柯西不等式的条件有没有要求里面的a1-an,b1-bn全是正数?

(3x+6y+5z)^2

(at1＋bt2)(bt1＋at2)
=(at1＋bt2)(at2＋bt1)
>=[a*根号(t1t2) b*根号(t1t2)]^2
=[(a＋b)(根号t1t2)]^2
=t1t2
当且仅当a=b
即 a=b=1/2时该不等式取“＝”
楼主手机打字很辛苦啊

其实上,这中题目是有定理的（总共有3个）：
1.ax+by=c(a,b≠0).如果a,b有公约数d,而c也有公约数d,这个方程有整数解；如果a,b有公约数d,而c没有公约数d,则这个方程没有整数解.
（这个方程2X+5Y=20,就属于第一种情况：有整数解）
2.若{x=x0,y=y0（这里x0和y0都是一个有理数）是方程ax+by=c（ab互质）的一组整数解,则此方程的所有整数解为：
{x=x0-bt,y=y0+at（t为整数）
3.如果ax+by=c,a>0,b>0,c>0,而a+b>c,则此方程无解.
这就是3个定理,我们可以从2中得到答案.
先假设x的值为5,则y=2
把这个解带进那个式子：“{x=x0-bt,y=y0+at（t为整数）”中,可以得到一些
x=5-5t,y=2+2t
当t=1时,
x=0,y=4(这是一组新的解）
上面的解为：x=5,y=2
因此,xy的最大值为20

（a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2当ad=bc时取等号 可以推广到(a1^2+a2^2+.......+an^2)(b1^2+b2^2+.......+bn^2)>=(a1b1+a2b2+......anbn)^2 当a1/b1=a2/b2=......=an/bn时取等号

a与b都向量,柯西不等式的向量形式是|a·b|≤|a||b|

设f（x）=（a1x-b1）²+(a2x-b2)²+（a3x-b3）²+.+（anx-bn）²
=（a1²+a2²+.+an²）-2（a1b1+a2b2+.+anbn）x+(b1²+.+bn²）

△≤0
即证
望采纳!

分析：利用柯西不等式.注意要整体代入.
证明：（x+2y）²≤（2x²+3y²）（1/2+4/3）≤6×（1/2+4/3）=3+8=11
∴x+2y≤√11
这是最简单的方法.
还可以用以下方法
1.几何法.将符合已知条件的（x,y）作为平面直角坐标系上的点,则它表示一个椭圆及其围成的
区域.待证式表示一族直线.于是问题化为直线与椭圆相切问题,求导或判别式解决.
2.换元成三角函数.其实就是椭圆的参数方程.
3.由已知,将y表示成x的函数,代入待证式中,利用函数知识解决

[∫(f(x)g(x))dx]^2≤(∫[f(x)]^2dx)*(∫[g(x)]^2dx)
在高年级学了赋范空间,前面表示∫(f(x)g(x))dx表示f(x)与g(x)的内积
∫[f(x)]^2dx ∫[g(x)]^2dx表示f(x)和g(x)的范数(相当于长度)的平方.
这类似于向量
(a,b)^2≤|a|^2|b|^2

(1)二维形式
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc
(2)三角形式
√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a+c)^2＋(b+d)^2] 等号成立条件：ad=bc 注：“√”表示平方根,
(3)向量形式
|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)（n∈N,n≥2） 等号成立条件：β为零向量,或α=λβ（λ∈R）.
(4)二维形式的证明
(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R) ＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2 ＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2 ＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2 ≥(ac＋bd)^2,等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立.
（5）二维形式几何意义
你百度一下,百度文库里有

114题

原式=√（27+x）+√{13+2√[x(13-x)]}（a+b≥2√ab）
》√27+√13
当x=0时 取等号.此为最小值y=√27+√13.
求最大值用柯西不等式
y²=（√（x+27）+√（13-x）+√x）²
≤（1+1/3+1/2）[（x+27）+3（13-x）+2x）]=121
y≤11,当x=9时,最大值y=11.

