费马原理的原理

费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出。他断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。德国人沃尔夫斯凯尔曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣布自己证明了费马大定理。费马大定理与黎曼猜想已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。

物理中的费马原理是一条光学原理，它的表述如下：首先是光程的概念：[L]=nL,其中n为介质的折射率，l为光在介质中的实际路程。费马原理说的是光线总是沿着光程最平缓的路径传播，即对〔L]的变分为0。平时我们常常简单地表述为光程是最短的，有时说光走的时间最短。费马原理是对光沿直线传播，光的反射和折射定律的总结。即，我们可以由费马原理导出光的直线传播及反射和折射定律。补充一下：上述的光程最短，以及时间最短，都是不完整的表述，但这是费马本人原来的表述，它不是十分准确的。

费马原理（Fermat"s principle）最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值，甚至是函数的拐点。 最初提出时，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。悬赏求证1908年，哥廷根皇家科学协会公布沃尔夫斯凯尔奖：凡在2007年9月13日前解决费马大定理者将获得100000马克奖励。提供该奖者沃尔夫斯凯尔是德国实业家，年轻时曾为情所困决意在午夜自杀，但在临自杀前读到库默尔论述柯西和拉梅证明费马定理的错误让他情不自禁地计算到天明，设定自杀时间过了，他也放不下问题的证明，数学让他重生并后来成为大富豪，1908年这位富豪去世前，遗嘱将其一半遗产捐赠设奖，以谢其救命之恩。从此世界上每年都会有成千上万人宣称证明了费马大定理，但全部都是错的，一些数学权威机构，不得不预写证明否定书。

费马大定理证明过程原命题：Xn+Yn=Zn（其中X、Y、Z都是非零数）当n为大于2的正整数时X、Y、Z，不可能都是正整数。证明步骤如下：我们只要证明当n为大于2的正整数时，X、Y、Z，不可能都是非零的有理数，原命题自然成立。对于Xn+Yn=Zn来说如果等式二边无论如何都找不到有理对应关系，那么他们还有理数解吗？我们知道等式二边所有对应关系可列成下面三种情况。1、Xn+Yn=Zn2、Xn=Zn－Yn　　　　3、Yn=Zn－Xn　分析第一种情况　　　Xn+　Yn=Zn当n等于3时，X3+　Y3=Z3一方面由于等式左边y不管取何非零值，都只能分解成关于X的二个有理因式，即：X3+　Y3＝（X+　Y）（X2+XY+　Y2）另一方面，如果存在有理数解则X与Z之间必可通过有理置换，如：Z=X+某数形式即：等式右边Z3＝（X+某数）（X+某数）（X+某数）三个因式这样，等式一边永远无法变成X三个有理因式，等式另一边总是可以变成X三个有理因式，因此出现了矛盾。分析第二种情况　　Xn=Zn－Yn　　当n等于3时　　X3=Z3－Y3　一方面由于等式右边Y不管取何非零值，都只能分解成关于Z的二个有理因式，即：右边Z3－Y3　＝（Z－Y）（Z2+ZY+Y2　）二个有理因式另一方面，如果存在有理数解则Z与X之间必可通过有理置换，如：X=Z-有理数等式左边X3=（Z-有理数）（Z-有理数）（Z-有理数）三个因式这样，等式一边永远无法变成Z三个有理因式，等式另一边总是可以变成Z的三个有理因式，因此出现了矛盾。第三种情况和第二种情况是相似的。也就是说X、Y、Z为非零数时，所有的排列，都找不到等式二边会有理对应关系，因此当n等于3时X、Y、Z不可能都是有理数，更谈不上是整数。当n＝4时则Xn+Yn=Zn变成X4+Y4=Z4所有的排列有下面3种：1、X4+　Y4=Z4　　　2、　X4=Z4－Y4　3、　　Y4=Z4－X4　分析第一种情况，1、X4+　Y4=Z4　　　一方面由于等式左边y不管取何非零值，都只能分解成关于X的一个有理因式，另一方面，如果存在有理数解则X与Z之间必可通过有理置换，如Z=X+有理数等式右边Z4＝（X+有理数）（X+有理数）（X+有理数）（X+有理数）四个有理因式。这样，等式一边永远无法变成X四个有理因式，等式另一边总是可以变成X四个有理因式，因此出现了矛盾。分析第二种情况，2、X4=Z4－Y4　一方面由于等式右边Y不管取何非零值，都只能分解成关于Z的三个有理因式即：Z4－Y4　＝（Z-Y）（Z+Y）（Z2+Y2）　另一方面，如果存在有理数解则Z与X之间必可通过有理置换如：X=Z-有理数等式左边X4=（Z-有理数）（Z-有理数）（Z-有理数）（Z-有理数）四个有理因式这样，等式一边永远无法变成Z四个有理因式，等式另一边总是可以变成Z的四个有理因式，因此出现了矛盾。由此法不难类推，当n等于其他大于2的整数时，等于二边也无法有有理对应关系。所以费马的结论是对的。

