一道抽屉原理问题

　　1、三个苹果放进两个抽屉，必有一个抽屉里至少有两个苹果。 　　2、抽屉原则的常见形式一，把n+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体。 　　3、二，把mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。 　　4、三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体，……，或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体四，把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当n|m时（n|m表示n整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了 个物体；②当n不能整除m时，一定存在一个抽屉中至少放入了[ ]+1个物体（[x]表示不超过x的最大整数）。

小学抽屉问题的原理及公式如下：1、原理1把多于n个的物体放到n个抽里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。证明（反证法）：如果每个抽至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k（kz1），故不可能。2、原理2把多于mn（m乘以）个的物体放到n个抽里则至少有一个抽里有不少于m+1的物体。证明（反证法）：若每个抽至多放进m个物体那么n个抽至多放进mn个物体与题设不符，故不可能。3、原理3把无穷多件物体放入n个抽，则至少有一个抽屉里有无穷个物体，原理1、2、3都是第一抽原理的表述。4、第二抽屉原理把mn-1个物体放入n个抽中其中必有一个抽中至多有m-1个物体。证明（反证法）：若每个抽都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。5、抽屉原理的公式：物体数÷抽屉数=商，至少数=商；物品数÷抽屉数=商……余数，至少数=商+1；最少物体数=（至少数-1）×抽屉数+余数。

1、知道抽屉数和至少数（同类），求物体时：物体数=（至少数-1）×抽屉数+1。当至少数为2时，物体数=抽屉数+1。2、原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。3、原理2：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。4、原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

知道抽屉数和至少数（同类），求物体时：物体数=（至少数-1）×抽屉数+1。当至少数为2时，物体数=抽屉数+1。抽屉原理，主要由以下三条所组成：原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。原理2 ：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。扩展资料把它推广到一般情形有以下几种表现形式。形式一：设把n+1个元素划分至n个集合中(A1，A2，…，An)，用a1，a2，…，an分别表示这n个集合对应包含的元素个数，则：至少存在某个集合Ai，其包含元素个数值ai大于或等于2。证明：（反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai

第一抽屉原理　　原理1： 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。 　　证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。 　　原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。 　　证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。 　　原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。 　　原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。 第二抽屉原理　　把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。 　　证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

抽屉原理一： 如果把n+1件东西放入n个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有两件东西。抽屉原理二： 如果把m件东西放入n个抽屉，那么必定有一个抽屉至少有k件东西，这时，当m为n的倍数时，k=m/n。m不是n的倍数时，k=m/n的整数部分+1（1.5的整数部分是1，3的整数部分是3，-2.6的整数部分是-3等）。这是两个抽屉原则，给分吧~

x除抽屉+1

k=[n/m]+1。抽屉原理可以解释为任意个自然数，其中至少有两个数的差是的倍数。如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

1.抽屉×（除至少数）每个抽屉放的物体数+1 2.至少数=商+1，能整除时至少数=商。

如果n+1个物体被放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。例1：在13个人中存在两个人，他们的生日在同一月份里。例2：设有n对已婚夫妇。为保证有一对夫妇被选出，至少要从这2n个人中选出多少人？（n+1）

(个数-1)×抽屉数+1抽屉原理一:把多于n个的物体,任意放到n个抽屉中,那么总有1个抽屉放进了至少2个物体.抽屉原理二:把m个物体放入n个抽屉中(m>n),那么分两种情况: 1.m能被n整除时,一定有一个抽屉里至少有m/n个物体 2.m不能被n整除时, 一定有一个抽屉里至少有(m/n+1)个物体

你学过排列组合没

物体总个数除以至少数减1

两双不同颜色的手套。那么，这时候，先把一种颜色的袜子取完（无所谓啥颜色的）。这时候，没有2双颜色不同的袜子（只有一种颜色的）。然后，那俩颜色的袜子一样取一只（不能取两只，因为取两只就成一双了），这时候，还是没有2双颜色不同的袜子。然后，再随便取一只就能保证有2双不同颜色的袜子了。答案：10+2+1=13只。抽屉原理的抽屉和苹果：1，其实没必要非得找出来什么是抽屉，什么是苹果。那样会很累。而且有时候不一定能找对。2，抽屉原理，记住一句话即可：最不利原则。抽屉原理，简单的说就是六个苹果放入五个抽屉里，肯定有一个抽屉有两个以上的苹果。但是，在做题的时候，往往不可能给你那么明确，让你知道什么是苹果，什么是抽屉。这就增加了题目的难度，因为你只有准确的找到了什么是苹果，什么是抽屉才能正确的做出题目。现在小学奥数讲的抽屉原理的公式：苹果数/抽屉数=N……？，那么肯定保证有一个抽屉里有N+1个以上的苹果。但是，有时候很难找对什么是苹果，什么是抽屉。其实，不必用上面的公式，用最不利原则可以更快，更准确的做出题目，而且用最不利原则，不必知道什么是抽屉，什么是苹果。最不利原则，就是做题的时候往最大化想，往坏了想。PS：：：按照你说的，颜色是抽屉，那么想象一下，要保证3个抽屉里有2双不同颜色的袜子。这时候，一个颜色袜子中所有的袜子都放进去也不会有2双不同颜色的袜子。然后，其他两种颜色的抽屉中一种放一个，还是不会有2双不同颜色的袜子。然后，再随便放一只袜子就能保证两双颜色不同的袜子。你的想法，先取四只，就能保证有一双袜子和两个单只的吗？就不会有4种颜色一样的袜子吗？解题的过程，不要有任何的意外发生。。。。

1，其实没必要非得找出来什么是抽屉，什么是苹果。那样会很累。而且有时候不一定能找对。2，抽屉原理，记住一句话即可：最不利原则。抽屉原理，简单的说就是六个苹果放入五个抽屉里，肯定有一个抽屉有两个以上的苹果。但是，在做题的时候，往往不可能给你那么明确，让你知道什么是苹果，什么是抽屉。这就增加了题目的难度，因为你只有准确的找到了什么是苹果，什么是抽屉才能正确的做出题目。现在小学奥数讲的抽屉原理的公式：苹果数/抽屉数=N……？，那么肯定保证有一个抽屉里有N+1个以上的苹果。但是，有时候很难找对什么是苹果，什么是抽屉。其实，不必用上面的公式，用最不利原则可以更快，更准确的做出题目，而且用最不利原则，不必知道什么是抽屉，什么是苹果。最不利原则，就是做题的时候往最大化想，往坏了想。例1，一副扑克牌，抽几张能够保证有3张点数一样的牌？解：不妨真的拿出一副扑克来抽一抽，怎么抽才能尽量不让其满足有3张点数一样的牌（这时候的抽牌，不如说是找牌，找出不让其满足条件的牌）。那么先找出大小王，然后1-13点的牌，每种找出2张，这时候，已经有2+13*2=28张牌，下一步，无论你抽哪一张，都能保证有3张相同点数的牌，所以需要抽出29张牌，才能保证有3张相同点数的牌。例2，一堆梨子和苹果，需要把其分成几堆有两堆的梨子数之和和苹果数之和都为偶数？解：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数。所以要使两堆梨子数和苹果数都为偶数，那么两堆里的梨子数与苹果都相同，即要么都为奇数，要么都为偶数。一堆水果中，苹果数和梨子数可以表现为（奇数，奇数），（奇数，偶数），（偶数，奇数），（偶数，偶数）。要使梨子数和苹果数都为偶数，那么分开的堆中，至少有2堆相同表现形式的水果，即至少需要分为5堆水果，最极端的情况，上述四种情况都存在，那么第五堆水果一定与上面四种情况中的一种相同。所以，至少分为5堆。例3，把1,3,5,7,9,......29这15个偶数中任取9个数，试证明其中一定有两个数的和是30.证明：1+29=3+27=5+25=7+23=9+21=11+19=13+17=30上面有了14个数字，也就是说题目中的15个数字分成了上述14个数字和15一个数字。当任意取九个数字的时候，因为要保证其中有俩个数的和是30，所以就用最不利原则，即：只取上述等式中的一个数字，举个例子，1+29，我们只取1，或者29这个数字，那么14个数字，取7个数字，其中每两个数的和都不等于30，再加上15，就是8个数字中任两个数字的和不等于30。 那么在剩下的7的数字，无论取哪个数字，都能和我们开始取的8个数字中的一个数字和为30。所以，至少取9个数字，中其中有两个数的和是30。例4，任意7个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是6的倍数，这是为什么？解：如果两个数除以6所得的余数相同，那么这两个数的差肯定为6的倍数。一个数除以6所得的余数有0,1,2,3,4,5六种。那么要使其有两个数除以6得到的余数相同，那么至少有7个数才能保证有两个数除以6得到的余数相同。PS：：：不懂还可继续问。。。。

牌除了大小王，共有4种花色，也就是4个抽屉，条件是保证有1个是6张，也就是如果就达不到要求，4个抽屉里最多能放几张，很明显都每个抽屉都放满5张是最多的，再多加1张，无论放哪个抽屉都能会使一个抽屉达到6.