利用柯西不等式
[X^4/(2+y^2-z) +y^4/(2+z^2-x) +z^4/(2+x^2-y)] (2+y^2-z +2+z^2-x +2+x^2-y)>=(x^2+y^2+z^2) 显然x=y=z时等号成立
由于x+y+z=1,带入第二个括号(2+y^2-z +2+z^2-x +2+x^2-y),得
[X^4/(2+y^2-z) +y^4/(2+z^2-x) +z^4/(2+x^2-y)] (5+x^2+y^2+z^2)>=(x^2+y^2+z^2)
整理上述不等式可得：
[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]
>=(x^2+y^2+z^2)/(5+x^2+y^2+z^2)=1--5/(5+x^2+y^2+z^2)
即[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]>=1--5/(5+x^2+y^2+z^2)
再由柯西不等式可得(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)>=(x+y+z)^2暨(x^2+y^2+z^2)>=1/3
等号成立当且仅当x=y=z
再把(x^2+y^2+z^2)>=1/3带入此式：[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]>=1--5/(5+x^2+y^2+z^2)可得该式>=1/48
两个大于等于号的成立条件都是x=y=z,故而这个连续不等式是可以的.
所以[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]>=1/48

可以啊,很容易.
柯西不等式可以简单地记做：平方和的积 ≥ 积的和的平方.它是对两列数不等式.取等号的条件是两列数对应成比例.
如：两列数
0,1
和
2,3
有
(0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.
形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数,这个辅助函数是二次函数,于是用二次函数取值条件就得到Cauchy不等式.
还有一种形式比较麻烦的,但确实很容易想到的证法,就是完全把Cauchy不等式右边-左边的式子展开,化成一组平方和的形式.
我这里只给出前一种证法.
Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi,则有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令
f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有
Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
学了更多的数学以后就知道,这个不等式可以推广到一般的内积空间中,那时证明的书写会更简洁一些.我们现在的证明只是其中的一个特例罢了.

1.数形结合.
y^2-2ax0 ,圆外面.
注意到圆和抛物线“相切”（其实只用说明只有一个交点即可.）
所以答案为：抛物线出去圆.（注意下边界不要出错）
2.即考虑[x/y^2+z^2)+(y/x^2+z^2)+(z/y^2+x^2]）*根号(x^2+y^2+z^2)
的最小值.
由于是齐次式,不妨假设x^2+y^2+z^2=1
于是成为：在条件x^2+y^2+z^2=1 下,求 [x/(1-x^2)+ y/(1-y^2)+ z/(1-z^2)]的最小值.这是很熟悉的：
注意到 x(1-x^2)在区间（0,1）上的最大值在 根号（3）／3 处取到：
2*〔x(1-x^2)〕^2=(2x^2)(1-x^2)(1-x^2)= 3倍根号(3)/2 * x^2
同理易得其他.最后由x^2+y^2+z^2=1 得出答案：3倍根号(3)/2
3.很常规的思想：利用xy=2/3 *[x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)]
考虑x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)的最小值：
后面是老题：由于其次式,不妨假设x^2+y^2+z^2=1.
于是上式=1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)-3
注意到[1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)][(y^2 + z^2)+(x^2 + z^2)+ (y^2 + x^2)]>=9 (这就是你所谓的柯西不等式)
于是1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)>= 9/2
于是得到x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)>=3/2
最后得到题目中式子>=1
等号在x=y=z时取到

设所有均为正数
ax+by≤√(mn),当x/a=y/b=k时取得
令a=b=√(2n)/2,则x=y=√(2m)/2时取得
而均值不等式ax+by≤(a²+x²)/2+(b²+y²)/2=(a²+b²)/2+(x²+y²)/2=(m+n)/2
要取得等号,必须a=x.b=y,进而推出,m=n
所以此问题,只有当m=n时,均值和柯西均可,此时√(mn=(m+n)/2
当m≠n时,均值不等式的等号条件无法取得,故柯西不等式做出来正确

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的. 柯西不等式的一般证法有以下几种： ■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论.

