圆上有一弦AB,上有三等分点E F.过圆上一点P作PE 交圆于M PF交圆于N

香榭舍亭2022-10-04 11:39:541条回答

圆上有一弦AB,上有三等分点E F.过圆上一点P作PE 交圆于M PF交圆于N
证明：EF*MN=AM*BN
这东西有点难，我做了好久。不知道是不是要用一些我不知道的定理。

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当好东道主共回答了14个问题 | 采纳率100%: 思路:构建关于待证式子的相似三角形,并将条件向该对三角形靠拢.
证明:
作辅助线:过N作AB的平行线CN交圆于C和N,作FD平行于BN交CN于D,连接BD,AN,BD与PN交于G;
因为弦AB,PN;
所以AF*FB=PF*FN;
因为E,F是AB的三等分点;
所以AE=EF=FB;
所以PF*FN=AF*FB=(AE+EF)*FB=(EF+EF)*FB=2*EF*FB;
因为AB平行于CN,FD平行于BN;
所以角DFB+角ABN=180度,GF=GN,FD=BN;
所以2*GF*PF=(GF+GN)*PF=FN*PF=PF*FN=2*EF*FB;
所以GF*PF=EF*FB;
所以PF/FB=EF/GF;
又因为角PFE=角BFG;
所以三角形PFE相似于三角形BFG;
角MPN=角GBF;
因为角MPN,角MAN是对应弧MN的圆周角;
所以角MPN=角MAN;
所以角MAN=角MPN=角GBF;
因为四边形AMNB;
所以角AMN+角ABN=180度;
又因为已证角DFB+角ABN=180度;
所以角AMN+角ABN=角DFB+角ABN;
所以角AMN=角DFB;
又因为已证角MAN=角GBF;
所以三角形AMN相似于三角形BFD;
所以AM/BF=MN/FD;
所以BF*MN=AM*FD即FB*MN=AM*FD;
又因为已证EF=FB,FD=BN;
所以EF*MN=AM*BN;
证毕;; 1年前

已知P为圆O内的一点,OP=3,圆O的半径为6,过P任作一弦AB,设AP=X,BP=Y,则Y与X的函数关系式是什么 xingqing981年前2: xjf020 共回答了12个问题 | 采纳率100%

xy=27
由相交弦定理得：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
设直线OP交圆于C、D,则PC*PD=(R-OP)*(R+OP)=27
所以PA*PB=27

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PA、PB切圆O于A和B,PO交AB于M,过M任作一弦CD；求证：∠APC=∠BPD．（提示：连结OA,OB,OC,OD PA、PB切圆O于A和B,PO交AB于M,过M任作一弦CD；求证：∠APC=∠BPD．（提示：连结OA,OB,OC,OD） vallysea1年前1: de21e12 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

因为PA,PB切⊙O于点A、B,OP与AB相交于点M
所以OA⊥PA,AM⊥OP,OP垂直平分∠APB
所以∠OAP=∠AMO=90度,∠APO=∠BPO
又因为∠AOM=∠POA
所以△OAM∽△OPA
所以OM/OA=OA/OP
所以OA^2=OM*OP
因为OA=OC=OD=R
所以OC^2=OD^2=OM*OP
因为OM/OC=OC/OP,∠MOC=∠COP
所以△OCM∽△OPC
所以∠MCO=∠CPO
在△ODC中,因为OD=OC=R
所以∠MCO=∠CDO
所以∠CPO=∠CDO
因为OM/OD=OD/OP,∠MOD=∠DOP
所以△OMD∽△ODP
所以∠ODM=∠OPD
因为∠CPO=∠CDO=∠ODM
所以∠CPO=∠DPO
又因为∠APO=∠BPO
所以∠APO-∠CPO=∠BPO-∠DPO
即：∠APC=∠BPD

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已知抛物线Y的平方=6X,过点M(4,3)作一弦,这条弦恰好被M点平分,求这条弦所在直线方 metalnan1年前1: 飘血的晨曦共回答了23个问题 | 采纳率91.3%

记线段端点为(x1,y1),(x2,y2)
则依题意有
y1^2=6x1 ① (两点在
y2^2=6x2 ② 抛物线上)
x1+x2=4*2 ③ (线段中点为
y1+y2=3*2 ④ M（4,3）)
典型的平方差法
①-②,得
（y1-y2）(y1+y2)=6(x1-x2)
若x1=x2,则y1=-y2,其中点必为（4,0）
故x1!=x2,亦即x1-x2!=0（!=就是不等于）
故有
直线斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=(y1+y2)/6=6/6=1
而中点M显然在直线上
故直线方程为
y=1*(x-4)+3
=>y=x-1

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已知抛物线 y^2=2px(p>0)过定点M(p,0)作一弦PQ,则1/[MP]^2+1/[MQ]^2 已知抛物线 y^2=2px(p>0)过定点M(p,0)作一弦PQ,则1/[MP]^2+1/[MQ]^2 线段mp的平方的倒数 随风飘飘11年前1: yang888 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

