在对数函数y=log2x的图象上，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a，a+1，a+2，其中a≥1，求△ABC面积的最

解题思路：由题意可先表示三角形ABC的面积S=SAA′B′B+SBB′C′ C−SAA′C′C=

log2a+log2(a+1)

2

+

log2(a+1)−log2(a+2)

2

−

log2a+log2(a+2)

2

×2=

1

2

log2(1+

1

a2+2a

)，结合a≥1可求a²+2a=（a+1）²-1的范围，进而可求S的最大值

∵横坐标为a，a+1，a+2（a≥1），对应的纵坐标就要逐渐增大
分别过ABC作AA′，BB′，CC′与x轴垂直，垂足分别为A′，B′，C′
三角形ABC，的面积S=SAA′B′B+SBB′C′ C−SAA′C′C
=
log2a+log2(a+1)
2+
log2(a+1)−log2(a+2)
2−
log2a+log2(a+2)
2×2（5分）
=
1
2log2
a(a+2)(a+1)2
[a(a+2)]2=[1/2]log2
(a+1)2
a(a+2)
=[1/2log2
a2+2a+1
a2+2a]
=[1/2log2(1+
1
a2+2a)
∵a≥1
∴a²+2a=（a+1）²-1≥3
∴0＜
1
a2+2a≤
1
3]，1＜1+
1
a2+2a≤
4
3
Smax＝
1
2log2
4
3（12分）

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题主要考查了利用分割求解图象的面积，对数运算性质的应用及利用二次函数的性质求解函数的最大值，属于知识的简单综合

暂且用lg表示log2
分别过A(a-1,lg(a-1)),B(a,lg(a)),C(a+1,lg(a+1))
作垂直于x轴的直线AM,BN,CP
△ABC面积=梯形AMNB面积+梯形BNPC面积-梯形AMPC面积
=[lg(a-1)+lg(a)]/2+[lg(a)+lg(a+1)]/2-[lg(a-1)+lg(a+1)]
=lg{{sqrt[(a-1)*a*a*(a+1)]}/[(a-1)*(a+1)]}
=lg{sqrt[1+1/(a*a-1)]}
a取最小2
最大面积为lg2-2分之lg3

横坐标为a,a+1,a+2(a>=1）,对应的纵坐标就要逐渐增大.
三角形ABC,的面积就是：
AB与x轴上垂足形成的梯形面积 + BC与x轴上垂足形成的梯形面积 - AC与x轴上垂足形成的梯形面积
梯形面积等于中位线乘以高,只要让
(log2(a) + log2(a+1))/2 + (log2(a+1) + log2(a+2))/2 - 2*(log2(a) + log2(a+2))/2 最大
即让：2log2(a+1) - log2(a) - log2(a+2)最大
即让：log2((a+1)^2/(a(a+2)))最大
即让：(a+1)^2/(a(a+2))最大
注意到分母a(a+2)=(a+1)^2-1
于是要让(a+1)^2,即a=1
横坐标分别为1,2,3,纵坐标分别为0,1,log2(3)
面积为1-1/2*log2(3)=1-log2(根号3)

横坐标为a,a+1,a+2(a>=1）,对应的纵坐标就要逐渐增大.
三角形ABC,的面积就是：
AB与x轴上垂足形成的梯形面积 + BC与x轴上垂足形成的梯形面积 - AC与x轴上垂足形成的梯形面积
梯形面积等于中位线乘以高,只要让
(log2(a) + log2(a+1))/2 + (log2(a+1) + log2(a+2))/2 - 2*(log2(a) + log2(a+2))/2 最大
即让：2log2(a+1) - log2(a) - log2(a+2)最大
即让：log2((a+1)^2/(a(a+2)))最大
即让：(a+1)^2/(a(a+2))最大
注意到分母a(a+2)=(a+1)^2-1
于是要让(a+1)^2,即a=1
横坐标分别为1,2,3,纵坐标分别为0,1,log2(3)
面积为1-1/2*log2(3)=1-log2(根号3)

解题思路：由题意可先表示三角形ABC的面积S=SAA′B′B+SBB′C′ C−SAA′C′C=

log2a+log2(a+1)

2

+

log2(a+1)−log2(a+2)

2

−

log2a+log2(a+2)

2

×2=

1

2

log2(1+

1

a2+2a

)，结合a≥1可求a²+2a=（a+1）²-1的范围，进而可求S的最大值

∵横坐标为a，a+1，a+2（a≥1），对应的纵坐标就要逐渐增大
分别过ABC作AA′，BB′，CC′与x轴垂直，垂足分别为A′，B′，C′
三角形ABC，的面积S=SAA′B′B+SBB′C′ C−SAA′C′C
=
log2a+log2(a+1)
2+
log2(a+1)−log2(a+2)
2−
log2a+log2(a+2)
2×2（5分）
=
1
2log2
a(a+2)(a+1)2
[a(a+2)]2=[1/2]log2
(a+1)2
a(a+2)
=[1/2log2
a2+2a+1
a2+2a]
=[1/2log2(1+
1
a2+2a)
∵a≥1
∴a²+2a=（a+1）²-1≥3
∴0＜
1
a2+2a≤
1
3]，1＜1+
1
a2+2a≤
4
3
Smax＝
1
2log2
4
3（12分）

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题主要考查了利用分割求解图象的面积，对数运算性质的应用及利用二次函数的性质求解函数的最大值，属于知识的简单综合