常数变易法 懂的人进常数变易法中,为什么将C换成u就可以得到非齐次线性方程的通解怎么知道替换后就是方程的通解了?

微分方程的疑惑教材在写一阶非线性微分方程的时候说通解是齐次方程的一个通解与非齐次方程的一个特解的和.常数变易法能理解,但

微分方程的疑惑
教材在写一阶非线性微分方程的时候说通解是齐次方程的一个通解与非齐次方程的一个特解的和.常数变易法能理解,但是这个结论书上没说怎么来的,想了半天没想明白.

dontlookback1年前1

VIVIAN_WP 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

把齐次通解和非齐次通解一道代入原方程,就会发现齐次通解代入的部分等于零,而使原方程能够等式成立的是非齐次通解!那齐次通解有什么用呢,就是通过常数变易法来求非齐次通解啦!常数变易法是一种待定换元的思想,通过把齐次通解y=cy1中令c=y*从而使y转化为非齐次的解!

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常数变易法标准化方程为y'+P(x)y=Q(x) * 用常数变易法求方程(*)的通解：令 y=C(x)e^-积分P(x)

常数变易法
标准化方程为y'+P(x)y=Q(x) * 用常数变易法求方程(*)的通解：令 y=C(x)e^-积分P(x) 为方程(*)的解，将其代入方程并整理得 C'(x)e^-积分 P(x)=Q(x) 把 y=C(x)e^-积分P(x) 带入(*)方程中时为什么只有C'(x)e^-积分 P(x)=Q(x) 而不是C'(x)e^-积分 P(x)+P(x)*C(x)e^-积分P(x) =Q(x)

yanyi521131年前1

segthjkhjkh 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%

看了半天,终于看明白你想问什么了.不容易啊.
问：把y=C(x)e^-积分P(x) 带入(*)方程中时为什么只有C'(x)e^-积分P(x)=Q(x)?
答：其实是这样的,楼主你代入原方程的时候漏了一项,原方程还有一项P(x)y,你漏了,补回这项后,可以和你求出的y'中的后面一项抵消的.顺便说一句,你求y'的时候有个小错误,中间的加号应该是减号.具体过程如下：
令y=C(x)e^-∫P(x)dx
则y'=[C'(x)e^-∫P(x)dx] -[P(x)C(x)e^-∫P(x)dx]
代入原方程得：
[C'(x)e^-∫P(x)dx] -[P(x)C(x)e^-∫P(x)dx]+P(x)C(x)e^-∫P(x)dx=Q(x)
整理得：C'(x)e^-∫P(x)dx=Q(x)

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关于高数常微分方程问题,*常数变易法是否需要

关于高数常微分方程问题,*常数变易法是否需要
关于高数常微分方程问题,高数下册微分方程中12-7高阶先行微分方程一节中后面的*常数变易法是否需要看?是否需要做题?

loveasa1年前1

刘伟龙 共回答了24个问题 | 采纳率87.5%

常微分方程要考,但是常数变异法不用掌握了,基本都是套公式,直接算结果的,根本用不到常数变异法 查看原帖

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一阶线性微分方程为什么用常数变易法?

一阶线性微分方程为什么用常数变易法?
我想知道在高等数学里为什么一阶线性微分方程解完齐次方程后,解非齐次方程时用常数变易法就可以解出结果?理解不了,

huojiangui20021年前3

小猪上云霄 共回答了13个问题 | 采纳率100%

因为这是能够经得起实施检验的真理.具体证明或说明可以参考一下《常微分方程》的教材.

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关于高数常微分方程问题,*常数变易法是否需要

关于高数常微分方程问题,*常数变易法是否需要
关于高数常微分方程问题,高数下册微分方程中12-7高阶先行微分方程一节中后面的*常数变易法是否需要看?是否需要做题?

