戴德金的分割理论的一种情况是下组没有最大有理数,同时上组也没有最小有理数,这种分割对应的就是无理数.我有个地方想不通,比

证明：任意两个无理数之间必有一个有理数
证明：设α,β∈R,且α1,即β-α>(1/N) 任意取定有理数γ0,α-γ>0,故由阿基米德性,存在自然数m,使得γ+(m/N)>α.可见,数列{γ+(m/N)}中总有一项大于α.设 γ+(n(0)/N) 为此数列第一个大于α的项,于是γ+(n(0)-1)/n ≤ α,故 γ+(n(0)/N)-β≤α-(n(0)-1)/N+(n(0)/N)-β =a+(1/N)-β

你提的问题视乎有问题,你在本书上看到定理的,它是怎么讲的?
戴德金分割

由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.假设给定某种方法,把所有的有理数分为两个集合,A和B,
A中的每一个元素都小于B中的每一个元素,任何一种分类方法称为有理数的一个分割.对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立:A有一个最大元素a,B没有最小元素.例如A是所有≤1的有理数,B是所有>1的有理数.
B有一个最小元素b,A没有最大元素.例如A是所有

D.康托尔!

可以说是的
因为第一次数学危机是由无理数引发的,而正是戴德金的戴德金分割彻底解决了无理数的存在性问题,从而真正解决了第一次数学危机.

举个简单的例子,你能说出正有理数集合的最大数最小数都是几么?或者小于等于1的有理数集合的最小数?
有限的数集才保证有最大最小数.