi,yi)为5xi^+11yi^≡1（mod mi）的解
考虑一次同余方程组
x=x1(modm1)
x=x2(modm2)
...(此处=为同余号)
由中国剩余定理
x有解
对y同理
于是（x,y）即为满足条件的解
初涉数论,如有漏洞请指出,欢迎切磋探讨.这道题真的很难,不知楼主是在哪里看到的?

题：关于同余方程等价变形的问题：“只要两者的解相同的变形就是等价变形,并不要求解数相同”
请问这里两者解数不同为什么会有解相同呢
举一个简例.3x==6 mod 9
它可以等价变形成x==2 mod 3
原式的解是基于模9的,解为x==2,5,8 mod 9
后者的解是基于模3的,解为x==2 mod 3
但是这两个解实际是相同的,它们的解集{2+9t,5+9t,8+9t；t为整数} 与 {2+3k；k为整数}是等价的集合.
另举一个：4x==8 mod 10 与 2x==4 mod 5 同解,而解数不同；
2x==4 mod 5与 x==2 mod 5同解,解数相同.
4x==8与 x==2 mod 5同解,解数不同.
具体分析从略.

3=3mod9
9=2mod7
3=3mod7
3*2+3=2mod7
3*9+3=30
30+63=93
x=93
2
11mod5=1
3mod5=3
4+3=2mod5
4*11+3=47
55=1mod3
2+47=1mod3
55*2+47=157
x=157

这个要用二次剩余理论, 包括二次互反律.
对质数p, 以及p互质的整数a, 用(a|p)表示Legendre符号:
即当x² ≡ a (mod p)有解时, (a|p) = 1, 无解时(a|p) = -1.
(1) x(x+1) ≡ -1 (mod 17)等价于(2x+1)² = 4x(x+1)+1 ≡ -3 (mod 17).
只需要说明-3不是mod 17的二次剩余即可, 即(-3|17) = -1.
由17 ≡ 1 (mod 4), 可知(-1|17) = 1.
而(-3|17) = (-1|17)·(3|17), 于是只需说明(3|17) = -1.
这里由二次互反律, (3|17)·(17|3) = (-1)^((3-1)(17-1)/4) = 1,
得(3|17) = (17|3) = (2|3) = -1.
(2) x(x+1) ≡ -1 (mod 59)等价于(2x+1)² = 4x(x+1)+1 ≡ -3 (mod 59).
由59 ≡ 3 (mod 4), 可知(-1|59) = -1.
又由二次互反律, (3|59)·(59|3) = (-1)^((3-1)(59-1)/4) = -1.
故(3|59) = -(59|3) = -(2|3) = 1.
因此(-3|59) = (-1|59)·(3|59) = -1.
-3不是mod 59的二次剩余, 方程无解.
至于x(x+1) ≡ -1 (mod 31)有解, 可同样化为证明(-3|31) = 1.
类似上面过程有(-1|31) = -1, (3|31) = -(31|3) = -(1|3) = -1, 因此(-3|31) = (-1|31)·(3|31) = 1.
实际上, 述过程可以证明一般结果:
对于质数p > 3, x(x+1) ≡ -1 (mod p)有解当且仅当p ≡ 1 (mod 3).

3x同余4(mod5)--> 2*3x同余2*4(mod5) --> x同余3(mod5),
x同余1(mod7) ,
x同余0(mod9) ,
x = ,(5*7*9)m + (7*9) + (5*7)*9 + (5*9)*5
= (5*7*9)M + 63 + 225
= (5*7*9)M + 288,

