极惯性矩 惯性积 是不是一个概念

你应该是用极坐标计算二重积分的公式不熟悉.自己看一下,或者再查点资料

某个截面对于一个轴的极惯性矩（又称截面二次极矩是对于该界面对于该轴惯性的一种衡量,其定义为：IP = ∫ ρdA
A
其中：ρ为微元距轴的距离.
与截面二次轴矩的关系：由于ρ = y + z,根据截面二次轴矩的定义,可知：IP = Iy + Iz即截面对于任何一点的极惯性矩,等于该截面对以该点为原点的任意一组正交坐标系的截面二次轴矩之和.

横截面对中性轴的轴惯性矩 扭转才是极惯性矩...

1.首先,惯性矩和极惯性矩的定义是不一样的.惯性矩是平面图形对坐标轴上某一轴（x轴,或者y轴）的矩,极惯性矩是平面图形对坐标轴原点（即o点）的矩
2.你的问题中,坐标轴为形心坐标轴,iz是对z轴的矩,iy是对y轴的矩,ip是极惯性矩,并且iz+iy=ip,在圆形截面中,iz=iy,所以,iz=0.5ip,故
Iz=πD^4/64,Ip=πD^4/32（极惯性矩一般用ip表示）

极惯性矩的定义就是 Ip=∫ ρ^2 dA,即面积对截面形心取矩的平方再积分.
对于圆截面来说,极惯性矩和抗扭惯性矩是一回事,可以等价.
但是对于矩形截面轴来说,我们为了套用圆截面轴的扭转变形公式 φ=TL/GIp,人为定义了一个矩形截面的抗扭惯性矩 It.这样一来,矩形截面轴扭转的扭转角 φ=TL/GIt.
It是一个人为定义的物理量,为了具有和极惯性矩一样的量纲,并且把矩形的高和宽反应进来,我们人为定义其计算公式为 It=βhb^3,h是矩形的高,b是宽,β是系数,必须根据矩形长宽比来确定,其值从任何一本材料力学教材的表格都可以查到.
相对的,对于矩形截面轴,极惯性矩虽然还是 Ip=∫ ρ^2 dA 在矩形截面里积分.但是因为这个量在扭转时用不着,基本上都是不讨论不用的.

这几个参数一般在《材料力学》截面的几何性质部分中提及,弯曲变形计算应力时会用到对中性轴的惯性矩,而扭转变形中会用到对点的极惯性矩.

曲面积分,对面积A积分