△abc中,ab=5,bc=3,ac=4,点p在ac上,pq∥ab交bc于点q（1）当△pqc与四边形pabq的面积相等

证明：∵∠BAC=90°，
∴∠FAD=90°．
∵EF∥AB，F是AC边的中点，
∴E是BC边的中点，即EC=BE．
∵EF是△ABC的中位线，
∴FE=[1/2]AB．
∵FD=BE，
∴DF=EC．
∴∠CFE=∠DAF=90°．
在Rt△FAD和Rt△CFE中


DF=EC
AF=FC，
∴Rt△FAD≌Rt△CFE（HL）．
∴AD=FE．
∴AD=[1/2]AB．

点评：
本题考点： ["三角形中位线定理","全等三角形的判定与性质"]

考点点评： 三角形全等的判定和性质运用是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

（1）证明：
证法一：如图（1），延长AD交FE的延长线于N
∵AD∥BC，∠C=90°
∴∠NDE=∠FCE=90°
又∵E为CD的中点，
∴DE=EC，
∵∠DEN=∠FEC，
在△NDE和△FCE

∠NDE=∠FCE
ED=CE
∠DEN=∠CEF，
∴△NDE≌△FCE（ASA）
∴DN=CF
∵AB∥FN，AN∥BF，
∴四边形ABFN是平行四边形
∴BF=AD+DN=AD+FC
证法二：如图（2），过点D作DN∥AB交BC于N
∵AD∥BN，AB∥DN，
∴AD=BN，
∵EF∥AB，
∴DN∥EF
∴△CEF∽△CDN
∴[CE/DC=
CF
CN]
∵[CE/DC=
1
2]，
∴[CF/CN=
1
2]，即NF=CF
∴BF=BN+NF=AD+FC
（2）∵AB∥EF，
∴∠1=∠BEF，
∵∠1=∠2，
∴∠BEF=∠2，
∴EF=BF，
∵BF=BN+NF=AD+CF，
∴EF=BF=AD+CF=AD+BC-BF=1+7-BF，
∴2BF=8，
∴BF=4，
∴EF=4．
故EF的长为4．

点评：
本题考点： 梯形；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查三角形的相似性质、平行四边形的性质及判定以及角平分线的性质的综合运用．

证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EPD=∠DPF，
即DP平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．

点评：
本题考点： 角平分线的性质；平行线的判定与性质．

考点点评： 此题考查了角平分线的性质与平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用．

（1）证明：
证法一：如图（1），延长AD交FE的延长线于N
∵AD∥BC，∠C=90°
∴∠NDE=∠FCE=90°
又∵E为CD的中点，
∴DE=EC，
∵∠DEN=∠FEC，
在△NDE和△FCE

∠NDE=∠FCE
ED=CE
∠DEN=∠CEF，
∴△NDE≌△FCE（ASA）
∴DN=CF
∵AB∥FN，AN∥BF，
∴四边形ABFN是平行四边形
∴BF=AD+DN=AD+FC
证法二：如图（2），过点D作DN∥AB交BC于N
∵AD∥BN，AB∥DN，
∴AD=BN，
∵EF∥AB，
∴DN∥EF
∴△CEF∽△CDN
∴[CE/DC=
CF
CN]
∵[CE/DC=
1
2]，
∴[CF/CN=
1
2]，即NF=CF
∴BF=BN+NF=AD+FC
（2）∵AB∥EF，
∴∠1=∠BEF，
∵∠1=∠2，
∴∠BEF=∠2，
∴EF=BF，
∵BF=BN+NF=AD+CF，
∴EF=BF=AD+CF=AD+BC-BF=1+7-BF，
∴2BF=8，
∴BF=4，
∴EF=4．
故EF的长为4．

点评：
本题考点： 梯形；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查三角形的相似性质、平行四边形的性质及判定以及角平分线的性质的综合运用．

证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EPD=∠DPF，
即DP平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．

