半正定矩阵的对角元素是不是一定非负?

A是n阶方阵,如何证明A*A^T是半正定矩阵

A是n阶方阵,如何证明A*A^T是半正定矩阵
A乘以A的转置得到的矩阵

liu**wfcl1年前1

灵珑叶 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%

x^T(AA^T)x
= (A^Tx)^T(A^Tx)
这是 A^Tx 与 A^Tx 的内积, 恒有
>=0
所以 AA^T 半正定
(对称略)

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超难高等代数题 A,B为n阶半正定矩阵,A的秩＝n-1,证明存在可逆阵P,使P(转置)AP,P(转

超难高等代数题 A,B为n阶半正定矩阵,A的秩＝n-1,证明存在可逆阵P,使P(转置)AP,P(转
超难高等代数题
A,B为n阶半正定矩阵,A的秩＝n-1,证明存在可逆阵P,使P(转置)AP,P(转置)BP为对角阵

gg乔木1年前1

EdisonLiuB 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%

ank(A)=n-1这个条件没用
先取可逆阵C使得C^T(A+B)C=diag{I,0},再用正交变换把C^TAC对角化即可

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怎样证明n阶实矩阵退化则A乘以A的转置是半正定矩阵

xddl1年前1

长度小 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

因为n阶实矩阵A退化,
故IAI=0.
从而IA'I=IAI=0.
所以IAA'I=IAI*IA'I=0.
故AA'的特征值都大于等于0,且至少有一个特征值等于0.
因此对于任意的实非零列向量x,
则有x'(AA')x>=0.
故AA'是正定矩阵.

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设A是秩为r的n阶实对称半正定矩阵.证A可表为r个秩为1的n阶实对称半正定矩阵之和

weilinini1年前1

就是不顶超女帖 共回答了20个问题 | 采纳率90%

如图,可以利用对称阵的规范型写出分解表达式.经济数学团队帮你解答,请及时评价.

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高等代数证明求解高等代数题设A,B为n阶半正定矩阵,证明:AB的特征值全是非负实数

网事随风9291年前2

ssznr2006 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%

任意的向量X,有X^T A X 及X^T B X 大于等于0,
那么X^T AB X = XX^T(X^T A B X)/XX^T=(X^T A X X^TB X)/XX^T,
又有XX^T大于等于0,所以X^T AB X 大于等于0,
即矩阵AB半正定,所以它的特征值全是非负实数.

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试证：若A是n阶正定矩阵,B是n阶半正定矩阵,则A+B是正定矩阵

waitsleep1年前2

石榴石001 共回答了23个问题 | 采纳率95.7%

任意非0向量x xAx>=0
对同一x xBx>0
xAx+xBx>0
x(A+B)x>0
所以A+B正定

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设A为半正定矩阵且A不为0,证明⑴|A+E|＞1 ⑵若B为正定Hermit矩阵,证明：|A+B|＞|B|

a280901年前1

emilly_tan 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%

设A为半正定矩阵且A不为0,===》A的特征值都不小于0,且不全为0
===》A+E的特征值都不小于1,且不全为1===》|A+E|＞1
⑵若B为正定Hermit矩阵,《====》B=PP^T.,P^{-1}AP^T^{-1}半正定.
|A+B|=|A+PP^T|=|P| |P^{-1}AP^T^{-1}+E| |P^T|=|B||P^{-1}AP^T^{-1}+E|
＞|B|

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对称半正定矩阵一定可以特征值分解吗?

对称半正定矩阵一定可以特征值分解吗?
假设A是对称半正定矩阵,那么A一定可以分解为A=SD(ST)的形式吗?
其中S是正交矩阵,D为对角阵,ST是S的转置
一些方阵是无法特征值分解的,因为某个特征值对应特征向量的个数小于其在行列式中的幂
有什么性质使得对称半正定矩阵的特征值必然对应足够的特征向量呢?
简略证明之.
实际上也就是请证明这个定理:
设A为n阶对称矩阵，x为A特征方程的r重根，那么矩阵A-x*I的秩为n-r

fififhj1年前3

伊小曼 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%

只要是对称矩阵就能特征值分解.线性代数书上都会讲这个结论.如果A是半正定阵的话,那么D的对角元一定是非负数.如果手头有线性代数的书可以翻看一下,一定会有一章讲对称阵的正交对角化问题的.

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A是n阶正定矩阵,B是n阶半正定矩阵,A^2=B^2.证明：B是正定矩阵,且A与B相似

uhwn51年前1

HUJINE 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

如果B不是正定的,那么一定有Bx=0,x!=0
因此x'B^2x=(Bx)^2=0
但是x'B^2x=x'A^2x!=0矛盾
因此B正定.
相似很好证明了啊,A^2=B^2,两者的特征矩阵也一样,所有特征值都一样了,那么不就相似了么.

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什么叫半正定矩阵

牙刷长大了1年前1

wuminfei 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%

具有对称矩阵A的二次型f=x’Ax,如果对任何非零向量x,都有x’Ax≥0（或x’Ax≤0）成立,且有非零向量x0,使x0'Ax0=0,则称f为半正定（半负定）二次型,矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）.即有定义：设A是实对称矩阵.如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX≥0,就称A为半正定矩阵.判定A是半正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于或等于零.