无解
ax≡b (mod m)有解的充要条件是(a,m)|b
这里(6,10)=2,显然不能整除3,
所以无解

同余,是极具有思想方法意义的.这个需要反思运用体会的.可以做很深入的解释,及推广.
这是我以前的回答,
对于一组整数Z,Z里的每一个数都除以同一个数m,得到的余数可以为0,1,2,...m-1,共m种.我们就以余数的大小作为标准将Z分为m类.每一类都有相同的余数.
在每一类下的任意两个数a,b都关于m同余.记为：
a=b(mod m)
用集合论的语言,严格地来说就是：
对于整数集的任意一个子集Z,对于任意一个属于Z的元素n,n都除以m,得到的余数的余数可以为0,1,2,...m-1,共m种.我们就以余数的大小作为标准,将Z分为m个互不相交的m个子集Z1,Z2,...Zm-1.
对于Zi的任意两个元素a,b,都关于m同余.记为
要停电了,我明天再给你解答吧.
a=b(mod m)
其实还可以用更数学化的语言来表达.
同余的运用
请问各位叔叔阿姨!若一个数除3余2,除5余3,除7余4,除11余5,求它的最小正整数?
0 - 解决时间：2006-2-21 21:45
最好有解题过程,
问题补充：368才对!
rodger001 - 试用期 一级
368
详细解题过程不容易表达清晰.看来是刚注册的,怪不得没有悬赏分.
那就讲思路吧.依次满足下面四个条件：
1.先满足除11余5,易知为16
2.再满足除7余4,16最多再加6个11,最后为60
3.再满足除5余3,60最多再加4个11×7,最后为368
4.再满足除3余2,最后为368.
判断条件是否满足时,用同余运算可简化.
如除5时,77与2同余,60再加4个2（或4个77）,就能单独满足除5余3.这里60+4×77与60+4×2同余.但60+4×77是在满足前两个条件的前提下进行的.
回答者：林锦1983 - 见习魔法师 二级 2-20 23:15
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这是家教中遇到的,原来我读书的时候没有学这东西!但上面错了一个字,再加6个11应该是再加4个11．
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我说的是估算最大计算量,最多再加6个11,实际上只要加4个11就行了.同余运算是数论的基础知识,一般初中奥赛教材就有了.其实“同余概念”的基础是抽象分类法.这里仅抽取“余数的大小”这一抽象特性,作为分类的标准.

存在,例p=1093　1093^2|2^1092 -1
另有：11^2|3^10-1

设X=7K+m代入得：
（7K+m）^5-3（7K+m）^2+2≡0
展开得：(7K)^5+5*(7K)^4*m+10*(7k)^3*m^2+--+m^5-3(49k^2+14km+m^2)+2≡0(mod 7),
∵(7K)^5+5*(7K)^4*m+10*(7k)^3*m^2+--+49k^2+14km+m^2≡0(mod 7),
∴只要：m^5-3*m^2+2≡0(mod 7),
即：(m-1)(m^4+m^3+m^2-2m-2)≡0(mod 7),
∵当m=1时,m^5-3*m^2+2=0,显然有m^5-3*m^2+2≡0(mod 7),
当m=-2时,有16-8+4+4-2=14≡0(mod 7),
所以X=7K+1与X=7K-2都是同余方程x^5-3x^2+2≡0(mod 7)方程的解.
如X=1或5、8、12、15、19-------
前面已有了,再来一次?送分?

举一个简例.3x==6 mod 9
它可以等价变形成x==2 mod 3
原式的解是基于模9的,解为x==2,5,8 mod 9
后者的解是基于模3的,解为x==2 mod 3
但是这两个解实际是相同的,它们的解集{2+9t,5+9t,8+9t；t为整数} 与 {2+3k；k为整数}是等价的集合.解集相同,说明解相同.其中一个,解集由三个子集构成,写成三个解的形式,称为三个解.另一个解集写成一个解.
解数不同,但是它们是同解的,或说他们的解相同.
x=3(mod5)与3,8,13(mod15),也是同解,但前者写成为一个解的形式,后者写成了三个解.
另举一个：4x==8 mod 10 与 2x==4 mod 5 同解,而解数不同；
2x==4 mod 5与 x==2 mod 5同解,解数相同.
4x==8与 x==2 mod 5同解,解数不同.

要想了解更清楚,
可以搜索
wsktuuytyh 同余
wsktuuytyh 同余概念

(47*13+32)x≡32(mod47)
32x≡32(mod47)
32(x-1)≡0(mod(47)
x≡1(mod47)

在古代中国的时候孙子就给出了这类题目的做法：“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知.”
这道题目用的方法其实一样：
除数7,23,31,最小公倍数就是7×23×31=4991,除7的余数是3,这样乘率就是6,；除以23的余数是6,这样乘率就是7,除以31的余数是12,这样乘率就是26.
把总和算出来：23×31×3×6+7×31×6×7+7×23×12×26=72180.,这是一个符合条件的数,72180-4991×14=2306是最小的数,x的所有解是：2306+4991k（k∈Z）