费马，法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对物理有所贡献。天才就是这么朴实无华且枯燥！一、费马原理的表述费马原理物理表述：费马原理是这么说的：过空间中两定点的光，实际路径总是光程平稳值的路径。费马原理数学表述：路径积分是路径l（r）的函数，这在数学上被称为泛函。泛函的平稳值要求其“一阶变分为零”，即它是变分方程，目的是求出平稳值路径。费马原理的数学表达式就是它。这里的是δ变分算符。二、什么是路径积分、泛函、变分路径积分假设光线从Q点出发，到达P点，有n条路径；每一条路径都有对应的函数表示。每条路有多长呢？这时候就用路径积分来计算（下图只画了三条，其他未画出）泛函路径积分在计算每一条路径长度时，每条路径积分函数都对应一个数值（路径长度）：这类似于数学定义函数说的变量y和自变量x的一一对应关系；泛函就是：“变量”数值和“自变量”函数的一一对应关系。简单说下，泛函是将函数空间（无限维空间）映射到数域。变分理解了泛函，那么变分就很简单了，对泛函求微分，我们用新的名词叫做变分。三、平稳值中的极大值、极小值、常数不矛盾吗？其实当我们把泛函（整个函数空间）全部表示在图像中的时候，得到的图像类似于马鞍图（见下图）当光线在某介质中传播时，该介质以及边界条件的限制，导致泛函只能显示出一部分；（平面可以看成限制条件，平面与马鞍面相交的黄线可以认为是光线在某介质中传播时泛函）极大值（黄线对应的泛函求变分等于零可得极大值）极小值（黄线对应的泛函求变分等于零可得极小值）常数（黄线对应的泛函求变分等于零可得常数）四、能找出具体的例子吗？此时不得不请出我们最特殊的光学器件——椭球镜；我们知道椭圆上任意一点到两个焦点距离之和都相等。

光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。又称最小时间原理或极短光程原理，法国数学家费马于1657年首先提出。设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds所需时间为式中c为真空中的光速。光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。上式中的积分就是光沿 ACB曲线从A点传到B点的总光程。故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。光程取极值的条件为光程的一阶变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播 。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。

光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。又称最小时间原理或费马原理，法国数学家费马于1657年首先提出。路径积分是量子力学的基本原理，费马原理是路径积分的一个推论。

