用特征根法还能求An+3=An+2+An+1+An,或An+1=3^(n-1)-2An-1这样的通项?

没有通项，除非用级数求和的形式表示。
因为在事实上，An=(A2-2A1)*n![1/2!-1/3!+......+(-1)^n/n!]
而显然，[1/2!-1/3!+......+(-1)^n/n!]这一部分的和是无法用通项公式直接表示的，
故，无论A1,A2分别是多少，此数列都无法用通项进行表示。

常系数二阶线性齐次方程的求解——特征根法 1、对象： 其中 是两个常数. 2、分析： 若 是它的解,即代入方程成立,根据方程特殊的结构可见解函数应当是无论怎样求导,其导函数与本身都属同一类函数而仅仅是系数上有差异,这样才有可能其和为0.那么有哪类函数据有这个性质呢,从导数运算那章中很易发现以e为底的指数函数 具有这种性质, 和 差一点具有.由此我们想到用 （ 为一待定常数）形式的待定形式解 去验证： 代入方程得 由于 得到一个代数的一元二次方程. 3．特征方程 它与原微分方程具有共同的代数结构特征,我们称它为： 定义9.10 称 为原微分方程 的特征方程 4、解释： 尽管 是二阶常微分方程,而 是初中时学的一元二次代数方程,完全是两码事,但是它们具有共同的代数结构,顾名思义,特征方程就是体现原微分方程的代数结构. 这一特点对于n阶常系数齐次线性方程同样适用 的特征方程为 由此可见为何我们只讨论二阶,因一元二次方程有求根公式,无论什么情况都可解,而一元n次方程求解比较麻烦,要用因式分解理论,且出现的情况较多较复杂. 5、特征根法 1）由上面的分析,我们可见 求解方法了,即 定理9.7 对于 若 是其特征方程 的根,则 即是原微分方程的解. 2）讨论. 线性方程的通解包含了所有解,所以求解线性方程就是求出其通解,由前面讨论的齐次方程通解结构定理9.2知,二阶线性齐方程,必须找两个线性无关解 ,则其线性组合 为其通解. 而一元二次方程 的求根有三种情况以下分别讨论之. 当 判别式 时,它有两互异实根 . 则可验知 与 线性无关. 为原方程通解. 说明：线性相关,线性无关的理论在代数中有细致的讨论,我们这里仅给一个感性的认识,两函数线性相关意即；可以互相线性表出,（或说成比例）比如 则 .两函数线性无关即不成比例.显然这里 与在 时是线性无关的. 当 判别式 时,具有相等的两实根 ,或说只有一个二重实根,于是原方程仅找到一个解 ,必须还得找一个与之无关的解,才能得到原方程的通解.这里不详述其原因的给一个结论；可验知 也是原方程的一个解,而且它与 线性无关. * 此时原方程通解为 的判别式 方程有两共轭复根 （ 是虚单位 ） 此时可验知 是原方程两无关解,原方程通解为： 综合以上讨论,对于 都可求解了. 例如 特征方程 解得特征根 原方程通解为

5-λ -1 3,
-1 5-λ -3,
3 -3 3-λ
a13=a31 应该是 -3 吧
按你给出的就应该:
c1+c2
r2-r1
然后按第1列展开
琢磨一下这个方法, 把a13改为 -3 试试, 方法类似!!!

如果你对了 不扣分
如果你错了 扣步骤分的
慎重应用二级定理

不动点的典型例题：
设f(x）=（12x^2+16)/(x^3+12x) a(n+1)=f（a（n）） a（1)=3 求an的通项公式
特征根的变式提：
已知a+b+c=3,ab+ac+bc=-13,abc=-15,求a³+b³＋c³

1
齐次方程
4a(n+2 )-4a(n+1)+a(n)=0的特征方程为4r^2-4r+1=0
解得r1,2=1/2
所以齐次方程的通解为a1(n)=(c1+c2*n)(1/2)^n
特解很容易看出来a*(n)=-1
所以a(n)=a1(n)+a*(n)=(c1+c2*n)(1/2)^n-1
把a1=1,a2=2带进去解得c1=-4,c2=8
所以a(n)=(8n-4)(1/2)^n-1
2
齐次方程的通解跟1是一样的,a1(n)=(c1+c2*n)(1/2)^n
设特解为a*(n)=an^2+bn+c
带入4a(n+2 )=4a(n+1)-a(n)-n-4解得
a=c=0,b=-1
所以a(n)=a1(n)+a*(n)=(c1+c2*n)(1/2)^n-n
把a1=1,a2=2带进去解得c1=-8,c2=12
所以a(n)=(12n-8)(1/2)^n-n

算出来是虚数可以求,但是显然没有观察数列周期性来的快..

