指数式与对数式转化

解　（1）因为5 ³ =125，所以log ₅ 125=3．
因为3 ^-2 =
1
9 ，所以log ₃
1
9 =-2．
因为 (
1
4 ) ^-2 =16，所以 lo g
1
4 16=-2 ．
（2）因为 lo g
1
2 8=-3 ，所以 (
1
2 ) -3 =8；
因为lg1000=3，所以10 ³ =1000．

指数式和对数式不一定能互相转化
转化的前提是指数的底数大于0且不等于1
比如(-2)^3=-8就无法转化为对数式.

1、2=log6,36 2、3=log5,125 3、-3=log₂,1/8 4、-4=log1/2,16
5、1/3=log27,3 6、0=log7.6,1 7、-3/4=log81,1/27
8、-3=log10,0.001 =lg0.001
9、x=loge,6=ln6
10、x=log4,y

解题思路：利用指数式与对数的互化：a^b=N⇔log_aN=B（a＞0，a≠1，）即可得出．

∵3^x=1化为对数式应为lg₃1=x，故A不正确．
故选A．

点评：
本题考点： 指数式与对数式的互化．

考点点评： 熟练掌握指数式与对数的互化：ab=N⇔logaN=B（a＞0，a≠1，）是解题的关键．

∵ 9
1
2 =3化为对数式应为lg ₉ 3=
1
2 ，故C不正确．
故选C．

指数式b ³ =a （b＞0，且b≠1）所对应的对数式是：log _b a=3．
故选D．

(1)x=log3(1) (2)x=log(4)六分之一 (3)x=log(4)2 (4)x=log(2)0.5 (5)x=lg25 (6)log(5)6 还有 是次方不是平方

lg(1/10000)=-4〔你少打1个零〕
设x^(-4)=1/10000
x=10
写成对数形式即10^(-4)=1/10000

一：
有原使式得（x-y）（x+2y）=2xy
化简得X^2-xy-2y^2=0
除以xy后得x/y-1-y/x=0
令x/y=t
则t-1/t=1→t^2-t-2=0
解得t=2或t=-1
因2xy＞0
所以t＞0
x/y=2
二：
lga+lgx)(lgb+lgx)=-1
展开 lgx平方+（lga+lgb）lgx+lgalgb=-1
因为方程有解,所以△=（lga+lgb）的平方—4（lgalgb+1）>0
化简得lga-lgb>2或lga-lgb100或0〈a/

1)x=log4(1/6)
2)x=log4(2)
4为底数,写在log下围下标
1/6为真数,写在log旁边
x为指数,也就为对数式的对数
a^x=N
x=loga(N)

对数是指数的逆运算,没有指数运算,就谈不上对数运算.
如果底数a不是大于零的,那么指数函数的图像根本没法画；因此必须保证a>0,
同时,如果a=1,那么在N=1时,b可取任意值,如果a=1,N不等于1,那么b无解.
有了对a的限制后再看N,a的限制保证了a的b次方（即N）必为大于等于零的数.否则又与之前的条件矛盾了.
关键应深刻理解对数的由来、意义,才能掌握其算法和应用.

x=log4 1/6 那个4为下标
log4 1/6 就是结果了 不用进一步计算的

㏒2（1/64）=-6
㏒1/3（5.73）=m
0.5^-4=16

用欧拉公式 exp(ix)=cosx+isinx.
那么所有的问题都可以这么做.要让实数部分和虚数部分的平方和为1
（1）exp(ix)=cosx+isinx=0+i*1,可以取x=pi/2.
三角式：cospi/2+isinpi/2,指数式exp（ipi/2)
(2)1+根号3*i=2（1/2+i*根号3/2）,cosx=1/2,sinx=根号3/2,x可以取pi/3.
三角式：2（cospi/3+i*sinpi/3) 指数式：exp(i pi/3)

复数一般形式a+bi三角形式r(cosa+i*sina),其中r是该复数的模,a称为这个复数的幅角.另外复数还有欧拉公式：e^(ia)=cosa+i*sina,欧拉公式实现了复数的幂运算和四则运算的互化……

=(3√2)^(1/2)
=3^(1/2)×2^(1/4)

解题思路：利用指数式与对数的互化：a^b=N⇔log_aN=B（a＞0，a≠1，）即可得出．

∵9
1
2=3化为对数式应为lg₉3=[1/2]，故C不正确．
故选C．

点评：
本题考点： 指数式与对数式的互化．

考点点评： 熟练掌握指数式与对数的互化：ab=N⇔logaN=B（a＞0，a≠1，）是解题的关键．

就是一个基数x,按时间指数衰变为x^(-t)