点评：
本题考点： 角平分线的性质；平行线的判定与性质．

考点点评： 此题考查了角平分线的性质与平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用．

（1）证明：
证法一：如图（1），延长AD交FE的延长线于N
∵AD∥BC，∠C=90°
∴∠NDE=∠FCE=90°
又∵E为CD的中点，
∴DE=EC，
∵∠DEN=∠FEC，
在△NDE和△FCE

∠NDE=∠FCE
ED=CE
∠DEN=∠CEF，
∴△NDE≌△FCE（ASA）
∴DN=CF
∵AB∥FN，AN∥BF，
∴四边形ABFN是平行四边形
∴BF=AD+DN=AD+FC
证法二：如图（2），过点D作DN∥AB交BC于N
∵AD∥BN，AB∥DN，
∴AD=BN，
∵EF∥AB，
∴DN∥EF
∴△CEF∽△CDN
∴[CE/DC=
CF
CN]
∵[CE/DC=
1
2]，
∴[CF/CN=
1
2]，即NF=CF
∴BF=BN+NF=AD+FC
（2）∵AB∥EF，
∴∠1=∠BEF，
∵∠1=∠2，
∴∠BEF=∠2，
∴EF=BF，
∵BF=BN+NF=AD+CF，
∴EF=BF=AD+CF=AD+BC-BF=1+7-BF，
∴2BF=8，
∴BF=4，
∴EF=4．
故EF的长为4．

点评：
本题考点： 梯形；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查三角形的相似性质、平行四边形的性质及判定以及角平分线的性质的综合运用．

（1）S=6，S₁=9，S₂=1；

（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，
∴△ADE∽△EFC，
∴
S2
S1=(
DE
FC)2=
a2
b2，
∵S1=
1
2bh，
∴S2=
a2
b2×S1=
a2h
2b，
∴4S1S2=4×
1
2bh×
a2h
2b=(ah)2，
而S=ah，∴S²=4S₁S₂；

（3）过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，
∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG=EF，
∴BH=EF
∴BE=HF，
∴△DBE≌△GHF，
∴△GHC的面积为5+3=8，
由（2）得，▱DBHG的面积为2
2×8=8，
∴△ABC的面积为2+8+8=18．
（说明：未利用（2）中的结论，但正确地求出了△ABC的面积，给2分）

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行线分线段成比例．

考点点评： 本题利用了平行四边形、三角形的面积公式，还利用了平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、全等三角形的判定和性质等知识．

CE=CF=GB．
理由如下：
（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD=90°．
∴∠ACD=∠ABC．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∵∠CEF=∠BAE+∠ABC，∠CFE=∠CAE+∠ACD，
∴∠CEF=∠CFE．
∴CE=CF（等角对等边）．
（2）如图，过E作EH⊥AB于H，
∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC，
∴EH=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∴EH=CF．
∵FG∥AB，
∴∠CGF=∠EBH．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴∠CFG=∠EHB=90°．
在Rt△CFG和Rt△EHB中
∵

∠CGF=∠EBH
∠CFG=∠EHB
CF=EH，
∴Rt△CFG≌Rt△EHB（AAS）．
∴CG=EB．
∴CE=GB．
∴CE=CF=GB．

点评：
本题考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查学生对角平分线的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．正确作出辅助线是解答本题的关键．

∵BC∥AD，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=5，
∵EC=3，
∴BC=BE+EC=8，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC=4，
∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21．
故选C．

点评：
本题考点： 等腰梯形的性质；平行四边形的判定与性质．

考点点评： 此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质．此题比较简单，注意判定出四边形ABED是平行四边形是解此题的关键，同时注意数形结合思想的应用．

∵MN∥AB，AM=3MC，
∴△CMN∽△CAB，[MC/AC]=[1/4]，
∴[MC/AC]=[MN/AB]，即[1/4]=[38/AB]，AB=38×4=152m．
∴AB的长为152m．

点评：
本题考点： 相似三角形的应用．

考点点评： 本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．