设A为阶正交阵,且 A的行列式的值为-1 则A+E的行列式的值为 ( )

线性代数题已知A为n阶反对称阵,若E+A可逆,证明(E-A)(A+E)^-1是正交阵.

wwh_daisy1年前1

baihong001 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

知识点:1.若A可逆,AB=BA,则 A^-1B=BA^-1
[ 在AB=BA等式两边左乘A^-1,右乘A^-1,即得结论]
2.A反对称 A^T = -A.
3.(A^-1)^T = (A^T)^-1
证明:由于 E+A 可逆,
所以 (E+A)^T = E^T+A^T = E-A 也可逆.
又由 (E-A)(E+A) = (E+A)(E-A)
所以 (E-A)^-1(E+A) = (E+A)(E-A)^-1
又因为 [(E-A)(A+E)^-1]^T
= [(A+E)^-1]^T(E-A)^T
= [(A+E)^T]^-1 (E^T-A^T)
= (E^T+A^T)^-1(E+A)
= (E-A)^-1(E+A)
= (E+A)(E-A)^-1
所以 [(E-A)(A+E)^-1 ] [(E-A)(A+E)^-1]^T
= (E-A)(A+E)^-1(E+A)(E-A)^-1
= (E-A)(E-A)^-1
= E
所以 (E-A)(A+E)^-1 是正交矩阵.

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为何矩阵在求特征向量时候不需正交化和单位化(除非题目要求),而将一个二次型转化为标准型,为何它的过渡矩阵必须是正交阵?

为何矩阵在求特征向量时候不需正交化和单位化(除非题目要求),而将一个二次型转化为标准型,为何它的过渡矩阵必须是正交阵?
上面多打了几个字....重新写过...
为何矩阵在求特征向量时候不需正交化和单位化(除非题目要求),而将一个二次型转化为标准型时它的过渡矩阵必须是正交阵?

风之流浪猪1年前1

靓女追我三条街 共回答了20个问题 | 采纳率95%

我之前回答过一个类似的问题,
对于你的问题特别说明两点：
1.既然对一般矩阵,属于不同特征值的特征向量之间未必正交,那么正交化和单位化也就没有什么意义,若勉强正交化,结果就不再是特征向量了；
2.对于二次型矩阵的化简,一般只要求合同对角化就够了,就是说,给定二次型矩阵 A ,只要找一个 可逆矩阵 P 使得 (P转) A P = D 是对角矩阵就行了,这里的 P 不见得必须是正交阵.但是既然实对称矩阵 A 可以正交相似对角化,我们当然也可以要求 P 为正交矩阵,选 P 为正交矩阵的一个优点是,它不会改变欧几里得空间中两点间的距离,从而在变换坐标时可以保持空间图形的形状不发生变化,而选择一般可逆矩阵 P就不一定能做到这一点了.

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线性代数 设A为正交阵,且detA=-1.证明-1是A的特征值

田野天1年前1

尚若冰11 共回答了12个问题 | 采纳率100%

A正交,则A的特征值的模是1又detA=－1=所有特征值的乘积,共轭复特征值成对出现所以必有特征值是－1

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A为n阶可逆矩阵,证明存在一个正定阵s和一个正交阵p使A=ps。 这个怎么证

A为n阶可逆矩阵,证明存在一个正定阵s和一个正交阵p使A=ps。 这个怎么证
急

maokao1年前1

sunyinan 共回答了26个问题 | 采纳率84.6%

因为A为n阶可逆矩阵，故A'A为正定矩阵，（A'表示A的转置）
从而存在正定矩阵S使A'A = S².
令P = AS^(-1), 则P' = (S')^(-1)A' = S^(-1)A'.
P'P = S^(-1)A'AS^(-1) = S^(-1)S².S^(-1)=E.
即P为正交阵.
所以A = PS
其中P为正交阵.，S为正定矩阵。

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怎么验证矩阵是正交阵?

gaqk1年前2

fzbc600 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

两个方法:
1.用定义
直接计算 AA^T,若 等于单位矩阵E,就是正交矩阵
2.用定理
A是n阶正交矩阵的充分必要条件是 A 的列(或行)向量组是R^n的标准正交基.
即列向量的长度都是1,且两两正交.

