设点P(m,n)在圆x2+y2=2上,l是过点P的圆的切线,切线l与函数y=x2+x+k(k∈R)的图象交于AB两点,点

eclife2022-10-04 11:39:541条回答

设点P(m,n)在圆x2+y2=2上,l是过点P的圆的切线,切线l与函数y=x2+x+k(k∈R)的图象交于AB两点,点O是坐标原点,且△OAB是以AB为底的等腰三角形;
(1)试求出P纵坐标n足的等量关系;
(2)若将(1)中的等量关系右边化为零,左边关于n代数式可表为(n+1)2(ax2+bx+c)的形式,且满足条件的等腰三角形有有3个,求k的取值范围.

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haiyoujingshen 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%
解题思路:①写出过P的切线,然后分别设出A,B两个点的坐标.根据是已知题意列出3个等式,然后解出结果..通过P点纵坐标为n,代入P中求出n的等量关系.
②按照①的结果,通过把等量关系右边化为零,左边关于n的代数式表示为(n+1)2(ax2+bx+c)的形式,化简.然后根据满足条件的等腰三角形有3个,分别判断△>0是否成立.经过计算分别求出K的取值范围即可.

(1)△OAB是以AB为底的等腰三角形,∴P是AB的中点.
过P点的切线:mx+ny=2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=x12+x1+k①,y2=x22+x2+k②,x1+x2=2m.
②-①:y2-y1=(x2+x1)(x2-x1)+x2-x1

y2−y1
x2−x1=x1+x2+1=2m+1,
∴-[m/n=2m+1,
∴m=
−n
2n+1],
(2)∵m2+n2=2,
∴([−n/2n+1])2+n2=2,
∴4n4+4n3-6n2-8n-2=0
即2n4+2n3-3n2-4n-1=0.
由已知,2n4+2n3-3n2-4n-1
=(n+1)2(an2+bn+c)=(n2+2n+1)(an2+bn+c)
=an4+(b+2a)n3+(c+a+2b)n2+(2c+b)n+c,


a=2
b+2a=2
c+a+2b=−3
2c+b=−4
c=−1,
∴a=2,b=-2,c=-1,
由2n4+2n3-3n2-4n-1=(n+1)2(2n2-2n-1)=0
∴n+1=0或2n2-2n-1=0,
∴n=-1或n=

3
2,


m=−1
n=−1或

点评:
本题考点: 圆方程的综合应用.

考点点评: 本题考查直线与圆的关系的应用,通过直线与圆相切,对关系式进行分析,属于难题.

1年前

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5

5=1,则易知弦心距所在直线与AO的夹角是45°,则

OA•

OB=|

OA|•

|OB|cos90°=0
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2
2
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2
,e=
2
2
,c=1,b2=1.由此可知椭圆C的标准方程为
x2
2
+y2=1

(2)由题意知直线OQ的方程为y=2x,又椭圆的右准线方程为x=2,所以Q(2,4),kPQ
4−1
2−(−1)
=1
.由此可知OP⊥PQ.所以直线PQ与圆O相切.

(1)由题意,得a=
2,e=

2
2,
∴c=1,∴b2=1.
所以椭圆C的标准方程为
x2
2+y2=1.(6分)
(2)∵P(-1,1),F(1,0),
∴kPF=−
1
2,∴kOQ=2.
所以直线OQ的方程为y=2x.(10分)
又椭圆的右准线方程为x=2,所以Q(2,4),所以kPQ=
4−1
2−(−1)=1.
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nx^2+(m+n)x+kn-(m^2+n^2)=0