柯西不等式(a2+b2+…)(x2+y2+…)>=(ax+by+…)2
上式中2是平方,字体不好改,见谅
[(7-x2)+(x2+1)](1+1)>={根号（7-x²) + 根号（x²+1）}2
故 根号（7-x²) + 根号（x²+1）

三维的是： (a1*a2+b1*b2+c1*c2)^2

a²+b²≥2ab,b²+c²≥2bc,a²+c²≥2ac
a²+b²+b²+c²+a²+c²≥2ab+2bc+2ac
a²+b²+c²≥ab+bc+ac
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≥3(ab+bc+ac)=3
a+b+c≥√3

用向量来证.
m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)
mn=a1b1+a2b2+.+anbn=(a1^+a2^+.+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX小于等于1,所以：a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^+a2^+.+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.+bn^)^1/2
这就证明了不等式．

柯西不等式：
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
1.
((1/2)^2+(2/3)^2)((2x)^2+(3y)^2)≥(1/2*2x+2/3*3y)^2
(1/4+4/9)*36≥(x+2y)^2
(x+2y)^2≤9+16=25
x+2y≤5
当1/2/(2x)=2/3/(3y)即8x=9y即x=9/5,y=8/5时等号成立
所以x+2y的最大值为5
2.
(3^2+2^2)(x^2+y^2)≥(3x+2y)^2
(9+4)(x^2+y^2)≥36
x^2+y^2≥36/13
当3/x=2/y即x=18/13,y=12/13时等号成立
所以x^2+y^2的最小值为36/13
3.
(3^2+(√2)^2)(x^2+(√2*y)^2)≥(3x+2y)^2
(9+2)(x^2+2y^2)≥36
x^2+2y^2≥36/11
当3/x=√2/(√2*y)即x=18/11,y=6/11时等号成立
所以x^2+2y^2的最小值为36/11
4.
设a=√(x-1),b=√(10-2x)
则2a^2+b^2=2x-2+10-2x=8
y=5a+b
((5√2/2)^2+1^2)((√2a)^2+b^2≥(5a+b)^2
(25/2+1)*8≥(5a+b)^2
(5a+b)^2≤100+8=108
5a+b≤6√3
y≤6√3
当5√2/2/(√2a)=1/b即2a=5b即2√(x-1)=5√(10-2x)即x=127/27时等号成立
所以y=5√(x-1)+√(10-2x)的最大值为6√3

这道题我只用基本不等式,不用柯西不等式,照样证明如下：
a+b+c=1
两边平方得：
(a+b+c)²=1
a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1 （1）
根据基本不等式：
a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
a²+c²≥2ac
相加得：
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ac)
a²+b²+c²≥ab+bc+ac代入（1）式得：
a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≥3(ab+ac+bc)
即：ab+ac+bc≤1/3
a²+b²+c²=1-2（ab+ac+bc）≥1-2•（1/3）=1/3
即证：a²+b²+c²≥1/3

a+b+c>=3开立方根abc

1.已知a>b>c>d 求证1/(a-b)+1/(b-c）+1/(c-a)≥9/(a-d)
2.已知a,b,c>0且满足a+b+c=1 求证a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)/3
3.若a,b,c>0,证明a/（b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1
只需证明 （a-d) [1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)] >= 9
[1/(a-b) +1/(b-c) +1/(c-d)](a-d)
=[1/(a-b) +1/(b-c) +1/(c-d)](a-b+b-c+c-d)
= [1 + (b-c)/(a-b) + (c-d)/(a-b)] + [1 + (a-b)/(b-c) + (c-d)/(b-c)] + [1 + [(a-b)/(c-d) + (b-c)/(a-d)]
= 3 + [(b-c)/(a-b) + (a-b)/(b-c)] + [(c-d)/(a-b) + (a-b)/(c-d)] + [(c-d)/(b-c) + (b-c)/(c-d)]
≥ 3 + 2 + 2 + 2
= 9
所以 ：1/（a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)>=9/(a-d)
3.若a,b,c>0,证明a/（b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1
利用Cauchy-Schwarz不等式做
[a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)]*(3ab+3bc+3ac)
= [a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)]*[a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b)]
≥(a+b+c)^2
a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b）≥(a+b+c)^2/(3ab+3bc+3ac)
因为 (a+b+c)^2 ≥ 3ab+3bc+3ac 所以
a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1,等号当且仅当 a=b=c时成立