题目=[√﹙lg²3－2lg3＋1﹚×﹙1.5lg3＋3lg2－3﹚]/（lg3-lg10）×lg1.2
=√（lg3-1）²×1.5×﹙lg3+lg4－lg100﹚]/（lg3-lg10）×（lg12-lg10）
=（1-lg3）×1.5×﹙lg3+lg4－lg100﹚]/（lg3-1）×（lg12-lg10）
=-1.5×﹙lg3+lg4－lg100﹚]/（lg12-lg10）
=-1.5×﹙lg1.2－1﹚]/lg1.2
=-1.5+1.5/lg1.2
=1.5/lg1.2-1.5

一个是lognx,一个是a^x

这是超越方程了,没有求根公式.但可用多种数值方法求出.
需要认识到的是,数值方法也是可以求出精确值的,要多精确有多精确.
比如用牛顿迭代法：
这里f(x)=a^x-bx
f'(x)=a^x lna-b
令x0=0
X(n+1)=Xn-f(Xn)/f'(Xn)=xn-(a^xn-bxn)/(a^xn lna-b)
因为指数函数的斜率很大,因此这种方法的收敛速度极快.
比如令a=3,b=10,解3^x=10x
x0=0
x1=0.1123420338974...
x2=0.1132486765231...
x3=0.1132487406409...
x4=0.1132487406409...
迭代3次已经超过10位的精确度了,对实际应用来说,足够了.

第一个是x=-In2
第二个：x=1/2
不懂得可以详细的问我

1)z=2sin(a/2)[sin(a/2)+icos(a/2)]=2sin(a/2)e^(ai/2)
2)z=e^(1+i)=e*e^i=e(cos1+isin1)

指数函数和对数函数·习题解法提要 -------------------------------------------------------------------------------- 作者：- 日期 2006-08-02 07:18:33 （1）可通过指数函数或对数函数的单调性来比较两个指数式或对数式的大小.（2）求函数y=af（x）的单调区间,应先求出f（x）的单调区间,然后根据y=au的单调性来求出函数y=af（x）的单调区间．求函数y=logaf（x）的单调区间,则应先求出f（x）的单调区间,然后根据y=logau的单调性来求出函数y=logaf（x）的单调区间.（3）根据对数的定义,可将一些对数问题转化为指数问题来解.（4）通过换底,可将不同底数的对数问题转化为同底的对数问题来解.（5）指数方程的解法：（iii）对于方程f（ax）=0,可令ax=y,换元化为f（y）=0.（6）对数方程的解法：
（ii）对数方程f（logax）=0,可令logax=y化为f（y）=0.（7）对于某些特殊的指数方程或对数方程可通过作函数图象来求其近似解.

解题思路：利用指数式与对数的互化：a^b=N⇔log_aN=B（a＞0，a≠1，）即可得出．

解　（1）因为5³=125，所以log₅125=3．
因为3^-2=[1/9]，所以log₃[1/9]=-2．
因为(
1
4)^-2=16，所以log
1
416＝−2．
（2）因为log
1
28＝−3，所以(
1
2)−3=8；
因为lg1000=3，所以10³=1000．

点评：
本题考点： 指数式与对数式的互化．

考点点评： 熟练掌握指数式与对数的互化：ab=N⇔logaN=B（a＞0，a≠1，）是解题的关键．

（1）3 ² =9；
（2）5 ³ =125；
（3） 2 -2 =
1
4 ；
（4） 3 -4 =
1
81 ．

1把对数式ln10=X 转化为指数式:10=e^x

C

解题思路：若log_aN=b，则a^b=N；由此可以把对数式写成指数式．

（1）3²=9；
（2）5³=125；
（3）2−2＝
1
4；
（4）3−4＝
1
81．

点评：
本题考点： 指数式与对数式的互化．

考点点评： 本题考查指数式和对数式的互化，解题时要注意logaN=b⇔ab=N．

应该是“任何一个指数式都可以化为对数式”吧?因为代数式是一个很广泛的概念.
看清楚哟?
（-2）＾2=4有数学意义,但是log(-2)4=2没有意义.你现在可以自己决定“任何一个指数式都可以化为代数式”这种说法是对还是错了.答案是否定的.

a的x次幂等于N
log以a为底N对数等于x

loge10=2.3
e2.3=10

logab=c 就相当于 a的c次方等于b 按照这个公式去做

log以27为底3分之一的对数等于负的3分之一

两种形式的互化为：
3^x=4
底始终不变,两位位置对调,切换对数符号；

a^b=N 是指数式
logaN=b 对数式
且他们互为反函数

log2(1/8)=-3

一个数如果不是正数,它就没有对数是对的.
指数式和对数式一定能互相转化.是错的.因为0的x次方是指数形式,但是0是不能求对数的.没有相应的对数式.