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设A是正交阵,E+A可逆,证明：(E-A)(E+A)'反对称

loo的ssl1年前1

a7i9rfs 共回答了18个问题 | 采纳率83.3%

证明: 因为A是正交矩阵, 所以 AA' = A'A = E.
所以 (E-A)(E+A)'
= (E-A)(E+A')
= E+A'-A-AA'
= E+A'-A-E
= A'-A
而 (A'-A)' = (A')'-A' = A-A' = -(A'-A)
所以 A'-A 反对称
进而有 (E-A)(E+A)'反对称.
满意请采纳^_^.

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设A、B为同阶非退化阵,满足A^TA=B^TB,试证存在正交阵Q使A=QB

cwx1121年前1

ysj239 共回答了14个问题 | 采纳率78.6%

注意到A是正交矩阵AA'=A'A=EA^-1=A' (A'是A的转置,记法方便)
证:由已知A,B可逆,所以 A',B' 可逆
因为 A'A=B'B
所以 A = (A')^-1B'B.
令Q=(A')^-1B',则有 A=QB.
下证Q是正交矩阵.
注意到 (A')^-1 = (A^-1)',所以有
QQ'=[(A')^-1B'][(A')^-1B']'
=[(A')^-1B']B[(A')^-1]'
=(A')^-1B'BA^-1
=(A')^-1A'AA^-1
=(A^-1)'A'E
=(AA^-1)'
=E
故Q为正交矩阵.
命题得证.

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线性代数问题：设A,B均是n阶正交阵,且|A|≠|B|,求|A+B|.

线性代数问题：设A,B均是n阶正交阵,且|A|≠|B|,求|A+B|.
设A,B均是n阶正交阵,且|A|≠|B|,求|A+B|.
还有一道，设A为正交阵,试证明:A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.
答出其中一道也行，

ianchen2001年前5

绮忆 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%

若A为正交阵,则|A|=1或-1
|A+B|=0
因为 A有特征值1 B有-1 A+B有0特征值.
若A(α)=λα,A为正交阵,正交不改变模.
则 (A(α),A(α))=( λα,λα)= λ2(α,α)=(α,α)
因此λ2=1,从而λ=1或者λ=-1

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怎样判断矩阵是否为正交阵

怎样判断矩阵是否为正交阵

shouji1301年前1

mawufeng 共回答了24个问题 | 采纳率95.8%

列向量两两互成为0,就是正交矩阵

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线性代数问题1.设A,B,A+B均为正交阵,试证（A+B)^-1=A^-1+B^-12.设A,B为同阶非退化阵,满足A^

线性代数问题
1.设A,B,A+B均为正交阵,试证（A+B)^-1=A^-1+B^-1
2.设A,B为同阶非退化阵,满足A^T*A=B^T*B,试证存在正交阵Q使A=QB

将错不等于就错1年前1

侧畔千帆 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%

证:
1.注意到A是正交矩阵AA'=A'A=EA^-1=A' (A'是A的转置,记法方便)
由已知A,B,A+B均为正交阵,所以有
(A+B)^-1
=(A+B)'
=A'+B'
=A^-1+B^-1
2.由已知A,B可逆,所以 A',B' 可逆
因为 A'A=B'B
所以 A = (A')^-1B'B.
令Q=(A')^-1B',则有 A=QB.
下证Q是正交矩阵.
注意到 (A')^-1 = (A^-1)',所以有
QQ'=[(A')^-1B'][(A')^-1B']'
=[(A')^-1B']B[(A')^-1]'
=(A')^-1B'BA^-1
=(A')^-1A'AA^-1
=(A^-1)'A'E
=(AA^-1)'
=E
故Q为正交矩阵.
命题得证.
有疑问请追问或消息我