柯西不等式形式为：
(a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=an/bn时等号成立
设n=k时该不等式成立,则有
(a12+a22+a32+…+ak2)(b12+b22+b32+…+bk2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)2
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=ak/bk时等号成立
则当n=k+1时,不等式应为：
(a12+a22+a32+…+ak+12)(b12+b22+b32+…+bk+12)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+ak+1bk+1)2
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=ak+1/bk+1时等号成立
此不等式即：
[(a12+a22+a32+…+ak2)+ak+12][(b12+b22+b32+…+bk2)+bk+12]≥[(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)+ak+1bk+1]2
(a12+a22+a32+…+ak2)(b12+b22+b32+…+bk2)
+ak+12(b12+b22+b32+…+bk2)+bk+12(a12+a22+a32+…+ak2)
+ak+12bk+12≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)2+ak+12bk+12+2ak+1bk+1(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)
因为已有
(a12+a22+a32+…+ak+12)(b12+b22+b32+…+bk+12)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+ak+1bk+1)2
所以只须证
ak+12(b12+b22+b32+…+bk2)+bk+12(a12+a22+a32+…+ak2)+ak+12bk+12≥ak+12bk+12+2ak+1bk+1(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)
即
ak+12(b12+b22+b32+…+bk2)+bk+12(a12+a22+a32+…+ak2)≥2ak+1bk+1(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)
ak+12b12+ak+12b22+ak+12b32+…+ak+12bk2
+bk+12a12+bk+12a22+bk+12a32+…+bk+12ak2≥2ak+1bk+1a1b1+2ak+1bk+1a2b2+2ak+1bk+1a3b3+…+2ak+1bk+1akbk
ak+12b12+bk+12a12+ak+12b22+bk+12a22+ak+12b32+bk+12a32+…+ak+12bk2+bk+12ak2
≥2(ak+1b1)(bk+1a1)+2(ak+1b2)(bk+1a2)+2(ak+1b3)(bk+1a3)+…+2(ak+1bk)(bk+1ak)
ak+12b12+bk+12a12+ak+12b22+bk+12a22+ak+12b32+bk+12a32+…+ak+12bk2+bk+12ak2
-2(ak+1b1)(bk+1a1)-2(ak+1b2)(bk+1a2)-2(ak+1b3)(bk+1a3)-…-2(ak+1bk)(bk+1ak)≥0
[ak+12b12-2(ak+1b1)(bk+1a1)+bk+12a12]+[ak+12b22-2(ak+1b2)(bk+1a2)+bk+12a22]+…+[ak+12bk2-2(ak+1bk)(bk+1ak)+bk+12ak2]≥0
(ak+1b1-bk+1a1)2+(ak+1b2-bk+1a2)2+…+(ak+1bk-bk+1ak)2≥0
显然,若干实数的平方和一定为非复数
若等号成立,则
ak+1b1-bk+1a1=0
ak+1b2-bk+1a2=0
……
ak+1bk-bk+1ak=0
得a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=ak+1/bk+1
所以,若柯西不等式在n=k时成立,在n=k+1时也成立
若n=1,则不等式变为
a12b12≥(a1b1)2
显然成立,所以对于n取的一切正整数,柯西不等式都成立
证明完毕,得：
柯西不等式
(a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=an/bn时等号成立