光学基础知识：光的反射、折射、衍射光的传播可以归结为三个实验定律：直线传播定律、反射定律和折射定律。【光的直线传播定律】：光在均匀介质中沿直线传播。在非均匀介质种光线将因折射而弯曲，这种现象经常发生在大气中，比如海市蜃楼现象，就是由于光线在密度不均匀的大气中折射而引起的。【费马定律】：当一束光线在真空或空气中传播时，由介质1投射到与介质2的分界面上时，在一般情况下将分解成两束光线：反射(reflection)光线和折射(refraction)光线。光线的反射光线的反射取决于物体的表面性质。如果物体表面(反射面)是均匀的，类似镜面一样(称为理想的反射面)，那么就是全反射，将遵循下列的反射定律，也称“镜面反射”。入射光线、反射光线和折射光线与界面法线在同一平面里，所形成的夹角分别称为入射角、反射角和折射角。【反射定律】：反射角等于入射角。i = i"对于理想的反射面而言，镜面表面亮度取决于视点，观察角度不同，表面亮度也不同。当反射面不均匀时，将发生漫反射。其特点是入射光线与反射光线不满足反射定律。一个理想的漫射面将入射光线在各个方向做均匀反射，其亮度与视点无关，是个常量。光线的折射一些透明/半透明物体允许光线全部/部分地穿透它们，这种光线称为透射光线。当光线从一种介质(比如空气)以某个角度(垂直情形除外)入射到另外一种具有不同光学性质的介质(比如玻璃镜片)中时，其界面方向会改变，就是会产生光线的折射现象。光的折射是由于光在不同介质的传播速度不同而引起的。光线折射满足下列折射定律：入射角的正弦与折射角的正弦之比与两个角度无关，仅取决于两种不同介质的性质和光的波长，【折射定律】：n1 sin i = n2 sin r任何介质相对于真空的折射率，称为该介质的绝对折射率，简称折射率(Index of refraction)。对于一般光学玻璃，可以近似地认为以空气的折射率来代替绝对折射率。公式中n1和n2分别表示两种介质的折射率。当n1 = -n2时，折射定律就是变成反射定律了，所以反射定律可以看成是折射定律的特例。折射率：光在两种介质种的传播速度之比，即n2/n1 = v1/v2一种介质的绝对折射率为n = c/v式中c是真空中光的速度，v为该介质中光的速度。可以看出：在折射率较大的介质中，光的速度比较低；在折射率较小的介质中，光的速度比较高。作为实验规律，上述几何光学三定律只是在波长λ很小的条件下才近似成立的。在摄影中，用几何光学来描述已经足够精确了。

地震波在介质中的两个任意点A和C之间传播时间以沿射线路径的时间为最小，这称为费马原理。根据费马原理可以求得射线方程。这些点之间波的旅行时间由下述曲线积分确定地震勘探其中ds为弧元。波沿射线的旅行时间为最小的条件是地震勘探其中δt是在路径AC上的时间变分。用变分计算法可求变分方程(2-5)的解，这需要求解欧拉微分方程。借助于欧拉方程可求得射线族方程，借助于方程(2-5)也能够确定沿射线的旅行时间。

费马把连续的非均匀介质分割成许多薄层，在每一层光速近似不变，通过从一个薄层到下一个薄层逐次应用他的原理，再将薄层厚度趋于零，费马得到了普遍的几何光学的费马原理：在非均匀介质中，光线在两点间传播要沿着连接该两点的一切路径中费时最少的一条路径前进。

运用费马原理证明光在反射和折射的过程中从一点到另一点所用的时间或走的路程比其他任何路径都要短。反射时，可以作出光源关于反射面的对称点，再将它和反射后经过的任意一点连起来，则这条线段的长度就是光所走的路程，可以用三角形两边之和大于第三边的原理证明光只有在这条线段与反射面之间的交点反射走的路程才最短，而在这点反射时，入射角和出射角是相等的。折射的道理一样，只不过要考虑光速的变化，你可以通过相应地按光在两种介质中的速度比例改变光在一种介质中的路程，再同样地通过几何学推证。反射定理考虑由Q发出经反射面到达P的光线．相对于反射面取P的镜像对称点P"，从Q到P任一可能路径QM"P的长度与QM"P"相等．显然，直线QMP"是其中最短的一根，从而路径QMP长度最短．根据肥马原理，QMP是光线的实际路径．折射定律考虑由Q出发经折射面折射到达P的光线．作QQ"与PP"平行，故而共面，我们称此平面为Ⅱ．考虑从Q经折射面上任一点M"到P的光线QM"P．由M"作垂足Q"、P"联线的垂线M"M，不难看出QM＜QM"，PM＜PM"，既光线QM"P在Ⅱ平面上的投影QMP比QM"P本身的光程更短．可见光程最短的路径应在Ⅱ平面内寻找．假设QQ"＝h1,PP"=h2,Q"P"=P,Q"M=x,则（QMP）＝n1QM+n2MP既 d(QMP)/dx=n1x/根号（h1*h1+x*+)-n2(p-x)/根号（h2*he+(p-x)*(p-x)由光程的最小条件d(MQP)/dx=0 可得 n1sini1=n2sini2