log(a)(n)函数叫做对数函数.对数函数中x的定义域是x>0,零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1.　对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上,一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier,1550-1617年）男爵.在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于独立发明了对数.当然,纳皮尔所发明的对数,在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样.在纳皮尔那个时代,“指数”这个概念还尚未形成,因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样,通过指数来引出对数,而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么,当时纳皮尔所发明的对数运算,是怎么一回事呢?在那个时代,计算多位数之间的乘积,还是十分复杂的运算,因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：
　　n 0、1、2、3、 4、 5、 6、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、……
　　2^n 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
　　这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数,第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积,可以通过第一行对应数字的加和来实现.比如,计算64×256的值,就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14,对应第二行中的16384,所以有：64×256＝16384.纳皮尔的这种计算方法,实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了.回忆一下,我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候,采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积,先查《常用对数表》,找到这两个复杂数的常用对数,再把这两个常用对数值相加,再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值,就是原先那两个复杂数的乘积了.这种“化乘除为加减”,从而达到简化计算的思路,不正是对数运算的明显特征吗?经过多年的探索,纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》,向世人公布了他的这项发明,并且解释了这项发明的特点.所以,纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”,理应在数学史上享有这份殊荣.伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中,曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace,1749-1827）曾说对数可以缩短计算时间,“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.
　定义：
　　若a^n=b(a>0且a≠1)
　　则n=log(a)(b)
　　基本性质：
　　1、a^(log(a)(b))=b
　　2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
　　3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
　　4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
　　推导
　　1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b.
　　2、MN=M×N
　　由基本性质1(换掉M和N)
　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
　　又因为指数函数是单调函数,所以
　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
　　3、与（2）类似处理
　　MN=M÷N
　　由基本性质1(换掉M和N)
　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
　　又因为指数函数是单调函数,所以
　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
　　4、与（2）类似处理
　　M^n=M^n
　　由基本性质1(换掉M)
　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
　　又因为指数函数是单调函数,所以
　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
　　基本性质4推广
　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
　　推导如下：
　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(a^n)÷ln(b^n)
　　由基本性质4可得
　　log(a^n)(b^m) = [n×ln(a)]÷[m×ln(b)] = (m÷n)×{[ln(a)]÷[ln(b)]}
　　再由换底公式
　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完）在实用上,常采用以10为底的对数,并将对数记号简写为lgb,称为常用对数,它适用于求十进伯制整数或小数的对数.例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表,便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值.在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数,并将记号 loge.简写为ln,称为自然对数,因为自然对数函数的导数表达式特别简洁,所以显出了它比其他对数在理论上的优越性.历史上,数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表.但随着电子技术的发展,这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代

1.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式
①2^-5=1/32
log2 1/32=-5
②log 1/2 64=-6
(1/2)^(-6)=64
③1g0.01=-2
10^(-2)=0.01
④ 1n10=2.303
e^2.303=10
2.求下列各式中的x的值：
①log 64 x=-2/3
x^(-2/3)=64=(1/64)^(-1)=(1/8)^(-2)=(1/512)^(-2/3)
x=1/512
② log x 8=6
x^6=8=2^3=(√2)^6
x=√2
③1g1000=x
10^x=1000=10^3
x=3
3.求下列各式中x的屈指范围.
① log (x-1) (x+2)
真数大于0,x+2>0,x>-2
底数大于0,x-1>0,x>1
底数不等于1,x-1≠1,x≠2
所以x>1且x≠2
② log (x-2) (1-2x)^2
真数大于0,(1-2x)^2>0,1-2x≠0,x≠1/2
底数大于0,x-2>0,x>2
底数不等于1,x-2≠1,x≠3
所以x>2且x≠3

((a^4/3-8(ab)^1/3)/(a^2/3+2(ab)^1/3+4a^4/3))/(1-2(b/a)^1/3)
=a^(1/3) *(a-8b^(1/3))/(a^(1/3) *(a^(1/3)+2b^(1/3)+4a))/(1-2(b/a)^(1/3))
=(a-8b^(1/3))/(a^(1/3)+2b^(1/3)+4a)/(1-2(b/a)^(1/3))

x=lg0.3　　10^x=0.3
x=ln√3 e^x=√3

设每一个值都等于x
1)
0.1^x=0.1
2)
100^x=1
3)
6^x=216
4)
5^x=625
5) ,6）已经是指数式的了；

∵loga（b）=C可化为a的c次方=b
∴logx(y的七次方根)=z可化为y七次方=x的z次方
∴选A