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设A2+6A+8E=0，且A为n阶对称阵，证明A+3E为正交阵．

jiaanqing1年前1

晚霞的天空 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

解题思路：该题根据正交矩阵的定义证明即可．

证明：因为A为n阶对称阵，
所以（A+3E）^T（A+3E）=A²+6A+9E，
由于A²+6A+8E=0，
于是（A+3E）^T（A+3E）=E，
故A+3E为正交阵．

点评：
本题考点： 正交矩阵的定义．

考点点评： 本题主要考查正交矩阵的定义，本题属于基础题．

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1.若A是正交阵, 证明: A是可逆且A^(-1)也是正交矩阵.

meishiqiche1年前1

壮志雄心之大雄 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

因为A正交,所以 AA^T = E
两边取行列式得 |A||A^T| = |E|
所以 |A|^2 = 1
所以 |A|= 1 or -1
故A 可逆.
再由 AA^T = E,得 A^-1 = A^T
所以 (A^-1)(A^-1)^T = (A^T)(A^T)^T = A^TA = E
所以 A^-1 是正交矩阵.

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线性代数里说的线性变换x=Cy是可逆变换，就是说矩阵C是可逆阵，x=Py是正交变换，就是说矩阵p是正交阵吗？

xmzsqzzx1年前1

ling0228 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

是

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A为n阶可逆矩阵,证明存在一个正定阵s和一个正交阵p使A=ps.这个怎么证

abitbay1年前1

影子218 共回答了11个问题 | 采纳率81.8%

设A'为A的转置,考虑B = A'A.则B为正定矩阵.
可证明存在正定矩阵S使B = S².
取P = AS^(-1),则P' = (S')^(-1)A' = S^(-1)A'.
P'P = S^(-1)A'AS^(-1) = E.
于是P为正交阵.A = PS即满足要求.

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关于矩阵对角化的问题对称矩阵在对角化的时候 Q是正交阵 不仅每个列向量都是特征向量 而且每个列向量都需要单位化 而普通矩

关于矩阵对角化的问题
对称矩阵在对角化的时候 Q是正交阵 不仅每个列向量都是特征向量 而且每个列向量都需要单位化 而普通矩阵在满足条件时对角化时P是可逆矩阵 每个列向量分别是特征向量 不需要单位化
我认为对阵矩阵应该属于普通矩阵的一种 对于普通矩阵对角化时的法则应该对于对称矩阵同样适用（也就是P是特征向量组成的矩阵） 但实际上对称矩阵却需要在那个基础上再单位化 这里让我有点费解（为什么对普通矩阵适用对其中的对称矩阵却不） 不知道自己有没有表达清楚自己的疑问 比较明显的对比是同济大学线代课本第五章的课后21,22题

wubin80011年前1

盗墓使者 共回答了23个问题 | 采纳率95.7%

对称矩阵的相似对角化P作为特征向量也可以
只是对称矩阵的对角化要求高, 有时需要正交对角化
即要求P是正交矩阵(而不只是可逆)
这就要求对特征向量正交化及单位化

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证明：正交阵的属于不同特征值的特征向量一定正交.

