标准正交基下的向量坐标及其线性运算

在R4中求与a1=(1,0,1,0)T,a2=(1,0,1,1)T正交的两线性无关向量a3,a4,并求标准正交基

在R4中求与a1=(1,0,1,0)T,a2=(1,0,1,1)T正交的两线性无关向量a3,a4,并求标准正交基
答案把a1,a2也单位化了，标准正交基有四个向量，但a1,a2,单位化后内积不为零啊，四个向量不应该互为正交，内积都为零吗？

淡紫Season微蓝1年前1

wqidong 共回答了22个问题 | 采纳率86.4%

x1+x3＝0.x1+x3+x4＝0,得到 a3＝（1,0,-1,0）,a4＝（1,1,-1,0）
正交化b3＝a3.b4＝a4-[a3a4/a3²]a3＝（0,1,0,0）
标准正交基c3＝（1/√2,0,-1/√2,0） c4＝（0,1,0,0）

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求U一组标准正交基,

求U一组标准正交基,

兰轩雅韵1年前1

shineheyan 共回答了22个问题 | 采纳率95.5%

通过向量变换（位置变换,加、数乘）变成如下形式
【1 a1 a2】
【0 1 a3】
【0 0 a4】
那么 三个列向量就是正交基,再归一化就是标准正交基
所以矩阵A通过变换可得
【1 -1 1】
A'= 【0 1 1】
【0 0 2】
正交化这后
【1 -√2/2 √6/6】
A'= 【0 √2/2 √6/6】
【0 0 √6/3】
那么A'每个列向量a1,a2,a3就是一组标准正交基

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请教一个欧氏空间一组基化为标准正交基的问题

请教一个欧氏空间一组基化为标准正交基的问题
如图

｜β1｜应为（√2）,为什么ε1和ε2的计算结果为√2是分子,2是分母?还有β1/｜β1｜是向量β1的每个元素分别除以｜β1｜吗?

DYHGXY1年前1

gu_anliyuan 共回答了15个问题 | 采纳率80%

你的第2问答案是肯定的,相当于是向量数乘
关于你的第1问,我表示根号2分之一和2分之根号2本身就是同一个值,

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设二维欧式空间V的一组基为α1,α2,其度量矩阵（5,4 / 4,5）,求V的标准正交基到α1,α2的过渡矩阵

dxy7804031年前1

cjsh123456 共回答了21个问题 | 采纳率85.7%

设V的正交基b1,b2 到 a1,a2 的过渡矩阵为
k11 k12
k21 k22
则有 a1=k11b1+k12b2
a2 = k21b1+k22b2
再由度量矩阵得
5 = (a1,a1) = k11^2+k12^2
4 = (a1,a2) = k11k21 + k12k22
5 = (a2,a2) = k21^2 + k22^2
可得过渡矩阵为
1 2
2 1

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求线性变换在标准正交基下的矩阵设V是n维实内积空间,y 是V的单位向量,定义T:V→V,Tx=x-2(x,y)y,且已证

求线性变换在标准正交基下的矩阵
设V是n维实内积空间,y 是V的单位向量,定义T:V→V,Tx=x-2(x,y)y,且已证明T为正交变换,求T在某个标准正交基下的矩阵.
我是这样解的,不知对否,
设y=(y1,y2,……yn),且（y1^2+y2^2+……+yn^2）^1/2=1
T的某标准正交基为e1=(1,0,0……0),e2=(0,1,0……0)……en=(0,0……1)
所以,Te1=e1-2(e1,y)y=(1-2(y1^1/2)y1,-2(y1^1/2)y2……-2(y1^1/2)yn)
=(1-2(y1^1/2)y1)*e1-2(y1^1/2)y2*e2-……-2(y1^1/2)yn*en
同理可求得其他,由此便得出矩阵.
全部的分了,
不知这种求法对否?