首先算出除数2,5,7,9的最小公倍数
2*5*7*9=630
X==1 mod 2的乘率计算等于1
X==2 mod 5的乘率计算等于2
X==3 mod 7的乘率计算等于4
X==4 mod 9的乘率计算等于16
得到满足条件的最小正同余数为
5*7*9*1+2*7*9*2+2*5*9*4+2*5*7*16-630*3=157
所以解得X=157+630K K∈整数

很显然这是一道原根题.设g为p的一个原根,那么p的简化剩余系可表示为g^0,g^1,g^2,...,g^phi(p).当然还有个小地方没解释,这个同余方程的解肯定是在p的简化剩余系中的,我想这个你要是也不知道的话估计更不知道什么是原根了,你自己想哦.方程转化为(g^i)^4≡-1.而-1在原根中的唯一表示是g^(phi(p)/2).那么方程再次转化为(g^i)^4≡g^(phi(p)/2).由原根指数的性质知：4i≡phi(p)/2(mod phi(p)).这样就证明了8|phi(p),那么p就有形如8k+1了.呵呵

因为 31x≡34x-3x≡ -3x≡5(mod 17) ,
所以两边同乘以 6 得 -18x≡30≡13(mod 17) ,
因此 -x≡13(mod 17) ,
则 x≡ -13≡4(mod 17) .

由X^n==nX（mod7） （因为模是素数）
X^4+3X^3-X^2+X+1==0（mod7）
变为4X+9X-2X+X+1==0（mod7）
即12X+1==0（mod7）
则X==4（mod7）

我写个简例吧：
AAA解法：
解同余式组:x≡1(mod5) x≡2(mod11)
中国剩余定理的等效解法
令x=5a+11b +55t 亦即 x==5a+11b mod 5*11
代入原同余式组得
11b==1 mod 5
5a==2 mod 11
解得b==1 mod 5, a=-4==7 mod 11
取任意一组特解如b=1,a=7代入得
x==5*7+11*1=46 mod 55

BBB解的数量之判定法：
对于多个模并非两两互质的情况,可以先确立一组两两互质的分解基数集（质数集是一个常用的特例）,将这些模用分解基数表示成为多个因数项,将其中相关于同一个分解基数的项进行归并.如果有矛盾,则无解.
否则有解.
例：同余式组
x=2 mod 16
x=3 mod 5
x=6 mod 12
取4, 3, 5作为分解基.变成
x=2 mod 4^2
x=3 mod 5
x=6 mod 4
x=6 mod 3
其中相关于同一个分解基数的情况,仅有x=2 mod 16与x=6 mod 4是相关于分解基数"4"的,它们没有矛盾.取两相容解集的交集,即其中解集较小的那个：x=2 mod 16.
再与x=3 mod 5及x=6==0 mod 3联立求解.
另例：
x=2 mod 18
x=8 mod 12
以3,2为分解基.
相关于分解基数3的转化式有x=2 mod 3^2, x=2 mod 3, 取前者.
相关于分解基数2的转化式有x=0 mod 2, x=0 mod 4, 取后者.

另例：同余式组
x=3 mod 12
x=2 mod 18
以2,3为分解基集,于是原同余式组变成
x==3 mod 2^2
x==3 mod 3
x==2 mod 3^2
x==2 mod 2
矛盾.故此同余式无解.
如果是形如
ax=b mod m形状的同余式联立的,
则可能出现无解、一解、多解的情况.一个基本的例子如下：
12x=18 mod 27 注：相当于12x=9+18k
自然就等价于同余式
4x=3 mod 9
解得x=3 mod 9, 转化为模27的同余式,为
x=3,12,21 mod 27