nx^2+(m+n)x+kn-2=0 (*)
当n=0时,即斜率不存在时,l不可能与抛物线有两个交点,所以,n不为0,即L的斜率一定存在
于是
设A(x1,y1),B(x2,y2)
A、B在抛物线上,所以y1=x1^2+x1+k (a)
y2=x2^2+x2+k (b)
(a)-(b)整理得:
(y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)+1
=2m+1
所以L方程可以写为 y-n=(2m+1)(x-m)
由(*)
x1+x2=-(m+n)/n,x1*x2=(kn-2)/n
y1+y2=x1^2+x2^2+(x1+x2)+2k
=(x1+x2)^2+(x1+x2)+2k-2x1*x2
=
又 k=2,且p(m,n)恰为AB中点,
所以,x1+x2=2m,即-(m+n)/n=2m
y1+y2=2n,即
整理得 2mn=-(m+n)
而P在圆上,所以m^2+m^2=2
联立求得
mn=1或-1/2 (**)//结果不一定正确,请你自己计算,这只是方法
又Δ=(m+n)^2-4n(2n-2)>0
即,mn
已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A.B,o是坐标原点,|向量OA+OB|≥|向量AB|,实数m取值
已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A.B,o是坐标原点,|向量OA+OB|≥|向量AB|,实数m取值范围是
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由 |OA+OB|≥|AB|=|OB-OA| 两边平方得
OA^2+2OA*OB+OB^2≥OA^2+OB^2-2OA*OB ,
所以可得 OA*OB≥0 ,
将 y= -x-m 代入圆的方程得 x^2+(-x-m)^2=2 ,
化简得 2x^2+2mx+m^2-2=0 ,
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
判别式=4m^2-8(m^2-2)>0 ,解得 -2
y=kx-根号2与圆x2+y2=2相交于P,Q两点,且角POQ=120度(其中O为),则K=
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firebird2007 共回答了24个问题 | 采纳率91.7%
作图,圆是以原点为圆心,√2为半径的圆,∴PQ与圆的一个交点是P﹙0,-√2﹚,另一个交点Q在圆周上,又∵∠POQ=120°,∴∠OPQ=∠OQP=30°,∴PQ与X轴所交的倾斜角分别是60°与120°,∴PQ的斜率k=tan60°与tan120°=√3与-√3
已知直线l:X-y+1=0,⊙O:x2+y2=2上的任意一点P到直线l的距离为d.当d取得最大时对应P的坐标(m,n),
已知直线l:X-y+1=0,⊙O:x2+y2=2上的任意一点P到直线l的距离为d.当d取得最大时对应P的坐标(m,n),设g(x)=mx+[n/x]-2lnx.
(1)求证:当x≥1,g(x)≥0恒成立;
(2)讨论关于x的方程:mx+
n
x
−g(x)=2x3−4ex2+tx
根的个数.
斐哥1年前1
zqw_mmc 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
解题思路:首先(1)求证函数恒成立的问题,可以根据求导函数来判断函数的单调性,求得最值,然后直接求得结果.
(2)讨论关于x的方程根的个数可以求导函数,然后判断其单调性后,分段讨论在各个区间根的情况.

(1)由题意得P(1,-1),
∴m=1,n=-1∴g(x)=mx+
n
x−2lnx=x−
1
x−2lnx
∴g′(x)=1+
1
x2−
2
x=
x2−2x+1
x2=
(x−1)2
x2≥0,
∴g(x)在[1,+∞)是单调增函数,
∴g(x)≥g(1)=1-1-2ln1=0对于x∈[1,+∞)恒成立.
(2)方程mx+
n
x−g(x)=2x3−4ex2+tx;
∴2lnx=2x3-4ex2+tx
∵x>0,∴方程为[2lnx/x=2x2−4ex+t
令L(x)=
2lnx
x],H(x)=2x2-4ex+t,
∵L′(x)=2
1−lnx
x2,当x∈(0,e)时,L′(x)≥0,
∴L′(x)在(0,e]上为增函数;x∈[e,+∞)时,L′(x)≤0,
∴L′(x)在[0,e)上为减函数,
当x=e时,L(x)max=L(e)=
2
e
H(x)=2x2-4ex+t=2(x-e)2+t-2e2
∴可以分析①当t−2e2>
2
e,即t>2e2+
2
e时,方程无解.
②当t−2e2=
2
e,即t=2e2+
2
e时,方程有一个根.
③当t−2e2<
2
e,即t<2e2+
2
e时,方程有两个根.