奋力奔跑的狼1年前1

逍遥求醉 共回答了24个问题 | 采纳率87.5%

设 e1,e2,...,en 是V的标准正交基
设 y = k1e1+.+knen,
则 (ei,y) = ki
Te1 = e1-2(e1,y)y = e1 - 2k1 (k1e1+.+knen)
= (1-2k1^2)e1 -2k1k2e2 - ...-2k1knen
T(e1,e2,...,en) = (e1,e2,...,en) (按上写出矩阵A)
则 A = E - 2 (k1,k2,...,kn)(k1,k2,...,kn)^T
= E - 2yy^T

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证明:如果η1,η2.ηn是R^n的一组标准正交基,A为n阶正交矩阵,则Aη1,Aη2……Aηn也是一组标准正交基

假面星期五1年前1

小妖观雾 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

B=[Ae1 Ae2 ...Aen]=A[e1 e2 ...en]=AE,其中E是由e1,...,en构成的正交阵,只需证明B是正交阵,则B的列向量就是一组标准正交基.B^TB=E^TA^TAE=E^TE＝I（单位阵）,故B是正交阵

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证明a1,a2,...an和b1,b2,...bn是V的两组标准正交基的充要条件是他们的过渡矩阵是正交矩阵

walker91年前1

如果爱三三 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

一方面,若aibj=0(i/=j);1(i=j)
则为标准正交基,则其过渡矩阵为正交矩阵
另一方面,过渡矩阵为正交矩阵,如果不是标准正交基,那么必然可以表示出来啊
再证明,k1a1+k2a2+……+knan=0前面系数k1,k2...kn都为0才行,就好了~

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关于向量空间的一个高难度问题标准正交化的意义是什么？要知道，自然基，就是一个最好的标准正交基。用那个斯密特正交化的意义到

关于向量空间的一个高难度问题
标准正交化的意义是什么？
要知道，自然基，就是一个最好的标准正交基。用那个斯密特正交化的意义到底是什么啊？
我不用标准正交化，也能用过度矩阵将其化为自然基啊？

gvsvymv4021年前3

baobao6121 共回答了22个问题 | 采纳率86.4%

标准正交化之后得到的矩阵是一个正交阵.正交阵的逆就是它的转置,就不用求逆了,
还有,若P是正交阵,则y=Px为正交变换,正交变换有保持线段长度保持不变的优良特性.

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知道n维空间的的r个线性无关向量,怎样求这个n维空间的标准正交基

寒谭映血1年前1

GZ蔡心 共回答了22个问题 | 采纳率100%

先将r个向量正交化
设 (x1,...,xn) 与已知的r个向量正交
可建立r个方程的齐次线性方程组
其基础解系含 n-r 个向量,正交化之
全部单位化即得标准正交基

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一道线性代数题设{a1,a2,a3}是R3的一组标准正交基,证明：b1=(1/3)(2a1＋2a2－a3),b2=(1/

一道线性代数题
设{a1,a2,a3}是R3的一组标准正交基,证明：b1=(1/3)(2a1＋2a2－a3),
b2=(1/3)(2a1－a2＋2a3),b3=(1/3)(a1—2a2—2a3)也是R3的一组标准正交基.
我也看过参考答案，也是这么个意思
就是捅不破向量相乘这层窗户纸
请明示
比如b1^2怎么算，b1*b2怎么算？这在线代哪部分讲的？

再见亦是朋友20051年前1

G14之拜仁慕尼黑 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%

呵呵.你先证b1,b2,b3是单位向量,方法相信你也知道把,就是把它们平方一下,有已知,可以说明他门的平方都是1,然后把他们两两相乘,由已知(a1*a2=0,a2*a3=0,a3*a1=0), 那么就可以证得他们两两相乘也是0,就证完了
我晕,a,b这些字母只是个表示,还有就是普通的代数运算呀
比如
b1^2=1/9(4a1^2+4a2^2+a3^2+8a1*a2-4a1*a3-4a2*a3)
然后由已知 a1^2=1 ,a2^2=1, a3^2=1,a1*a2=0,a1*a3=0,a2*a3=0,带入上式就可
线代里没讲,怎么乘好象是中学内容吧

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Pauli矩阵可被视为相对标准正交基|0>,|1>的二维Hilbert空间上的算子,试将每个Pauli算子表为外积形式

华大同1年前0

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设a1,a2,.,an是R^n中的一组标准正交基,k∈R,H = E - ka1a2^T

设a1,a2,.,an是R^n中的一组标准正交基,k∈R,H = E - ka1a2^T
证明a1是H的特征向量,并求与a1对应的特征值
证明k<1时,H是正定矩阵
讨论k为何值时,H为正交矩阵

清水木木鱼1年前0

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线性代数-标准正交基设a1,a2,a3,是3维欧式空间V的一组标准正交基,n1=(-a1+2a2+2a3)/3,n2=(

线性代数-标准正交基
设a1,a2,a3,是3维欧式空间V的一组标准正交基,n1=(-a1+2a2+2a3)/3,n2=(2a1+2a2-a3)/3,n3=(-2a1+a2-2a3)/3,求证：n1,n2,n3也是V的一组标准正交基

ttk47991年前1

黑土2008 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

这题比较容易,我说下思路你自己一定能完成.
由已知可得 |a1|=|a2|=|a3|=1 ,且 a1*a2=a2*a3=a3*a1=0 .
因此只须证明 |n1|=|n2|=|n3|=1,（可用 n1^2=n2^2=n3^2=1 来证）
且 n1*n2=n2*n3=n3*n1=0 .
计算都是多项式展开,自己写吧.

