(2012•南湖区二模)已知直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、C,过A、C两点的抛物线y=ax2-2ax+c交x轴

王者归来1142022-10-04 11:39:541条回答

(2012•南湖区二模)已知直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、C,过A、C两点的抛物线y=ax2-2ax+c交x轴于另一点B.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点Q从点B出发,以每秒2个单位长度沿线段BA方向运动,同时动直线l从x轴出发,以每秒1个单位长度沿y轴方向平行移动,直线l交AC与D,交BC于E,当点Q运动到点A时,两者都停止运动.设运动时间为t秒,△QED的面积为S.
①求S与t的函数关系式:并探究:当t为何值时,S有最大值为多少?
②在点Q及直线l的运动过程中,是否存在△QED为直角三角形?若存在,请求t的值;若不存在,请说明理由.

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hanhehui 共回答了21个问题 | 采纳率71.4%
解题思路:(1)根据直线解析式求出点A、C,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;
(2)①令y=0,解关于x的一元二次方程求出点B的坐标,再求出AB的长,然后根据相似三角形对应高的比等于相似比求出DE,再根据三角形的面积公式列式整理即可得解,最后根据二次函数的最值问题解答;
②分(i)∠QED=90°时,根据△BQE和△BOC相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解;(ii)∠EDQ=90°时,利用△ADQ和△ACO相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可;(iii)∠DQE=90°时,过点D作DF⊥AB于F,过点E作EG⊥AB于G,表示出BG、EG、GQ,AF、DF、QF,然后根据△EGQ和△QDF相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可.

(1)令y=0,则-x+4=0,
解得x=4,
令x=0,则y=4,
∴点A(4,0),C(0,4),
∵抛物线y=ax2-2ax+c经过点A、C,


16a−8a+c=0
c=4,
解得

a=−
1
2
c=4,
∴抛物线y=-[1/2]x2+x+4;

(2)①令y=0,则-[1/2]x2+x+4=0,
整理得,x2-2x-8=0,
解得x1=-2,x2=4,
∴点B(-2,0),
∴AB=4-(-2)=6,
∵直线l∥x轴,
∴△ABC∽△DEC,
∴[DE/AB]=[4−t/4],
即[DE/6]=[4−t/4],
解得DE=[3/2](4-t),
∴△QED的面积为S=[1/2]×[3/2](4-t)×t=-[3/4]t2+3t,
S与t的函数关系式为S=-[3/4]t2+3t,
∵S=-[3/4](t-2)2+3,
∴t=2时,S有最大值,最大值为3;

②(i)∠QED=90°时,∵DE∥x轴,
∴EQ⊥AB,
∴△BQE∽△BOC,
∴[EQ/OC]=[BQ/OB],
即[t/4]=[2t/2],
所以,此种情况不成立;
(ii)∠EDQ=90°时,∵DE∥x轴,
∴DQ⊥AB,
∴△ADQ∽△ACO,
∴[AQ/OA]=[DQ/CO],
即[6−2t/4]=[t/4],
解得t=3;
(iii)∠DQE=90°时,过点D作DF⊥AB于F,过点E作EG⊥AB于G,
则△BGE∽△BOC,
∴[BG/OB]=[EG/OC],
∴BG=[OB•EG/OC]=[2•t/4]=[1/2]t,
GQ=2t-[1/2]t=[3t/2],
同理可求AF=t,DF=t,
QF=AB-BQ-AF=6-2t-t=6-3t,
易求△EGQ∽△QDF,
∴[EG/QF]=[GQ/DF],
即[t/6−3t]=

3t
2
t,
解得t=[18/11],
综上所述,t=[18/11]或3秒时,△QED为直角三角形.

点评:
本题考点: 二次函数综合题.

考点点评: 本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的判定与性质,三角形的面积,二次函数的最值问题,难点在于(2)②要分情况讨论.

1年前

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解题思路:(1)过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,求出GM=HN,求出∠GME=∠HNF=90°,∠GEM=∠HFN,证出△GME≌△HNF即可;
(2)过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,根据菱形面积公式求出GM=HN,求出∠GME=∠HNF=90°,∠GEM=∠HFN,证出△GME≌△HNF即可;
(3)过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,根据平行四边形面积公式求出[GM/HN]=[BC/AB]=[b/a],求出∠GME=∠HNF=90°,∠GEM=∠HFN,证出△GME∽△HNF即可.