AAAAAA快速计算法
例如同余式组(以下用==表示同余号)
x==
2 mod 5
-2 mod 6
-3 mod 7
对中国剩余定理一个简单的改进可以是这样：
令
x=5*6*7*(a/5+b/6+c/7) mod 5*6*7
即x=6*7*a+5*7*b+5*6* c+ 5*6*7 t
代入原题即得
6*7*a==2 mod 5
5*7*b==-2 mod 6
5*6*c==-3 mod 7
求得
a==1 mod 3, 或者说是形如-1+3u的任意整数.
b=2 mod 5, ...
c=2 mod 7
剩下的就是如果计算出x来了.下面也给了简化方法.
从下面这个式子上看
x=5*6*7*(a/5+b/6+c/7) mod 5*6*7
=5*6*7*(a/5+b/6+c/7 mod 1) 注意,这个式子极具有启发性!
我们看到,我们需要的x的值,只要取以5*6*7作分母时的分数(a/5+b/6+c/7) 的分子就行了,
如果我们将 a/5+b/6+c/7表示成带分数,即整数加真分数的形式.
还可以发现,如果要取最小正整数解,就取这个真分数的分子就形子.
在计算过程中,
任意加减一个整数,造成数的增大和变小,并不影响我们的结果.
同时,任意交换加项,也不影响.
下面我们来计算：
1/5+2/6+2/7 mod 1=16/30+2/7=172/210

再例：这是我刚答的一道题,讲的较为明确精炼,请参考.
一个数÷5余1,÷7余3,÷9余2,这个数最小是几?
题目转化为同余式组
x==1 mod 5
x==3 mod 7
x==2 mod 9
令x==7*9*a+5*9*b+5*7*c mod 5*7*9
即x=7*9*a+5*9*b+5*7*c+5*7*9*t
即x==5*7*9*(a/5+b/7+c/9 mod 1)
即x=5*7*9*(a/5+b/7+c/9+t)
代入原同余式组得
7*9*a==1 mod 5 , 于是a==2 mod 5, 取其特值2为代表.
5*9*b ==3 mod 7,于是b==1 mod 7,取其特值1为代表.
5*7*c==2 mod 9,于是c==-2 mod 9,取其特值-2为代表.
再以
x==5*7*9*(a/5+b/7+c/9 mod 1)为求值式,进行计算.
先计算（a/5+b/7+c/9 mod 1)
注意,计算过程中,任一个加项或整体值上可以加减任一个整数,不影响.同时,在计算时,可以充分运用加法的交换律与结合律,随意调整加法项的位置与加法过程的顺序.
其中,mod 1这个提法一定要理解,这样可以为解同余式组带来极大的方便.
mod 1表示两个对象相差一个整数值.如果mod用来表示求余,则表示求一个数的小数部分；如果N==0 mod 1,即说明N为整数.
2/5+1/7-2/9 mod 1 ==2/5-2/9+1/7==8/45+1/7==101/45*7==101/315
于是x==101 mod 315
这个数最小为 101

97同余于1（模数34）等同于（97-34*2=29）v同余于1（模数34）,所以29*v/34余1.用辗转相除法求出6*34-7*29=1所以V=-7,所以V=-7+34K（K为整数）当K=1时V=27.

同余,是极具有思想方法意义的.这个需要反思运用体会的.可以做很深入的解释,及推广.
这是我以前的回答,
对于一组整数Z,Z里的每一个数都除以同一个数m,得到的余数可以为0,1,2,...m-1,共m种.我们就以余数的大小作为标准将Z分为m类.每一类都有相同的余数.
在每一类下的任意两个数a,b都关于m同余.记为：
a=b(mod m)
用集合论的语言,严格地来说就是：
对于整数集的任意一个子集Z,对于任意一个属于Z的元素n,n都除以m,得到的余数的余数可以为0,1,2,...m-1,共m种.我们就以余数的大小作为标准,将Z分为m个互不相交的m个子集Z1,Z2,...Zm-1.
对于Zi的任意两个元素a,b,都关于m同余.

这是一个线性方程组,可以类比一般的线性方程组进行求解,只是要在mod 26的剩余类环上运算.
用消元法.
由(2)-4·(1)得a-11b = -3 (mod 26) (3).
(1)-3·(3)得-5b = 13 (mod 26),乘以5得b = 13 (mod 26).
代回(3)得a = 10 (mod 26).
这种解法不是很系统.如果学了矩阵,可以写出方程组的系数矩阵A =
3 14
13 19
行列式3·19-13·14 = 5 (mod 26).
由5·(-5) = 1 (mod 26),5 (mod 26)的倒数就是-5 (mod 26).
系数矩阵的伴随矩阵A* =
19 -14
-13 3
系数矩阵的逆矩阵为A^(-1) = |A|^(-1)·A* =
9 18
13 11
于是向量(a,b)^T = A^(-1)·(4,13)^T = (10,13)^T.
即方程组的解为a = 10 (mod 26),b = 13 (mod 26).