点评:
本题考点: 点到直线的距离公式;函数恒成立问题;根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 此题主要考查函数恒成立的问题的证明及根存在性及根个数的判断问题,其中应用到用导函数求单调性极值的思想,有一定的计算量,属于综合性试题.

以平面直角坐标系的原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,则圆x2+y2=2上的点到曲线ρcosθ+ρsinθ=
以平面直角坐标系的原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,则圆x2+y2=2上的点到曲线ρcosθ+ρsinθ=4(ρ,θ∈R)的最短距离是
2
2
zhj1320061年前1
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解题思路:将曲线ρcosθ+ρsinθ=4(ρ,θ∈R)化为直角坐标方程,可知两曲线分别为圆与直线,则圆Cx2+y2=2上的点到曲线ρcosθ+ρsinθ=4(ρ,θ∈R)的最短距离是圆心到直线的距离减去半径,即可得到答案.

将曲线ρcosθ+ρsinθ=4(ρ,θ∈R)化为直角坐标方程x+y=4,
∴圆x2+y2=2上的点到曲线ρcosθ+ρsinθ=4(ρ,θ∈R)的最短距离是圆心到直线的距离减去半径,
∵圆x2+y2=2的圆心(0,0)到直线x+y=4的距离为2
2,
故圆上的点到直线x+y=4的距离的最小值为
2.
故答案为:
2.

点评:
本题考点: 简单曲线的极坐标方程.

考点点评: 本题考查了以参数方程形式表示的曲线的之间的最短距离,可以转化为普通方程表示的曲线之间的最短距离.

如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A、B两点,P在圆O上运动(不与A、B重合),过P作直线l1,OS垂直于l1交直线
如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A、B两点,P在圆O上运动(不与A、B重合),过P作直线l1,OS垂直于l1交直线l2:x=-3于点S.
(1)求证:“如果直线l1过点T(-1,0),那么
OP
PS
=1
”为真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
_xmc2183c_e04821年前1
clairelee 共回答了26个问题 | 采纳率96.2%
解题思路:(1)设P(x0,y0),则x02+y02=2,当x0=-1时,求出S的坐标,化简
OP
PS
的解析式.当x0≠-1时,求出S的坐标,
化简
OP
PS
的解析式.
(2)先写出逆命题,设S(-3,t),P(x0,y0)(y0≠0),由
OP
PS
=1,及x02+y02=2,得出t=
3+3x0
y0

当当x0=-1时,直线l1的方程知过点(-1,0);当x0≠-1时,由直线l1的方程知过点(-1,0).

证明:(1)设P(x0,y0)(y0≠0),则x02+y02=2.当x0=-1时,
∵直线l1过点T(-1,0),∴S(-3,0),即

PS=(−3−x0,−y0),


OP•

PS=−3x0−x02−y02=1.
当x0≠-1时,∵直线l1过点T(-1,0),∴直线l1的斜率k1=
y0
x0+1,
∴直线OS的斜率k=-
x0+1
y0,其方程为 y=-
x0+1
y0x,
∴S(−3,
3x0+3
y0),即

PS=(−3−x0,
3x0+3
y0−y0).


OP•

点评:
本题考点: 直线与圆相交的性质;四种命题的真假关系.

考点点评: 本题考查直线和圆相交的性质,四种命题的真假关系,两个向量的数量积的运算以及求两直线交点的坐标.

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解题思路:掷两次骰子共包括36个基本事件,每个基本事件的发生是等可能的,计算出所有事件,列举出满足不条件的事件,根据对立事件概率减法公式得到结果.

掷两次骰子共包括36个基本事件
每个基本事件的发生是等可能的
记“点P落在圆x2+y2=20外部”为事件A
事件
.
A包括下列13个基本事件:
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(4,1)(4,2)
P(A)=1-P(
.
A)=1-[13/36]=[23/36].
故选D.

点评:
本题考点: 几何概型.

