什么是柯西不等式？数学2考吗？？

柯西不等式6个基本题型如下：1、二维形式：(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc2、三角形式：√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]等号成立条件：ad=bc3、向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。4、一般形式：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。简介：柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。虽然柯西主要研究分析，但在数学中各领域都有贡献。关于用到数学的其他学科，他在天文和光学方面的成果是次要的，可是他却是数理弹性理论的奠基人之一。

如图

柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。1、二维形式(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2。等号成立条件：ad=bc。2、三角形式√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]。等号成立条件：ad=bc。3、向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）。等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。4、一般形式(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2。等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

1、二维形式：（a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥（ac+bd)^22、三角形式：√（a^2＋b^2)＋√（c^2＋d^2)≥√［（a－c)^2＋（b－d)^2]3、向量形式：｜α｜｜β｜≥｜α·β｜，α＝（a1,a2,…，an)，β＝（b1,b2,…，bn)（n∈N，n≥2）4、一般形式：（∑ai^2)(∑bi^2)≥（∑ai·bi)^2不等式的特殊性质有以下三种：①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

柯西不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2取等条件为a1/b1=a2/b2=...=an/bn或a1=a2=...=an=0或b1=b2=...=bn=0证:f(x)=(a1^2+a2^2+...+an^2)x^2+2(a1b1+a2b2+...+anbn)x+(b1^2+b2^2+...+bn^2)(1)a1^2+a2^2+...+an^2=0,柯西不等式显然成立(2)a1^2+a2^2+...+an^2≠0,且f(x)=(a1x+b1)^2+(a2x+b2)^2+...+(anx+bn)^2≥0故二次函数y=f(x)的判别式△=4(a1b1+a2b2+...+anbn)^2-4(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≤0即(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2综上,柯西不等式成立.

一般形式　　(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。证明：　　当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立　　令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A＞0　　构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，展开得：　　f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑ (ai·x＋bi)^2≥0　　故f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，　　移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。

柯西不等式证明是如下：柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。推算方式：记两列数分别是ai，bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2。令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)，则恒有f(x)≥0。用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4*(∑ai*bi)^2-4*(∑ai^2)*(∑bi^2)≤0，于是移项得到结论。

柯西不等式的简介 　是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的.但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauch-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,并将这一不等式应用到近乎完善的地步 　柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.可在证明不等式,解三角形相关问题,求函数最值,解方程等问题的方面得到应用. 柯西不等式的证法 柯西不等式的一般证法有以下几种： Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论.

Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)则恒有f(x)≥0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4*(∑ai*bi)^2-4*(∑ai^2)*(∑bi^2)≤0.于是移项得到结论。还可以用向量来证.m=(a1,a2......an)n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2这就证明了不等式．柯西不等式还有很多种方法证，这里只写出两种较常用的证法．参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/71851340.html?si=6&wtp=wk

柯西不等式基本题型分别是：1、二维形式：(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc2、三角形式：√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]等号成立条件：ad=bc3、向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。4、一般形式：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。柯西（Cauchy Augustin-Louis，1789－1857），法国数学家，1789年8月21日生于巴黎。他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名。不过他并不是所有的创作都质量很高，因此他还曾被人批评“高产而轻率”，这点倒是与数学王子（高斯）相反。据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。

柯西—施瓦茨不等式下面介绍它的三种证明方法，从而加深对该不等式的理解，利于教学。定理（柯西-施瓦茨不等式）：若 和 是任意实数，则有 ≤（ ）（ ）此外，如果有某个ai≠0，则上式中的等号当且仅当存在一个实数X使得对于每一个k=1,2，…，n都有akX+bk=0时成立。证明:1平方和绝不可能是负数，故对每一个实数X都有nk=1∑（akX+bk)2≥0其中，等号当且仅当每一项都等于0时成立。数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式，例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。柯西—施瓦茨不等式说，若x和y是实或复内积空间的元素，那麼等式成立当且仅当x和y是线性相关。柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果，是内积为连续函数。柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用范的写法表示：