设
P(2pmm.2pm)
Q(2pnn,2pn)
PQ:(m+n)y - x -2pmn=0
过M(p,0),代入得
mn = -1/2
MP*MP = (1+(m+n)^2)*(2pm)^2
MQ*MQ = (1+(m+n)^2)*(2pn)^2
1+(m+n)^2 = 1+mm+nn+2mn=mm+nn
=>
1/[MP]^2+1/[MQ]^2 = (mm+nn)/((mm+nn)*4ppmmnn)
=1/(4ppmmnn)
=1/pp

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已知P（4，2）为椭圆 x 2 36 + y 2 9 =1 内一定点，过点P作一弦，使得P为这条弦的中点，则这条弦所在的 已知P（4，2）为椭圆 x 2 36 + y 2 9 =1 内一定点，过点P作一弦，使得P为这条弦的中点，则这条弦所在的直线方程为______． ter221年前1: matchsun 共回答了23个问题 | 采纳率87%

由题意可得所求直线的斜率存在，因此设直线的方程为y-2=k（x-4），
联立直线与椭圆的方程代入可得：（1+4^{_k 2} ）x² +16k（1-2k）x+64k² -64k-20=0，
因为点P为椭圆的弦的中点，
所以
16k(2k-1)
1+4 k 2 =8 ，解得k= -
1
2 ，
所以直线的方程为x+2y-8=0．
故答案为x+2y-8=0．

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（1999•海淀区）已知：如图，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E （1999•海淀区）已知：如图，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E．求证：CB²=CF•CE． 第二帅哥1年前1: 春天谢了共回答了12个问题 | 采纳率83.3%

解题思路：连接BF，证所求的对应边成比例线段所在的三角形相似即可，即证△CBE∽△CFB．
证明：连接FB，（1分）
∵CD过圆心O，且CD⊥AB，
∴

CA=

CB．（2分）
∴∠CBE=∠F．（3分）
∵∠BCE为公共角，
∴△CBE∽△CFB．（4分）
∴[CB/CF]=[CE/CB]．（5分）
∴CB²=CE•CF．（6分）

点评：
本题考点：垂径定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了垂径定理及相似三角形的判定和性质．

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已知双曲线3x^2-4y^2=12中有一弦AB被点P(4,1)平分,求直线AB的方程 byzfy1年前1: 暗器的暗5 共回答了23个问题 | 采纳率87%

y-1=k(x-4)
y=kx+(1-4k)
代入
(3-4k²)x²-8k(1-4k)x+4(1-4k)²-12=0
中点横坐标=(x1+x2)/2=4k(1-4k)/(3-4k²)=4
k=3
所以3x-y-11=0

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由椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的顶点B(0,-b)作一弦BP,求 由椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的顶点B(0,-b)作一弦BP,求弦BP的长的最大值 bez661年前1: 周子渝共回答了11个问题 | 采纳率90.9%

设P(au,bv) ,c是半焦距长
　　则 u^2+v^2=1 且v∈[-1,1]
　　|BP|^2=(au-0)^2+(bv+b)^2
　　=a^2(1-v^2)+b^2v^2+2b^2v+b^2
　　=-c^2v^2+2b^2v+a^2+b^2
　　=-c^2(v-(b/c)^2)^2+(a^2/c)^2
　　若 01 即e∈(0,(√2)/2)时
　　当v=1时 |BP|^2取最大值(2b)^2
　　此时|BP|的最大值2b
　　所以
　　当e∈(0,(√2)/2)时,|BP|的最大值2b；
　　当e∈[(√2)/2,1)时,|BP|的最大值a^2/c.
　　希望对你有点帮助!

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初中升高一的数学几何题⊙O内一弦CD垂直于直径AB,连CO,取CO中点M,连AM延长交圆于E.CB与ED交于N.已知CB 初中升高一的数学几何题 ⊙O内一弦CD垂直于直径AB,连CO,取CO中点M,连AM延长交圆于E.CB与ED交于N.已知CB=4,求BN. 附了图 拜托最好用初中的学了的东西.一定要详细过程!不然不给分的哈~ 谢了! 好的话会加分的! jsczsb1年前4: 2003其其格共回答了15个问题 | 采纳率80%

如图
也可以用三角函数,初中学过吗?正弦定理.只要算就可以了.更简单一些.

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若椭圆b2x2 a2y2=a2b2的一弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在,求证:两斜率之积为-b2/a2. 掌心尘微1年前2: 论剑华山共回答了8个问题 | 采纳率100%

弦AB中点M
k(OM)=yM/xM=[(yA+yB)/2]/[(xA+xB)/2]=(yA+yB)/(xA+xB)
k(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)
b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2
[b^2(xA)^2+a^2(yA)^2]-[b^2(xB)^2+a^2(yB)^2]=0
b^2*(xA+xB)*(xA-xB)+a^2*(yA+yB)*(yA-yB)=0
b^2+a^2*[(yA+yB)/(xA+xB)]*[(yA-yB)/(xA-xB)]=0
k(OM)*k(AB)=-b^2/a^2

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