光程差其表达式为：1、公式一：2、公式二：其中c为真空中的光速，v为光在介质中的传播速度。在波动光学中，两束光的相位差成为了主要的研究对象，而光在不同介质之中传播是频率不变而波长会发生改变，因而相位关系也就不同。光程差整合了传播路径这一几何特征量和介质中光的波动性质的变化，利用真空折合距离差这一相同标准，可以计算出不同距离不同介质中传播的两束光的相位差。扩展资料光程与光程差作为光学中的基础量，在几何光学和波动光学中光的干涉、衍射及双折射效应等的推导过程中都具有重要意义和应用。1、费马原理费马（Feramt）在1657年首次提出了最短传播时间原理，后称之为费马原理：在给定的两点间，光沿所需时间最短的路径传播，即：光总是沿光程最小的路径传播。费马原理是几何光学最基础的公理，光在同一介质中沿直线传播，光的反射定律及光的折射定律等基本规律都是通过费马原理推导出的。其揭示了光的传播路径与光程的关系。2、光的干涉相干光相互叠加会出现明暗交替的干涉条纹，可以通过光程差来计算干涉条纹的特征。参考资料来源：百度百科-光程差

费马原理有点变分的意思了，需要先给定首位的约束。你要先任意取两个点A、B在不同介质中，假设光线从A出发穿过水平的界面到B，可以证明满足费马原理的路径（光程之和最小）是满足斯奈尔定律（入射角反射角关系）证明：假设折射点为C，入射角反射角可以假设i，r。C是满足费马原理的，在C左右变化位置△x，增加的光程是变化位置的函数（只保留同阶小量），同阶小量系数为0（费马原理要求的极值），得到i，r的关系即可。

从你的问题上来看，你应该问的是光学中的费马原理。最简单的回答是，这只是用数学手段写出来的的折反射定律而以。从数学上来说，不管是什么样的物理理论（比如这里是折反射定律），只要它是决定论的，从数学角度就可以定义一个量，这个量与粒子走过的路径（假设粒子可以可以走任意路径）有关，真实的粒子运动将使这个量取极值（不一定是最小值），这个可以称为广义的费马原理。而对于光的传播来说，这个量对应的就是时间。至于折反射定律的正确性，完全是由实验验证的。当然从理论角度上来说，也可以归结为光的电磁波本质。总结一下的话，从理论角度来说麦克斯韦方程组对应光的传播所需要的拉氏量（就是上面提到的量）就是时间。而另一个角度，实际上是更强的角度是，实验结果就是如此。

光程差其表达式为：1、公式一：2、公式二：其中c为真空中的光速，v为光在介质中的传播速度。意义和应用1、费马原理费马在1657年首次提出了最短传播时间原理，后称之为费马原理：在给定的两点间，光沿所需时间最短的路径传播，即：光总是沿光程最小的路径传播。2、光的干涉相干光相互叠加会出现明暗交替的干涉条纹，可以通过光程差来计算干涉条纹的特征。

光在介质中沿着光程为极值的路径传播,反射是按最小光程路径传播,（因为没有极大值） 假设是在均匀介质中 首先只有反射光线在入射光线和法线的平面内才可能按照最小光程传播,因为任何反射光线路径都不小于它在此平面内的投影. 然后可以设入射光线和反射光线分别过A、B点,在反射面同侧,作C点与A点沿反射面对称,连接BC交反射面于D点,易证AD=CD,然后由于两点之间直线最短,可以知道ACB是最短光程路线,而且符合反射定律