Iven789433861年前1

娃哈哈0x 共回答了22个问题 | 采纳率86.4%

常微分方程要考,但是常数变异法不用掌握了,基本都是套公式,直接算结果的,根本用不到常数变异法 查看原帖

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整个式子除以x就是个一阶线性微分方程了,不要套用公式,先求出对应的齐次方程的通解,再用常数变易法.balabala

整个式子除以x就是个一阶线性微分方程了,不要套用公式,先求出对应的齐次方程的通解,再用常数变易法.balabala ..这个方法.我想知道我哪步出错了,

新歆1年前0

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考研高数问题 常数变易法我有两个问题：1、（1）这个题用常数变易法怎么变啊f'(x)-m[f(x)-x]=1 答案是F(

考研高数问题 常数变易法
我有两个问题：
1、（1）这个题用常数变易法怎么变啊
f'(x)-m[f(x)-x]=1 答案是F(x)=e(-mx)[f(x)-x]
（2）f'(x)=3x*x(f(x)-f(0)) 答案是F(x)=e-x*x*x[f(x)-f(0)]
2、还有一个题是：
过三点（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的抛物线的方程是：y=[(x-x2)(x-x3)]/[(x1-x2)(x1-x3)]*y1+[(x-x1)(x-x3)]/[(x2-x1)(x2-x3)]*y2+[(x-x1)(x-x2)]/[(x3-x1)(x3-x2)]*y3是怎样推导出来的啊?

chuxiuzi1年前1

南斗六司 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%

1、令y＝f(x)－x,微分方程化为dy/dx＝my,可分离变量的方程,通解是y＝Ce^(mx),即f(x)＝x＋Ce^(mx)
如果非要使用常数变易法,方程化为f'(x)－mf(x)＝1-mx,此为一阶非齐次线性方程,有固定的解题格式
2、每一个点上构造一个基函数L1(x),L2(x),L3(x),比如L1(x)：是次数不超过2的次多项式,满足：L1(x1)＝1,L1(x2)＝0,L1(x3)＝0,很容易得到L1(x)＝[(x-x2)(x-x3)]/[(x1-x2)(x1-x3)]
另外两个基函数类似,这样就有y＝y1×L1(x)＋y2×L2(x)＋y3×L3(x),这是数值计算方法中的插值法

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常数变易法求一阶非齐次线性微分方程的解的分析,大家有什么看法

常数变易法求一阶非齐次线性微分方程的解的分析,大家有什么看法
常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解：感觉这个方法之所以用x的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C是任意的,C与x形成函数关系,要确定C,需要由初始条件x_0确定,一个x,确定一个C,也就形成一对一的映射,也就是函数关系,而这里的C是任意的,也就可以用一个未知的,也就是任意的函数u(x)来代替,进而求得非齐次线性微分方程的解.
大家有什么看法?
一对一或多对一的映射

小小小寒1年前1

xx有话说 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

您想得太复杂了.解方程是寻求方程的解,是探索性的过程.
常数变易法本质就是换元法,只不过换元的形式有点特别,有些复杂而已.
它无非是假设方程的解是 y=u(x)e^( 积分),代入后可将方程转化,求得出,就得出这种形式的解.
您也可以设方程的解是y=u(x)sinx,但代入后,您不容易解.
也许,您某天发现将解设成某种形式更容易解方程,呵呵,那您就可给这种方法命名了.

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线性微分方程组中,假设求出了通解,用常数变易法求特解的本质是什么?为什么这样有效.

线性微分方程组中,假设求出了通解,用常数变易法求特解的本质是什么?为什么这样有效.
从线代的角度怎么理解?常数变易法到底在做什么?本质是对未知的y进行代换吗?

海日生残夜1年前1

阿忠2008 共回答了17个问题 | 采纳率76.5%

若是Y关于t的函数,从其数学本质上讲是利用解的叠加原理,通过把系数矩阵设成一个关于t的变量矩阵,寻求一个满足初始条件的t来求得通解的系数矩阵.
从线性代数的角度讲可以直观的理通解的求解过程其实质是求得了一组不带初始条件的基底,这个基底下的所有向量组都是原方程的解,如果把解比喻成坐标系的话,我们的通解就得到了这个坐标系的坐标轴,任取任意的坐标得到的值都是原方程的解,但是如果加一个初始条件,我们就能确定出来一组确切的坐标求得同时满足这个初始条件和方程组的解,常数变易法就是这个求解坐标的过程,我们设坐标也是关于t的某种方程形式,一步一步带回初始条件与原方程确定出来这个方程中的t求得坐标,坐标乘回坐标轴就得到了特解.