柯西不等式的一般证法有以下几种：⑴Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有 （∑ai2） * （∑bi2） ≥ （∑ai * bi)2.等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n)我们令 f(x) = ∑（ai + x * bi)2 = （∑bi2） * x2 + 2 * （∑ai * bi) * x + (∑ai2）则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi)2 - 4 * （∑ai2） * （∑bi2） ≤ 0.于是移项得到结论。⑵用向量来证.m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．因为cosX≤1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn≤a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2这就证明了不等式．柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。巧拆常数：例：设a、b、c 为正数且各不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a 、b 、c 均为正数∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=（1+1+1）×（1+1+1）证明：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥（1+1+1）（1+1+1）=9又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献．

解疑：后面应该为An*X+Bn=0 然后得出An/Bn＝－1/X 即可得出图中最后一句结论为等号成立的条件本题还可用另一种更容易理解的方法解答〔n维向量法〕 我也是数学奥赛爱好者啊！能交个朋友不？希望以后能够多多探讨问题！我的QQ：531159472

Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)则恒有f(x)≥0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4*(∑ai*bi)^2-4*(∑ai^2)*(∑bi^2)≤0.于是移项得到结论。还可以用向量来证.m=(a1,a2......an)n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2这就证明了不等式．柯西不等式还有很多种方法证，这里只写出两种较常用的证法．参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/71851340.html?si=6&wtp=wk

柯西不等式可以简单地记做：平方和的积≥积的和的平方.它是对两列数不等式.取等号的条件是两列数对应成比例.如：两列数0,1和2,3有(0^2+1^2)*(2^2+3^2)=26≥(0*2+1*3)^2=9.形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数,这个辅助函数是二次函数,于是用二次函数取值条件就得到Cauchy不等式.还有一种形式比较麻烦的,但确实很容易想到的证法,就是完全把Cauchy不等式右边-左边的式子展开,化成一组平方和的形式.我这里只给出前一种证法.Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi,则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.我们令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)则我们知道恒有f(x)≥0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有Δ=4*(∑ai*bi)^2-4*(∑ai^2)*(∑bi^2)≤0.于是移项得到结论.学了更多的数学以后就知道,这个不等式可以推广到一般的内积空间中,那时证明的书写会更简洁一些.我们现在的证明只是其中的一个特例罢了.

柯西不等式，是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。从历史的角度讲，柯西不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式（柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式），因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西（Cauchy Augustin-Louis，1789－1857），法国数学家，1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名。不过他并不是所有的创作都质量很高，因此他还曾被人批评“高产而轻率”，这点倒是与数学王子（高斯）相反。据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。

柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn，有(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bn2)其中等号当且仅当＝＝…＝时成立。柯西不等式的几个特例(以下a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn均为实数)是：(1)a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则｜a1b1＋a2b2＋…＋anbn｜≤1(2)a1a2＋a2a3＋a3a1≤a12＋a22＋a32(3)(a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广。贝努利不等式(1)设xi＞－1，i＝1，2，…，n，n≥2且同号，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋xn)＞1＋x1＋x2＋…＋xn不等式(1)的一个重要特例是：(1＋x)n＞1＋nx，x＞－1，x≠0，n∈N，n≥2(2)设x＞－1，则(i)当0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx；(ii)当α＞1或α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx。上两式当且仅当x＝0时等号成立。

