微分几何中的运动不变量的含义?平移是一个运动,对未知数进行数乘算是运动吗?

1.k=2/(-4)=-1/2 又B（3,0） （点斜式）
L的方程:y=-1/2(x-3)=-1/2x+2/3
2.
（1）x+2y-5=0,3x-y-1=0联列方程解得交点为（1,2）
平行于直线6x-8y+3=0 说明斜率与所求直线相同 即k=3/4 同上
（2）同（1）
3.由x-my+2=0得x=my+2代入x²+y²=1 ,（m²+1）y²+4my+3=0求△
若△>0相交,△

解释下原文的答案：
令g(x,y,z)=x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 - 1
则 g=0 就定义了原文中的椭球面.
g的梯度grad(g) = 2(x/a^2,y/b^2,z/c^2).对于椭球面的任意切向量v,由于在椭球面上g
是常数0,所以g在v方向的方向导数为0,也即 = v(g) = 0
这说明grad(g)垂直于椭球面.设N是椭球面的外向单位法向量.那么grad(g)和N方向相同,从而存在曲面上的函数f,使得grad(g)/2 = fN.即 (x/a^2,y/b^2,z/c^2)=fN.
二次基本形式II作为切空间的二次型,对任意的切向量v,w,有II(v,w) = .其中Dv(N)是N在v方向的（绝对）微分.对于脐点,有II=kI,其中k是脐点处的法曲率,I是一次基本形式.
所以脐点处任意切向量v,w,有 =II(v,w)=kI(v,w)=k=,从而Dv(N)=kv
于是对于曲面上任意曲线a,设v=da/dt是它的切向量,就有
d(fN)/dt = Dv(fN) = v(f)N+fDvN = v(f)N + fkv
从而 d(fN)/dt 与 v 的叉乘 d(fN)/dt x v = v(f)N x v
显然这个叉乘垂直于N,所以 < d(fN)/dt x v,N > = 0
这就是原文答案中的方程.解这个方程就得到了脐点的位置.

如果旋转面的参数方程是
r(u,v) = (u*cos(v),u*sin(v),f(u))
则其测地线公式是(一般微分几何书上都有)
v(u) = v0 + int_{u0}^{u} c * sqrt(1+[f'(w)]^2) / [w * sqrt(w^2-c^2)] dw
其中 (u0,v0)是出发点位置,int_{u0}^{u}表示从u0到u的积分,
sqrt是开根号,f'(w)表示 f 的导数,c是一个常数,由
v(u1) = v1 决定
由Liouville公式,还可以推出
dv/ds = c/u^2
其中 s 是测地线弧长参数.这样
ds/dv = u^2/c
ds = (u^2/c)dv = (u^2/c) dv/du *du
= (u^2/c) * c * sqrt(1+[f'(u)]^2) / [u * sqrt(u^2-c^2)] du
= u * sqrt(1+[f'(u)]^2) / sqrt(u^2-c^2) du
所以弧长等于 int_{u0}^{u1} ds
= int_{u0}^{u1} u * sqrt(1+[f'(u)]^2) / sqrt(u^2-c^2) du
对于 x^2+y^2-z^2=1,令f(u) = 正负sqrt(u^2-1) 即可.这样:
x = u*cos(v),y = u*sin(v),z = 正负 sqrt(u^2-1)
x^2+y^2-z^2 = u^2-(u^2-1) = 1
上面的积分不一定能够有积出来的表达式,实际计算的时候,可以数值计算.
以u0=1,v0=0,u1=2,v1=0为例,这对应着空间两点:
p1 = ( 1,0,0 ),p2 = ( 2,0,sqrt(3) )
显然最短路径就是沿着母线走,通过这两点的母线方程是
x^2-z^2=1,也就是 z = sqrt(x^2-1) (这里只取上半部分)
由求曲线弧长的微积分公式,最短路径长度是
int_{1}^{2} sqrt(1+[dz/dx]^2) dx
= int_{1}^{2} sqrt[(2x^2-1)/(x^2-1)] dx
这个积分没有封闭表达式结果,只能数值计算.

【微分几何】中的合同变换对应的矩阵是一个 3 阶的实正交矩阵.是保持距离不变的变换,对应线性代数里面的正交变换. 例如：3 为空间图形的平移,旋转都是合同变换. 【线性代数】里面的合同变换指的是矩阵的相合关系,即 n 阶矩阵 A,B 合同,则存在 n 可逆方阵使得 B = P^T A P. P^T 为 P 的转置.

