(2013•东坡区一模)若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf

老狐狸酒吧2022-10-04 11:39:541条回答

(2013•东坡区一模)若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立,则称f(x) 是一个“λ-伴随函数”.有下列关于“λ-伴随函数”的结论:
①f(x)=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”;
②f(x)=x不是“λ-伴随函数”;
③f(x)=x2是一个“λ-伴随函数”;
④“[1/2]-伴随函数”至少有一个零点.
其中不正确的序号是______(填上所有不正确的结论序号).

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青青草MA 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%
解题思路:①设f(x)=C是一个“λ-伴随函数”,则(1+λ)C=0,当λ=-1时,可以取遍实数集,因此f(x)=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”;
②根据f(x)=x,可得f(x+λ)+λf(x)=x+λ+λx,故不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立;
③用反证法,假设f(x)=x2是一个“λ-伴随函数”,则(x+λ)2+λx2=0,从而有λ+1=2λ=λ2=0,此式无解;
④令x=0,可得f([1/2])=-[1/2]f(0),若f(0)=0,显然f(x)=0有实数根;若f(0)≠0,f([1/2])•f(0)=-[1/2](f(0))2<0,由此可得结论.

①设f(x)=C是一个“λ-伴随函数”,则(1+λ)C=0,当λ=-1时,可以取遍实数集,因此f(x)=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”,故①不正确;
②∵f(x)=x,∴f(x+λ)+λf(x)=x+λ+λx,当λ=-1时,f(x+λ)+λf(x)=-1≠0;λ≠-1时,f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解,∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立,∴(x)=x不是“λ-伴随函数”,故②正确;
③用反证法,假设f(x)=x2是一个“λ-伴随函数”,则(x+λ)2+λx2=0,即(1+λ)x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立,所以λ+1=2λ=λ2=0,而此式无解,所以f(x)=x2不是一个“λ-伴随函数”,故③不正确;
④令x=0,得f([1/2])+[1/2]f(0)=0,所以f([1/2])=-[1/2]f(0)
若f(0)=0,显然f(x)=0有实数根;若f(0)≠0,f([1/2])•f(0)=-[1/2](f(0))2<0.
又因为f(x)的函数图象是连续不断,所以f(x)在(0,[1/2])上必有实数根.因此任意的“[1/2]-伴随函数”必有根,即任意“[1/2]-伴随函数”至少有一个零点,故④正确
故答案为:①③

点评:
本题考点: 函数恒成立问题.

考点点评: 本题考查的知识点是函数的概念及构成要素,函数的零点,正确理解f(x)是λ-伴随函数的定义,是解答本题的关键.

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12−
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π
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