4sinBsin∧2(π/4+B/2)+cos2B=1+√3

先说一下,应该是π/4,B/2,你写反了.
4sinBsin²(π/4+B/2)+cos(2B)=1+√3
4sinB[1-cos(B+π/2)]/2 +cos(2B)=1+√3
2sinB+2sin²B+cos(2B)=1+√3
2sinB+1-cos(2B)+cos(2B)=1+√3
2sinB=√3
sinB=√3/2
B=π/3或B=2π/3

1.问一下,是4sinBsin²（π/4+B/2）+cos2B=1+根号3吧?
化简得2sinB【1-cos(π/2+B)】+cos2B=1+根号3
继续化简得sinB=1/2 根号3
所以B=π/3或2π/3
2.S=1/2acsinB带入数据解得c=5
由余弦定理得b^2=a^2+c^2-2accosB
又cosB=1/2或者-1/2,所以b=根号21或者根号61
希望我的回答可以给你点帮助,谢谢!

1）
4sinBsin²(π／4+B／2)+cos2B=2sinB(1-cos(π／2+B))+cos2B=2sinB(1+sinB)+cos2B=2sinB+1-cos2B+cos2B=2sinB+1=1+√3
故sinB=√3/2
B=60°或120°
2）一)B=60°
过c点做AB的高,交点为D,则BD=2,CD=2√3,又知S=5√3,则AB=5,AC=3,勾股定理知,b²=CD²+AD²,可得b=√21.
二）B=120°
同样可得b²=2√3*2√3+5*5=√37.

不是二倍角公式,而是和差化积公式.

tana,tanb是一元二次方程x^2+3x-4=0的两根 --->tana+tanb=-3,tanatanb=-4 cosa-sinbsin(a+b)=cos(a+b-b)-sinbsin(a+b)=cos(a+b)cosb+sinasin(a+b)-sinasin(a+b)=cosbcos(a+b),sina+sinbcos(a+b)=sin(a+b-b)=sin(a+b)cosb-sinbcos(a+b)+sinbcos(a+b)=sin(a+b)cosb,因此(cosa-sinbsin(a+b))/(sina+sinbcos(a+b))=cosbcos(a+b)/[sin(a+b)cosb]=1/tan(a+b)=[1-tanatanb]/[tana+tanb}=[1-(-4)]/(-3)=-5/3

直接用和差化积公式:
1/2*(cos2B-cos2A)
=1/2*{-2sin[(2B+2A)/2]sin[(2B-2A)/2]}
=-sin(B+A)sin(B-A)
=sin(A+B)sin(A-B).
这个属于补充内容 一般现在不考的

（1）4sinBsin[(π/4)+(B/2)]*sin[(π/4)+(B/2)]+cos2B=1+根号3 可以化为
2sinB[sin（B/2)+cos(B/2)]* [sin（B/2)+cos(B/2)]+cos2B=1+根号3
再化为2sinB（1+sinB)+cos2B=1+根号3 因为cos2B=1-2sinB*sinB 所以最后
sinB＝（根号3）/2,所以角B＝60度或120度
（2）根据s=1/2*A*C*sinB可以得边C＝5,然后根据余弦定理可以求出边B

sinAsinA-sinBsinB
=sin²A-sin²B
=（sinA+sinB)(sinA-sinB）
=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]×2cos[（A+B）/2]sin[(A-B)/2]
=sin(A+B)sin(A-B)