qijkvbdjvbkvdv.anv.a jkdvhvugghdsjc buwydkopbcy kdcbvb

柯西不等式的证明二维形式的证明　　(a^2+b^2)(c^2+d^2)　（a,b,c,d∈R) 　　=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2 　　=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2 　　=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2 　　≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。三角形式的证明　　√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 　　证明： [√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2) 　　≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示绝对值。*表示乘 　　≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d） 　　=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2 　　=(a-c)^2+(b-d)^2 　　两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]一般形式的证明　　求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 　　证明： 　　当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立 　　令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2 　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0 　　构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，（请注意，一次项系数是2B，不是B）展开得： 　　f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0 　　故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0， 　　（请大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式确实是△=b^2-4ac，但是这里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已经发生如下替换a = A，b = 2B，c = C，这里面b已经换成了2B，因而导致很多网友的误解。此步若错，柯西不等式就无法证明了！） 　　移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。向量形式的证明　　令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn) 　　m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) ×cos 　　∵cos≤1 　　∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) 　　注：“√”表示平方根。 　　注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。 　　【柯西不等式的应用】　柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。　 　　巧拆常数证不等式 　　例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c) 　　∵a 、b 、c 均为正数　 　　∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 　　而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)　 　　又9=(1+1+1)^2 ∴只需证： 　　2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9　 　　又a、b 、c互不相等，故等号成立条件无法满足　 　　∴原不等式成立　 　　求某些函数最值 　　例：求函数y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值。(注：“√”表示平方根)　 　　函数的定义域为[5, 9]，y>0　 　　y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2+4^2)×√{ [√(x－5)] ^2 + [√(9－x)] ^2 }=5×2=10　 　　函数仅在4√(x－5)=3√(9－x)，即x=6.44时取到。　 　　以上只是柯西不等式的部分示例。 　　更多示例请参考有关文献。三角形式证明 :两边同时平方,展开,消去同样的项,剩余部分再平方,消去同样的项,得一完全平方式,大于或等于0,得证 　　代数形式 　　设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数，则（a1b1+a2b2+...+anbn）①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn（规定ai=0时，bi=0）时等号成立. 　　推广形式的证明 　　推广形式为 　　(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*) 　　证明如下 　　记A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,…. 　　由平均值不等式得　(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)　=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)　(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)　=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n),　……　上述m个不等式叠加得　1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…　即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…　即 A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n　即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n，　因此,不等式(*)成立. 　　（注：推广形式即为卡尔松不等式）

答：1、柯西不等式具有完善的对称性，因此，剖开其他不说，理解和记忆并不是非常复杂的事；2、柯西不等式是非常重要的不等式，尤其其二维形态和三维形态，可以在最值类型的试题中显现极大的解题威力；3、高考不会就某一个不等式，公式去单独考，往往是考你综合应用这些数学知识的综合能力，从这个方面来讲，柯西不等式，排序不等式都是考核项！4、理解其原理才是王道，死机公式P用没有！

复数柯西不等式，先把左边的模用三角不等式取进去，然后使用实数的柯西不等式即可。

设矢量 a = (x_1,...,x_n), b=(y_1,...,y_n)则 <a,b> = x_1 y_1 + ... + x_n y_n 这样 |<a,b>|^2 = ( ∑ x_i y_i )^2 由 Cauchy 不等式, ( ∑ x_i y_i )^2 ≤ (∑ x_i^2) (∑ y_i^2)而 |a|^2 = <a,a> = ∑ x_i^2, |b|^2 = <b,b> = ∑ y_i^2故有 |<a,b>|^2 ≤ <a,a> <b,b>, 或者等价地, |<a,b>| ≤ |a| |b|.而 <a,b> = |a| |b| cos α, 故有 |a| |b| |cos α| ≤ |a| |b|.取 |a| |b| ≠ 0,, 就得到 |cos α| ≤ 1.

（a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2当a和c，b和d对应成比例时成立

三维的是： (a1*a2+b1*b2+c1*c2)^2 <= (a1^2+b1^2+c1^2)(a2^2+b2^2+c2^2）柯西不等式可以用向量来证明柯西不等式的一般证法有以下几种：■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论。 ■②用向量来证. m=(a1,a2....an) n=(b1,b2....bn) mn=a1b1+a2b2+....+anbn=(a1^+a2^+....+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+....+bn^)^1/2乘以cosX． 因为cosX小于等于0，所以：a1b1+a2b2+....+anbn小于等于a1^+a2^+....+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+....+bn^)^1/2 这就证明了不等式．柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．

柯西施瓦茨不等式是：ai、bi为任意实数（i=1,2...n)，则（a1^2+a2^2+an^2)(b1^2+b2^2+bn^2)>=(a1b1+a2b2+anbn)^2，可以构造二次函数，借助判别式来证明。柯西－施瓦茨不等式是一个在众多背景下都有应用的不等式，例如线性代数，数学分析，概率论，向量代数以及其他许多领域。它被认为是数学中最重要的不等式之一。此不等式最初于1821年被柯西提出，其积分形式在1859被布尼亚克夫斯基提出，而积分形式的现代证明则由施瓦兹于1888年给出。发展与应用：数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式，例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（ВикторЯковлевичБуняковский）命名。