考点点评: 本题主要考查等可能事件的概率,分别计算出事件总个数及满足条件的事件个数是解答的关键.

已知圆 O:x2+y2=2交x轴正半轴于点A,点F满足OF=22OA,以F为右焦点的椭圆 C的离心率
已知圆 O:x2+y2=2交x轴正半轴于点A,点F满足
OF
2
2
OA
,以F为右焦点的椭圆 C的离心率为
2
2

(Ⅰ)求椭圆 C的标准方程;
(Ⅱ)设过圆 0上一点P的切线交直线 x=2于点Q,求证:PF⊥OQ.
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(Ⅰ)A(
2,0),F(1,0).
椭圆c=1,e=

2
2,∴a=
2,b2=a2-c2=1,
∴椭圆D的方程为
x2
2+y2=1.(5分)
(Ⅱ)证明:设点P(x1,y1),
过点P的圆的切线方程为y-y1=−
x1
y1(x-x1
即y=−
x1
y1(x-x1)+y1
由x12+y12=2得y=−
x1
y1x+
2
y1,
令x=2得y=−
2(x1−1)
y1,故点Q(2,−
2(x1−1)
y1)
∴KOQ=
x1−1
y1,又KPF=
y1
x1−1∴KPF•KOQ=-1
∴PF⊥OQ.(12分)
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由题意,A,O,B,P四点共圆,且圆的直径为OP
∵∠AOB=120°,PA,PB为圆的切线
∴∠AOP=60°
∵|OA|=
2,∠OAP=90°
∴|OP|=2
2
∴点P的轨迹方程为x2+y2=8
故答案为:x2+y2=8.

点评:
本题考点: 轨迹方程.

考点点评: 本题考查轨迹方程的求法,确定A,O,B,P四点共圆,且圆的直径为OP是关键.

(2013•天津一模)若(ac,bc)在圆x2+y2=1上,则直线ax+by+c=0与圆x2+y2=2相交所得弦的长为_
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∵(
a
c,
b
c)在圆x2+y2=1上,则得 a2+b2=c2
圆x2+y2=2的圆心O(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d=
|c|

a2+b2=1,半径r=
2,
故直线ax+by+c=0与圆x2+y2=2相交所得弦的长为 2
r2−d2=2,
故答案为 2.

点评:
本题考点: 直线与圆的位置关系.

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题目就是求圆心到直线的距离减去半径的绝对值
根据点到直线距离公式
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而圆的半径为√2>3/5
显然直线是圆的交线
那么最小距离为(√2-0.6)
如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,PD⊥x轴,垂足为D,M为线段PD上一点,且|PD|=2|MD|,点A、F1的坐标
如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,PD⊥x轴,垂足为D,M为线段PD上一点,且|PD|=
2
|MD|,点A、F1的坐标分别为(0,
2
),(-1,0).
(1)求点M的轨迹方程;
(2)求|MA|+|MF1|的最大值,并求此时点M的坐标.
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(2)由(1)知,M的轨迹方程是椭圆,F1是左焦点,设右焦点为F2,利用|MA|+|MF1|=2
2
+|MA|-|MF2|≤2
2
+|AF2|=2
2
+
3
,即可求得结论.

(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xp,yp
∵PD⊥x轴,垂足为D,M为线段PD上一点,且|PD|=
2|MD|,
∴xp=x,yp=
2y
∵P是圆x2+y2=2上的动点,
∴x2+2y2=2;
(2)由(1)知,M的轨迹方程是椭圆,F1是左焦点,设右焦点为F2,坐标为(1,0)
∴|MA|+|MF1|=2
2+|MA|-|MF2|≤2
2+|AF2|=2
2+
3
当A,F2,M三点共线,且M在AF2延长线上时,取等号
直线AF2的方程为x+
y

2=1,与椭圆方程联立,解得x=
4+
6
5,y=

2−2
3
5
∴所求最大值为2
2+
3,此时M的坐标为(
4+
6
5,

2−2
3
5).

点评:
本题考点: 圆锥曲线的轨迹问题;椭圆的简单性质.