202ye8(2)

主要是广义相对论,严格建立在微分几何理论基础上的,因为广义相对论涉及质量引起的空间曲变,在这之前,一般人们只能接触到一个物体在空间里的形变,而空间本身的形变应该怎么研究?要研究空间本身的几何性质,就要追溯到高斯、黎曼等人的非欧几何思想,而微分几何是黎曼几何的基础,涉及到流形,切向量,微分形式等基本概念,在这之后,就可以定义距离,曲率等概念了,这属于黎曼几何的内容.

B 球的第二基本形式写出后即得

这种问题方法很固定,就是对等式两边求导数,然后根据Frenet公式整理,如果还没有结果,就继续求导,最后总能得到挠率为零,也就是平面曲线.

简单的说,黎曼几何是微分几何的一个特殊情况.
微分几何的研究对象是一般的微分流形,黎曼几何的研究对象是黎曼流形.
黎曼流形是一种特殊的微分流形,要求流形上存在黎曼联络,一般的微分流形上则没有这样的要求.
所以说,黎曼几何比微分几何的范围要窄,也相对简单一些.

椭圆柱面x2/a2+y2/b2=1在任意点（x0,y0,z0）的切平面方程
x0x/a²+y0y/b²＝1,不含z,母线｛x＝x0,y＝y0｝上的每个点的切平面都是此平面

The study of curvature was meant to show the degree to curving at the very beginning. This essay gives us an analysis of the relationships among nine curvatures through the study of the theories of curved lines and curved surfaces in classic differentiation geometry. The essay introduced some predict knowledge related to the proposition, and analyzed the nine curvatures one by one, leading to the summary of the relationships among the nine curvatures. It gives frames of the knowledge both from the whole and from the details. builds a relationship net among different curvatures in the curved surfaces.

上图 这个看的不大明白

众所周知,在平面上三角形内角和等于180度,但在一个球面上,一个球面三角形的内角和是否等于180度?如果不等于,是大于180度还是小于180度?双曲面上呢?
这就是著名的Gauss-Bonet定理在R3中的特例
我是学微分几何的,欢迎讨论~

书上有例题,请参考

因为排版不方便,我把你那个倒三角写成D好了.
这样D(fX)=df X + f DX,或者写成D_Y (fX) = Y(f) X + f D_Y (X).前一种写法更现代一点,当然也方便在这里排版,所以我就那样写了.
只证明n=2的情况,一般情况类似.这时f1+f2=1.
(f1D1 + f2D2) (fX)
（因为D1和D2都是联络）
= (f1+f2) df X + f (f1D1+f2D2)X
（f1+f2=1）
=df X + f (f1D1+f2D2)X,
所以f1D1+f2D2是联络.

其实很简单.
考虑关于t的函数a·r(t),由a是常向量,有(a·r(t))' = a·r'(t) = 0,于是a·r(t)是常数.
设a = (A,B,C),a·r(t) = D,写开来就是Ax(t)+By(t)+Cz(t) = D.
即点(x(t),y(t),z(t))落在平面Ax+By+Cz = D上.

计算：
1,切向量alpha=（-sint,cost,1)在(1,0,0)处是t=0处,所以
alpha = (0,1,1)
使用活动标架法可以求 beta ,gamma
都是根据定义求的,你就自己求吧.
证明：
1,d/dt = 2
2,不符合Gauss-Codazzi方程
3,根据 Euler 公式

D 书122页

因为∠ADE＝80°,则∠ADB＝100°又∠B＝45°有,∠BAD＝35°.
AE为BC边上的高,那么AE垂直BC,∠AED＝90°有∠DEA＝10°.
AD是∠BAC的平分线,∠BAD=∠CAD=35°,则∠CAE=25°.所以∠C＝65°

考察等速螺线：c(t)=( cos(t),sin(t),t )
T=c'(t)=( -sin(t),cos(t),1 )
N=c''(t)=( -cos(t),-sin(t),0 )
c'''(t)=(sin(t),-cos(t),0)
c'''(t)显然不在T,N张成的平面上.试着将它写成T,N的线性组合,就能得出矛盾.

1、这个是标准的定理,教科书上应该有吧,就是用TNB标架算一下；
2、底空间光滑的时候（如曲线或曲面）应该是对了,不光滑的时候则不成立（想像一下把一个角“扳直”的情形）

瞬时变化率说明在某个时刻它的变化率是多少,你用曲线来表示好理解些,在每一点它的斜率是不一样的,你可以理解为在每点的变化率都不一样
你的例题g’(1000)=9含义是在X=1000时,成本变化率是9,即X若增加或减少1个单位,成本变化9,但前提是g（x）是高次方程才有意义,这个在生产方面主要用于求经济成本

1.两个
2.连接两点的最短线
3.大圆周
4.测地
5.可展
6.E=G=0
7.L=N=0
8.F=0
9.F=M=0
10.法曲率
11.a(u)·b(u)=0
12.K>0,K

