达布定理的证明

设函数f(x)在[a,b]区间上可导,虽然导函数未必连续,但是却具有“介值性”.
简单说：若f'+(a)>0,f'-(b)0,知 lim[f(x)-f(a)]/(x-a)>0,根据极限的保号性,在a的右邻域内f(x)>f(a).
这说明f(a)不是最大值.
同理,f(b)也不是最大值.
f 的最大值只能在(a,b)内部某一点 c 处取得,c 必为极大值点,根据费马定理,f'(c)=0.

做辅助函数
g(x)=f(x)-rx
在[a,b]连续
由闭区间连续函数存在最大最小值
则存在c∈[a,b]有g(c)是最值
由费马定理
g'(c)=0
即
f'(c)=

这个问题.好吧
达姆大和指的是在一个分划的小区间里,取函数的最大值,乘以小区间的长度,在吧所有这样的积加起来.
达姆小和指的是在一个分划的小区间里,取函数的最小值,乘以小区间的长度,在吧所有这样的积加起来.
通过以上的说明可以看出,由于小区间长度一定是正的,达姆大和的函数取值一定不小于达姆小和的函数取值,在一个小区间里.因此每个乘积大和都不会小于小和,因为区间的长度是一定的对于相同的区间,因此所有这样的乘积的和大和当然比小和大.
我只是对这一部分做了形象化的描述,具体的证明过程在任何一本数学分析书里都会有,你可以看看.