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设A,B为两个n阶正交矩阵,证明：AB-1的行向量构成n维欧式空间Rn的标准正交基

jackie11201年前1

胃妖 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%

两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵,
正交矩阵的逆仍是正交矩阵.
一个n阶矩阵的A行（列）向量可以构成Rn的标准正交基的充要条件是A是正交矩阵.
具体的说明,你自己补全下.

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模长一定的向量求导!在笛卡尔标准正交基中,点的位置随着时间变化,现有一个模长一定的向量,要求他的导数,请问1,怎么求?2

模长一定的向量求导!
在笛卡尔标准正交基中,点的位置随着时间变化,现有一个模长一定的向量,要求他的导数,请问
1,怎么求?
2,导数的意义是什么?
3,此向量和他的导数在某种情况下是垂直的是什么意思?
还有另一个小问题：笛卡尔标准正交基一定是三维的吗?

abedino1年前1

2491023 共回答了26个问题 | 采纳率76.9%

为了简单,只就平面上的向量讨论.
把向量的起点固定在原点,则它的终点（x,y）,满足x²+y²＝a²,（模长为a）
1.怎么求?设自变量为t,“导数”为（dx/dt,dy/dt）,有
2xdx+2ydy＝0.dy／dx＝-x/y.
2,导数的意义是什么?也是一个向量.表示（x,y）的变化“速度”
3,此向量和他的导数在某种情况下是垂直的是什么意思?
原来向量斜率为y/x,“导数”的斜率是（-x/y）,
（y/x）（-x/y）＝-1.即这两个向量是垂直的,
还有另一个小问题：笛卡尔标准正交基一定是三维的吗?
要看空间的维数,笛卡尔标准正交基的维数＝空间的维数.

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正交变换的证明题证明：A是n维欧式空间V的一个线性变换,若A在任一组标准正交基下矩阵是正交矩阵,那么A是正交变换.

wangfu99081年前1

v从不曾 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

根据定义,要证明是正交变换,只要证明该变换保持内积不变就行了.
设a,b是V中的两个向量,
a在标准正交基下的坐标是X=[x1,x2,...,xn]' ('表示转置)
b在标准正交基下的坐标是Y=[y1,y2,...,yn]'
设在该标准正交基下,线性变换的矩阵是A（根据题意,A是正交阵）.
a,b分别经过线性变换后得到c,d.
则c的坐标为AX,d的坐标为AY.
考察a和b的内积
==Y'*X
考察c和d的内积
==（AY）'*（AX）=Y'(A'A)X
由于A是正交阵,所以A'A=I
所以==Y'X
至此证明该变换保持内积不变,于是是正交变换.

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高等代数计算题：设V是4维欧氏空间,ε1,ε2,ε3,ε4是V的一组标准正交基

高等代数计算题：设V是4维欧氏空间,ε1,ε2,ε3,ε4是V的一组标准正交基
W是由α1,α2一切线性组合所构成的子空间,其中α1=ε1+ε2,α2=ε1+ε2-ε3
求W^⊥的一组标准正交基

秋雨泣1年前1

ALTQ_Q 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%

此题相当于求两个向量,使得这两个向量与α1,α2构成一组基,再将这组基用施密特正交化的方法化为标准正交基.不妨设这组基为α1,α2,α3,α4,化完的标准正交基为e1,e2,e3,e4,则W的正交补的标准正交基为e3,e4.

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高等代数：设R4中的两个向量a1=（1,0,0,0）T……如图,求标准正交基.

a3273215841年前1

淡泊清心 共回答了27个问题 | 采纳率88.9%

先找到与α1、α2均正交且线性无关的两个向量（解齐次线性方程组得到基础解系）,再进行Schimidt正交化使它们互相正交,最后进行单位化即可.

