欧拉线欧拉线定理8（Euler line）三角形的外心、重心、垂心三点共线,且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半．

啊_世界清静了2022-10-04 11:39:541条回答

欧拉线欧拉线
定理8（Euler line）三角形的外心、重心、垂心三点共线,且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半．如何证明

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huhuim 共回答了23个问题 | 采纳率78.3%: 欧拉线的证法1：作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’ ∵ BD是直径 ∴∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB,DC⊥BC ∵ CH⊥AB,AH⊥BC ∴ DA‖CH,DC‖AH ∴ 四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC ∵ M是BC的中点,O是BD的中点 ∴ OM= 1/2DC ∴ OM= 1/2AH ∵ OM‖AH ∴△OMG’ ∽△HAG’ ∴AG/GM=2/1 ∴ G’是△ABC的重心 ∴ G与G’重合 ∴ O、G、H三点在同一条直线上如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.欧拉线的证法2：设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心 .连接AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点.连接OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC.连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC.所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD.由于G为重心,则GA:GD=2:1.连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点.同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 连接FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2.FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA.所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°.即O、G、H三点共线.欧拉线的证法3 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC 向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3,向量OG*3=向量OH 所以O、G、H三点共线; 1年前

正三角形有欧拉线吗正三角形的各点都重合啊为什么有？ 馒头就葱1年前1: libing227 共回答了14个问题 | 采纳率100%

有
莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.他证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.

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三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线称为三角形的欧拉线.已知三 三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线称为三角形的欧拉线.已知三角形ABC的顶点是A(2,0),B(0,4),三角形的欧拉线方程是x-y+2=0,则顶点C的坐标是多少? 夜风七1年前1: 人在旅途023 共回答了22个问题 | 采纳率81.8%

问题的关键在于外心和重心在这条欧拉线上
AB的中垂线与欧拉线相交得出外心,根据外心到三个顶点的距离相等、重心横纵坐标为三个顶点的横纵坐标的平均值得到关于顶点C的坐标的方程,解出即可
欧拉线方程x-y+2=0　　　　……①
AB的中垂线方程：y=1/2(x-1)+2 即x-2y+3=0　　　　……②
联立①②得x= -1 y= 1
所以（-1,1）为三角形ABC的外心,记为D
由DC=DA得
(x+1)^2+(y-1)^2=3^2+1^2　　　　……③
由重心在欧拉线上可得
(x+2+0)/3-(y+0+4)/3+2=0　　　　……④
联立③④得
X1=0 Y1=4 (就是B点,舍去)
X2= -4 Y2=0
故C点的坐标为（-4 ,0）

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什么是欧拉线 旋风001年前1: 你搞什么啊共回答了24个问题 | 采纳率83.3%

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.
欧拉线的证明：
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’.∵BD是直径,∴∠BAD、∠BCD是直角.∴AD⊥AB,DC⊥BC.∵CH⊥AB,AH⊥BC,∴DA‖CH,DC‖AH.∴四边形ADCH是平行四边形,∴AH=DC.∵M是BC的中点,O是BD的中点.∴OM=DC.∴OM=AH.∵OM‖AH,∴△OMG’∽△HAG’.∴.∴G’是△ABC的重心.∴G与G’重合.

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三角形的5心欧拉线在物理结构上有实际的意义吗 三角形的5心欧拉线在物理结构上有实际的意义吗 想知道三角形的5心欧拉线在物理结构上有实际的意义吗（像重心所有的重力合力都通过那里）还是只是存在于数学概念里有文献资料最好希望懂的人能不惜赐教 端木子龙1年前1: 超超C 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

没有太多,我就举些我见过的（个别比较..）,证明略了
重心：
1.均匀等厚三角形板子的重心
2.三顶点放上相同质量质点,其重心在三角形重心上（坐标算术平均值）
3.三顶点沿重心方向分别有相同大小的力,三力平衡（向量和为零）
内心：
1.均匀带电三角形框架内心的场强为零（等效内接圆框架）

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用向量法证明欧拉线问题要有具体过程 hfueducn1年前2: piggy31 共回答了21个问题 | 采纳率81%

不好证啊.向量表示垂心和外心不好表示.

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什么是欧拉线,有什么性质,怎么证明 miyuki261年前1: chw8489041 共回答了22个问题 | 采纳率95.5%

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.
欧拉线的证明：
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’.∵ BD是直径,∴ ∠BAD、∠BCD是直角.∴ AD⊥AB,DC⊥BC.∵ CH⊥AB,AH⊥BC,∴ DA‖CH,DC‖AH.∴ 四边形ADCH是平行四边形,∴ AH=DC.∵ M是BC的中点,O是BD的中点.∴ OM= DC.∴ OM= AH.∵ OM‖AH,∴ △OMG’ ∽△HAG’.∴ .∴ G’是△ABC的重心.∴ G与G’重合.∴ O、G、H三点在同一条直线上.

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欧拉线欧拉线定理8（Euler line）三角形的外心、重心、垂心三点共线,且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半．

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