考点点评: 本题考查利用相关点法求动点的轨迹方程,考查最值问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

已知直线l经过点(2,0),且与圆:x2+y2=2相交,则直线l的倾斜角a的取值范围为
帮帮忙1年前1
ilove50k 共回答了20个问题 | 采纳率80%
y-0=k(x-2)
kx-y-2k=0
相交则圆心到直线距离小于半径
所以|0-0-2k|/√(k²+1)
直线3ax+by=1与圆x2+y2=2相交于A,B两点(a,b∈R),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a
直线
3
ax+by=1与圆x2+y2=2相交于A,B两点(a,b∈R),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值是(  )
A. [17/4]
B. 4
C. 2
D. [7/3]
2thg97v1ories1年前1
bbb新新天 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%
解题思路:根据AOB是直角三角形推断出该三角形为直角三角形,进而可求得心到直线的距离利用点到直线的距离求得a和b的关系,可推断出点P的轨迹为椭圆,然后利用消元法转化成二次函数求出最值即可.

∵△AOB是直角三角形,
∴圆心到直线的距离d=1,即
1

3a2+b2=1,整理得3a2+b2=1,
∴P点的轨迹为椭圆,
点P(a,b)与点(0,1)之间距离d=
(a−0)2+(b−1)2=
a2+b2−2b+1=

2
3b2−2b+
4
3,
设f(b)=[2/3b2−2b+
4
3],此函数为对称轴为b=[3/2]的开口向上的抛物线,
∴当-1≤b≤1时,函数为减函数,
∴点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值是2.
故选:C.

点评:
本题考点: 直线与圆相交的性质.

考点点评: 本题主要考查了直线与圆的相交的性质,以及利用二次函数的性质最值,转化和化归的思想的应用.属于中档题.

直线3ax+by=1与圆x2+y2=2相交于A,B两点(a,b∈R),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a
直线
3
ax+by=1与圆x2+y2=2相交于A,B两点(a,b∈R),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值是(  )
A.[17/4]
B.4
C.2
D.[7/3]
yanxiaxi1年前1
chairmanwang 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
解题思路:根据AOB是直角三角形推断出该三角形为直角三角形,进而可求得心到直线的距离利用点到直线的距离求得a和b的关系,可推断出点P的轨迹为椭圆,然后利用消元法转化成二次函数求出最值即可.

∵△AOB是直角三角形,
∴圆心到直线的距离d=1,即
1

3a2+b2=1,整理得3a2+b2=1,
∴P点的轨迹为椭圆,
点P(a,b)与点(0,1)之间距离d=
(a−0)2+(b−1)2=
a2+b2−2b+1=

2
3b2−2b+
4
3,
设f(b)=[2/3b2−2b+
4
3],此函数为对称轴为b=[3/2]的开口向上的抛物线,
∴当-1≤b≤1时,函数为减函数,
∴点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值是2.
故选:C.

点评:
本题考点: 直线与圆相交的性质.

考点点评: 本题主要考查了直线与圆的相交的性质,以及利用二次函数的性质最值,转化和化归的思想的应用.属于中档题.

已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A.B,o是坐标原点,|向量OA+OB|=1,则m=?
战友11年前2
lovetao1314 共回答了17个问题 | 采纳率100%
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则由 |OA+OB|=1 两边平方得 OA^2+2OA*OB+OB^2=1 ,
因为 A、B 在圆上,因此 OA^2=OB^2=2 ,
所以得 OA*OB= -3/2 ,
即 x1*x2+y1*y2= -3/2 ,(*)
把直线方程与圆的方程联立,得 x^2+(-x-m)^2=2 ,
化简得 2x^2+2mx+m^2-2=0 ,
因此 x1+x2= -m ,x1*x2=(m^2-2)/2 ,
所以 y1*y2=(-x1-m)(-x2-m)=x1*x2+m(x1+x2)+m^2=(m^2-2)/2 ,
代入(*)得 m^2-2= -3/2 ,
解得 m=±√2/2 .
如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,P在圆O上运动(不与A,B重合),过P作直线l1,O
如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,P在圆O上运动(不与A,B重合),过P作直线l1,O
如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A、B两点,P在圆O上运动(不与A、B重合),过P作直线l1,OS垂直于l1交直线l2:x=-3于点S.
(1)求证:“如果直线l1过点T(-1,0),那么
OP