151421921年前1

lce912 共回答了32个问题 | 采纳率90.6%

因为Q正交,Q^TQ=E,|Q|=1=λ1λ2……λn
设λ1,λ2为Q的两个不同的特征值,ξ1,ξ2为对应的特征向量
Qξ1=λ1ξ1 (1)
Qξ2=λ2ξ2
（ξ2)^T Q^T=λ2(ξ2)^T (2)
(2)*(1)
[ξ2,ξ1]=λ1λ2ξ2,ξ1]
(λ1λ2-1)[ξ2,ξ1]=0
而|λ1|=|λ2|=1,λ1≠λ2,得
[ξ2,ξ1]=0,
ξ2,ξ1正交

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矩阵的特征值证明设A为正交阵,B为A的转置阵,即BA=E,且A的行列式为-1证明-1为A的特征值.请写出证明过程

野夫1年前1

rj_0323 共回答了13个问题 | 采纳率100%

这个问题我回答过好几次了,你在百度上随便搜搜应该就有.
证法1：det(I+A)=det(A'A+A)=det(I+A')det(A)=-det(I+A),从而等于0.
证法2：A的特征值模长都是1,且虚特征值必定成对出现.

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设A是实反对称矩阵.（1）证明E+A为可逆矩阵 （2）B=（E-A）（E+A）^-1为正交阵

fjswys1年前1

YY专用MJ 共回答了17个问题 | 采纳率76.5%

（1）证明假设A+E不可逆,则|A+E|=0
所以-1是A的一个特征值
设ξ是属于-1的一个特征向量
则A^2ξ = A(-ξ) = -Aξ = ξ
但A^2=A
所以A^2ξ = Aξ = -ξ
矛盾

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设A为n阶正交阵且det（A）=-1,证明：r（A+E）

theowolf1年前1

心中之语 共回答了19个问题 | 采纳率84.2%

E是指单位阵么?
因为A正交 所以特征值的模为1 所有复根成对出现 乘起来就是1了 但DET(A)=-1 所以 他必有实根-1 所以 -1 是A的特征值 所以 DET(-E-A)=0 所以R(E+A)

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线性代数问题A是实对称阵 那使它对角化的那个p一定是正交阵么 唯一么 能不能有若干p有的正交有的不呢

sdssdssdssds1年前1

lsfxqlf 共回答了20个问题 | 采纳率70%

1.实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量是正交的.
2.实对称矩阵A的特征值都是实数.
3.n阶实对称矩阵A必可对角化
4.A为n阶实对称矩阵.则存在正交阵p,使得A能对角化,
p一定是正交阵,不唯一,因为p为特征向量构成的矩阵,特征向量不唯一,所以p不唯一.
我查了北大教授的讲义.

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线性代数高手进设A、B为同阶非退化阵,满足(A^T)A=(B^T)B,试证存在正交阵Q使得A=QB

云生祥羽1年前1

歪歪88 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

利用QR分解的唯一性即可.
具体一点,首先证明存在唯一的对角元大于0的上三角阵R使得R^T*R=A^T*A,然后证明AR^{-1}是正交阵.

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为什么判断一个矩阵是否为正交阵只需看它每列模是否为1?

像疯一样1年前1

412328185 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%

这个不对!
除了模为1还要矩阵满秩~而且要列与列向量内积正交,要不怎么可以叫正交阵呢!
你看看按你说的,以下矩阵是正交阵吗?
1 1 ...1
0 0 ...0
.
0 0 ...0

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关于矩阵的对角化问题我想问的就是对于对称阵必然存在n个线性无关的特征向量,并且还是正交阵.那么如果我求出n个线性无关的特

关于矩阵的对角化问题
我想问的就是对于对称阵必然存在n个线性无关的特征向量,并且还是正交阵.那么如果我求出n个线性无关的特征向量,我不进行正交化,他应该还是能够是使矩阵A对角化的可逆矩阵,只不过不是正交阵罢了.（这样理解对否）.其次对于任何一个矩阵,如果告诉我们他的n个线性无关的特征向量,那么我可以对他正交化使之成为正交相似变化了?我的这种理解对否?所以第一个疑问换言之就是可使对称阵对角化的可逆矩阵可以不是正交阵.而第二个问题等于说一般的矩阵只要可以对角化一定也能正交相似对角阵?我觉得我的第一个理解是对的,但第二个好像不对.
ps：我还想知道正交化是一个什么样的过程,（我指的不是公式或步骤,这个我懂得.）这个问题是针对第二个问题的.p正交化以后PAP逆就不等于对角阵了?