1：可以这样看练习本三种为甲、乙、丙则买的可能为一本：甲、乙、丙三种 两本：甲乙、甲丙、乙丙三种 三本：甲乙丙一种共7种情况，要两人选择的种类相同至少7+1＝8人先取8只，如果每种颜色都有两只或者全部是一种颜色，那么就配成了，但是不是最坏的情况。因此再取4只（为什么不拿4只以下呢？因为在最不理想的状况下，只有拿4只以上才可以配。），共12只，这时除开全部配对最不理想的状况是：四种颜色都有3只。也就是说可以配成4双，并且剩下4只，可能可以配成，但也不绝对，因为万一4只的颜色不一样，就配不成了，这个时候再加一只上去，无论如何，它都可以与另外的其中一只配成1对了！前后加起来可以得到： 8+4+1=13从27座到40座，连续都有，才能使相同的最少，27,28,29......40共有14种30辆是14的2倍余2，这余下的2辆车必定和另外的28辆重复，所以最少3辆假如有51个猴子,每十个一排,排成五排多一个,按顺序每排的第一个猴子分一个,第二个猴子分二个以此类推.也就是第一排1+2+3.......+10=55个桃子,55*5排=275个桃子.这样就至少有五猴子分的样多了,第五十一个猴子分5个,所以280个桃子至少有六个猴子分的一样了. 这些题目考的不是算式，主要是推理，像算式一类的都是加法，没意思，会推理就好了 希望采纳啊

物体数÷抽屉数=每个抽屉的物体数···多余的物体数每个抽屉的物体数+1=每个抽屉至少有几个物体

370个人可以保证有2个人的生日是同一天。把366天（按闰年说）的每一天都当作一个抽屉。那么，把370个人放到每一个抽屉里，每一个抽屉里都有一个人。还剩下4个人。那么，无论这四个人放到哪一个抽屉里都能保证有2个相同生日的人。抽屉原理即最不利原则。抽屉原理的抽屉和苹果：1，其实没必要非得找出来什么是抽屉，什么是苹果。那样会很累。而且有时候不一定能找对。2，抽屉原理，记住一句话即可：最不利原则。抽屉原理，简单的说就是六个苹果放入五个抽屉里，肯定有一个抽屉有两个以上的苹果。但是，在做题的时候，往往不可能给你那么明确，让你知道什么是苹果，什么是抽屉。这就增加了题目的难度，因为你只有准确的找到了什么是苹果，什么是抽屉才能正确的做出题目。现在小学奥数讲的抽屉原理的公式：苹果数/抽屉数=N……？，那么肯定保证有一个抽屉里有N+1个以上的苹果。但是，有时候很难找对什么是苹果，什么是抽屉。其实，不必用上面的公式，用最不利原则可以更快，更准确的做出题目，而且用最不利原则，不必知道什么是抽屉，什么是苹果。最不利原则，就是做题的时候往最大化想，往坏了想。

那就用13个人的生日问题来解决，不是每个月都有人过生日，但是至少有2个人是同一个月的，对吧。

这是一道抽屉原理的题，要从最坏的角度去思考，如果获奖的每个班都有两个那么2*5=10（人），再加上一个，那么10+1=11，所以至少要有11个人获奖。

全给你端上来了：3^406=51431526702097374444386453978856466441834295267721953191133121719552060367103959000146308627966960801294960252087684459750991819149360109120031766567356202373383048001021268317291153550550152729

第1题，你把花色与点数弄混了。可以想像有四个抽屉，每个抽屉放同花色的牌，都最多3张，3*4=12，再抽1张，就必有4张同花色。所以，最少抽3*4+1=13张。第2题，不知两张王算不算同点数。如果两张王算同点数，那么14*1+1=15张这题想像有14个抽屉（分别放13个点各1张加1张王）

秃子悖论如果一个人拔一根头发不是秃子，那么再拔一根呢？再拔再拔呢？依上可证都不会是秃子，但实际上却会变成秃子。这个是比较有名且有趣的。蚂蚁爬绳如果一只蚂蚁爬在一根1M有弹性的绳子上，每爬1CM，绳子要伸长1.1CM，那么这样看来它永远爬不到另一头。

