能被7,11,13整除的数的特征

答：本题所求的数有三个要求，我们采取逐个满足的方法．因为13A+1=15B得：A=[15B−1/13]=[13B+2B−1/13]=B+[2B−1/13]，
到此可抓住式子的特点，看出A或B的取值．有上式可看出B最小取7，[2B−1/13]可得整数1，则当B=7时，A=8，此时N=105，这时已满足了前两个要求，但105除以17不余16，
接着我们可以105不断的加13和15的最小公倍数的倍数，（这样的目的是为了使前两个的要求不变，加13的倍数除以13还余1，加15的倍数除以15还整除）直到找到有一个除以17余16的数，这个数就是最小的一个．
13和15的最小公倍数是195，我们可以把可以把符合除以17余16的数用105+195D来表示，当然一个个试105+195D是否能除以17余16比较麻烦，可我们仍然可以用前面的方法．
因为105+195D=17C-1，得D=[195D+106/17]=[17×11D+8D+6×17+4/17]=11D+6+[8D+4/17]，看[8D+4/17]，8D+4要是17的倍数比较容易确定，8D+4是偶数，
因此只能是17的偶数倍，34不行，68时，D=8．当D=8时，C=11×8+6+[8×8+4/17]=98，则N=17×98-1=1664，故已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除．那么，最小的一个自然数是 1664．
故答案为：1664．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 这道题用转化法解就简单些了．

设x，y，z，t是整数，
并且假设5a+7b-22c=x（7a+2b+3c）+13（ya+zb+tc）（1）
比较上式a，b，c的系数，
应当有7x+13y=52x+13z=7（2）
3x+13t=-22，取x=-3，
可以得到y=2，z=1，t=-1，
则有13（2a+b-c）-3（7a+2b+3c）=5a+7b-22c（3）
既然3（7a+2b+3c）和13（2a+b-c）都能被13整除，
5a+7b-22c就能被13整除．

点评：
本题考点： 数的整除性．

考点点评： 本题考查了数的整除性问题，特殊值法是常用的方法．

/>先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209．将小数去掉，在整数上加1（不论小数多大，均加1，而非四舍五入）得1998，再将1998乘143，得285714．
故答案为：285714．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 此题考查了数的整除性，本题关键是得到六位数的取值范围为285700到285799之间．

证明：设3ⁿ+m=13а，则3ⁿ=13а-m
3ⁿ⁺³+m=27×（3ⁿ）+m=27（13а-m）+m=27（13а）-26m=13（27а-2m）
∴3ⁿ⁺³+m也能被13整除

点评：
本题考点： 因式分解的应用．

考点点评： 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将3n+3+m变形为13（27а-2m）．

所求五位数能被3、5、7、13整除，当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除，
即这个五位数是3×5×7×13=1365的倍数，
所以可算出五位数中1365的最大倍数是73×1365=99645，
但99645的五个数码中有两个9，不合题意要求，可依次算出：
72×1364=98280（两个8重复，不合要求）．
71×1365=96915（两个9重复，不合要求）．
70×1365=95550（三个5重复，不合要求）．
69×1365=94185（五个数码不同）．
因此，所求的五位数最大的是94185．
答：这个数最大是94185．

点评：
本题考点： 最大与最小．

考点点评： 本题考查数的整除性的知识，难度较大，解答本题时要注意先求出最小公倍数，这是解答此类题目的最关键一步．

所求五位数能被3、5、7、13整除，当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除，
即这个五位数是3×5×7×13=1365的倍数，
所以可算出五位数中1365的最大倍数是73×1365=99645，
但99645的五个数码中有两个9，不合题意要求，可依次算出：
72×1364=98280（两个8重复，不合要求）．
71×1365=96915（两个9重复，不合要求）．
70×1365=95550（三个5重复，不合要求）．
69×1365=94185（五个数码不同）．
因此，所求的五位数最大的是94185．
答：这个数最大是94185．

点评：
本题考点： 最大与最小．

考点点评： 本题考查数的整除性的知识，难度较大，解答本题时要注意先求出最小公倍数，这是解答此类题目的最关键一步．

所求五位数能被3、5、7、13整除，当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除，
即这个五位数是3×5×7×13=1365的倍数，
所以可算出五位数中1365的最大倍数是73×1365=99645，
但99645的五个数码中有两个9，不合题意要求，可依次算出：
72×1364=98280（两个8重复，不合要求）．
71×1365=96915（两个9重复，不合要求）．
70×1365=95550（三个5重复，不合要求）．
69×1365=94185（五个数码不同）．
因此，所求的五位数最大的是94185．
答：这个数最大是94185．

点评：
本题考点： 最大与最小．

考点点评： 本题考查数的整除性的知识，难度较大，解答本题时要注意先求出最小公倍数，这是解答此类题目的最关键一步．

/>先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209．将小数去掉，在整数上加1（不论小数多大，均加1，而非四舍五入）得1998，再将1998乘143，得285714．
故答案为：285714．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 此题考查了数的整除性，本题关键是得到六位数的取值范围为285700到285799之间．

设x，y，z，t是整数，
并且假设5a+7b-22c=x（7a+2b+3c）+13（ya+zb+tc）（1）
比较上式a，b，c的系数，
应当有7x+13y=52x+13z=7（2）
3x+13t=-22，取x=-3，
可以得到y=2，z=1，t=-1，
则有13（2a+b-c）-3（7a+2b+3c）=5a+7b-22c（3）
既然3（7a+2b+3c）和13（2a+b-c）都能被13整除，
5a+7b-22c就能被13整除．

点评：
本题考点： 数的整除性．

考点点评： 本题考查了数的整除性问题，特殊值法是常用的方法．