先证明恒等式
1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)=1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)-1/(2n)
实际容易证明,你可用数学归纳法!也可以
令H(n)=1+1/2+1/3+…+1/n
F(n)=1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)-1/(2n)
则H(2n)-F(n)=1+1/2+1/3+…+1/n=H(n)
F(n)=H(2n)-H(n),等式得证!
现在以1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)代替原来中间部分
左边容易证明,因为F(n)单调递增,F(n)≥F(2)=1/3+1/4=7/12＞4/7
对于右边,可以用柯西不等式

（一）先来个小的.关于x的一元二次方程（a^2+b^2)x^2-2(ac+bd)x+(c^2+d^2)=0.可化为(ax-c)^2+(bx-d)^2=0.故△≤0.即（a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2.(二）再来个大的,关于x的一元二次方程(a1^2+a2^2+...+an^2)x^2-2(a1b1+a2b2+...+anbn)x+(b1^2+b2^2+...+bn^2)=0.可化为(a1x-b1)^2+...+(anx-bn)^2=0.===>判别式为非正,故之.

我没用柯西不等式
用的余弦定理
q>p

摘要: 如果某一知识跟很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系,那么这个知识肯定是很重要的,而二次型、欧式空间内积、詹森不等式都是高等数学中代数、实函、微积分的基本内容.本文运用二次型理论、欧式空间中内积性质和詹森(Jensen)不等式三种方法证明柯西不等式,并简要说明柯西不等式与高等数学之间的联系.（剩余2063字）

由函数f(x)=x^2图像可证得对于任意:
a,b>=0;a+b恒定,f(a)+f(b)

用柯西不等式
因为（mx+ny）2

二维形式
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc
扩展:（a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+b3^2+...bn^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2 等号成立条件：a1:a2:...:an=b1:b2...:bn
三角形式
√(a＋b)＋√(c＋d)≥√[(a-c)＋(b-d)]
等号成立条件：ad=bc (注：“√”表示平方根,)
向量形式 |α||β|≥|α·β|,α=(a1,a,…,an),β=(b1,b,…,bn)（n∈N,n≥2）
等号成立条件：β为零向量,或α=λβ（λ∈R）.

可以用Cauchy不等式.
首先条件ab-4a-b-1 = 0可变为(a-1)(b-4) = 5,且由a-1 > 0可得b-4 > 0.
于是由Cauchy不等式,(a+1)(b+2) = ((a-1)+2)((b-4)+6) ≥ (√((a-1)(b-4))+√(2·6))²
= (√5+2√3)² = 17+4√15.
又可知当a = 1+√(5/3),b = 4+√15时等号成立 (由取等时应有b-4 = 3(a-1)代回条件解得).
即(a+1)(b+2)的最小值就是17+4√15.

用柯西不等式：2(a²+b²) = (a²+b²)+(a²+b²) ≥ (a+b)² = 1 ,所以 a²+b² ≥ 1/2 ；
(a+b)² = a²+b²+2ab ≥ 2ab+2ab = 4ab ,
所以,1/ 4 ≥ ab 即1/ ab ≥4
(a+1/a)²= a²+1/a²+2 (b+1/b)²=b²+1/b²+2
所以,原式= a²+b²+1/a²+1/b²+4
= (a²+b²)+(a²+b²)/(ab)²+4
≥ 1/2+(1/2)*4²+4 = 25/2

再由均值不等式得a*(b²+c²）≥2abc=2 同理其他两项也是≥2abc=2
你这一步得到的是分母≥8,那么整个右边应该≤3/2,哈哈,不等号反向了,错就错在了这里
均值不等式你没用错,只是你打错了,应该是m+n+o≥3³√mno,对吧
顺便说一下,你怎么不自己问老师呢,学习要主动嘛
最后祝楼主新年快乐,记得采纳^_^

柯西不等式
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
等号成立条件：ad=bc
证明
(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R)
＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2
＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2
＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2
≥(ac＋bd)^2,等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立.
根据你题目意思,a、b≥0,为正整数
原式=（√a^2+√b^2）（1/√a^2+√n^2/√b^2）
≥（1+√n）^2
n=1时,原式有最小值4