不会 你应该有公式吧

1 抽屉原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 　　“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。 　　（一） 抽屉原理的基本形式 　　定理1、如果把n 1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。 　　证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n 1个元素矛盾，故命题成立。 　　在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。 　　同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 　　例1． 已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于（1978年广东省数学竞赛题） 　　分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于。 　　以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。　　如图2，设BC是△ABC的最大边，P，M是△ABC内（包括边界）任意两点，连接PM，过P分别作AB、BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q、N，那么　　∠PQN=∠C，∠QNP=∠A 　　因为BC≥AB，所以∠A≥∠C，则∠QNP≥∠PQN，而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以 PQ≥PM。显然BC≥PQ，故BC≥PM。 　　由此我们可以推知，边长为的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于。 　　说明： 　　（1）这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”。类似地，还可以利用等分线段、等分正方形的方法来构造“抽屉”。例如“任取n 1个正数ai，满足0＜ai≤1（i=1,2,…,n 1），试证明：这n 1个数中必存在两个数，其差的绝对值小于”。又如：“在边长为1的正方形内任意放置五个点，求证：其中必有两点，这两点之间的距离不大于。 　　（2）例1中，如果把条件（包括边界）去掉，则结论可以修改为：至少有两个点之间的距离小于"，请读者试证之，并比较证明的差别。 　　（3）用同样的方法可证明以下结论： 　　i）在边长为1的等边三角形中有n2 1个点，这n2 1个点中一定有距离不大于的两点。 　　ii）在边长为1的等边三角形内有n2 1个点，这n2 1个点中一定有距离小于的两点。 　　（4）将（3）中两个命题中的等边三角形换成正方形，相应的结论中的换成，命 2 抽屉原理 题仍然成立。 　　（5）读者还可以考虑相反的问题：一般地，“至少需要多少个点，才能够使得边长 为1的正三角形内（包括边界）有两点其距离不超过”。 　　例2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。 　　分析：本题似乎茫无头绪，从何入手？其关键何在？其实就在“两个数”，其中一个是另一个的整数倍。我们要构造“抽屉”，使得每个抽屉里任取两个数，都有一个是另一个的整数倍，这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若m∈N ,K∈N ，n∈N,则m=(2k-1)·2n，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，…… 　　证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）： 　　（1）{1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}； 　　（2）{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}； 　　（3）{5，5×2，5×22，5×23，5×24}； 　　（4）{7，7×2，7×22，7×23}； 　　（5）{9，9×2，9×22，9×23}； 　　（6）{11，11×2，11×22，11×23}； 　　　　…… 　　（25）{49，49×2}； 　　（26）{51}； 　　　　…… 　　（50）{99}。 　　这样，1-100的正整数就无重复，无遗漏地放进这50个抽屉内了。从这100个数中任取51个数，也即从这50个抽屉内任取51个数，根据抽屉原则，其中必定至少有两个数属于同一个抽屉，即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉，显然，在这25个抽屉中的任何同一个抽屉内的两个数中，一个是另一个的整数倍。 　　说明： 　　（1）从上面的证明中可以看出，本题能够推广到一般情形：从1-2n的自然数中，任意取出n 1个数，则其中必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。想一想，为什么？因为1-2n中共含1，3，…，2n-1这n个奇数，因此可以制造n个抽屉，而n 1＞n，由抽屉原则，结论就是必然的了。给n以具体值，就可以构造出不同的题目。例2中的n取值是50，还可以编制相反的题目，如：“从前30个自然数中最少要（不看这些数而以任意方式地）取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小的数的倍数？” 　　（2）如下两个问题的结论都是否定的（n均为正整数）想一想，为什么？ 　　①从2，3，4，…，2n 1中任取n 1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？ 　　②从1，2，3，…，2n 1中任取n 1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？　　你能举出反例，证明上述两个问题的结论都是否定的吗？ 　　（3）如果将（2）中两个问题中任取的n 1个数增加1个，都改成任取n 2个数，则它们的结论是肯定的还是否定的？你能判断证明吗？ 　　例3．从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。 　　证明：把前25个自然数分成下面6组： 　　　　1；　　　　　　　　　　　　 　　　　① 　　　　2，3； 　　　　　　　　　　 　　　　② 　　　　4，5，6； 　　　　　　　　　　　　　③ 　　　　7，8，9，10；　　　　　　　 　　　　④ 　　　　11，12，13，14，15，16； 　 　　　 ⑤ 　　　　17，18，19，20，21，22，23， 　　　⑥ 　　因为从前25个自然数中任意取出7个数，所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的1.5倍。 　　说明： 　　（1）本题可以改变叙述如下：在前25个自然数中任意取出7个数，求证其中存在两个数，它们相互的比值在内。 3 抽屉原理 　　显然，必须找出一种能把前25个自然数分成6（7-1=6）个集合的方法，不过分类时有一个限制条件：同一集合中任两个数的比值在内，故同一集合中元素的数值差不得过大。这样，我们可以用如上一种特殊的分类法：递推分类法： 　　从1开始，显然1只能单独作为1个集合{1}；否则不满足限制条件。 　　能与2同属于一个集合的数只有3，于是{2，3}为一集合。 　　如此依次递推下去，使若干个连续的自然数属于同一集合，其中最大的数不超过最小的数的倍，就可以得到满足条件的六个集合。 　　（2）如果我们按照（1）中的递推方法依次造“抽屉”，则第7个抽屉为 　　　{26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39}； 　　　第8个抽屉为：{40，41，42，…，60}； 　　　第9个抽屉为：{61，62，63，…，90，91}； 　　　…… 　　那么我们可以将例3改造为如下一系列题目： 　　（1）从前16个自然数中任取6个自然数； 　　（2）从前39个自然数中任取8个自然数； 　　（3）从前60个自然数中任取9个自然数； 　　（4）从前91个自然数中任取10个自然数；…　　都可以得到同一个结论：其中存在2个数，它们相互的比值在]内。 　　上述第（4）个命题，就是前苏联基辅第49届数学竞赛试题。如果我们改变区间[]（p＞q）端点的值，则又可以构造出一系列的新题目来。 　　例4．已给一个由10个互不相等的两位十进制正整数组成的集合。求证：这个集合必有两个无公共元素的子集合，各子集合中各数之和相等。（第14届1M0试题） 　　分析与解答：一个有着10个元素的集合，它共有多少个可能的子集呢？由于在组成一个子集的时候，每一个元素都有被取过来或者不被取过来两种可能，因此，10个元素的集合就有210=1024个不同的构造子集的方法，也就是，它一共有1024个不同的子集，包括空集和全集在内。空集与全集显然不是考虑的对象，所以剩下1024-2=1022个非空真子集。 　　再来看各个真子集中一切数字之和。用N来记这个和数，很明显： 　　10≤N≤91 92 93 94 95 96 97 98 99=855　　这表明N至多只有855-9=846种不同的情况。由于非空真子集的个数是1022，1022＞846，所以一定存在两个子集A与B，　　使得A中各数之和=B中各数之和。 　　若A∩B=φ，则命题得证，若A∩B=C≠φ，即A与B有公共元素，这时只要剔除A与B中的一切公有元素，得出两个不相交的子集A1与B1，很显然 　　A1中各元素之和=B1中各元素之和，因此A1与B1就是符合题目要求的子集。 　　说明：本例能否推广为如下命题： 　　已给一个由m个互不相等的n位十进制正整数组成的集合。求证：这个集合必有两个无公共元素的子集合，各子集合中各数之和相等。 　　请读者自己来研究这个问题。 　　例5．在坐标平面上任取五个整点（该点的横纵坐标都取整数），证明：其中一定存在两个整点，它们的连线中点仍是整点。 　　分析与解答：由中点坐标公式知，坐标平面两点（x1,y1）、（x2,y2）的中点坐标是。欲使都是整数，必须而且只须x1与x2，y1与y2的奇偶性相同。坐标平面上的任意整点按照横纵两个坐标的奇偶性考虑有且只有如下四种：（奇数、奇数），（偶数，偶数），（奇数，偶数），（偶数，奇数）以此构造四个“抽屉”，则在坐标平面上任取五个整点，那么至少有两个整点，属于同一个“抽屉”因此它们连线的中点就必是整点。 　　说明：我们可以把整点的概念推广：如果（x1,x2,…xn）是n维（元）有序数组，且x1,x2,…xn中的每一个数都是整数，则称（x1,x2,…xn）是一个n维整点（整点又称格点）。