求柯西定理详细证明方法,求如何构造辅助函数证明柯西定理的详细方法

证明：
记f(x)=g(x)/x,h(x)=1/x,显然两函数在[x1,x2]上满足柯西中值定理条件
可知至少存在一点m∈(x1,x2)使得
[f(x1)-f(x2)]/[(h(x1)-h(2)]=f'(m)/h'(m)
即[g(x1)/x1-g(x2)/x2]/[1/x1-1/x2]=[(mg'(m)-g(m))/m^2]/(-1/m^2)
整理即有[x1g(x2)-x2g(x1)]/(x1-x2)=g(m)-mg'(m)
命题得证.

1.g(x)= f(x)/x,h(x)=1/x,对于g(x)和h(x)使用柯西中值定理即可
2.g(x)= xf(x) ,对g(x)使用拉格朗日中值定理即可

摘至百度百科：
函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态,就需要在导数及函数间建立起联系,微分中值定理就是这种作用.微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础.拉格朗日中值定理,建立了函数值与导数值之间的定量联系,因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则.中值定理的应用主要是以中值定理为基础,应用导数判断函数上升,下降,取极值,凹形,凸形和拐点等项的重要性态.从而能把握住函数图象的各种几何特征.在极值问题上也有重要的实际应用.

一并回答了,lz去看看吧,至于怎么用,这个比较难说.一般存在性问题里,你要是具体找不到就用这些定理试试,这几个定理的证明思想比较好,

若lim(x->∞)f(x)/g(x)=t(x)
则lim(x1,x2->∞)(f(x1)-f(x2))/(g(x1)-g(x2))=t(x)
令x1-x2->0
得洛比达法则

g'(x)=1-sinx>0,x属于(0 pi/2),满足cauchy中值定理条件,存在c属于（0 pi/2）,使得
[f(pi/2)-f(0)]/(g(pi/2)-g(0))=f'(c)/g'(c),即1/(pi/2-1)=cosc/(1-sinc)

设三个零点分别为a＜b＜c
则由罗尔定理,存在m∈（a,b）,n∈（b,c）
使f‘（m）=f‘（n）=0
所以f‘（x）在[m,n]上满足罗尔定理的所有条件
于是存在ξ∈（m,n）
使f‘‘（ξ）=0

e1,e2分别是f(x),g(x)的最大值所在的点,这话不对吧?
拉格朗日中值定理是说明在区间[a b]上有一点,使得该点的切线与过a b两点的割线平行.
至于柯西定理,是拉格朗日中值定理的一个推广,令：
F(x)=f(x)-g(x)*[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]
应用拉格朗日中值定理得到的.几何意义大概谈不上.

这类定理一般是用于证明一些东西的,作为一种推导其它东西的理论基础.比如洛必达 法则的证明就用到柯西定理.我们一般用到都是结论,这里的 洛必达 法则就相当与一种结论.定理一般起到知识体系结构的形成和完善的作用,理论体系结构的支撑.

如果再引出任一条不与前一个积分路线重合的积分路线使这两条路线围绕一个闭单连通域,那么由柯西定理可以知道这个闭路积分值为0,所以说两段积分路线的积分值互为相反数,其中一条再调转积分方向,就可知两条路线积分值相等了,这样也可以看做是一条积分路线“不跳过孔”的连续变形形成另一条积分路线,所以说积分值不变咯

1/[z(z^2-1)]=z/(z^2-1)-1/z=1/2[1/(z-1)+1/(z+1)]-1/z
剩下的就自己完成吧

如果当函数的变量取某一定值的时候,函数就有一个唯一确定的值,那么这个函数解就叫做单值解析函数,多项式就是这样的函数. 复变函数也研究多值函数,黎

方法一、根据几何意义，类似于拉格朗日定理中辅助函数的做法方法二、用ROLLE定理