克西不等式：
在上式中 另

则有

应该是求证：［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］［1/a(1)＋1/a(2)＋1/a(3)＋······＋1a(n)］≧n^2.
［证明］
构造二次函数：y＝（√kx＋1/√k）^2＝kx^2＋2x＋1/k,其中k是正数.
显然有：kx^2＋2x＋1/k≧0.
依次令k＝a(1)、a(2)、a(3)、a(4)、······、a(n),得：
a(1)x^2＋2x＋1/a(1)≧0,
a(2)x^2＋2x＋1/a(2)≧0,
a(3)x^2＋2x＋1/a(3)≧0,
······
a(n)x^2＋2x＋1/a(n)≧0.
将以上n个不等式左右分别相加,得：
［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］x^2＋2nx＋［1/a(1)＋1/a(2)＋1/a(3)＋······＋1a(n)］≧0.
令f（x）＝［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］x^2＋2nx＋［1/a(1)＋1/a(2)＋1/a(3)＋······＋1a(n)］
∵k＞0,∴a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)＞0,
∴f（x）是一条开口向上的抛物线,
∴要满足f（x）≧0,就需要：
（2n）^2－4［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］［1/a(1)＋1/a(2)＋1/a(3)＋······＋1a(n)］≦0,
∴［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］［1/a(1)＋1/a(2)＋1/a(3)＋······＋1a(n)］≧n^2.
注：括号“( )”里的数字是下标.

全部打开,不能直接用柯西不等式
（a²+b²)+[(1/a)²+(1/b)²]≥17/2
首先（a²+b²)（1+1）≥（a+b)²=1
推出（a²+b²)≥1/2
现在只需要证明(1/a)²+(1/b)²≥8
用两次柯西不等式(1+1)[(1/a)²+(1/b)²]≥(1/a+1/b)²
有(1/a+1/b)(a+b)≥(1+1)²=4
反推回去,可以得到(1/a)²+(1/b)²≥8
得证!
希望对你有启示,一定要沿着取等号的条件a=b=1/2用柯西

你不让 f（x）=0怎么会有△呢

一定要用柯西不等式做吗?不知道柯西不等式怎么做.
第一问：两个数列相加可得an=2^n+(-1)^n+1
第二问：不等式右边可以写成1/2^k+1/2^k+1,将幂次相同的数移到同侧,可证.我也不知直接做差做不做的出,如果能做,这样就多余了.
第三问,将第二问的结论代入可证.

构造f(x)=(a1x-b1)^2+(a2x-b2)^2=(a1^2+a2^2)x^2-2(a1b1+a2b2)x+b1^2+b2^2>=0恒成立,则方程f(x)=0判别式

柯西不等式么.代数的,积分的,概率的.

∑是数据求和的意思(连加),另外∏是数据求积的意思(连乘).
k=1表示从1开始运算,符号上面的80表示一直加到80.
这个符号在人教版初中课本中会出现.

利用柯西不等式,
∵｛[a/√（2-a）]²＋[b/√（2-b）]²｝×｛[√（2-a）]²＋[√（2-b）]²｝≥（a＋b）²
∴a²/(2-a)+b²/(2-b)≥（a＋b）²/（2-a＋2-b） ∵a+b=2 a,b∈R+
∴ a²/(2-a)+b²/(2-b)≥2

2x+4≥0,x≥-2
x+3≥0,x≥-3
x≥-2
√(2x+4)-√(x+3)≥0
√(2x+4)≥√(x+3)
2x+4≥x+3
x≥-1
√(2x+4)-√(x+3)＜0
√(2x+4)＜√(x+3)
2x+4＜x+3
x＜-1
∴当x取得最小值时,y有最小值
x=-2,y=-1
y∈[-1,+∞]

求最小值时是证明函数≥常数,右边的是常数.