如果对所有的n维整点按每一个xi的奇偶性来分类，由于每一个位置上有奇、偶两种可能性，因此共可分为2×2×…×2=2n个类。这是对n维整点的一种分类方法。当n=3时，23=8，此时可以构造命题：“任意给定空间中九个整点，求证它们之中必有两点存在，使连接这两点的直线段的内部含有整点”。这就是1971年的美国普特南数学竞赛题。在n=2的情形，也可以构造如下的命题：“平面上任意给定5个整点”，对“它们连线段中点为整点”的4个命题中，为真命题的是： 4 抽屉原理 　　（A）最少可为0个，最多只能是5个 （B）最少可为0个，最多可取10个 　　（C）最少为1个，最多为5个 （D）最少为1个，最多为10个 　　（正确答案（D）） 　　例6．在任意给出的100个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被100整除。 　　分析：本题也似乎是茫无头绪，无从下手，其关键何在？仔细审题，它们的“和”能“被100整除”应是做文章的地方。如果把这100个数排成一个数列，用Sm记其前m项的和，则其可构造S1，S2，…S100共100个"和"数。讨论这些“和数”被100除所得的余数。注意到S1，S2，…S100共有100个数，一个数被100除所得的余数有0，1，2，…99共100种可能性。“苹果”数与“抽屉”数一样多，如何排除“故障”？ 　　证明：设已知的整数为a1,a2,…a100考察数列a1,a2,…a100的前n项和构成的数列S1，S2，…S100。 　　如果S1，S2，…S100中有某个数可被100整除，则命题得证。否则，即S1，S2，…S100均不能被100整除，这样，它们被100除后余数必是{1，2，…，99}中的元素。由抽屉原理I知，S1，S2，…S100中必有两个数，它们被100除后具有相同的余数。不妨设这两个数为Si，Sj（i＜j），则100∣（Sj-Si），即100∣。命题得证。 　　说明：有时候直接对所给对象作某种划分，是很难构造出恰当的抽屉的。这时候，我们需要对所给对象先作一些变换，然后对变换得到的对象进行分类，就可以构造出恰当的抽屉。本题直接对{an}进行分类是很难奏效的。但由{an}构造出{Sn}后，再对{Sn}进行分类就容易得多。 　　另外，对{Sn}按模100的剩余类划分时，只能分成100个集合，而{Sn}只有100项，似乎不能应用抽屉原则。但注意到余数为0的类恰使结论成立，于是通过分别情况讨论后，就可去掉余数为0的类，从而转化为100个数分配在剩下的99个类中。这种处理问题的方法应当学会，它会助你从“山穷水尽疑无路”时，走入“柳暗花明又一村”中。 　　最后，本例的结论及证明可以推广到一般情形（而且有加强的环节）： 　　在任意给定的n个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被n整除，而且，在任意给定的排定顺序的n个整数中，都可以找出若干个连续的项（可以是一项），它们的和可被n整除。 　　将以上一般结论中的n赋以相应的年份的值如1999，2000，2001…，就可以编出相应年份的试题来。如果再赋以特殊背景，则可以编出非常有趣的数学智力题来，如下题： 　　有100只猴子在吃花生，每只猴子至少吃了1粒花生，多者不限。请你证明：一定有若干只猴子（可以是一只），它们所吃的花生的粒数总和恰好是100的倍数。 　　（二）于无声处听惊雷--单色三角形问题 　　前面数例我们看到，抽屉原理的应用多么奇妙，其关键在于恰当地制造抽屉，分割图形，利用自然数分类的不同方法如按剩余类制造抽屉或按奇数乘以2的方幂制造抽屉，利用奇偶性等等，都是制造“抽屉”的方法。大家看到，抽屉原理的道理极其简单，但“于无声处听惊雷”，恰当地精心地应用它，不仅可以解决国内数学竞赛中的问题，而且可以解决国际中学生数学竞赛，例如IM0中的难题。本节我们就来看几个这样的例子。 　　例7．（第6届国际中学生数学奥林匹克试题）17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明：其中至少有三名科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目。 　　证明：视17个科学家为17个点，每两个点之间连一条线表示这两个科学家在讨论同一个问题，若讨论第一个问题则在相应两点连红线，若讨论第2个问题则在相应两点连条黄线，若讨论第3个问题则在相应两点连条蓝线。三名科学家研究同一个问题就转化为找到一个三边同颜色的三角形。 　　考虑科学家A，他要与另外的16位科学家每人通信讨论一个问题，相应于从A出发引出16条线段，将它们染成3种颜色，而16=3×5 1，因而必有6=5 1条同色，不妨记为AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6同红色，若Bi（i=1，2，…，6）之间有红线，则出现红色三角线，命题已成立；否则B1，B2，B3，B4，B5，B6之间的连线只染有黄蓝两色。 5 抽屉原理 　　考虑从B1引出的5条线，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用两种颜色染色，因为5=2×2 1，故必有3=2 1条线段同色，假设为黄色，并记它们为B1B2，B1B3，B1B4。这时若B2，B3，B4之间有黄线，则有黄色三角形，命题也成立，若B2，B3，B4，之间无黄线，则△B2，B3，B4，必为蓝色三角形，命题仍然成立。 　　说明：（1）本题源于一个古典问题--世界上任意6个人中必有3人互相认识，或互相不认识。（美国普特南数学竞赛题）。 　　（2）将互相认识用红色表示，将互相不认识用蓝色表示，（1）将化为一个染色问题，成为一个图论问题：空间六个点，任何三点不共线，四点不共面，每两点之间连线都涂上红色或蓝色。求证：存在三点，它们所成的三角形三边同色。 　　（3）问题（2）可以往两个方向推广：其一是颜色的种数，其二是点数。 　　本例便是方向一的进展，其证明已知上述。如果继续沿此方向前进，可有下题： 　　在66个科学家中，每个科学家都和其他科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论四个题目，而任何两个科学家之间仅仅讨论一个题目。证明至少有三个科学家，他们互相之间讨论同一个题目。 　　（4）回顾上面证明过程，对于17点染3色问题可归结为6点染2色问题，又可归结为3点染一色问题。反过来，我们可以继续推广。从以上（3，1）→（6，2）→（17，3）的过程，易发现　　6=（3-1）×2 2，17=（6-1）×3 2，66=（17-1）×4 2，　　同理可得（66-1）×5 2=327，（327-1）×6 2=1958…记为r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，…　　我们可以得到递推关系式：rn=n(rn-1-1) 2，n=2,3,4…这样就可以构造出327点染5色问题，1958点染6色问题，都必出现一个同色三角形。 　　（三）抽屉原理的其他形式。 　　在例7的证明过程中，我们实际上用到了抽屉原理的其他形式，我们把它作为定理2。 　　定理2：把m个元素分成n个集合（m＞n） 　　（1）当n能整除m时，至少有一个集合含有个元素； 　　（2）当n不能整除 m时，则至少有一个集合含有至少[] 1个元素，（[]表示不超过 的最大整数） 　　定理2有时候也可叙述成：把m×n 1个元素放进n个集合，则必有一个集合中至少放有m 1个元素。 　　例8．在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过（1963年北京市数学竞赛题）。 　　分析与解答：如图3，四等分正方形，得到A1，A2，A3，A4四个矩形。在正方形内任意放入九个点，则至少有一个矩形Ai内存在[] 1=3个或3个以上的点，设三点为A、B、C，具体考察Ai（如图4），过A、B、C三点分别作矩形长边的平行线，过A点的平行线交BC于A"点，A点到矩形长边的距离为h=(0≤h≤)，则△ABC的面积　　S△ABC=S△AA"C S△AA"B 　　　　　≤×1×h ×1×（-h） 　　　　　=×=　　说明：把正方形分成四个区域，可以得出“至少有一个区域内有3个点”的结论，这就为确定三角形面积的取值范围打下了基础。本题构造“抽屉”的办法不是唯一的，还可以将正方形等分成边长为的四个小正方形等。但是如将正方形等分成四个全等的小三角形却是不可行的（想一想为什么？）。所以适当地构造“抽屉”，正是应用抽屉原则解决问题的关键所在。图5 　　以下两个题目可以看作是本例的平凡拓广：　　（1）在边长为2的正方形内，随意放置9个点，证明：必有3个点，以它们为顶点的三角形的面积不超过。　　（2）在边长为1的正方形内任意给出13个点。求证：必有4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1/4。 　　例9．9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9条直线中至少有3条通过同一个点。 　　证明：设正方形为ABCD，E、F分别是AB，CD的中点。 6 抽屉原理 　　设直线L把正方形ABCD分成两个梯形ABGH和CDHG，并且与EF相交于P（如图6）　　梯形ABGH的面积：梯形CDHG的面积=2∶3 　　EP是梯形ABGH的中位线，PF是梯形CDHG的中位线，由于　　梯形的面积=中位线×梯形的高，并且两个梯形的高相等（AB=CD），所以　　梯形ABGH的面积∶梯形CDHG的面积　　　　=EP∶PF，也就是EP∶PF=2∶3 　　这说明，直线L通过EF上一个固定的点P，这个点把EF分成长度为2∶3的两部分。这样的点在EF上还有一个，如图上的Q点（FQ∶QE=2∶3）。 　　同样地，如果直线L与AB、CD相交，并且把正方形分成两个梯形面积之比是2∶3，那么这条直线必定通过AD、BC中点连线上的两个类似的点（三等分点）。 　　这样，在正方形内就有4个固定的点，凡是把正方形面积分成两个面积为2∶3的梯形的直线，一定通过这4点中的某一个。我们把这4个点看作4个抽屉，9条直线看作9个苹果，由定理2可知，　　　9=4×2 1，　　所以，必有一个抽屉内至少放有3个苹果，也就是，必有三条直线要通过一个点。 　　说明：本例中的抽屉比较隐蔽，正方形两双对边中点连线上的4个三等分点的发现是关键，而它的发现源于对梯形面积公式S梯形=中位线×梯形的高的充分感悟。 　　例10．910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶。证明：不论怎样排列，红、蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种： 　　1．至少三行完全相同； 　　2．至少有两组（四行），每组的两行完全相同。（北京市高中一年级数学竞赛1990年复赛试题）