synod1年前3

skyzsea 共回答了25个问题 | 采纳率92%

你的第一个理解和第2个理解都是对的
P正交化以后只是有P逆等于P的转置
PAP逆还是等于对角阵的
liuchuanren举的那个反例根本就是错误的
{{13,28},{-6,-13}}.明显可以正交相似为对角阵

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关于对称阵对角化一般可逆矩阵和正交阵都能使对称阵对角化 那么这里的可逆矩阵和正交阵有什么关系呢?是不是只有正交阵才能使对

关于对称阵对角化
一般可逆矩阵和正交阵都能使对称阵对角化 那么这里的可逆矩阵和正交阵有什么关系呢?
是不是只有正交阵才能使对称阵A对角化为对角矩阵B呢？

rensheng6661年前1

三点钟失眠 共回答了23个问题 | 采纳率87%

一般可逆矩阵和正交阵都能使对称阵对角化 那么这里的可逆矩阵和正交阵有什么关系呢?
矩阵A对角化后会变成与A相似的矩阵B,且B=C^(-1)AC其中C被规定一定要可逆
若C正交,则A与变换后的矩阵B不仅相似,而且合同,且有C'AC=C^(-1)AC=B（为对角阵）
别忘了矩阵可对角化条件,那就是该矩阵有与其阶数相等数量的特征向量；
另一个与其等价的条件是矩阵的最小多项式无重根.

如果已知对角矩阵反求对称阵 需要求出使其对角化的可逆矩阵呢还是正交阵呢?
此时只要求出使其对角化的可逆阵即可,若该对角阵还为原矩阵的二次型标准型,那么求出来的可逆阵也是正交阵

问题补充：是不是只有正交阵才能使对称阵A对角化为对角矩阵B呢?
不是啊!只要把特征向量按列排就可以了.

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线性代数 矩阵证明题已知A为正交阵,且|A|=-1,证明-1是A的一个特征值.（过程,快点啊!）

gunner888211年前3

jiousefeng 共回答了16个问题 | 采纳率100%

这题的关键是证明：|A+E|=0
证明：
因为A是正交阵,所以AA'=E
所以
|A'||A+E|=|E+A'|
又|A'|=|A|=-1
所以|A+E|=-|E+A'|
又 |A+E|=|(A+E)'|=|E+A'|
所以|A+E|=0
故
-1是A的一个特征值

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求高人证明：正交阵的列向量都是单位向量,且两两正交. 尽量详细 给高分

力学20081年前1

破铁头 共回答了20个问题 | 采纳率95%

设正交阵A=(a1,a2,...,an)
由AT*A=E
得(a1T,a2T,...,anT)(a1,a2,...,an)=E
i=j时：aiT*aj=aiT*ai=1
即ai为单位向量
i≠j时：aiT*aj=0
即ai与aj正交

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线性代数问题:设A为正交阵,即A^T A=E,且|A|=-1,证明-1为A的特征值?

McDull12191年前1

036616407 共回答了17个问题 | 采纳率100%

设A的转置为A'
有 | E + A | = | A'A + A |
= |A|| A' +E|
=-| (A + E)' |
=-| E + A |
所以 | E + A | = 0
就是说 | A - （-E）| =0
这就说明-1是他的一个特征根

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1.若A是正交阵, 证明:A'是正交矩阵.

rocky1141年前1

令狐之之 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

因为A是正交阵,所以AA'=E,且(A')'A'=(AA')'=E'=E,所以据正交阵的定义可得：A'是正交矩阵

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线性代数问题1.正交阵和正交矩阵的区别：是不是正交阵一定是方阵,而正交矩阵可以不是方阵,2.矩阵的乘法在写的时候用什么符

