求双曲正弦函数的反函数

帆_雁2022-10-04 11:39:542条回答

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maozi1168 共回答了14个问题 | 采纳率71.4%
由定义,y=sinhx=[e^x-e^(-x)]/2
同乘2e^x,得2ye^x=e^2x -1
即,e^2x - 2ye^x - 1=0
故,e^x=y +/- √(1+y^2)
又e^x>0,
e^x=y+√(1+y^2),
x=ln[y+√(1+y^2)].
则arcsinhy=x=ln[y+√(1+y^2)]
即arcsinhx=ln[x+√(1+x^2)]
1年前
晾衣架 共回答了16个问题 | 采纳率68.8%
y=shx,一般的求法是,先求出x=f(y)然后将x,y习惯地互换成y=f(x)这里是先互换后再求是一样的,最后就不换了。
1年前

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常数e=limn→∞(1+1n)n=2.718281828459…,定义函数f(x)=ex−e−x2为双曲正弦函数,记为
常数e=
lim
n→∞
(1+
1
n
)n=2.718281828459…
,定义函数f(x)=
exe−x
2
为双曲正弦函数,记为sinhx,定义函数g(x)=
ex+e−x
2
为双曲余弦函数,记为coshx.则以下三个命题正确的是______.(只需填正确命题序号)
(1)cosh(x+y)=coshx•coshy-sinhx•sinhy;
(2)sinh(x+y)=sinhx•coshy+coshx•sinhy;
(3)(sinhx)2-(coshx)2=1.
shining5211年前1
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解题思路:(1)根据题中的新定义分别表示出cosh(x+y),coshx,coshy,sinhx,sinhy,利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法法则计算coshx•coshy-sinhx•sinhy,即可作出判断;(2)根据题中的新定义分别表示出sinh(x+y),coshx,coshy,sinhx,sinhy,利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法法则计算sinhx•coshy+coshx•sinhy,即可作出判断;(3)根据题中的新定义分别表示出sinhx,coshx,利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法法则计算(sinhx)2-(coshx)2,即可作出判断.

(1)cosh(x+y)=
ex+y+e−(x+y)
2,
coshx•coshy-sinhx•sinhy
=
ex+e−x
2•
ey+e−y
2-
ex−e−x
2•
ey−e−y
2
=
ex−y+ey−x
2,
∴cosh(x+y)≠coshx•coshy-sinhx•sinhy,
故本选项错误;
(2)sinh(x+y)=
ex+y−e−(x+y)
2
sinhx•coshy+coshx•sinhy
=
ex−e−x
2•
ey+e−y
2+
ex+e−x
2•
ey−e−y
2
=
ex+y−e−(x+y)
2,
故本选项正确;
(3)(sinhx)2-(coshx)2
=(
ex−e−x
2)2-(
ex+e−x
2)2
=-1≠1,
故本选项错误,
则三个命题正确的是(2).
故答案为:(2)

点评:
本题考点: 两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数.

考点点评: 此题考查了新定义的理解,解答此类题要切实对题中的新定义以正确的理解,这样才能对新定义下的运算熟练运用,注意新定义下对普通运算不一定成立,比如本题(1)对于两角和与差的余弦函数公式不成立,灵活运用题中的新定义是解本题的关键.

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你看双曲的定义式就知道了,sh = ex-e-x / 2
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这个是非欧几何里面常用的.
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y=arshx
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在技术工程中,经常用到双曲正弦函数shx=ex−e−x2和双曲余弦函数chx=ex+e−x2.其实双曲正弦函数和双曲余弦
在技术工程中,经常用到双曲正弦函数shx=
exe−x
2
和双曲余弦函数chx=
ex+e−x
2
.其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似,比如关于正、余函数有cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny成立,而关于双曲正、余弦函数满足cb(x+y)=chxchy+shxshy.请你类比正弦函数和余弦函数关系式,写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式______.
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解题思路:注意到双曲正弦函数和双曲余弦函数平方后的相同项,即可得到新的关系式.

sh2x=[1/4](e2x+[1
e2x-2)
ch2x=
1/4](e2x+
1
e2x+2)
∴sh2x-ch2=-1
∴ch2x-sh2x=1
故答案为:sh2x-ch2=-1,ch2x-sh2x=1

点评:
本题考点: 类比推理.

考点点评: 本题为开放题型,考查类比推理,考查分析问题、解决问题的能力.

在技术工程中,经常用到双曲正弦函数shx=ex−e−x2和双曲余弦函数chx=ex+e−x2.其实双曲正弦函数和双曲余弦
在技术工程中,经常用到双曲正弦函数shx=
exe−x
2
和双曲余弦函数chx=
ex+e−x
2
.其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似,比如关于正、余函数有cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny成立,而关于双曲正、余弦函数满足cb(x+y)=chxchy+shxshy.请你类比正弦函数和余弦函数关系式,写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式______.
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解题思路:注意到双曲正弦函数和双曲余弦函数平方后的相同项,即可得到新的关系式.

sh2x=[1/4](e2x+[1
e2x-2)
ch2x=
1/4](e2x+
1
e2x+2)
∴sh2x-ch2=-1
∴ch2x-sh2x=1
故答案为:sh2x-ch2=-1,ch2x-sh2x=1

点评:
本题考点: 类比推理.

考点点评: 本题为开放题型,考查类比推理,考查分析问题、解决问题的能力.

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根据性质:原函数与反函数的奇偶性、单调性均相同.
shx=(e^x-e^-x)/2
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因此函数shx为奇函数
求该函数的一阶微商sh'x=(e^x+e^x)/2=e^x>0,故该函数在R上为增函数
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性质比较相似.但是形式可完全不同.不管从图象和性质转化上,还是求导上都和正弦函数有相似的地方.但是不同.4
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