至少2张是同花色的。扑克牌有4种花色，5张牌，在最不顺利的情况下，每种花色都取到一张后，再取一张，必然和已经取到的一张同花色，所以至少2张同花色。这是抽屉原理，公式是：有a个物体，放入b个抽屉中，设a÷b=m余n。余数n=0时，有抽屉至少有m个物品；余数n≠0时，有抽屉至少有m+1个物品。

3+3+1=7

我吃了一个包子 就少了一个包子

推荐答案里的抽屉原理明显套用错误38+2只能说"有这种可能性"而要至少,说明不能是特殊情况下达到2X+1才能保证至少,哪怕运气再差前2X个学生分数是平均分布,这多出的1也能保证至少有3人得分相同

全国高中数学联赛 自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。一试考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。（2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。）加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。（2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。）依据考试结果评选出各省级赛区级一、二、三等奖。 其中一等奖由各省负责阅卷评分，然后将一等奖的考卷寄送到主办方（当年的主办方），由主办方复评，最终由主管单位（中国科协）负责最终的评定并公布。二、三等奖由各个省自己决定。各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥林匹克（CMO）。根据最新消息，2011年数学联赛的试题规则与2010年相同。 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。二试在知识方面有所拓展，增加如下知识点的考察。1．平面几何基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。几何不等式。简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。几何中的运动：反射、平移、旋转。复数方法、向量方法*。平面凸集、凸包及应用。2．代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。圆排列，有重复的排列与组合。简单的组合恒等式。一元n次方程(多项式)根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题，除初中大纲中斯包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数[x]，费马小定理，欧拉函数*，孙子定理*，格点及其性质。3．立体几何多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。正多面体，欧拉定理。体积证法。截面，会作截面、表面展开图。4．平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。二元一次不等式表示的区域。三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。圆的幂和根轴。5．其它抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。注：全国高中数学联赛的二试命题的基本原则是向国际数学奥林匹克靠拢，总的精神是比高中数学大纲的要求略有提高，在知识方面略有扩展，适当增加一些课堂上没有的内容作为课外活动或奥校的讲授内容。对教师和教练员的要求是逐步地掌握以上所列内容，并根据学生的具体情况适当地讲授。有*号的内容二试中暂不考，但在冬令营中可能考 中国数学会普及工作委员会制定（2006年8月）总则从1981年中国数学会普及工作委员会举办全国高中数学联赛以来，在“普及的基础上不断提高”的方针指导下，全国数学竞赛活动方兴未艾，每年一次的数学竞赛吸引了上百万学生参加。1985年我国步入国际数学奥林匹克殿堂，加强了数学课外教育的国际交流，20年来我国已跻身于IMO强国之列。数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《高中数学竞赛大纲》，这份大纲的制定对高中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导性作用，我国高中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。近年来，新的教学大纲的实施在一定程度上改变了我国中学数学课程的体系、内容和要求。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对竞赛活动所涉及的知识、思想和方法等方面也有了一些新的要求，原来的《高中数学竞赛大纲》已经不能适应新形势的发展和要求。经过广泛征求意见和多次讨论, 对《高中数学竞赛大纲》进行了修订。本大纲是在《全日制普通高级中学数学教学大纲》的精神和基础上制定的。《全日制普通高级中学数学教学大纲》指出：“要促进每一个学生的发展，既要为所有的学生打好共同基础，也要注意发展学生的个性和特长……在课内外教学中宜从学生的实际出发，兼顾学习有困难和学有余力的学生，通过多种途径和方法，满足他们的学习需求，发展他们的数学才能 。”学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、富有个性的过程，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导阅读自学、自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性。教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导。教师应引导学生主动地从事数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法，获得广泛的数学活动经验。对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们设置一些选学内容，提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容，在理解程度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面有更高的要求。“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，使不同程度的学生在数学上得到相应的发展，并且要贯彻“少而精”的原则。一试全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。二试全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：二试范围：平面几何三角形旁心、费马点、欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴：面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。二试范围：代数周期函数，带绝对值的函数；三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；第二数学归纳法；平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。二试范围：初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。二试范围：组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；组合计数，组合几何；抽屉原理；容斥原理；极端原理；图论问题；集合的划分；覆盖；平面凸集、凸包及应用*。(有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。)注：上述大纲在2006年第十四次普及工作会上讨论通过

三个公式：1、把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。2、把多于mn+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。3、把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是所说的“抽屉原理”。原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。抽屉原理证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

抽屉原理的一种更一般的表述为：“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”