不行吧,考虑 v(t)=(cos t,sin t),n(t)=(-sin t,cos t)

题目做好了,

两支曲线互为bertrand曲线可能只有定义
判断一曲线是否为bertrand曲线的充要条件倒是有一个：
存在常数 lamda ,mu,s.t.lamda*k+mu*tau=1
k是曲率,tau是挠率

微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科.古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面,而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形.微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系,对物理学的发展也有重要影响.爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础.
微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象,所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的.既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质,则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等,就是微分几何中重要的讨论内容,而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法.
在曲面上有两条重要概念,就是曲面上的距离和角.比如,在曲面上由一点到另一点的路径是无数的,但这两点间最短的路径只有一条,叫做从一点到另一点的测地线.在微分几何里,要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线,还要讨论测地线的性质等.另外,讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容.
微分几何
在微分几何中,为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质,常常用所谓“活动标形的方法”.对任意曲线的“小范围”性质的研究,还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究.
在微分几何中,由于运用数学分析的理论,就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小,一些复杂的依赖关系可以变成线性的,不均匀的过程也可以变成均匀的,这些都是微分几何特有的研究方法
近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究,使微分几何和拓扑学、变分学、李群理论等有了密切的关系,这些数学领域和微分几何互相渗透,已成为现代数学的中心课题之一.[2]
微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用,比如,在弹性薄壳结构方面,在机械的齿轮啮合理论应用方面,都充分应用了微分几何学的理论.
微分几何学的研究对数学其他分支以及力学、物理学、工程学等的影响是不可估量的.如：伪球面上的几何与非欧几何有密切关系；测地线和力学、变分学、拓扑学等有着深刻的联系,是内容丰富的研究课题.这方面有以J.阿达马、H.庞加莱等人为首的优异研究.极小曲面是和复变函数论、变分学、拓扑学关系极为深刻的研究领域,K.魏尔斯特拉斯、J.道格拉斯等人作出过卓越贡献.
微分几何学的研究工具大部分是微积分学.力学、物理学、天文学以及技术和工业的日益增长的要求则是微分几何学发展的重要因素.尽管微分几何学主要研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面的局部性质,但它形成了现代微分几何学的基础则是毋庸置疑的.因为依赖于图形的直观性及由它进行类推的方法,即使在今天也未失其重要性.

这几门课就是所谓的老三高和新三高,属于数学系的基础课和专业基础课,即使都学下来,还不能算够数学系本科毕业生的水平.

你说的向量微积分是矢量分析的内容,主要讲向量值函数的求导以及积分运算,为场论做基础.而矢量分析还不是微分几何,充其量也就是局部微分几何和张量分析的基础,微分几何是一门“博大精深”的学问,涉及数学中很多分支,需要的基础知识较多,要学微分几何需要很多基础的.

以我们数学系的同学感觉
从难到易
拓扑学>实变>泛函>微分几何,偏微分方程>初等数论,概率论与数学统计,复变函数论
逗号表示差不多
但是个别强人会有不同评价,有的人很喜欢拓扑就觉得它不难了,看人的吧
这是一个平均的参考

首先,a≠0,否则x=0,方程组表示yoz平面
令x=t,则y=t³/(3*a²),z=a²/(2*t),故曲线的向量形式可表示为
r={t,t³/(3*a²),a²/(2*t)},t≠0
下面分别计算r’,r’’,r’’’,| r’|,r’×r’’,|r’×r’’|与[r’,r’’,r’’’]
r’={1,t²/ a²,-a²/(2*t²)}
r’’={0,2*t/ a²,a²/t³}
r’’’={0,2 / a²,-3*a²/t⁴}
| r’|=√[1+ t⁴/a⁴+ a⁴/(4*t⁴) ]=(2* t⁴+ a⁴)/(2* a²*t²)
| i j k |
r’×r’’ =| 1 t²/ a² -a²/(2*t²) | = 2/t*i- a²/t³*j+2* t/ a²*k
| 0 2*t/ a² a²/t³ |
|r’×r’’|=√[4/ t²+a⁴/t⁶+ 4* t²/ a⁴ ]= (2* t⁴+ a⁴)/(a²*|t|³)
[r’,r’’,r’’’]=( r’×r’’)* r’’’=0*2/t+2 / a²*(- a²/t³)+(-3*a²/t⁴)*2* t/ a²=-8/ t³
曲率κ=|r’×r’’|/| r’|³=8* a⁴*|t|³/(2* t⁴+ a⁴)²
挠率τ=[r’,r’’,r’’’]/( r’×r’’)²=[r’,r’’,r’’’]/ |r’×r’’|²= -8* a⁴*t³/(2* t⁴+ a⁴)²