线性代数问题
1.正交阵和正交矩阵的区别：是不是正交阵一定是方阵,而正交矩阵可以不是方阵,
2.矩阵的乘法在写的时候用什么符号?点号,乘号,星号,还是不用符号,还是都可以?（如AB,A*B,A.B,AXB）
3.行列式是不是一定要行数等于列数?有没有不相等的特殊情况?
4.矩阵的括号是不是小括号“（）”和中括号“[ ]”都可以?（通常是数量小的用小括号,多的用中括号,）
5.向量的内积用的是小括号“（A,B）”还是尖括号“”?（ 我发现不同书上两种都出现过,但是感觉小括号容易和矩阵混淆.）
6.零矩阵,零向量等是不是都只用写“0”就可以?（书上有些地方是写成加粗,有些地方是写成西塔,有时候题目答案会写成O2x2,有时写[0],而我写的时候只需写“0”就好?）

我是gg漂泊人1年前1

查尔斯不帅 共回答了10个问题 | 采纳率100%

1,正交矩阵和正交阵是一回事,正交矩阵必须是方阵
2,一般就写AB,其它记号我不太去确定,实心点和叉乘应该都可以,数学里一般不用星号表示乘积.
3,没有,矩阵只有是方阵的时候才可以取行列式
4,都可以,但是一般都用小括号
5,内积我的书定义用的是小括号,我也看过用的,都可以,用小括号容易混淆的时候就可以用表示,如果没把握你可以在前面加上一句本文/题用表示内积
6,零矩阵一般用O（大写字母o）表示,零向量可以用0表示（最好加上箭头）.但是现在对于这些要求并不严格,而且0和O又长的很像.强调矩阵大小的时候右下角会加上n*m的（这个对于任意矩阵都是这样的）
有问题追问!

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线性代数疑问三阶实对称阵每行元素和都等于二,且R(2E+A)=1,求正交阵P,使P-1AP为对角矩阵

涵凯1年前1

aliceyue2000 共回答了7个问题 | 采纳率100%

因为A每行元素和都等于2
所以2是A的特征值,a1=(1,1,1)^T 是相应的特征向量.
又因为R(2E+A)=1,所以-2是A的2重特征值.
由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
所以属于特征值-2特征向量 (x1,x2,x3)^T 满足 x1+x2+x3=0
解得 (1,-1,0)^T,(1,1,-2)^T.
单位化后作为P的列向量即有 P^-1AP=diag(2,-2,-2).

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n阶实对称矩阵A,满足A^2+4A+3I=0,证明A+2I是正交阵

让一切见鬼1年前1

2255169 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%

新年好!可以如图验证A+2I是正交阵.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.

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证明:对称的正交阵A的特征根必为-1或1

子睿GUO1年前0

共回答了个问题 | 采纳率

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设α为n维列向量,A=I-kαα^T,若A为正交阵,求k

jiumenjazz1年前0

共回答了个问题 | 采纳率

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若A为n阶实对称矩阵,P为n阶正交阵,则P^-1AP是什么?

小乖在偷笑1年前1

爱吃菠萝的虫 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

P^-1AP 是什么?也是实对称矩阵
不太明白你想问什么,最好给原题

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线性代数 求正交阵 使为对角阵 的时候为什么要把求的的基础解系正交化?

风中飘零雪1年前1

岁月留痕____ 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%

因为是求正交针

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实对称矩阵的问题A为实对称阵,怎么说明存在正交阵T满足T'AT=diag(d1,d2,...,dn)这个分解,普分解定理

实对称矩阵的问题
A为实对称阵,怎么说明存在正交阵T满足T'AT=diag(d1,d2,...,dn)这个分解,普分解定理我没学,所以说详细点.