PS
=1”为真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由
镜花梦里1年前1
wcan 共回答了13个问题 | 采纳率100%
没有图,不好做
设点P为圆c1:x2+y2=2上的动点、过p作x轴的垂线,足为Q,点M满足厂2向量MQ=向pQ求c2方程过直线x=2上的
设点P为圆c1:x2+y2=2上的动点、过p作x轴的垂线,足为Q,点M满足厂2向量MQ=向pQ求c2方程过直线x=2上的点T作圆c1两切线、朷点为AB,AB与c2交于cD求cD|AB
九阳神功1年前1
peachpeachqr 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
解 设P(x0,y0) M(x,y)
由题可知Q(x0,0)
所以向量MQ=(x0-x,-y),向量PQ=(0,-y0)
又因为√2倍的向量MQ=向量PQ
所以有√2(x0-x)=0,-√2y=-y0
解得x=x0,√2y=y0,
因为P在C1上,x0^2+y0^2=2 所以有
x^2+2y^2=2 即C2方程 是个椭圆
后边的有点看不懂啊.
A(x1,y1),B(x2,y2)是圆c:x2+y2=2上的两点,且向量OA与向量OB的夹角为120°,则x1x2+y1
A(x1,y1),B(x2,y2)是圆c:x2+y2=2上的两点,且向量OA与向量OB的夹角为120°,则x1x2+y1y2=?
嗷嗷少男1年前1
bonoda 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%
圆c:x2+y2=2的半径是根号2
|OA|=根号2,|OB|=根号2
x1x2+y1y2=OA*OB=|OA|*|OB|*cos120=2*(-1/2)=-1
如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A、B两点,P在圆O上运动(不与A、B重合),过P作直线l1,OS垂直于l1交直线
如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A、B两点,P在圆O上运动(不与A、B重合),过P作直线l1,OS垂直于l1交直线l2:x=-3于点S.
(1)求证:“如果直线l1过点T(-1,0),那么
OP•
PS=1”为真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
迷茫的情报员1年前4
mercedes_fdu 共回答了26个问题 | 采纳率84.6%
第一问我倒是推出来了,过程有点麻烦,中间我省略点带入计算,
设S(-3,a )解析式Los:y=k1x
带入 得Los解析式y= -a/3x
设LpT解析式y=k2x+b,P(x,y)
因为Los垂直LpT所以k2=3/a
把T(-1,0 )带入
得LpT解析式 y=3/ax+3/a
OP=(x,y)
PS=(-3-x,a-y)
OP• PS=ay-3x-x²-y²=ay-3x-(x²+y²)
因为P在圆上,所以x²+y²=2 式1
又因为P在LpT:y=3/ax+3/a上
所以 ay=3x+3
ay-3x=3 式2
把式1和式2带入得
OP• PS=3-2=1
(2)
如果OP• PS=1,那么直线l1过点T(-1,0)
是真命题,过程是上面的也差不多,顺序变一下就好
是用结果和式1推式2,自己看看吧,我实在懒得写了
如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为线段PD上一点,且PD=根号2|MD|点A(0,根号2
如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为线段PD上一点,且PD=根号2|MD|点A(0,根号2),F1(-1,0)
(1)设在x轴上存在点F2使|MF1|+MF2|为定值,试求F2的坐标,并指出定值是多少