一.公式基本结构设ai、bi∈R，（i＝1，2，3……，n）（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）2≦（a12+a22+a32+…+an2）(b12+b22+b32+…+bn2)当且仅当bi＝kai（i＝1，2，……，n）时，k为常数时等号成立二阶形式（a1b1+a2b2）2≦（a12+a22）(b12+b22)三阶形式（a1b1+a2b2+a3b3）2≦（a12+a22+a32）(b12+b22+b32)二．证明先证明较简单的情况（以三阶形式为例，用构造法证明）构造f(x)=（a12+a22+a32）x2+2（a1b1+a2b2+a3b3）x+(b12+b22+b32)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2≥0△=4（a1b1+a2b2+a3b3）2-4（a12+a22+a32）(b12+b22+b32)对于任意的x∈R等式恒成立,∴△≤0，∴当且仅当时，取“=”

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。■巧拆常数：例：设a、b、c为正数且各不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)分析：∵a、b、c均为正数∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又a、b、c各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。

设两组数：(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)它们分别表示了三维空间中两个向量A和B可以发现，当A和B平行（方向相同或相反）时，柯西不等式取到等号，即存在一组不全为零的实数s和t使得sA+tB=0，这是柯西不等式取到等号的充分必要条件

柯西不等式由a^2+b^2≥2ab(a∈ R,b∈ R)得a+b≥2√ ab(a＞0,b＞0)

(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2

解答已经给你说清楚了，就是：不完全相等的正数的几何平均数，小于算术平均数

(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 ((a1^2)+(a2^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+...+an·bn)^2

【柯西不等式】　　二维形式　　(a^2＋b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2　　等号成立条件：ad=bc　　三角形式　　√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]　　等号成立条件：ad=bc　　注：“√”表示平方根，　　向量形式　　|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。　　一般形式　　(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。　　上述不等式等同于图片中的不等式。　　推广形式　　(x1＋y1＋…)(x2＋y2＋…)…(xn＋yn…)≥[(Πx)^(1/m)＋(Πy)^(1/m)＋…]^m　　注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。

1、柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 2、柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。

1、二维形式：(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc2、三角形式：√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]等号成立条件：ad=bc3、向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。4、一般形式：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。扩展资料：不等式的基本性质：①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；⑦如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。参考资料来源：百度百科-柯西不等式

柯西不等式 　 二维形式　　(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2　　等号成立条件：ad=bc　　 三角形式　　√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]　　等号成立条件：ad=bc　　注：“√”表示平方根，　　 向量形式　　|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。　　 一般形式　　(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。　　上述不等式等同于图片中的不等式。　　 推广形式　　(x1＋y1＋…)(x2＋y2＋…)…(xn＋yn…)≥[(Πx)^(1/m)＋(Πy)^(1/m)＋…]^m　　注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均　　不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）求采纳

也就是柯西－施瓦茨不等式。ai、bi为任意实数（i=1,2...n)，则（a1^2+a2^2+.+an^2)(b1^2+b2^2+.+bn^2)>=(a1b1+a2b2+.+anbn)^2.可以构造二次函数，借助判别式来证明。数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式，例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。基本性质①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y（对称性）。②如果x>y，y>z；那么x>z（传递性）。③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z（加法原则，或叫同向不等式可加性）。④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz （乘法原则）。⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n(充分不必要条件)。

向量形式证明：推广：三角形式等号成立条件：（即）n维形式等号成立条件：，或ai、bi中有一为零。上述不等式等同于图片中的不等式。推广形式(x_1%2By_1%2B...)(x_2%2By_2%2B...)...(x_n%2By_n%2B...)%5Cge((%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%7Bx_i%7D)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%2B(%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%7By_i%7D)%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)%5En此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和)

1、二维形式：(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc2、三角形式：√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]等号成立条件：ad=bc3、向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。4、一般形式：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。扩展资料：不等式的基本性质：①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；⑦如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。参考资料来源：百度百科-柯西不等式