这样算 平均每个抽屉9.8个苹果 但你苹果不可能切开放 所以如果是每个9个的话 还有8个没地方放 所以至少有一个抽屉是10个

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（1）包括了“速算与巧算、大小比较、估算、定义新运算”这四部分主要内容。（2）整体计算部分涉及的难度范围很广，例如平方和、立方和等公式初高中也会接触，包括裂项法、放缩法等知识点也可以延伸到初高中。所以家长们根据孩子学习需求进行学习。二、数论体系（1）整体分为“除尽”和“除不尽”两大部分，包括“整除问题、约倍问题、带余除法、同余问题、余数性质、物不知其数”等几部分内容。（2）整除部分的两大内容关系密切，与课本内容关联性大，基础题型难度不大，适用于大部分适龄学生。（3）数论部分经常与计数结合，此时难度会明显增加，尤其是数论中的相关公式，对于普通适龄学生理解上会有难度，若学生有排列组合的基础，在公式的推导和理解上相对就比较容易。家长也要根据学生学习的程度和学习需求来安排这个板块的学习。三、计数体系（1）包括“加乘原理、排列组合、抽屉原理、容斥原理与概率问题”几部分内容。（2）对于计数板块的内容的深入学习通常是到高中才展开，有些甚至到文理分科后才学习，但是小学奥数阶段涉及的计数问题通常相对比较基础，不过对普通学生理解上存在较大难度，对于竞赛类的学生这部分内容还是需要熟练掌握，尤其是排列组合。四、几何体系（1）包含“直线型、曲线型及立体几何”三大部分的内容。（2）“立体几何”中的表面积和体积与小学同步课程关联性大，通常难度不会太深，适合适龄学生学习，掌握程度相对也较高，“染色问题”更加考验学生空间感，难度跨度比较大；“五大模型”和“曲线型几何”的推导中会用到较多的比例和相似，对于图形基础比较好的学生理解起来难度适中，家长在辅导孩子这部分内容时要根据孩子情况控制好难度，更加要注重方法的讲解。五、应用题体系（1）包括了三四年级适用的“和差倍问题、年龄问题、植树问题、方阵问题、鸡兔同笼问题、盈亏问题”以及五六年级适用的“经济问题、浓度问题、工程问题、牛吃草问题、分数百分数问题”。（2）三四年级适用的几大类的问题难度不大，即使启蒙晚一些的孩子基本四五年级之后也能掌握，并且与课本关联性也大，适于大部分学生学习；“经济、浓度、工程、分数百分数”这几个部分的问题也五六年级同步课程关联性也比较紧密，但是在奥数思维中难度会明显增加，如果孩子没有较好的奥数基础，还是要在孩子课本内容掌握扎实之后选择性地给孩子学习提高，“牛吃草问题”相对是比较经经典的一个问题，拓展或者小升初中遇到的比较多，不过与小学课本联系较少，可根据孩子学习需求进行选择。

抽屉原理公式等价于35=12x+y y<12，所以x=2，y=11，当24个同学至少2个，大于24个就变为至少3个

是的两个奇数之和为偶数，两个偶数之和为偶数任选3个数，共有以下几种可能：3个都是奇数；3个都是偶数；2奇1偶；2偶1奇；无论是哪种可能，从中选2个数，一定有2个数的和为偶数

您好，中公教育为您服务。 公务员考试行测试卷上的容斥问题，从字面意思上来看，就是包含和排斥问题，是一种计数问题。在计数过程中，集合与集合之间有部分是重复包含的，但为了不重复计数，应从他们的和中扣除重复部分，这就是容斥问题。中公教育专家发现，考生在解决这类问题的过程中，一般会借助文氏图来解题。用一个大正方形表示全集-I，圆圈表示集合-A、B，交叉部分就是A∩B，A和B所包含的所有就是A∪B，在全集I内，但是不在集合A和B中的元素就是u2205。这是我们在解题过程中常用的文氏图方法，可以使数量关系一目了然。这与我们之前学的逻辑课程中概念间的相互关系中的交叉关系有一定的联系，一起来复习下，概念间的相互关系，大致有五种关系：全同、全异、包含、包含于和交叉，每一种都可以用逻辑语言和文氏图来描述，比如说交叉关系，汽车和人，那他们交叉的部分是什么？机器人？那也就是变形金刚，有些汽车是人，有些人是汽车，这是对概念本身含义的交叉。那如果对概念所代表的数字进行交叉，就形成了数学运算中的容斥问题，同样可以用数学关系和文氏图来描述，比如说汽车有10辆，人有8人，变形金刚有2人，那这个变形金刚的2人既是汽车又是人。容斥问题题干的特点是：题干中会给出多个概念（集合），他们之间有交集关联。常用方法——文氏图法：核心是把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的面积变成一层。做法：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，把遗漏的数目补上，使得计算结果既无遗漏又无重复。例题1：某班有若干名学生，每名学生都至少喜欢一种花，其中喜欢玫瑰花的有18人，喜欢百合花的有16人，既喜欢玫瑰花又喜欢百合花的学生是4人，问全班共有多少人？A、28 B、30 C、32 D、34解析：全班总人数=18+16-4=30人。答案为B。例题2：某班有若干名学生，每名学生都至少喜欢一种花，其中喜欢玫瑰花的有18人，喜欢百合花的有16人，喜欢棉花的有8人，其中同时喜欢玫瑰花和百合花的有6人，喜欢百合花和棉花的有4人，喜欢玫瑰花和棉花的有2人，三种花都喜欢的有1人，问全班共有多少人？A、29 B、30 C、31 D、34解析：根据文氏图法的原则和解答思路，全班共有人：18+16+8-6-4-2+1=31，答案为C。例题3：某班有若干名学生，其中喜欢玫瑰花的有18人，喜欢百合花的有16人，喜欢棉花的有8人，同时喜欢两种花的有4人，同时喜欢三种花的有2人，一种花都不喜欢的有3人，问全班共有多少人？解析：根据文氏图法的原则和解答思路，同时喜欢两种花的4人共加了两次，要减去一次，同时喜欢三种花的2人总共加了三次，所以要减去两次，最后把一种花都不喜欢的3人加起来，故全班共有人：18+16+8-4-2*2+3=37人。中公教育专家认为，在容斥问题中，文氏图法几乎可以大部分的题型，那么，解题原则就两点：一是重叠区域变为一层；二是做到不重不漏，这样在考试中就能做到万无一失了。如有疑问，欢迎向中公教育企业知道提问。