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高等代数问题求教高等代数习题求教设V为n维欧式空间,试证明从V的一个标准正交基（I）到基（II）间的过渡矩阵为正交矩阵,

高等代数问题求教
高等代数习题求教
设V为n维欧式空间,试证明从V的一个标准正交基（I）到基（II）间的过渡矩阵为正交矩阵,那么基（II）也是一个标准正交基.

puerwater1年前1

guor1212 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%

标准正交基（I）: E=[e_1,e_2,...,e_n]
基（II）: F=[f_1,f_2,...,f_n]
过渡阵Q形式上满足[f_1,f_2,...,f_n]=[e_1,e_2,...,e_n]Q, 简记成E = F*Q
那么 I=E^T*E => I=Q^TF^TFQ => F^TF=QQ^T=I, 所以F也是标准正交基
这里E^TE和F^TF只是形式运算, 可以理解成Gram矩阵
上面的所有形式运算都可以按分量的形式写一遍, 这样就不需要额外引进运算

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求解线性代数题1．设向量α在标准正交基ε1,ε2,ε3下的坐标为(1,-1,2),求内积(α,ε1-2*ε2-3*ε3)

求解线性代数题
1．设向量α在标准正交基ε1,ε2,ε3下的坐标为(1,-1,2),求内积(α,ε1-2*ε2-3*ε3).
2．设W为P^3*3中全体反对称矩阵构成的集合,证明W是P^3*3的子空间,并求W的维数与一组基.
3．设V是n维欧式空间,α,β≠0是V中固定向量且线性无关,证明V1={x｜(x,α)=(x,β)=0}是V的子空间,且dim(V1)=n-2.

liuyu8007011年前1

指间纱络 共回答了20个问题 | 采纳率80%

a=(ε1,ε2,ε3)(1,-1,2)’
b=(ε1,ε2,ε3)(1,-2,-3)’
(a,b)=a'b= (1,-1,2)[(ε1,ε2,ε3)'(ε1,ε2,ε3)](1,-2,-3)’
=(1,-1,2)I(1,-2,-3)’
=(1,-1,2)(1,-2,-3)’
=-4
a,b∈W -> a+a'=b+b'=0
k1,k2∈R ->
(k1a+k2b)+(k1a+k2b)'=(k1a+k1a')+(k1b+k2b')+ =0+0=0
∴ (k1a+k2b)∈W
e(12),e(13),e(2,3)即W的一组基；W为3维空间.
取定V的一组基：e1,e2,...,en,有：
任意 x=(e1,e2,...,en)c
如：(x,α)=(x,β)=0 Ac=0
(α,β) = (e1,e2,...,en)(a,b)=(e1,e2,...,en) A(n,2)'
由 α,β≠0是V中固定向量且线性无关,故 r(A）=2
则:Ax=0 基础解系 x1,x2,...,x(n-2) 秩为n-2；
(e1,e2,...,en)( x1,x2,...,x(n-2)) 为 V1 的一组基；
dim(V1)=n-2

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一道高等代数题,向刘老师请教在三维欧式空间V中,设向量α与β在某标准正交基下的坐标分别为（1,2,3）’与（3,2,1）

一道高等代数题,向刘老师请教
在三维欧式空间V中,设向量α与β在某标准正交基下的坐标分别为（1,2,3）’与（3,2,1）’,则内积（α,β）

zql2003111年前1

宇文志恒 共回答了15个问题 | 采纳率100%

设α1,α2,α3是标准正交基
则 (α1,α2,α3) 是正交矩阵
所以 (α,β) = α^Tβ = ((α1,α2,α3)(1,2.3)^T)^T((α1,α2,α3)(3,2,1)^T)
= (1,2,3) (α1,α2,α3)^T(α1,α2,α3) (3,2,1)^T
= (1,2,3) (3,2,1)^T
= 1*3+2*2+3*1
= 10.

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怎样证对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵?可以证是对称矩阵,“实”该怎么证呢?