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A是半正定矩阵,有f(x)=X'AX,f(y)=Y'AY,证明:(X'AY)(X'AY)

hnljdyb1年前1

66yin66 共回答了21个问题 | 采纳率76.2%

如果A是正定的, = X'AY是一个内积,这个不等式就是Cauchy不等式.
我们不妨用同样的办法去证明.
对任意向量X,Y与实数t,考虑g(t) = (tX+Y)'A(tX+Y) = f(X)t²+2(X'AY)t+f(Y).(A对称故X'AY = Y'AX).
由A半正定,有g(t) ≥ 0对任意实数t成立,作为关于t的二次函数,有判别式 ≤ 0.
即4(X'AY)² ≤ 4f(X)f(Y),于是(X'AY)² ≤ f(X)f(Y).
另外其实还有合同变换的方法,A半正定,双线性函数X'AY在某可逆变数替换下变为标准型
x_1*y_1+...+x_r*y_r,其中r是A的秩.
(x_1*y_1+...+x_r*y_r)² ≤ ((x_1)²+...+(x_r)²)((y_1)²+...+(y_r)²)就是原本的Cauchy不等式了.

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A是半正定矩阵,有f(x)=X'AX,f(y)=Y'AY,证明:(X'AY)(X'AY)

残翼落羽1年前1

和耳边熟 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%

这个不等式,在矩阵的合同变换下,是等价的.
正定矩阵,合同于单位矩阵.
半正定矩阵,合同于单位矩阵搭配上全零矩阵,就是
[ I 0
0 0]的样子.
所以,去掉那些零矩阵（没用的量,不影响结果）,实际上对于A半正定的条件,我们可以直接假定A=I.
所以,相当于要证明(X'Y)(X'Y)

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正定矩阵 特征值非负正定矩阵充要条件是所有特征值为正,如果说所有特征值非负呢?什么叫半正定矩阵?

findabledrinker1年前1

远爱上辛 共回答了13个问题 | 采纳率76.9%

对,非负即半正定
不过说正定不半正定的前提是对称矩阵

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A,B都是n阶半正定矩阵,证明：AB的特征值都≥0

firstzc1年前1

jmex 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%

首先,如果A正定B半正定的话可以利用相似变换,AB相似于A^{-1/2}(AB)A^{1/2}=A^{1/2}BA^{1/2},所以特征值都>=0
然后利用特征值的连续性,AB的特征值可以看作(A+tI)B的特征值的极限,仍然>=0

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lapack求半正定矩阵广义特征值

lapack求半正定矩阵广义特征值
广义特征值问题Ax=λBx,其中B只有主对角线上有元素,且这些元素中含有零,其他的均为正数,请问用LAPACK中哪个函数可以求解这类问题的特征值?
我试过直接调用DGEGV，还是不能计算。如果按照你说的不直接调函数，那么“然后再把正交变换应用到B上提取有限特征值，余下的是无穷特征值或者退化的情形”是什么意思？是要把B的平方根的Moore-Penrose逆也乘到B的两边吗？那么前面A调用DSYEV求出的特征值和整个问题的特征值有什么关系？

cupbord11年前1

lichunhua1981 共回答了8个问题 | 采纳率75%

这种问题不要直接调函数,先把B的平方根的Moore-Penrose逆乘到A的两边,然后对A调用DSYEV,然后再把正交变换应用到B上提取有限特征值,余下的是无穷特征值或者退化的情形.
如果一定要偷懒,直接调函数,那么就用DGEGV.

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老师您好,设A,B均为n阶半正定矩阵,如何证明：AB的特征值都是实数?

湘潭过客1年前1

xiaoninguse 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

提示：
1. 如果X和Y是n阶方阵,那么XY和YX的特征值相等
2. 存在矩阵C使得A=CC^T

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正定矩阵和半正定矩阵的转化如果已知对称矩阵A是不定的,K是正定的,（具体一点,矩阵A是A(ij)=A(ji)=0.5,其

正定矩阵和半正定矩阵的转化
如果已知对称矩阵A是不定的,K是正定的,（具体一点,矩阵A是A(ij)=A(ji)=0.5,其余元素为0）,是否存在K=XX‘使得X'AX是半正定的.

deeplang1年前1

win0311 共回答了27个问题 | 采纳率88.9%

不存在,注意到X是可逆阵

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设A,B均是n阶实对称矩阵,且A是正定矩阵,B是半正定矩阵,证明|A+B|＞|B|

samhida1年前0

共回答了个问题 | 采纳率

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a为正定矩阵,a－b为半正定矩阵,为什么使a,b合同对角化的可逆矩阵s相等?