老凌1年前1

风云际合 共回答了22个问题 | 采纳率86.4%

具体证明过程相当复杂,你最好查阅相关书籍,很多大学线性代数教材里应该都有,简明步骤如下：
1）证明所有特征根为实数,每个根都有他的重复数目(解方程lambda*I-A=0).
2）对于每个根m,方程m*I-A=0的秩不会超过在方程lambda*I-A=0里根m重复的数目.
3）对于每个根m,方程m*I-A=0的秩等于在方程lambda*I-A=0里根m重复的数目,因此相同特征根的特征向量可以Schmitt方法整成互相正交的.
4）不同特征根的特征向量是相互正交的.
5）把相互正交的特征向量排列好后,就是T,然后T'AT=diag(d1,d2,...,dn).
你也可以查阅Cholesky分解,Hermitian矩阵等名词.

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证明A既是正定阵又是正交阵,则A是单位阵.

天空中的骆驼1年前1

szjun999 共回答了12个问题 | 采纳率75%

同学,这里的A对称吗?要不好像有一点问题吧?
比如说取A为二阶阵
a11=2/根号5,a12=-1/根号5,a21=1/根号5,a22=2/根号5
这时A正定且正交,但不是单位阵

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什么是对称的正交阵

lc8008211年前1

n5id 共回答了21个问题 | 采纳率85.7%

如果对称阵A,满足
AA'=E (A'表示A的转置,E单位阵)
那么称A为正交阵

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求证：对称正定阵A是正交阵 则A是单位阵

求证：对称正定阵A是正交阵 则A是单位阵
如题
To 1楼，ai=1之后，为什么A=I呢？ai=1只能说明a的相似标准型是单位阵，毕竟你的A并不是由a1...an组成的啊？

唐寅书1年前1

sunkiss83 共回答了30个问题 | 采纳率100%

A = P diag(a1,...,an) P'
I = AA'= P diag(...) P' P diag(...) P'
= P diag( a1^2 ,...,an^2 ) P'
diag( a1^2,...,an^2 ) = P'IP = I
又 ai > 0
所以 ai = 1
A = I
=======补充
ai = 1之后,A = P I P' = PP' = I

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矩阵A可分解为正交阵*上三角矩阵,也可分解为另一个正交阵*下三角矩阵,请问这两个正交阵的关系是什么

矩阵A可分解为正交阵*上三角矩阵,也可分解为另一个正交阵*下三角矩阵,请问这两个正交阵的关系是什么
A是任意可逆矩阵
已知A=P1*U， P1正交阵 U为上三角，这是A唯一确定的
又知A=S*D。 S也为正交阵 D为下三角
则S是
A 由A的转置所确定出的P1
B 由A的逆所确定的P1
C 由A的转置的逆所确定出的P1

avl20041年前1

loveheekhang 共回答了26个问题 | 采纳率80.8%

这不是明摆着的吗
A=SD
A^{-1}=D^{-1}S^{-1}
A^T=D^TS^T
A^{-T}=S^{-T}D^{-T}=SD^{-T}
D^{-T}是上三角阵,所以最后一个就是A^{-T}的QR分解
另外注意,QR分解只有一定意义下的唯一性,比如要求上三角矩阵的对角元都是正数

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设A十一n阶实可逆矩阵,证明:存在一个正定矩阵S和一个正交阵P,使得A=PS

sylimin1年前1

yz502972 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

做奇异值分解A=UΣV^T,然后取P=UV^T,S=VΣV^T即可

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两个实对称矩阵A B 如果有正交阵Q使得Q'AQ=B 那A B的相同特征值对应的特征向量是否相同?

黄若安1年前1

zdszpp 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%

Ax=ax,B(Q'x)=Q'AQ(Q'x)=Q'Ax=a(Q'x),因此A B相同特征值对应的特征向量是x与Q'x,即相差一个正交阵.