天上的**1年前1

三十rr 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%

实的要求对应的是欧式空间,所以你的定理叙述有问题.
如果是复数域上的酉空间,则对称变换在标准正交基下的矩阵为埃尔米特矩阵

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在欧式空间R4中,求三个向量a1,a2,a3所生成的子空间的一个标准正交基

在欧式空间R4中,求三个向量a1,a2,a3所生成的子空间的一个标准正交基
a1=(1,0,1,1)T,a2=(2,1,0,-3)T,a3=(1,-1,1,-1)T
老师,这题是想考施密特正交化原理吧.但是我想问
1）为什么三个线性无关向量可以生成一个R4子空间?
2）R4是表示4维吧,这个4维体现在这3个向量的行数为4上?
3）做这题不能直接一上来就是按施密特正交化原理的公式就套吧,求分析,概念不是很懂,有点抽象

yunbaobaoa1年前1

跨龙路扛把子 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%

因为a1,a2,a3三个向量都有四个分量,所以每个向量都是4维的,这和我们常见的2维,3维向量是不同的,因为这个,可能你理解上去有点抽象.
事实上,我们完全可以用三维欧式空间中的向量来类比.在三维欧式空间中,任意两个不共线（用代数的语言就是不线性相关）的向量可以“张”成一个平面（即以它们为基底向量的平面）,平面相对空间来说就是2维的,用代数的语言,平面是3维空间的一个2维子空间（关于子空间的定义你需要好好复习一下）.对本题而言,三个不共线的4维向量可以“张”成一个“3维平面”,这个“3维平面”就是4维欧式空间里的一个子空间.
希望对你有所帮助!
满意请别忘了采纳哦!
有什么问题请继续追问!

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对称变换在标准正交基下的矩阵是是对称矩阵?

对称变换在标准正交基下的矩阵是是对称矩阵?
A实对称矩阵,A是其定义的变换,则对任意的a,b,（Aa,b)=(a,Ab)是实对称变换!这是定义,求其在标准正交基下的矩阵是对称矩阵的证明过程?

四月心空1年前1

爱上你的泪2 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

晕,动一下手,化一下就知道了.

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线性代数设{a1,a2,a3}是R3的一组标准正交基,证明：B1=1/3（2a1+2a2-a3）,B2=1/3（2a1-

线性代数
设{a1,a2,a3}是R3的一组标准正交基,证明：B1=1/3（2a1+2a2-a3）,B2=1/3（2a1-a2+2a3）,B3=1/3(a1-2a2-2a3)也是它的一组标准正交基

天使宝宝11年前1

小啊小石头 共回答了16个问题 | 采纳率100%

第一,是基.
如果x1B1+x2B2+x3B3=0
则x1(2a1+2a2-a3)+x2(2a1-a2+2a3)+x3(a1-2a2-2a3)=0
即(2x1+2x2+x3)a1+(2x1-x2-2x3)a2+(-x1+2x2-2x3)a3=0
由于{a1,a2,a3}是基,则
2x1+2x2+x3=0
2x1-x2-2x3=0
-x1-2x2-2x3=0
解得x1=x2=x3=0
所以B1,B2,B3线性无关,所以是基
第二,正交.
==4/9-2/9-2/9=0
类似的
=0 (i不等于j)
第三,标准.
==4/9+4/9+1/9=1
类似的
==1
以上三条说明{B1,B2,B3}是一组标准正交基.
注：表示g和h的内积.

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设a1,a2,……,an为R^n的一个标准正交基，且存在n阶实矩阵A，使得（b1,b2……,bn）=(a1,a2,……,

设a1,a2,……,an为R^n的一个标准正交基，且存在n阶实矩阵A，使得（b1,b2……,bn）=(a1,a2,……,an)A. 求

oldwing1年前1

even宝宝 共回答了22个问题 | 采纳率86.4%

请补充完整

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已知α1=(1,1,1)T,求R3的一个标准正交基

已知α1=(1,1,1)T,求R3的一个标准正交基

这题我看得不是很懂,给这么少条件.

后边两个向量的右上角也没有T.

我不知道是不是书上漏打了一些字.

小帅哥酷211年前1

lone_man 共回答了24个问题 | 采纳率91.7%

题目本身没有说清楚,求出的正交基和α1有什么关系.
而且既然α1是列向量,答案确实应该都有转置.
硬要将题目补充完整的话,可以是:
求R³的一组标准正交基,使之包含α1的单位化向量.
不过不难理解,即便如此答案也是不唯一的.
解法也比较多,大体上都是先将α1扩充为R³的一组正交基,再单位化.
比如先解方程0 = (1,1,1)'·(x,y,z)' = x+y+z找到一个与α1正交的非零向量.
再解类似的方程组找到与二者都正交的第3个非零向量(也可以用R³中的外积来算).
另一种办法是先将α1扩充为R³的一组基,再用Schmidt正交化.
总之除了题目不完整令人费解外,问题本身是很简单的.

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