特征根法实际上是用z变换的直观结果,这个要求了解傅立叶变换和傅立叶级数,没法给高中生讲清楚
如A(n)+A(n+1)=2A（n+2）
特征方程为2x^2-x-1=0
通项为C1*x1^n+C2*x2^n
x1,x2分别为特征方程的根
C1,C2根据数列的初值确定

数列递推求通项常见有8种类型，特征根法属于其中一种类型；当然特征根还有另外一种解法；
学习递推求通项重点是掌握每种类型的特征，即给出什么递推形式的时候
选择什么方法基本是固定的。
对于特征根这种类型，特征是3项同时出现，
即一个等式中同时有an,a(n-1),a(n+1)；
如：a(n+1)=3an-2a(n-1)
在特征根方法里
①第一步需...

把例子给下,
一般只有形如 通项满足方程C1*an+C2*an-1+C3*an-2.=0,且C1,C2,C3...都是常数,才适合特征方程解.
更一般的情形,应该使用生成函数方法解,但是这个方法需要复变函数知识,需要大学数学知识.
楼主可以把解不出的题目列下看看是什么样的

An 2=a(An 1) b(An),先化为x^2=a*x b,解得根后,分类:1.若△0,则An=a*(x1)^(n-1) b*(x2)^(n-1).3.若△=0,则An 2=(a bn)*x^n .不好意思,我加号键坏了,所以空格处是加号

特征方程r²+3r+2=0
(r+1)(r+2)=0
解得r1=-1 r2=-2
所以通解y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)
【希望可以帮到你!祝学习快乐!】

这是一个二次线性递推公式的问题,有如下一个定理：
定理：如果x1,x2是递推关系an+1=pan+qan-1（n》2）的特征方程x^2=px+q的两个根,那么：
（1）、当x1=x2时,an=(A+B*n)*x1^n；
（2）、当x1不等于x2时,an=Ax1^n+Bx2^2；
（3）、复根的情况就不说了,比较复杂,不实用.
注：我的系数与楼主的有差别,因为n这个东西不太合适作系数,它已经是an的变量了,再作系数有点不妥,于是我改之为p,q,A,B,但于实际推导无影响.
下面来证明这个定理的第二项：
由于x1,x2是方程：x^2=px+q的两根,由根与系数的关系可得：x1+x2=p,x1*x2=-q
又an+1=pan+qan-1那么可得
an+1=(x1+x2)an-x1x2an-1
那么an+1-x1an=x2(an-x1an-1)
则数列{an-x1an-1}为等比数列,公比为x2
即an-x1an-1=(a2-x1a1)(x2)^n-1,……………………（1）
同理可得an+1-x2an=x1(an-x2an-1)
an-x2an-1=(a2-x2a1)(x1)^n-1,………………………（2）
由（1）*x2-（2）*x1得
(x2-x1)an=(a2-x1a1)x2^n-(a2-x2a1)x1^n
那么an就有如下形式了：an=Ax1^n+Bx2^2
其中A=-(a2-x2a1)/(x2-x1),B=(a2-x1a1)/(x2-x1)
证毕
最后说明一点就是：
这个过程比较重要,结论相对而言还好吧,了解就行了,过程才是这个类型问题的精华部分,如何去构造等比数列,如何求通项,这才是重要的,最后我推出来的系数A,B是否正确不敢打包票,因为对着电脑敲字,没有稿纸在手,所以还请楼主体谅,那个结果仅供参考,其实那并不是最重要的,还是那句话,重要的是过程.