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微积分中的常数变易法是什么原理?

shgf7748276331年前1

露脊鲸 共回答了24个问题 | 采纳率83.3%

常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,常应用于一阶线性微分方程的求解.数变易法中,将常数C换成u(x)就可以得到非齐次线性方程的通解.
用u(x)代替C后,既能满足齐次方程,又能产出非齐次项,故一定可以找到合适的u(x),使得它由微分算子运算后得到原微分方程的非齐项,因此原微分方程的通解都可以写成y2=u(x)y1(x)；
（y1(x)是与它相应的齐次方程的通解）

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请问：微分方程xy'+y=x^2+3x+2如何用常数变易法求通解?

阳春蓝雪1年前1

跳蚤之心 共回答了20个问题 | 采纳率100%

xy'+y=x^2+3x+2
y'+y/x=x+3+2/x
先求对应的齐次方程的通解.
dy/dx+y/x=0
dy/y=-dx/x
ln|y|=-ln|x|-lnC2=-ln|C2x|
|y|=1/(|C2x|)
y=C1/x
用常数变易法,把C1换成u,即令
y=u/x ①
那么dy/dx=u '/x-u/x²
代入所给非齐次方程,得
u '/x-u/x²+u/x²=x+3+2/x
u '=x²+3x+2
两端积分,得u=x³/3+3x²/2+2x+C0
把上式代入①式,得y=x²/3+3x/2+2+C

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用常数变易法求微分方程y'-y=ex的通解?

萧雨夜1年前2

乌柒麽黑1984 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

求微分方程y'-y=ex的通解
为了求这个方程的解,先考虑齐次线性方程：
dy/dx-y=0,即有dy/y=dx,积分之得lny=x+lnC₁,于是得其通解为y=e^(x+lnC₁)=C₁e^x,这里C₁为任意常数.下面用“参数变易法”求原方程的通解.
为此,把C₁换成x的函数u,而令y=ue^x.(1)
于是dy/dx=(du/dx)e^x+ue^x.(2)
将(1)和(2)代入原方程得：
(du/dx)e^x+ue^x-ue^x=ex
于是得(du/dx)e^x=ex,du=(ex/e^x)dx,
故得u=∫(ex/e^x)dx=e∫(x/e^x)dx=e∫xe^(-x)dx=-e(x+1)e^(-x)+C,再代入(1)中即得原方程的通
y=(e^x)[-e(x+1)e^(-x)+C]=-e(x+1)+Ce^x

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解一阶非齐次常微分方程 用常数变易法 对常数变易法我有点理解不透

解一阶非齐次常微分方程 用常数变易法 对常数变易法我有点理解不透
有的书上说 常数变易法实质上是未知变量带换的过程 请帮忙解释理解一下 为什呢可以随意把一个常数代换成函数呢？

-东风破-1年前1

青青麦子芽 共回答了17个问题 | 采纳率76.5%

我是这么觉得的：
常数变易方法并不是随意的替换，你可以这么理解，我们只不过假定了解得形式：就是常数变异后的形式。然后我们再去找那样形式的解就可以了。

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请高手详细介绍高数中的常数变易法,以及这个方法为什么是对的?

