f（x）=x²-2x+1+alnx有两个极值点x1,x2,且x1＜x2,则

（Ⅰ）由题意，f（x）=x²-2x+1+alnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x-2+[a/x]=
2x2−2x+a
x；
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的正实根x₁，x₂，
∵2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，解得a＜[1/2]；
方程的两根为x₁=
1−
1−2a
2，x₂=
1+
1−2a
2；
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=[a/2]＞0，
∴a＞0；
综上，a的取值范围为（0，[1/2]）．
（Ⅱ）∵0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，
∴[1/2]＜x₂＜1，a=2x₂-2x
22，
∴f（x₂）=x
22-2x₂+1+（2x₂-2x
22）lnx₂．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中[1/2]＜t＜1，
则g′（t）=2（1-2t）lnt．
当t∈（[1/2]，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（[1/2]，1）上是增函数．
∴g（t）＞g（[1/2]）=[1−2ln2/4]．
故f（x₂）=g（x₂）＞[1−2ln2/4]．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；不等式的证明．

考点点评： 本题考查了利用函数的性质求参数取值与利用导数证明不等式成立的问题，是容易出错的题目．

∵f（x）=x²-2x+1+alnx的定义域为（0，+∞）．
∴f′（x）=2x-2+[a/x]=
2x2−2x+a
x，
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
∴2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即a＜[1/2]，
∴x₁=
1−
1−2a
2，x₂=
1+
1−2a
2．①
又∵x₁+x₂=1，x₁•x₂=[a/2]＞0，
∴[1/2]＜x₂＜1，a=2x₂-2x22，
∴f（x₂）=x22-2x₂+1+（2x₂-2x22）lnx₂．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中[1/2]＜t＜1，
则g′（t）=2（1-2t）lnt．
当t∈（[1/2]，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（[1/2]，1）上是增函数．
∴g（t）＞g（[1/2]）=[1−2ln2/4]．
即f（x₂）=g（x₂）＞[1−2ln2/4]．
故选：C．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值以及利用导数证明不等式成立的问题，是易错题．

由题意，f（x）=x²-2x+1+alnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x-2+[a/x]=
2x2−2x+a
x；
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的正实根x₁，x₂，
∵2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，解得a＜
1
2，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=[a/2]＞0
∴0＜a＜
1
2，x₁=
1−
1−2a
2，
∵0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1
∴0＜x₁＜[1/2]，a=2x₁-2x12，
∴f（x₁）=x-2x₁+1（2x₁-2x12）lnx₁．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中0＜t＜[1/2]，
则g′（t）=2（1-2t）lnt．
当t∈（0，[1/2]）时，g′（t）＜0，
∴g（t）在（0，[1/2]）上是减函数．
∴g（t）＞g（[1/2]）=[1+2ln2/4]，
故f（x₁）=g（x₁）＞[1+2ln2/4]，
故答案为：（[1+2ln2/4]，+∞）

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查了利用函数的性质求参数取值与利用导数求取值范围的问题，是容易出错的题目．