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时光在流逝，从不停歇，又将开始安排今后的教学工作了，是时候抽出时间写写教学计划了。是不是无从下笔、没有头绪?下面是我为大家整理的 六年级数学 教学 工作计划 ，希望能够帮助到大家! 六年级数学教学工作计划1 一、指导思想 本学期六年级数学教研组以学校教学工作计划为指导,加强课程理论学习，进一步转变 教育 观念，更新教学方式，提高自身的教育科研能力，提高课堂教学水平，促进学生 学习态度 、学习习惯的更好养成。建构新课程理念下的教育教学规范，探索课改理念下的课堂常规管理模式，提高课堂教学水平，使得教研组在课题研究和教学质量等方面进一步得到稳步提高。创设高效、民主、合力的教育氛围，全面提升各位数学教师的教学质量。 二、工作目标 1、把集体备课落到实处。做好集体备课教案的二次修改和 反思 。上好每一节课。 2、进一步提升教师的自身素质和业务水平努力，提升教师素养，提高教学水平。 3、注重学生兴趣的培养，提高学生的积极性，全面提高学生的综合素质。 4、重点做好 毕业 生思想健康方面的工作，确保学生安全健康的发展。 三、主要工作 1、加大口算训练力度，努力提高学生计算水平。 口算是一切计算的基础，本学期将在 总结 上学期联系口算的基础上加大训练口算的力度。让口算训练体现在时时练天天练中，每节数学课(包括晚自习)都训练一定数量的口算题，每次作业也要做几道口算，并在训练过程中逐步提高要求。 2、继续学习新课程理论，加强教育教学的理论学习。 本学期我们全体数学教师继续以学习新课程为主要的学习内容。组织切实有效的学习和讨论活动，用先进的教育理论与深化教育改革，改变传统的教学模式。要求教师们把新课程的理念渗透到教学中，教学注重以培养学生的合作交流意识和实践创新能力为主，注重尊重学生的需要，培养学生的自学能力。 3、精心备好每一节课 本学期我们组将备课力求体现学生的主体性。在备课中并充分发挥团队的作用做到资源共享。充分利用集体研讨的时间，讨论交流一周工作的得与失，并对下一阶段教学提出自己的看法。重视教学过程的反思，每节课后教师要认真地反思教学过程，及时写好教学反思。 4、认真上好每一节课 本学期根据学校要求，上好示范课、教研课和汇报课，做到各种课型都能上到。在评课时每位教师认真总结，积极写好案例，加大随堂听课的力度，争取较高数量的好课率。 5、做好培优补差工作，提高教学质量。 在大面积提高教学质量的同时，作为一名教师，要坚持不放弃每一个后进生，要以良好的心态接纳他们，给他们以更多的关心和爱护，相信每一个学生都能学到自己适合的数学，让他们在数学学习上有所进步，以提高的数学成绩合格率。 六年级数学教学工作计划2 一、指导思想： 以新的《数学课程标准》为纲，全面提高学生的综合素质，促使学生上进、持续、和谐的发展。遵循学生学习数学的心理规律，从学生以有的生活 经验 出发，使数学面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。转变教师的教学观念、教学行为，改善学生的学习方式，培养学生的自主的探究意识，及解决实际的数学问题。培养学生的创新意识和实践能力。加强课堂教学的研究，整合本校的校本课程，全面推进素质教育，提高教育质量。 二、班级情况分析 本学期我担任六年级数学教学工作，对于这个班，由于部分学生的行为习惯差，学习态度不端正，对数学不感兴趣，学习被动，上课不认真听讲，作业不能按时完成，学习有困难，作业错误率较高。故在本学期的教学中，将重点抓好学习上有困难的学生，面向全体，创设愉快情境教学，激发他们的学习动机，进入最佳学习的动态，以提高成绩。 三、教学目标： (一)知识与技能方面。 1、让学生经历探索分数乘除法计算 方法 的过程，进一步完善对乘除法运算意义的认识和理解，形成必要的计算技能;经历认识比以及百分数意义的过程，进一步体会数学知识和方法的内在联系，加深对现实问题中数量关系的理解，提高综合应用数学知识和方法解决简单实际问题的能力。 2、让学生通过操作，实验，观察和思考等活动，认识长方体，正方体的展开图;理解并掌握长方体，正方体表面积的计算方法，能根据对长方体，正方体的表面积及其计算方法的理解解决相关的简单实际问题。 3、让学生联系分数的意义，初步掌握用分数表示具体情境中简单事件发生的可能性的方法，能根据指定的可能性设计相应的活动方案。 (二)数学思考方面。 1、在解方程以及列方程解决简单实际问题的过程中，进一步感受方程的思想方法和价值，发展 抽象思维 ，增强符号感。 2、在探索分数乘除法的计算方法，比的基本性质，以及长方体和正方体的体积公式的过程中，能够主动联系已有的知识经验进行观察和操作，比较和分析，猜想和验证，归纳和推理等活动，进一步发展合情合理与初步的演绎推理能力。 (三)解决问题方面。 1、能应用在本册数学书中学到的知识，解决生活中的实际问题，发展应用能力。 2、能在理解体积含义及理解长方体、正方体体积计算方法的基础上，主动解决一些有关的问题，进一步体会与他人交流的重要性，提高合作交流的能力。 (四)情感与态度方面。 在现实的情境中理解数学内容，利用学到的数学知识解决自己身边的实际问题，获得成功的体现，增强学好数学的信心，增强创新意识，锻炼实践能力。 四、本册教材教学重难点： 1、能理解并掌握长方体，正方体表面积，体积的计算方法，能根据对长方体，正方体的表面积，体积及其计算方法的理解解决相关的简单实际问题。 2、掌握分数乘除法的计算方法，熟练进行分数四则混合运算。 3、认识比和百分数增强数感。 4、能应用在本册数学书中学到的知识，解决生活中的实际问题，发展应用能力。 五、本学期改进教学具体 措施 ： 1、认真钻研教材，努力实践“五步走”课堂教学新模式，提高学生数学素养。 2、激发学习兴趣，放手让学生主动探索，以基础知识切入口，培养学生的多种能力。 3、坚持不懈地抓好学生良好学习习惯的培养。重视培养学生分析、解决问题的能力。在学习过程中培养学生认真负责的学习态度和细心计算和验算的好习惯。 4、注重学生知识形成和探究过程中获得的经验和方法的积累，使学生初步学会自主学习形式上可以多采用手、动脑、动口相结合，讨论、抢答等形式的学习，培养学生从周围情境中发现数学问题并能用所学知识解决问题的能力。 5、在探索数学知识的过程中，感受数学思考过程条理性、严谨性和数学结论的确定性，初步体验探索问题的科学方法，初步形成科学地探索问题的意识与态度。创设民主和谐的学习气氛，让学生真正成为学习的主人，激发学生学习数学的兴趣。培养学生的合作精神，使每个学生在各自不同的基础上都能得到提高。 六年级数学教学工作计划3 新学期开始了，我充满激情的开始投入新学期的教学教育工作，为把毕业班的数学教学工作做得更好，更扎实，我做了详细的教学计划。 一、指导思想 以国家教育方针和国家基础教育课程改革的精神为指导方针，以《数学新课程标准》的要求为依据，以提高学生的数学素质，促进学生全面、持续、和谐发展为基本出发点，认真分析班级学生的数学学习现状，做到有的放矢，使学生学有所得，落实本册的教学目标。采用各种开放的现代教学手段，培养学生的学习兴趣和积极性，以适应新时期培养目标的要求。 二、学情分析 本班共有学生42人，大部分学生对数学有上进心;有些学生的学习态度还需不断端正;有部分学生自觉性不够，上课注意力不集中;不能及时完成作业等;还有个别学生基础知识掌握不够扎实，学习数学有很大困难。所以在新的学期里，在端正学生学习态度的同时，应加强培养他们的各种学习数学的能力，利用小组讨论的学习方式，使学生在讨论中人人参与，各抒己见，互相启发,自己找出解决问题的方法，体验学习数学的快乐。 三、教学目标 这一册教材的教学目标是让学生： 1.了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题。 2.理解比例的意义和基本性质，会解比例，理解正比例和反比例的意义，能够判断两种量是否成正比例或反比例，会用比例知识解决比较简单的实际问题;能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并能根据其中一个量的值估计另一个量的值。 3.会看比例尺，能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小。 4.认识圆柱、圆锥的特征，会计算圆柱的.表面积和圆柱、圆锥的体积。 5.能从统计图表准确提取统计信息，正确解释统计结果，并能作出正确的判断或简单的预测;初步体会数据可能产生误导。 6.经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 7.经历对“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题，发展分析、推理的能力。 8.通过系统的整理和复习，加深对小学阶段所学的数学知识的理解和掌握，形成比较合理的、灵活的计算能力，发展思维能力和空间观念，提高综合运用所学数学知识解决问题的能力。 9.体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。 10.养成认真作业、书写整洁的良好习惯。 四、教材分析 在数与代数方面，这一册教材安排了负数和比例两个单元。结合生活实例使学生初步认识负数，了解负数在实际生活中的应用。比例的教学，使学生理解比例、正比例和反比例的概念，会解比例和用比例知识解决问题。 在空间与图形方面，这一册教材安排了圆柱与圆锥的教学，在已有知识和经验的基础上，使学生通过对圆柱、圆锥特征和有关知识的探索与学习，掌握有关圆柱表面积，圆柱、圆锥体积计算的基本方法，促进空间观念的进一步发展。 在统计方面，本册教材安排了有关数据可能产生误导的内容。通过简单事例，使学生认识到利用统计图表虽便于作出判断或预测，但如不认真分析也有可能获得不准确的信息导致错误判断或预测，明确对统计数据进行认真、客观、全面的分析的重要性。 六年级数学教学工作计划4 一、学生情况分析 本班共有学生80人，其中女生33人，从上学期考试成绩分析，学生的基础的知识、概念、定义掌握很不牢固，口算、笔算验算及脱式计算不是很好。且粗心大意的还比较多，灵活性不够，应用能力不够强。但也有部分学生学习态度较端正;也有部分学生自觉性不够，不能及时完成作业等，对于学习数学有一定困难。所以在新的学期里，在端正学生学习态度的同时，应加强培养他们的各种学习数学的能力，以提高成绩。 二、教材分析 1、本学期教材的知识结构体系分析和技能训练要求： 这册教材包括下面地些内容：百分数的应用、圆柱和圆锥、比例、确定位置、正反比例、解决问题的策略、统计以及小学六年来所学数学内容的总复习。本册教材的这些内容是在前几册的基础上按照完成小学数学的全部教学任务安排的，着重使学生认识一些常见的立体图形，掌握它们的体积等计算方法，进一步发展空间观念;进一步形成统计的观念，掌握用扇形统计图表示数据整理结果的方法，提高依据统计数据的分析、预测、判断能力;理解比例、正比例、反比例的概念，加深认识一些常见的数量关系，会用比例知识解答比较容易的应用题。然后把小学数学的主要内容加以系统的整理和复习，巩固所学的数学知识，使学生能够综合运用所学的数学知识解决比较简单的实际问题;结合新的教学内容与系统的整理和复习，进一步发展思维能力，培养思维品质，进行思想品德教育。 2、教学重点： 本册教材中的圆柱和圆锥、比例都是小学数学的重要内容。首先，认识圆柱和圆锥的特征，掌握圆柱和圆锥的一些计算，既可以为进一步学习其他形体的表面积和体积及其计算打好基础，进一步发展空间观念，也可以增强解决问题的策略和方法，逐步增强学生收集、处理信息的意识和能力。最后学习好比例的知识，不仅可以增强学生用数学方法处理数学问题的能力，而且也使学生获得初步的函数观念，为进一步学习相关知识作初步的准备。因此，让学生认识这些内容的概念，学会应用这些概念、方法和计算解决一些实际问题，是教学的重点。 三、教学目标要求 1、正确地判断圆柱和圆锥，理解、掌握圆柱的表面积、圆柱和圆锥体积的计算方法，会正确地进行计算。 2、使学生认识复式折线统计图，了解复式折线统计图的特点和作用，了解复式折线统计图的绘制方法，初步学会用复式折线统计图表示统计的数据，会对复式折线统计图进行简单的分析和判断。 3、使学生理解比例的意义和基本性质，会解比例;认识比例尺，会看比例尺，会使学生在经历观察、操作等活动的过程中认识圆柱和圆锥的特征，能正进行比例尺的有关计算;理解正比例和反比例的意义，能够判断两种量是否成正比例或反比例，理解用比例关系解应用题的方法，学会用比例知识解答比较容易的应用题。 4、使学生通过系统的复习，巩固和加深理解小学阶段所学的数学知识，更好地培养比较合理的、灵活的计算能力，发展思维能力和空间观念，并提高综合运用所学数学知识解决简单的实际问题的能力。 四、 教学方法 与措施 1、在教学中，为学生提供创造参与教学活动的情境，努力构建“和谐有效”课堂，通过操作、观察、讨论、比较等活动，先形象具体，后抽象概括，帮助学生理解和掌握知识点。 2、在教学中还要注意抓住新旧知识的内在联系，教给学生恰当的 学习方法 ，使学生了解知识间的横向联系。 3、在教学中要重视学生的学法指导，培养学生的迁移、类推能力。 4、抓好育尖补差工作，利用课余时间为他们补课。 六年级数学教学工作计划5 一、指导思想： 以学校总体工作为依据，以提高教研质量和教学质量为目标，增强教学的学习意识、服务意识、教科研意识、质量意识、合作意识、充分发挥业务职能的作用，以新课程改革为契机，以更新教育教学观念为先导，以课堂教学改革为重点，以培养学生的创新精神和实践能力为重点，不断深化课堂教学改革，全面提高我校教研工作水平。 二、基本情况 六年级现有46人，其中男生27人，女生19人。总体来看本班学生活泼可爱，多数学生思维活跃，学习数学的兴趣较浓，有良好的学习习惯。但也有极少数学生反应较慢，思维迟钝，注意力容易分散，但是他们有强烈的求知欲望。但几个后进生还需努力抓一把，特别是有5名同学智力特别低下，接受能力较差，几乎是不能独立完成作业，所以教师要有层次，有耐心的进行辅导，要使每个学生都能顺利地完成本学期的学习任务，另外全班回答问题的积极性普遍不高，完成作业书写质量不高，在今后的教学中也还要加强训练。 三、教材分析 1、教学内容简析 这一册教材包括下面一些内容：位置，分数乘法，分数除法，圆，百分数，统计，数学广角和数学实践活动等。 分数乘法和除法，圆，百分数等是本册教材的重点教学内容。 2、教学目标 1、理解分数乘、除法的意义，掌握分数乘、除法的计算方法，比较熟练地计算简单的分数乘、除法，会进行简单的分数四则混合运算。 2、理解倒数的意义，掌握求倒数的方法。 3、理解比的意义和性质，会求比值和化简比，会解决有关比的简单实际问题。 4、掌握圆的特征，会用圆规画圆;探索并掌握圆的周长和面积公式，能够正确计算圆的周长和面积。 5、知道圆是轴对称图形，进一步认识轴对称图形;能运用平移、轴对称和旋转设计简单的图案。 6、能在方格纸上用数对表示位置，初步体会坐标的思想。 7、理解百分数的意义，比较熟练地进行有关百分数的计算，能够解决有关百分数的简单实际问题。 8、认识扇形统计图，能根据需要选择合适的统计图表示数据。 9、经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 10、体会解决问题策略的多样性及运用假设的数学思想方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。形成发现生活中的数学的意识，初步形成观察、分析及推理的能力。 11、体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。 12、养成认真作业、书写整洁的良好习惯。 3、教学重点 ①理解分数乘、除法的意义，掌握分数乘、除法的计算方法，熟练计算分数乘、除法，会进行简单的分数四则混合运算，解决有关分数乘除法的简单的实际问题。 ②理解比的意义和性质，会求比值和化简比，会解决有关比的简单实际问题。 ③掌握圆的特征，会用圆规画圆;探索并掌握圆的周长和面积公式，能够正确计算圆的周长和面积。 ④理解百分数的意义，比较熟练地进行有关百分数的计算，能够解决有关百分数的简单实际问题。 ⑤认识扇形统计图，能根据需要选择合适的统计图表示数据。 ⑥经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 4、教学难点 ①理解分数乘除法以及百分数的意义，熟练进行分数四则混合运算。 ②解决分数、百分数简单实际问题。 ③掌握圆的特征，能够正确熟练计算圆的周长和面积。 ④根据具体情况选择适当的统计图表示数据。 ⑤经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 2022年六年级数学教学工作计划相关 文章 ： ★ 2022小学数学教学工作计划5篇 ★ 2022数学教学工作计划【五篇】 ★ 2022年最新数学教学工作计划 ★ 2022年小学教学工作计划 ★ 实用2022小学数学教师工作计划五篇 ★ 2022数学教师教学工作计划 ★ 小学六年级班级2022学期教学工作计划 ★ 数学教师教学工作计划2022 ★ 六年级数学2021下学期教学工作计划 ★ 小学数学个人教学工作计划2022