张春乐1年前1

deycepl 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%

常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,常应用于一阶线性微分方程的求解.数变易法中,将常数C换成u(x)就可以得到非齐次线性方程的通解.
用u(x)代替C后,既能满足齐次方程,又能产出非齐次项,故一定可以找到合适的u(x),使得它由微分算子运算后得到原微分方程的非齐项,因此原微分方程的通解都可以写成y2=u(x)y1(x)；
（y1(x)是与它相应的齐次方程的通解）

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什么是 常数变易法

wacyy001年前1

也找到自己的伪装 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

这是在求一阶线性非齐次微分方程时所用的一种方法
对于一阶线性非齐次微分方程
y'+P(x)y=Q(x)
先求出其对应齐次方程y'+P(x)=0的通解为y=Ce^[-∫P(x)dx]
然后变易常数C
设非齐次方程的通解为y=C(x)e^[-∫P(x)dx]
即可求出通解

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一阶线性微分方程为什么用常数变易法?

一阶线性微分方程为什么用常数变易法?
我想知道在高等数学里为什么一阶线性微分方程解完齐次方程后,解非齐次方程时用常数变易法就可以解出结果?理解不了,

hqsima1年前3

xyang2007 共回答了15个问题 | 采纳率100%

因为这是能够经得起实施检验的真理.具体证明或说明可以参考一下《常微分方程》的教材.

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高数——利用常数变易法后,带入非齐次方程

高数——利用常数变易法后,带入非齐次方程
“带入所给非齐次方程”
带进去之后,2y/x+1 和 (x+1)^(5/2) 为何都消失了?

赫oo1年前2

13_064 共回答了18个问题 | 采纳率83.3%

这是同济六版P311例1吧?
代入后得
u'(x+1)^2+2u(x+1)-2y/(x+1)=(x+1)^(5/2)
u'(x+1)^3+2u(x+1)^2-2y=(x+1)^(7/2)
其中u=y/[(x+1)^2]
则有
u'(x+1)^3+2y-2y=(x+1)^(7/2)
u'=(x+1)^(7/2-3)
=(x+1)^(1/2)

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什么是常数变易法?

TuTu闪1年前1

zhao333yu 共回答了21个问题 | 采纳率85.7%

所谓常数变易法是指把难的微分给用公式简单代替,

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纠结!高数微分方程方面问题（1）C1y1+C2y2中,C1与C2为两个任意常数的条件（2）用常数变易法求以下方程的通解d

纠结!高数微分方程方面问题
（1）C1y1+C2y2中,C1与C2为两个任意常数的条件
（2）用常数变易法求以下方程的通解dZ/dX-2XZ=-2X∧3（求详细过程）

endless1年前1

唐僧的泪 共回答了22个问题 | 采纳率77.3%

（1）C1y1+C2y2中,C1与C2为两个任意独立常数的条件：y1和y2之比不是常数
（2）用常数变易法求以下方程的通解dZ/dX-2XZ=-2X∧3（求详细过程）
dZ/dX-2XZ=0的通解为：z=Ce^(x²)
常数变易：设z=C(x)e^(x²) ,z'=C'(x)e^(x²)+2xC(x)e^(x²),代入原方程：
C'(x)e^(x²)+2xC(x)e^(x²)-2xC(x)e^(x²)=-2x^3
C'(x)=-2x^3e^(-x²)
C(x)=∫x²e^(-x²)d(-x²)=e^(-x²)(1+x²)+C
所以：z=Ce^(x²)+1+x²

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高数 求微分方程通解求下列微分方程的通解：y''=y'+x请问对于上述y''=(x,y')型微分方程不用常数变易法是否可

高数 求微分方程通解
求下列微分方程的通解：
y''=y'+x
请问对于上述y''=(x,y')型微分方程不用常数变易法是否可以用通解公式求解？谢谢回答！

886661年前1

今天不想加班 共回答了19个问题 | 采纳率100%

可以的，令u=y'则方程化为：u'-u=x p(x)=-1, Q(x)=x∫pdx=-x∫xe^(-x)dx=-xe^(-x)-e^(-x)u=e^x[-xe^(-x)-e^(-x)+C]=-x-1+Ce^x即y'=-x-1+Ce^x积分：y=-x²/2-x+Ce^x+C2

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求二阶非齐次常系数线性微分方程的特解时,用常数变易法,语言描述也可以.

wwy991301501年前1

不和说话人陌生 共回答了24个问题 | 采纳率95.8%

解其对应的齐次常系数线性微分方程时,其解必定含有一个任意常数C,把常数C看作是个变量,并假定就是非齐次常系数线性微分方程的一个特解.将其代入非齐次常系数线性微分方程,再次确定C（x）..这种方法就叫常数变易法.