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实对称矩阵对角化问题设A为3介实对称矩阵,可知存在正交阵P,使得P'-1AP=B,B为其特征值构成的对角矩阵,为什么求出

实对称矩阵对角化问题
设A为3介实对称矩阵,可知存在正交阵P,使得P'-1AP=B,B为其特征值构成的对角矩阵,为什么求出了A的特征向量再施密特正交化最后还要单位话,个人感觉正交化就足够了,为什么还最后还要单位话
就是说由特征向量构成的矩阵不是正交矩阵，必须单位化后才是吧！

blousea1年前1

我是阿辉哥 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

必须单位化!
因为正交矩阵P是由A的特征向量构成的
而矩阵P是正交矩阵的充分必要条件是它的列(行)向量组是标准正交向量组,即两两正交且长度为1.
所以必须单位化.
不对.单位化后得到的P才是正交矩阵.
PS.用追问方式能使回答者快速收到你的疑问

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线性代数对角阵问题2 2 -2设A = 2 5 -4 求正交阵Q使,Q-1AQ为对角阵-2 -4 -5

默默11221年前2

彤ЪaЪy 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%

|A-λE|= (1-λ) (λ^2 - λ - 50)
在有理数域上不能完全分解
题目有误?

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我想问,任意一个可逆矩阵,必存在两个正交阵PQ,有PAQ为对角形,这个对角形对角线的元素都大于零吗?在什么情况下可保证其

我想问,任意一个可逆矩阵,必存在两个正交阵PQ,有PAQ为对角形,这个对角形对角线的元素都大于零吗?在什么情况下可保证其对角线元素大于零?

bingdeng1年前1

寻觅的秋天 共回答了21个问题 | 采纳率85.7%

这个对角阵的对角元未必大于0,比如A=P=Q=-I的时候
但是可以调整一下叙述,即必存在两个正交阵P,Q使得PAQ是对角元大于0的对角阵

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设A是实数域上n级可逆矩阵,证明：A可唯一分解成A=TB.其中T是正交阵,B是主对角元都为正的上三角矩阵.

设A是实数域上n级可逆矩阵,证明：A可唯一分解成A=TB.其中T是正交阵,B是主对角元都为正的上三角矩阵.
备注：存在性已证出,主要是我在证唯一性的时候方法太复杂,是逐个去证T的列向量唯一.希望各路高人能给出简便证法.

mythwp1年前1

rphxl 共回答了18个问题 | 采纳率77.8%

考虑到 R^n 的任何一组基可以标准正交化即可得到存在性(考虑两组基的过渡阵).唯一性是显然的,证明如下：
设 T_1B_1=T_2B_2, 则 {T_2}^{-1}T_1=B_2{B_1}^{-1}.注意到
1.正交阵的乘积,正交阵的逆还是正交阵
2.上三角阵的乘积,可逆上三角阵的逆还是上三角阵
故左侧是正交阵,右侧是上三角阵,于是必为对角阵而且对角元不是 1 就是 －1(注意正交阵的定义,以及它是上三角的正交阵).但是由于已知 B_i(i=1,2) 的对角元是正的,于是只能是 E. 由此 T_1=T_2, B_1=B_2.
证毕

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已知P是3阶正交阵,向量A(1 3 2),B(1 0 2),则内积(PA,PB)=

不羁的山峰1年前1

ade26 共回答了20个问题 | 采纳率85%

正交变换不改变内积
(PA,PB) = (PA)^T(PB) = A^TP^TPB = A^TB = 5

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设A为N阶实矩阵,证明存在正交阵T使T^-1AT为上三角阵的充要条件是A的特征值均为实数

故事0071年前1

liu810711 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

http://zhidao.baidu.com/question/711874670903875445.html

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设A为n阶实对称矩阵,B为n阶可逆阵,Q为n阶正交阵则B^-1Q^TAQB与A有相同的特征值

设A为n阶实对称矩阵,B为n阶可逆阵,Q为n阶正交阵则B^-1Q^TAQB与A有相同的特征值
B^{-1}Q^TAQB = (QB)^{-1} A (QB)
求证明及解释!

水星悠蓝1年前0

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