f(x)=xlnx/(x+1) (1)若任取x∈[1,+∞）,f(x)≤m(x-1)恒成立,求m范围.

若p真，∵2x-x²=-（x-1）²+1≤1，(
1
3)x+4＞4，
∴1＜m≤4，若q真，则7-2m＞1，即m＜3．
∵命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，
∴p真q假或p假q真．
当p真q假时，1＜m≤4，且m≥3，∴3≤m≤4．
当p假q真时，m≤1或m＞4，且m＜3．∴m≤1．
故实数m的取值范围是{m|3≤m≤4或m≤1}．
故答案为：{m|3≤m≤4或m≤1}．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题考查命题的真假判断，解题时要注意不等式的合理运用．

（1）证明∵f（x）=f（x+1）+f（x-1）
∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
则f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1）-f（x）
=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1）．
∴f（x+3）=f[（x+1）+2]=-f[（x+1）-1]
=-f（x）．
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x）．
∴f（x）是周期函数且6是它的一个周期．
（2）∵f（x）是周期函数且6是它的一个周期．
f（2004）=f（334×6）=f（0）=-f（3）=-2．

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题主要考查了抽象函数的周期性，以及求函数值等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．

因为x²-2x+3=（x-1）²+2＞0恒成立，
所以原式可化为：4x+m＜2（x²-2x+3），
即m＜2x²-8x+6恒成立，只需m＜（2x²-8x+6）_min
而y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2≥-2，
所以m＜-2即为所求．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 这是一个不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题，注意求参数范围时能分离参数的尽量分离参数．

∵x²+x+1＞0恒成立，
∴不等式恒成立，
则不等式等价为3x²+2x+2＞k（x²+x+1），
即（3-k）x²+（2-k）x+2-k＞0恒成立，
若k=3，则不等式等价为-x-1＞0，即x＜-1，不满足条件．
若k≠3，要使不等式恒成立，则满足

3−k＞0
△＝(2−k)2−4(3−k)(2−k)＜0，
即

k＜3
(k−2)(3k−10)＞0，
∴

k＜3
k＞
10
3或k＜2，
即k＜2．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式转化为一元二次不等式是解决本题的关键，注意讨论二次项系数是否为0．

把f（x）=x²，代入a²f（2x）≤4af（x）+3f（x+1）可化为：（4a²-4a-3）x²-6x-3≤0，
令g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3，横过（0，-3）
①当4a²-4a-3=0时，即a=−
1
2或a=[3/2]时，原不等式化为-6x-3≤0，在x∈[1，+∞）上恒成立，
②当4a²-4a-3＞0时，抛物线g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3开口向上，不能满足在x∈[1，+∞）上恒成立，
③当4a²-4a-3＜0时，抛物线g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3开口向下，对称轴方程为x=−
−6
2(4a2−4a−3)＝
3
4a2−4a−3＜0，
要使（4a²-4a-3）x²-6x-3≤0，只需使g（1）≤0，∴（4a²-4a-3）1²-6-3≤0，∴4a²-4a-12≤0，∴
1−
13
2≤a≤
1+
13
2
又4a²-4a-3＜0，即−
1
2＜a＜
3
2，
∴−
1
2＜a＜
3
2，
综上，a的范围为−
1
2≤a≤
3
2，
故选：B．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查二次函数的性质，用二次函数解关于二次不等式的问题，注意理清三个二次的关系．

∵f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，故A正确；
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=f（1+1）+F（1）=3f（1），故B正确；
f（1）=f（[1/2]+[1/2]）=f（[1/2]）+f（[1/2]）=2f（[1/2]），故C正确；
而当x=0时，f（-x）．f（x）=0，f（-x）．f（x）＜0不成立，故D不恒成立
故选D

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，在处理抽象函数的函数值求值及关系判断，奇偶性、单调性的证明时，“凑”的思想是最重要的．如判断A时令x=y=0，就凑出了f（0）．

∵x＞0，y＞0，x+y=4，
∴[1/x]+[4/y]=[1/4(x+y)(
1
x+
4
y)=
1
4(5+
y
x+
4x
y)≥
1
4(5+2

y
x•
4x
y)=
9
4]，当且仅当y=2x=[8/3]时取等号．
∴[1/x]+[4/y]的最小值为[9/4]．
不等式[1/x]+[4/y]≥m恒成立⇔m≤(
1
x+
4
y)min=[9/4]，
∴实数m的取值范围是(−∞，
9
4]．
故选：B．

点评：
本题考点： 基本不等式．

考点点评： 本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．

（1）若方程
x2
m−3+
y2
5−m＝1表示焦点在x轴上的双曲线，
则

m−3＞0
5−m＜0⇒m＞5
即命题q为真命题时，实数m的取值范围是（5，+∞）（5分）
（2）若命题p真，即对任意实数，不等式x²-2x-m＞0恒成立．
∴△=4+4m＜0，可得m＜-1
p∨q为真命题，p∧q为假命题，说明“p真q假”成立，或“p假q真”成立，
①如果“p真q假”成立，则有

m＜−1
m≤5⇒m＜−1（9分）
②如果“p假q真”成立，则有

m≥−1
m＞5⇒m＞5（12分）
所以实数的取值范围为m＜-1或m＞5（13分）

点评：
本题考点： 双曲线的标准方程；复合命题的真假；函数恒成立问题．

考点点评： 本题以命题真假的判断为载体，着重考查了双曲线的标准方程和一元二次不等式的解集等知识点，属于基础题．

由两角和与差的三角函数公式，，正确，共线D。

D  


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