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二阶方程x''+5x''+6x=f(t)中f(t)满足f(t)→0,t→+∞,利用常数变易法写出通解表达式,并证明当t→

二阶方程x''+5x''+6x=f(t)中f(t)满足f(t)→0,t→+∞,利用常数变易法写出通解表达式,并证明当t→+∞时方程的所有解x(t)→0.

sslt1年前1

lming02 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%

x''+5x'+6x=0的通解为：x=C1e^(-2t)+C2e^(-3t)
下面用常数变易法
设x=C1(t)e^(-2t)+C2(t)e^(-3t)
由：C1’(t)e^(-2t)+C2‘(t)e^(-3t)=0
-2C1’(t)e^(-2t)-3C2‘(t)e^(-3t)=f(t)
解得：C1(t)=∫f(t)e^(2t)dt C2(t)=-∫f(t)e^(3t)dt
通解为：x(t)=e^(-2t)∫f(t)e^(2t)dt-e^(-3t)∫f(t)e^(3t)dt
现考察∫f(t)e^(2t)dt=∫(0,t)f(t)e^(2t)dt+A
∫(0,t)f(t)e^(2t)dt是一个原函数.
由于t→+∞,f(t)→0,故对任给ε>0,存在T>0,当t>T时有-ε

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二阶线性微分方程用常数变易法如何求解？

二阶线性微分方程用常数变易法如何求解？
知道把通解中的常数换成函数代回去得到一个方程，但还需要一个方程来求那两个常数换成的函数，这个方程如何确定？我用的是同济主编的高数第四版，下册，372页

冰琪1年前1

inyl 共回答了23个问题 | 采纳率87%

一般是已知一个特解y(x),然后用常数变异法C(x)*y(x)带入原方程化简求解的。
一般都是猜吧，我接触的例题都是y(x)=x等简单函数的居多。我不用那本教材

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利用常数变易法求解方程y''+y=1/sinx.

tanglilove1年前2

度是0066 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

特征方程r^2+1=0
得到r1,2=±i
所以设通解y=u(x)cosx+v(x)sinx
所以y'=u'cosx+v'sinx-usinx+vcosx
令u'cosx+v'sinx=0--------------------------------------------------------1
所以y'=-usinx+vcosx
y''=-u'sinx+v'cosx-ucosx-vsinx
带入y''+y=1/sinx得到
-u'sinx+v'cosx=1/sinx----------------------------------------------------2
1,2两式子联立,解出u',v',进而解出u(x),v(x)
然后通解为
y=u(x)cosx+v(x)sinx=c1cosx+c2sinx-xcosx+sinx(lnsinx)

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一阶线性非齐次微分方程求通解（常数变易法）思路？

一阶线性非齐次微分方程求通解（常数变易法）思路？
书上是求出齐次的通解，再将C变换成U，将通解和通解的倒数代入非齐次方程中
求出U 再将U代入齐次的通解里变成非齐次的通解
请问这思路是什么- -为什么要代来代去 最后就变成了非齐次的通解
一点头绪都没啊

哲天1年前1

lll8888 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%

留意下各个章节前面一点点的引入语有助于理解教材设计思路。

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高数中常数变易法的实质?到底是一个怎样的原理,请教高手!

心雨露露1年前1

zhaojin198 共回答了16个问题 | 采纳率100%

常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,常应用于一阶线性微分方程的求解.数变易法中,将常数C换成u(x)就可以得到非齐次线性方程的通解.
用u(x)代替C后,既能满足齐次方程,又能产出非齐次项,故一定可以找到合适的u(x),使得它由微分算子运算后得到原微分方程的非齐项,因此原微分方程的通解都可以写成y2=u(x)y1(x)；
（y1(x)是与它相应的齐次方程的通解）

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