(2)求|MA|+|MF1|的最大值,并求出此时点M的坐标
smollmobile1年前1
gygzcom 共回答了22个问题 | 采纳率90.9%
依题意设,|AB|=2
2
,直线AB的方程是
y-2
4-2
=
x-1
3-1
⇒x-y 1=0.(3分)
在△PAB中,设AB边上的高为h,则
1
2
•2
2
h=10⇒h=5
2
,(7分)
设P(x,0),则P到AB的距离为
|x 1|
2
,所以
|x 1|
2
=5
2
,(10分)
解得x=9,或x=-11.(11分)
所以,所求点的坐标是(9,0),或(-11,0).(12分)
直线根号3ax+by=1与圆x2+y2=2交于A,B两点 rt△AOB(O是原点) 点p(a,b)与点(0,1)之间的距
直线根号3ax+by=1与圆x2+y2=2交于A,B两点 rt△AOB(O是原点) 点p(a,b)与点(0,1)之间的距离最大值为
圆x²+y²=2,圆心为原点,半径r=√2∵△AOB是直角三角形∴O到AB的距离等于√2/2r=1直线√3ax+by=1即√3ax+by-1=0根据点到直线距离公式,得O到直线距离 |-1|/√(3a²+b²)=1∴3a²+b²=1,a²=(1-b²)/3 ,(-1≤b≤1)点P(a,b)与点A(0,1)之间的距离PA|=√[a²+(b-1)²]=√[a²+b²-2b+1] =√[(1-b²)/3+b²-2b+1] =√[2/3b²-2b+4/3] =√[2/3(b²-3b+9/4)-1/6] =√[2/3(b-3/2)²-1/6] ∵-1≤b≤1 ∴b=-1时,|PA|取得最大值2 (-1≤b≤1)这个怎么求出来的
gengxingwei1年前1
zzl2cj 共回答了23个问题 | 采纳率87%
∵3a²+b²=1
∴3a²=1-b²≥0
∴b²≤1
-1≤b≤1
已知双曲线C:x2-y2/2=1 过圆O:x2+y2=2上任意一点作圆的切线l 若l交双曲线于A B 两点,证明:角AO
已知双曲线C:x2-y2/2=1 过圆O:x2+y2=2上任意一点作圆的切线l 若l交双曲线于A B 两点,证明:角AOB的大
已知双曲线C:x2-y2/2=1 过圆O:x2+y2=2上任意一点作圆的切线l 若l交双曲线于A B 两点,证明:角AOB的大小为定值
猴子舞剑1年前2
xgw1121 共回答了20个问题 | 采纳率85%
分析:
(1).依题有a^2/c=sqrt(1/3),e=c/a=sqrt(3)
得a=1,c=sqrt(3),b=sqrt(2)
双曲线方程为 x^2-y^2/2=1.(1)
(2).设A(x1,y1),B(x2,y2),易见该问题中切线斜率存在
对方程 x^2+y^2=2两边求导有
2x+2yy'=0,得点P(xo,yo)处切线斜率
k=y'=-xo/yo
注意到P在圆上有 xo^2+yo^2=2
切线方程可写为:y=(-xo/yo)(x-xo)+yo
即:yoy=-xox+(xo^2+yo^2)
亦即:yoy=-xox+2.(2)
联立(1),(2)消去y整理有:
(2yo^2-xo^2)x^2+4xox-2yo^2-4=0
韦达定理有:
x1+x2=4xo/(xo^2-2yo^2).(3)
x1x2=(2yo^2+4)/(xo^2-2yo^2).(4)
又yo^2y1y2=(2-xox1)(2-xox2)
=4-2xo(x1+x2)+xo^2x1x2
则yo^2(x1x2+y1y2)=4-2xo(x1+x2)+(xo^2+yo^2)x1x2
=4-2xo(x1+x2)+2x1x2.(5)
将(3)(4)代入(5)整理有:
yo^2(x1x2+y1y2)=4[2-(xo^2+yo^2)]/(xo^2-2yo^2)=0
又yo!=0,则有x1x2+y1y2=0
可见OA垂直OB
因此,角AOB=Pi/2(定值)
(注:这样的问题可以试先取特殊值探索,比如本问题中可以取切线斜率为零,不难发现角AOB为pi/2,然后有针对性地去证明x1x2+y1y2=0就把问题解决了)