林言mm_1年前2

yelin529 共回答了20个问题 | 采纳率90%

1.注意问题的讲法,应该是能够找到一个使得a和b同时合同对角化的可逆矩阵s,而不是说分别使a和b合同对角化的可逆矩阵s1,s2一定满足s1=s2.
2.楼上的方法是错的,错误在于“因为v是正交矩阵,所以v^(-1)u^(-1)auv=v'u'auv还是对角矩阵”,不信可以找2阶的例子试试.
3.正确的做法,先用普通的合同变换把a变成单位阵,即c'ac=e（注意,对角阵还不够）,然后再用正交变换v把c'bc化成对角阵,此时v'c'acv=e保持不变,于是可以取s=cv.
这里不能指望s是正交阵,因为事实上s的每一列都是广义特征值问题的特征向量,具有一定意义的唯一性,所以没有很大的松动余地.

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设A,B是n阶半正定矩阵,A+B正定Ax=0且Bx=0只有x=0

苹果桃1年前1

前卫老师 共回答了23个问题 | 采纳率95.7%

充分性：
若Ax=0和Bx=0没有非零公共解,那么任取非零向量x,x'Ax和x'Bx不同时为零,必有x'Ax+x'Bx>0,即A+B正定.
必要性：
若A+B正定,假定Ax=0和Bx=0有公共的非零解x,那么x'(A+B)x=0,矛盾.

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A,B可交换且是对称半正定矩阵,证明AB是对称半正定矩阵.注意是半正定!

oo0o0o0o0o0oo喵1年前2

4ix5rf 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

A,B是对称的,可交换的故他们可同时对角化.且AB可与其同时对角化.
A,B是半正定的,对角化后对角线上的结果是非负的.
故AB对角化后的结果对角线上非负.
故AB是半正定的.
另外对称是显然的.

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线性代数问题,两个半正定矩阵的对应元素相乘之后的新矩阵还是半正定矩阵吗?

线性代数问题,两个半正定矩阵的对应元素相乘之后的新矩阵还是半正定矩阵吗?
具体表述如下：
假设A矩阵和B矩阵都是半正定的,那么A和B(A、B尺寸相同)的对应元素相乘之后的新矩阵C,仍然是半正定的吗?

dd88411年前0

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A为n阶实对称矩阵,B为半正定矩阵,求证AB特征值全为实数

摄美1年前1

vs19910621 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

注意CC^TB相似于C^{-1}(CC^TB)C=C^TBC即可

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设A,B均为n阶实对称矩阵,且A是正定矩阵,B≠0为半正定矩阵.证明:|A+B|>|A|

njfe1年前0

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设A为半正定矩阵,证明:对任意的正实数ε,εE+A为正定矩阵

JH_MTP1年前1

HZJC202 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

因为A为半正定矩阵
所以对于任意列向量aT,都有aT*A*a>=0
则,aT*(εE+A)*a=aT*εE*a+aT*A*a=ε*aT*E*a+aT*A*a
因为单位矩阵E为正定矩阵
所以aT*E*a>0,又因为ε>0,所以ε*aT*E*a>0
所以ε*aT*E*a+aT*A*a>0
所以εE+A为正定矩阵

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老师您好,我有个证明题想向您提问,问题如下:A,B均为n阶Hermit半正定矩阵,证明:如果tr(AB)=0,则AB=0

老师您好,我有个证明题想向您提问,问题如下:A,B均为n阶Hermit半正定矩阵,证明:如果tr(AB)=0,则AB=0;

sxqskyline71年前2

sjcnokia88 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%

提示一下: 不妨设A是对角阵

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为什么说半正定矩阵的行列式大于等于0?

大灰狼青竹1年前2

JX麦麦 共回答了21个问题 | 采纳率100%

因为半正定矩阵的特征值>=0
半正定矩阵是对称矩阵 所以可以对角化(定理)
A=P*B*P^-1
|A|=|B|>=0
即证

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矩阵一小题设A为n阶实矩阵,A不等于0阵,A的行列式=0,则矩阵B=AA（T）是（半正定矩阵）,期中A(T)是A转置,是

矩阵一小题
设A为n阶实矩阵,A不等于0阵,A的行列式=0,则矩阵B=AA（T）是（半正定矩阵）,期中A(T)是A转置,是为什么呢

冰激凌不相信眼泪1年前1

eltonlee 共回答了19个问题 | 采纳率100%

对任一n维列向量x
x^T(AA^T)x = (A^Tx)^T(A^Tx) >=0
又因为 |A| = 0,所以 |A^T| = 0
所以齐次线性方程组 A^TX=0 有非零解x1
此时 x1^T(AA^T)x1 = 0
所以 AA^T 半正定.

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正定矩阵是半正定矩阵吗?

zhaoguixiong1年前3

必带铅笔刀 共回答了20个问题 | 采纳率85%

正定矩阵是半正定矩阵,半正定矩阵不是正定矩阵

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A为正定矩阵,B为半正定矩阵,证|A+B|>|A|

最爱香蕉1年前1

拿什么和你计较 共回答了12个问题 | 采纳率83.3%

A为正定矩阵,存在可逆的Q,Q^TAQ=E,Q^T（A+B）Q=E+Q^TBQ,然后用正交矩阵U把Q^TBQ（半正定）化为对角型,|Q^TAQ|=1,|Q^T（A+B）Q|>1,即可得证,过程自己完善吧

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