不用，不考的

ACM常用算法及练习第一阶段：练经典常用算法，下面的每个算法给我打上十到二十遍，同时自己精简代码，因为太常用，所以要练到写时不用想，10-15分钟内打完，甚至关掉显示器都可以把程序打出来. 1.最短路(Floyd、Dijstra,BellmanFord) 2.最小生成树(先写个prim,kruscal要用并查集，不好写) 3.大数（高精度）加减乘除 4.二分查找. (代码可在五行以内) 5.叉乘、判线段相交、然后写个凸包. 6.BFS、DFS,同时熟练hash表(要熟，要灵活,代码要简) 7.数学上的有：辗转相除（两行内），线段交点、多角形面积公式. 8. 调用系统的qsort, 技巧很多，慢慢掌握. 9. 任意进制间的转换第二阶段：练习复杂一点，但也较常用的算法。 如： 1. 二分图匹配（匈牙利），最小路径覆盖 2. 网络流，最小费用流。 3. 线段树. 4. 并查集。 5. 熟悉动态规划的各个典型：LCS、最长递增子串、三角剖分、记忆化dp 6.博弈类算法。博弈树，二进制法等。 7.最大团，最大独立集。 8.判断点在多边形内。 9. 差分约束系统. 10. 双向广度搜索、A*算法，最小耗散优先.相关的知识图论 路径问题 0/1边权最短路径 BFS 非负边权最短路径（Dijkstra） 可以用Dijkstra解决问题的特征 负边权最短路径 Bellman-Ford Bellman-Ford的Yen-氏优化 差分约束系统 Floyd 广义路径问题 传递闭包 极小极大距离 / 极大极小距离 Euler Path / Tour 圈套圈算法 混合图的 Euler Path / Tour Hamilton Path / Tour 特殊图的Hamilton Path / Tour 构造 生成树问题 最小生成树 第k小生成树 最优比率生成树 0/1分数规划 度限制生成树 连通性问题 强大的DFS算法 无向图连通性 割点 割边 二连通分支 有向图连通性 强连通分支 2-SAT 最小点基 有向无环图 拓扑排序 有向无环图与动态规划的关系 二分图匹配问题 一般图问题与二分图问题的转换思路 最大匹配 有向图的最小路径覆盖 0 / 1矩阵的最小覆盖 完备匹配 最优匹配 稳定婚姻 网络流问题 网络流模型的简单特征和与线性规划的关系 最大流最小割定理 最大流问题 有上下界的最大流问题 循环流 最小费用最大流 / 最大费用最大流 弦图的性质和判定组合数学 解决组合数学问题时常用的思想 逼近 递推 / 动态规划 概率问题 Polya定理计算几何 / 解析几何 计算几何的核心：叉积 / 面积 解析几何的主力：复数 基本形 点 直线，线段 多边形 凸多边形 / 凸包 凸包算法的引进，卷包裹法 Graham扫描法 水平序的引进，共线凸包的补丁 完美凸包算法 相关判定 两直线相交 两线段相交 点在任意多边形内的判定 点在凸多边形内的判定 经典问题 最小外接圆 近似O(n)的最小外接圆算法 点集直径 旋转卡壳，对踵点 多边形的三角剖分数学 / 数论 最大公约数 Euclid算法 扩展的Euclid算法 同余方程 / 二元一次不定方程 同余方程组 线性方程组 高斯消元法 解mod 2域上的线性方程组 整系数方程组的精确解法 矩阵 行列式的计算 利用矩阵乘法快速计算递推关系 分数 分数树 连分数逼近 数论计算 求N的约数个数 求phi(N) 求约数和 快速数论变换 …… 素数问题 概率判素算法 概率因子分解数据结构 组织结构 二叉堆 左偏树 二项树 胜者树 跳跃表 样式图标 斜堆 reap 统计结构 树状数组 虚二叉树 线段树 矩形面积并 圆形面积并 关系结构 Hash表 并查集 路径压缩思想的应用 STL中的数据结构 vector deque set / map动态规划 / 记忆化搜索 动态规划和记忆化搜索在思考方式上的区别 最长子序列系列问题 最长不下降子序列 最长公共子序列 最长公共不下降子序列 一类NP问题的动态规划解法 树型动态规划 背包问题 动态规划的优化 四边形不等式 函数的凸凹性 状态设计 规划方向线性规划常用思想 二分 最小表示法串 KMP Trie结构 后缀树/后缀数组 LCA/RMQ 有限状态自动机理论排序 选择/冒泡 快速排序 堆排序 归并排序 基数排序 拓扑排序 排序网络中级: 一.基本算法: (1)C++的标准模版库的应用. (poj3096,poj3007) (2)较为复杂的模拟题的训练(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706) 二.图算法: (1)差分约束系统的建立和求解. (poj1201,poj2983) (2)最小费用最大流(poj2516,poj2516,poj2195) (3)双连通分量(poj2942) (4)强连通分支及其缩点.(poj2186) (5)图的割边和割点(poj3352) (6)最小割模型、网络流规约(poj3308, ) 三.数据结构. (1)线段树. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750) (2)静态二叉检索树. (poj2482,poj2352) (3)树状树组(poj1195,poj3321) (4)RMQ. (poj3264,poj3368) (5)并查集的高级应用. (poj1703,2492) (6)KMP算法. (poj1961,poj2406) 四.搜索 (1)最优化剪枝和可行性剪枝 (2)搜索的技巧和优化 (poj3411,poj1724) (3)记忆化搜索(poj3373,poj1691) 五.动态规划 (1)较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等) (poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034) (2)记录状态的动态规划. (POJ3254,poj2411,poj1185) (3)树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140) 六.数学 (1)组合数学: 1.容斥原理. 2.抽屉原理. 3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026). 4.递推关系和母函数. (2)数学. 1.高斯消元法(poj2947,poj1487, poj2065,poj1166,poj1222) 2.概率问题. (poj3071,poj3440) 3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理) (poj3101) (3)计算方法. 1.0/1分数规划. (poj2976) 2.三分法求解单峰(单谷)的极值. 3.矩阵法(poj3150,poj3422,poj3070) 4.迭代逼近(poj3301) (4)随机化算法(poj3318,poj2454) (5)杂题. (poj1870,poj3296,poj3286,poj1095) 七.计算几何学. (1)坐标离散化. (2)扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用). (poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004) (3)多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335) (4)几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)高级: 一.基本算法要求: (1)代码快速写成,精简但不失风格 (poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306) (2)保证正确性和高效性. poj3434 二.图算法: (1)度限制最小生成树和第K最短路. (poj1639) (2)最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解) (poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446 (3)最优比率生成树. (poj2728) (4)最小树形图(poj3164) (5)次小生成树. (6)无向图、有向图的最小环 三.数据结构. (1)trie图的建立和应用. (poj2778) (2)LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题) 有离线算法(并查集+dfs) 和 在线算法 (RMQ+dfs)).(poj1330) (3)双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的 目的). (poj2823) (4)左偏树(可合并堆). (5)后缀树(非常有用的数据结构,也是赛区考题的热点). (poj3415,poj3294) 四.搜索 (1)较麻烦的搜索题目训练(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426) (2)广搜的状态优化:利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法. (poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482) (3)深搜的优化:尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法. (poj3131,poj2870,poj2286) 五.动态规划 (1)需要用数据结构优化的动态规划. (poj2754,poj3378,poj3017) (2)四边形不等式理论. (3)较难的状态DP(poj3133) 六.数学 (1)组合数学. 1.MoBius反演(poj2888,poj2154) 2.偏序关系理论. (2)博奕论. 1.极大极小过程(poj3317,poj1085) 2.Nim问题. 七.计算几何学. (1)半平面求交(poj3384,poj2540) (2)可视图的建立(poj2966) (3)点集最小圆覆盖. (4)对踵点(poj2079) 八.综合题. (poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj3336,poj3315,poj2148,poj1263)初期: 一.基本算法: (1)枚举. (poj1753,poj2965) (2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586) (3)递归和分治法. (4)递推. (5)构造法.(poj3295) (6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996) 二.图算法: (1)图的深度优先遍历和广度优先遍历. (2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra) (poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240) (3)最小生成树算法(prim,kruskal) (poj1789,poj2485,poj1258,poj3026) (4)拓扑排序 (poj1094) (5)二分图的最大匹配 (匈牙利算法) (poj3041,poj3020) (6)最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436) 三.数据结构. (1)串 (poj1035,poj3080,poj1936) (2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排) (poj2388,poj2299) (3)简单并查集的应用. (4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash) (poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503) (5)哈夫曼树(poj3253) (6)堆 (7)trie树(静态建树、动态建树) (poj2513) 四.简单搜索 (1)深度优先搜索 (poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251) (2)广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414) (3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129) 五.动态规划 (1)背包问题. (poj1837,poj1276) (2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书 page149): 1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533) 2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列) (poj3176,poj1080,poj1159) 3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题) 六.数学 (1)组合数学: 1.加法原理和乘法原理. 2.排列组合. 3.递推关系. (POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942) (2)数论. 1.素数与整除问题 2.进制位. 3.同余模运算. (poj2635, poj3292,poj1845,poj2115) (3)计算方法. 1.二分法求解单调函数相关知识.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122) 七.计算几何学. (1)几何公式. (2)叉积和点积的运用(如线段相交的判定,点到线段的距离等). (poj2031,poj1039) (3)多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内,多边型是否相交) (poj1408,poj1584) (4)凸包. (poj2187,poj1113)

http://wenku.baidu.com/search?word=%E5%85%AD%E5%B9%B4%E7%BA%A7%E4%B8%8B%E5%86%8C%E6%95%B0%E5%AD%A6&ie=utf-8&lm=0&od=0

比较官方权威的有： 全国高中数学联赛->中国数学奥林匹克->国际数学奥林匹克。其他有: 希望杯全国数学邀请赛，女子数学奥林匹克，还有各个省市组织的竞赛，美国数学竞赛AMC，美国数学邀请赛AIME等

3个苹果。每人先一人二个，剩下的就只有一个咯

【 #小学奥数# 导语】数学给予人们的不仅是知识，更重要的是能力，这种能力包括观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。这些能力和培养，将使人终身受益。以下是 整理的相关资料，希望对您有所帮助。 　　抽屉原理 　　抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。 　　例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： 　　①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1 　　观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。 　　抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有： 　　①k=[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。 　　②k=n/m个物体：当n能被m整除时。 　　理解知识点：[X]表示不超过X的整数。 　　例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2； 　　关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。 　　1、有红、黄、蓝、绿四种颜色小旗各一面，取其中一面小旗，或者多面小旗由上而下挂在旗杆上作为信号（挂多面小旗时，不同顺序表示不同信号，如：挂出红、黄颜色小旗时，顺序为红黄与顺序为黄红表示不同的信号）。问：一共有（）多少种信号？如果某天一共发出信号323次，那么这一天必定出现某种相同的信号至少有（）次？ 　　2、一副*牌一共有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？ 　　3、自制的一副玩具牌一共计52张（含有四种颜色的牌：红桃、红方、黑桃、黑梅。每种牌都有1点、2点….13点）。洗好后背面朝上放好，一次至少抽取几张牌，才能保证其中必定有2张牌点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色的），那么至少需要取多少张牌？ 　　4、在8*8的方格纸中，每个方格内可以填上1-4四个自然数中的任意一个，填满以后，对每个2%2的田字形内的4个自然数求和。在这些和中，相同的和至少有（）多少个？（*在此代表乘号） 　　5、用数字1、2、3、4、5、6填满一个6*6的方格表，如图所示，每个小方格中只填写其中的一个数字。将其中2*2正方形内的四个数字的和称为这个2*2正方形的标示数。问能否给出一种填法，使得任意两个标示数均不相同？如果能，请举出一个例子？不能则请说明理由？（*在此代表乘号）（图请根据题意自己画，不是太难。） 　　6、两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的夹角。现在平面上有若干条直线，他们两两相交，并且夹角只能是30度、60度或者90度。问：至少有多少条直线？ 　　7、雪帆学校有55个学生参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组女生多于2人，又知道参赛者中任何10人中必有男生。则参赛男生的人数为（）人？ 　　8、王跃老师带着若干个小朋友去购买单价为3元和5元的两种商品，每个小朋友至少买一件，但是每个人购买商品的总金额不得超过15元，王跃老师说，小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量是完全相同的。问：至少有多少名小朋友？ 　　9、雪帆奥数辅导班有10名优秀少先队员，同学们送花给他们，要使得他们中至少有两人的得到的花的数量是相同的，那么至少需要准备多少朵花？ 　　10、五一班的同学要从10名候选人里面投票选择班干部。如果每个同学只要投票选择两名候选人，那么这个班级至少应该有多少个同学，才能保证必有两个或者两个以上的同学投相同的两名两名候选人的票？