求赵树嫄版线性代数(第四版) 第37业第14题答案

3A12
此题是要说明这样的结论:
若一个"大"的向量组可由一个"小"的向量组线性表示,则它线性相关.
设 k1β1+k2β2+k3β3 = 0 --找到一个非零解就可以了
则 k1(2α1-α2)+k2(α1+α2)+k3(-α1+3α2) = 0
所以 (2k1+k2-k3)α1+(-k1+k2+3k3)α2 = 0
由 2k1+k2-k3 = 0
-k1+k2+3k3= 0
得一非零解 k1=4,k2=-5,k3=3
则 4β1-5β2+3β3 = 0.
所以 β1,β2,β3 线性相关 #
注:反观此题,我们可以根据β1,β2,β3的表达式直接写出矩阵
2 1 -1
-1 1 3
对它用初等行变换化成行简化梯矩阵
1 0 -4/3
0 1 5/3
得 非零解 k1=4,k2=-5,k3=3
即有相应的结论 4β1-5β2+3β3 = 0.
3A13
证明:(α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αs)= (α1,...,αs)A.
其中 A=
1 1 ...1
0 1 ...1
......
0 0 ...1
因为|A| = 1 ≠ 0
所以 A 可逆
所以有 r(α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αs)
= r((α1,...,αs)A)
= r(α1,...,αs)
= s.
所以 α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αs 线性无关.
PS.请一题一问

证明:因为A与B相似,则存在可逆矩阵P,满足 A = P^-1BP.
所以 A^k = (P^-1BP)^k
= (P^-1BP)(P^-1BP)(P^-1BP)...(P^-1BP)(P^-1BP)
= P^-1B(PP^-1)B(PP^-1)BP...P^-1B(PP^-1)BP
= P^-1 B^k P.
所以 A^k 与 B^k 相似.

你提问了.
证明:n阶行列式每行恰有n个元素,共有 n^2 个元素
若 超过 n^2-n 个元素为零
则 必有一行的元素都是零
(否则,至少n个元素不为0,所以等于零的元素至多 n^2 - n 个,与已知矛盾)
由行列式的性质知 行列式等于0.

2+r1,r3+r1,r4+r1
1 1 1 1 1 0 0 0
0 2 2 2 1 1 0 0
0 0 2 2 1 0 1 0
0 0 0 2 1 0 0 1
r2*(1/2),r3*(1/2),r4*(1/2),
1 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 1/2 1/2 0 0
0 0 1 1 1/2 0 1/2 0
0 0 0 1 1/2 0 0 1/2
r1-r2,r2-r3,r3-r4
1 0 0 0 1/2 -1/2 0 0
0 1 0 0 0 1/2 -1/2 0
0 0 1 0 0 0 1/2 -1/2
0 0 0 1 1/2 0 0 1/2
55(2)
解: (A,B)=
1 1 -1 1
0 2 -5 2
1 0 1 3
r3-r1
1 1 -1 1
0 2 -5 2
0 -1 2 2
r1+r3,r2+2r3,r3*(-1)
1 0 1 3
0 0 -1 6
0 1 -2 -2
r1+r2,r3-2r2
1 0 0 9
0 0 -1 6
0 1 0 -14
r2*(-1),r2r3
1 0 0 9
0 1 0 -14
0 0 1 -6
所以 X=(9,-14,-6)^T.

A^2+3B=AB+9I
(A-3I)B=A^2-9I=(A-3I)(A+3I)
|(A-3I)|=-10,所以(A-3I)可逆
6 -1 0
B=(A+3I)= ( 0 7 5 ）
2 1 5

D =
r2-r1,r3-r1
1+x 2 3
-x y 0
-x 0 z

c1+(x/y)c2 + (x/z)c3
1+x+2x/y+3x/z 2 3
0 y 0
0 0 z

= (1+x+2x/y+3x/z)yz
= yz +xyz + 2xz + 3xy.

只需要根据定义做就行了
(1)
f[(-x)^2]=f(x^2)
所以f(x^2)必然为偶函数
(2)
(-x)f[(-x)^2]=-xf(x^2)
xf(x^2)为奇函数
以下相同

将第1列交换到第3列
1 1 1
1 2 1
2 3 a+1
r3-r1-r2,r2-r1
1 1 1
0 1 0
0 0 a-1
所以,a=1时r(A)=2,a≠1时r(A)=3.

|A-λE| =
1-λ 1 1 1
1 1-λ -1 -1
1 -1 1-λ -1
1 -1 -1 1-λ
ri+r1,i=2,3,4
1-λ 1 1 1
2-λ 2-λ 0 0
2-λ 0 2-λ 0
2-λ 0 0 2-λ
c1-c2-c3-c4
-2-λ 1 1 1
0 2-λ 0 0
0 0 2-λ 0
0 0 0 2-λ
= -(2+λ)(2-λ)^3.
所以,A的特征值为 2,2,2,-2.
A-2E=
-1 1 1 1
1 -1 -1 -1
1 -1 -1 -1
1 -1 -1 -1
-->
1 -1 -1 -1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(A-2E)X=0 的基础解系为:a1=(1,1,0,0)',a2=(1,0,1,0)',a3=(1,0,0,1)'
所以A的属于特征值2的全部特征向量为 c1a1+c2a2+c3a3,c1,c2,c3 不全为0
A+2E =
3 1 1 1
1 3 -1 -1
1 -1 3 -1
1 -1 -1 3
-->
1 0 0 1
0 1 0 -1
0 0 1 -1
0 0 0 0
(A+2E)X=0的基础解系为 a4=(-1,1,1,1)'
所以A的属于特征值-2的全部特征向量为 c4a4,c4为任意非零常数.

原来没这个 我马上写 稍等哈
证明: 设η1,η2,...,ηt是非齐次线性方程组Ax=b的解
则 Aηi = b, i=1,2,...,t
所以 A(c1η1+c2η2+...+ctηt)
= c1Aη1+c2Aη2+...+ctAηt
= c1b+c2b+...+ctb
= (c1+c2+...+ct)b
= b
即 c1η1+c2η2+...+ctηt 也是 Ax=b 的解.
注: 事实上, 这是个充分必要条件.即有:
设η1,η2,...,ηt是非齐次线性方程组Ax=b的解
则 c1η1+c2η2+...+ctηt 也是 Ax=b 的解的充分必要条件是
c1+c2+...+ct = 1.

|2|A|A^T| = 2^n |A|^n |A^T|
= 2^n |A|^(n+1)
= 2^n m^(n+1).

不知道，自己思考

你说的不太正确
数学四在微积分,线性代数,概率论与数理统计中都有涉及的内容
但有些是不考的
你最好看一下考研大纲,上面说的很详细