(1)EG=FH,
理由是:过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC=AB,AD∥BC,DC∥AB,AD=BC,∠D=∠A=∠B=∠C=90°,
∴GM∥AD∥BC,HN∥DC∥AB,
∴四边形ADGM、四边形GMBC、四边形AHNB,四边形DCNH是平行四边形,
∴DC=HN=AB,AD=GM=BC,
∴HN=GM,
∵∠ADC=∠HOE=90°,
∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°,
∵AD∥BC,DC∥AB,
∴∠NFH=∠DHF,∠DGE+∠GEM=180°,
∴∠HFN=∠GEM,
∵HN⊥BC,GM⊥AB,
∴∠GME=∠HNF=90°,
在△GME和△HNF中


∠GEM=∠HFN
∠GME=∠HNF
GM=HN
∴△GME≌△HNF(AAS),
∴EG=FH;

(2)EG=FH,
理由是:过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,
∵四边形ABCD是菱形,
∴DC=AB=BC,AD∥BC,DC∥AB,
∵菱形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN,
∴GM=HN,
∵GM⊥AB,HN⊥BC,
∴∠GME=∠HNF=90°,
∵∠ADC=∠HOE,
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°,
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°,
∵AD∥BC,DC∥AB,
∴∠NFH=∠DHF,∠DGE+∠GEM=180°,
∴∠HFN=∠GEM,
在△GME和△HNF中


∠GEM=∠HFN
∠GME=∠HNF
GM=HN
∴△GME≌△HNF(AAS),
∴EG=FH.
(3)[EG/FH]=[b/a],
理由是:过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,DC∥AB,
∵平行四边形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN,
∵AB=a,AD=b,
∴[GM/HN]=[b/a],
∵GM⊥AB,HN⊥BC,
∴∠GME=∠HNF=90°,
∵∠ADC=∠HOE,
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°,
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°,
∵AD∥BC,DC∥AB,
∴∠NFH=∠DHF,∠DGE+∠GEM=180°,
∴∠HFN=∠GEM,
∴△GME∽△HNF,
∴[EG/FH]=[GM/HN]=[b/a],
故答案为:[EG/FH]=

点评:
本题考点: 四边形综合题.

考点点评: 本题考查了正方形性质,平行四边形性质,菱形性质,面积公式,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定的应用,题目具有一定的代表性,证明过程类似.

(2012•南湖区二模)如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=2,
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OB=4,P为线段AB的中点,反比例函数y=[k/x]的图象经过P点,Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点,经过点Q的直线交x轴于点C,交y轴于点D,且QC=QD.下列结论:①k=2;②S△COD=4;③OP=OQ;④AD∥CB.其中正确结论的个数是(  )
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②根据Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点,设Q点(a,[2/a]),经过点Q的直线交x轴于点C,交y轴于点D,且QC=QD,Q为CD的中点可得C、D点坐标,再根据三角形面积公式,可得S△COD=[1/2]×2a×[4/a]=4;
③根据OP=OQ可得Q(2,1),即当点Q的坐标是(2,1)时,该结论才成立;
④根据两直线中K相等B不相等两直线平行,即kad=-[2/a];kcb=-[2/a],kad=k cb,可得AD∥CB.

①∵在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=2,OB=4,
∴A点坐标(2,0)B点坐标(0,4),
∵P为线段AB的中点,
∴P点坐标(1,2),
∵反比例函数y=[k/x]的图象经过P点,
∴2=[k/1],∴K=2,原说法正确,故①符合题意;
②由Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点,设Q点(a,[2/a]),
∵经过点Q的直线交x轴于点C,交y轴于点D,且QC=QD,Q是CD的中点,
∴C(2a,0)D(0,[4/a])
S△COD=[1/2]×2a×[4/a]=4,原说法正确,故②符合题意;
③设Q点为(a,[2/a]),
由OP=OQ即
(0-1)2+(0-2)2=
(0-a)2+(0-
2
a)2,
解得a=±2或a=±1,
即Q(2,1),(-2,-1),(1,2),(-1,-2)
∵反比例函数y=[k/x]的图象位于第一象限,
∴Q(-2,-1),(-1,-2)不在反比例函数y=[k/x]的图象上,
∵点Q异于点P(1,2),存在Q点(2,1)在反比例函数y=[k/x]的图象上,
∴只有当点Q的坐标是(2,1)时,OP=PQ才成立,故③不符合题意;
④∵kad=-[2/a];kcb=-[2/a],kad=k cb,
∴AD∥CB,原说法正确,故④符合题意.
故应该选:C.

点评:
本题考点: 反比例函数综合题.

考点点评: 本题考查了反比例函数图象上的点满足解析式,以解析式为坐标的点在反比例函数的图象上,待定系数法求解析式,直线解析式中k相等b不相等时,两直线平行.要注意认真分析每一结论,得出正确答案.