内容如下：1、二维形式：(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2。2、三角形式：√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]。3、向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）。4、一般形式：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2。常用定理：①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。③如果不等式F（x）<G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)<G（x）与不等式H（x）F（x）<H（ x ）G（x） 同解。④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。

三维形式的柯西不等式：(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)>=(ad+be+cf)^2证明：左边=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+[(ae)^2+(bd)^2]+[(af)^2+(cd)^2]+[(bf)^2+(ce)^2]右边=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+2(ad)*(be)+2(ad)*(cf)+2(be)*(cf)根据均值不等式，有：(ae)^2+(bd)^2>=2(ad)*(be)(af)^2+(cd)^2>=2(ad)*(cf)(bf)^2+(ce)^2>=2(be)*(cf)所以左边>=右边，当且仅当ae=bd，af=cd，bf=ce时，等式成立证毕

简单来说 就是 方和积大于等于积和方 二维形式　　(a^2;+b^2;)(c^2; + d^2;)≥(ac+bd)^2; 　　等号成立条件：ad=bc 　　扩展:（(a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+...(bn)^2;)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2; 　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn(当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n）一般形式 　　(∑（ai^2;))(∑(bi^2;)) ≥ (∑ai·bi)^2; 　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。 　　上述不等式等同于图片中的不等式。 　　推广形式 　　(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n 　　注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均 　　不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）需要证明吗？？、 再叫我- - 给个最佳

如果你知道柯西不等式就好了

n元柯西不等式： （a1^2+a2^2+...+an^2）(b1^2+b2^2+...+bn^2)》(a1b1+a2b2+...anbn)^2 等号当且仅当a1:b1=a2:b2=...=an:bn 证明： 考虑t的二次函数 f(t) =（a1^2+a2^2+...+an^2）t^2-2(a1b1+a2b2+...anbn)t+(b1^2+b2^2+...+bn^2) = (a1*t-b1)^2 + (a2*t-b2)^2 +...+ (an*t-bn)^2 故f(t)》0恒成立,且等号成立当且仅当a1:b1=a2:b2=...=an:bn（bi=0时,必有ai=0,实则为n-1元柯西不等式） 故判别式=4(a1b1+a2b2+...anbn)^2- 4(a1^2+a2^2+...+an^2）(b1^2+b2^2+...+bn^2)《0 从而知柯西不等式成立.

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。 例：设a、b、c为正数且互不相等，求证： 。证明：将a+b+c移到不等式的左边，化成：= 由于a、b、c为正数且互不相等，等号取不到。附用基本不等式证 设 ，则所证不等式等价于 。因为 。 所以上式显然成立。 例：求函数 的最大值。函数的定义域为[5，9]，y>0，由柯西不等式变形则 。函数仅在 ，即 时取到。

柯西不等式高中公式如下图：柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。相关信息：柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。

柯西不等式高中公式如下图：柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西－布尼亚科夫斯基－施瓦茨不等式】因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式的直接应用例：已知x,y满足x+3y=4,求4x2+y2的最小值。分析：方法一，大家看到该题后的直接想法可能是换元，把关于x,y的双元变量变换为关于x或y的一元变量问题，再借助于二次函数的思想可以解决。方法二，由于其结构特征与柯西不等式的形式非常相似。

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>= (a*1/a+b*1/b+c*1/c)^2=9=>(1/a+1/b+1/c)>= 9a+b+c>=3(abc)^(1/3)=>abc<=1/27(1+1/a^2)(1+1/b^2)(1+1/c^2)=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)/(a^2b^2^c^2)=[a^2b^2^c^2+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+(a^2+b^2+c^2)+1]/(a^2b^2^c^2)>=[a^2b^2^c^2+3(abc)^(4/3)+3(abc)^(2/3)+1]/(a^2b^2^c^2)=1+3(abc)^(-2/3)+3(abc)^(-42/3)+(abc)^(-2) >=1+3*(1/27)^(-2/3)+3*(1/27)^(-4/3)+(1/27)^(-2)=1000

二元的话直接化简均值，多元用排序

这是数学分析中的一个定理，可以直接用。写的时候只需注明定理名称即可。你的书上没有，《数学分析》可是有的。这是知名定理，数学阅卷人一般是数学系的人，这个定理提到名字就通路了。