写出系数矩阵行列式,让其为零,求出的K即为所求,

This textual,set out from the E-screening method (deform of Eratosthenes sieve method ) ,using congruence equations tools and the Chinese remainder theorem can get a important conclusion:In E-sieve method,this step prime p to filter out the 1 / p proportion of the number.The conclusion shows that the consecutive prime is （the list for unitary columns归1列 术语 实在是不知道怎么翻了）.Then we discuss some qualities of qualitythe sequence and research the relationship between the sequence`s polarity and the sequence`s increment speed,this is one of the important content in the textual ,we hope the prime sequence is the fastest growththe of list for unitary columns,but it still remains a problem now.At the end of the textual,give us a couple of loose ends to hited.
累死偶了····· ove

有个细节你没注意到,看到范围是1

解同余方程组：x≡6(mod11) x≡3(mod 8 ) x≡11(mod20)
等效于同余式组
(
x==6 mod 11 (#1#)
x==3 mod 8 (#2#)
x==11 mod 4 (#3#)
x==11 mod 5 (#4#)
其中,用==表示同余号.
)
即求他们的解集的交集.
其中 (#2#)的解集是(#3#)的解集的真子集.故原同余式组等效于
(
x==6 mod 11 (#1#)
x==3 mod 8 (#2#)
x==1 mod 5 (#4#转化而来)
)
后文详解得答案为
x==171 mod 440.

过程如下：
x==
(6/ (8*5) mod 11) *8*5+
(3/ (11*5) mod 8) *11*5+
(1/ (11*8) mod 5) *11*8
（
注1：其中 x== b/a mod m 用来简化表示 ax == b mod m.我首次见到是在洪伯阳先生的著作中,我常称之为洪伯阳同余表示.在其分子与分母上可以使用同余性质、比例性质、带分数性质即作为假分数、带分数来处理等等.后来发现其他著作中也有,时间先后我没有考证.
下面为表达与计算上的方便,采用我个人引入的模积表示法.我察觉到其形式的对称性,并考虑到了计算的对称性及其同余本质,十分方便计算.以下使用模积表示式进行计算.
注2：上式简化表示为以下形式,称为模积表示.为方便理解写了很多.实际上,有很多过程用心算来完成,可以快速得解.
(
6/ (8*5) @ 11)
3/ (11*5) @ 8)
1/ (11*8) @ 5
)
）
==
6/ -4 @ 11
3/-1 @ 8
1/3 @5
==
-3/2==(-3+11)/2=4 @ 11
-3 @ 8
(1+5)/3=2 @ 5
==
4 @ 11
-3 @ 8
2 @ 5
==
4*8-3*11 @ 8*11
2 @5
==
-1 @ 88
2 @ 5
==
176-5 mod 88*5
==171 mod 440

理解了这种方法,对中国剩余定理的本质就更深入一步了.
更多资料,请百度搜索
wsktuuytyh 模积计数法
或
wsktuuytyh 洪伯阳同余表示
或
wsktuuytyh 不定方程
(注：其中来源我的现有姓名何冬州的五笔编码)

事实上,容易看出等效于
x==
6 mod 11
11 mod 8
11 mod 20
==
6 mod 11
11 mod 40
==
11+
(y==
-5 mod 11
0 mod 40
)

y==
-5/40 @ 11
0/11 @ 40
==
6/-4 @ 11
0 @ 40
==
4 @ 11
0 @ 40
==160
X==11+Y==171 MOD 440

nn+n+24==0 mod 2010
它的解是
4(nn+n+24)==0 mod 2010的一部分.
先解后者,再代回检验,剔去增解即可.
(2n+1)^2+95==0 mod 2010
记y=2n+1,即有yy==-95 mod 2010
易见y==0 mod 5,令y==5z,即有25zz==-95 mod 2010,即5zz==-19 mod 402
402=2*3*67,故zz=1 mod 2,5zz=-1 mod 3,5zz==-19 mod 67
即z==1 mod 2,z==1或-1 mod 3,zz==(-19-67*3)/5=-44==23 mod 67
故4zz==92==25 mod 67,故2z==5或-5 mod 67
z=36或31 mod 67
由
2n+1=5z,z==1 mod 2,z==1或-1 mod 3,z=36或31 mod 67,逆用中国剩余定理,得种4种解,再回代.略.