地震学中的费马原理：地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。　　光学中的费马原理：光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。在大部分情况下，此极值为最小值，但有时为最大值，有时为恒定值。　　费马原理对折射定律的证明 　　假设光从介质n_1入射到介质n_2。在两个介质的交界面上取一条直线为x轴，法线为y轴，建立直角坐标系;在入射光线上任取一点A(x_1, y_1)，光线与两介质交界面的交点为B(x, 0)，在折射光线上任取一点C(x_2, y_2)。 AB之间的距离为sqrt, BC之间的距离为sqrt。 由费马原理可知，光从A点经过B点到C点，所用的时间t 应该是最短的。t=left(frac ight)(ABn_1+BCn_2), t 取最小值的条件是frac=0。 经整理得 frac = frac, sin heta_1 = frac 且 sin heta_2 = frac 即 n_1sin heta_1 = n_2sin heta_2 (Snell"s law) 。在高中我们学了光在不同介质中发生折射，关于光在不同介质中发生折射，它们产生的入射角和反射角可以用数学方程，实际上费马原理指出，光线在A,B两点之间的传播距离的实际路径，与其他可能的邻近的路程相比，其光程为极值。

光程（Optical path length）是指光线在空间中传播的路径长度，通常用来描述光线在光学系统中穿过的距离。光程是光学系统设计和分析中重要的参数之一。光程可以用来描述光线在通过光学元件（如透镜、棱镜、反射镜等）或光学系统（如光纤、光波导等）时所经过的路径长度。它是通过测量光线从发射源到接收器或沿特定光学路径的传播距离来确定的。在光学系统中，光程需要考虑光线经过的不同介质的折射或反射效应。当光线从一个介质进入另一个介质时，由于介质的折射率的差异，光线的传播速度会发生改变，从而影响光程的长度。光程在光学系统的设计、光路校准、干涉、衍射以及其他光学现象的分析中起着重要作用。通过准确测量和控制光程，可以实现光学元件或系统的精确校准和性能优化，以达到预期的光学效果和性能水平。

　　最直接的解释是费马原理，简单说来光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿光程最短的路径传播。光程就是几何距离和介质折射率的乘积，如果是均匀介质，折射率点点相同，那么就沿几何路程最短的路径传播，两点之间线段最短，所以光在均匀介质中要从一点传到另一点会以直线传播。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。你还可以试试这个原理证反射定律，折射定律等光学简单问题，你会发现入射角等于出射角时确实路程最短　　另附 费马原理的一点解释（摘自百度知道 关于费马原理的提问）　　费马原理说的是光线总是沿着光程最平缓的路径传播，即对〔L]的变分为0。平时我们常常简单地表述为光程是最短的，有时说光走的时间最短。费马原理是对光沿直线传播，光的反射和折射定律的总结。即，我们可以由费马原理导出光的直线传播及反射和折射定律。　　补充一下：上述的光程最短，以及时间最短，都是不完整的表述，但这是费马本人原来的表述，它不是十分准确的。　　

您说的叫费马原理,及光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。又称最小时间原理或极短光程原理。简而言之就是两点之间光程最短

等光程原理（费马原理）是最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，可以有无数条路径，但所有这些路径的光线传播时间都相等。费马原理是几何光学的基本定理。用微分或变分法可以从费马原理导出以下三个几何光学定律：1、光线在真空中的直线传播。2、光的反射定律-光线在界面上的反射，入射角必须等于出射角。3、光的折射定律（斯涅尔定律）。扩展资料在数学上有一种表述方法既准确又精炼，那就是：过两个定点的光总走光程的一阶变分为零的路径。至于什么是变分，可以做如下理解：变分之于泛函，就相当于微分之于函数。而泛函则是函数的函数（以函数为自变量的特殊的函数），因为光线的路径本身是函数，而光程又是路径这个函数的函数，因此光程是泛函。所谓一阶变分为零，其实就和一阶导数为零意思相近。这种表述就自动包括了取极小值、极大值、定值、鞍点这些种种情况。最后，为了更加严谨，突出费马原理的充分必要性，其实费马原理的最准确表述应该是：过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。参考资料来源：百度百科-费马原理

希望详细点介绍费马原理的发展历程，即费马原理是在什么情况下发展起来的，人们为什么要总结出这个原理，这个原理有什么用处？在我们的实际生活又有什么用？希望举例具体些。我所问的费马原理是光沿极值路径的传播

费马定理的定义是光总是走光程极值路线，一般都是极小值。对于光从A到B点的反射来说，如果反射点为C，光线走过的实际路线必然是使得ACB最短的路线，也就是入射角等于折射角，入射光线和反射光线对称的路线，即为折射定律。

费马定理很多,比较有名的有费马小定理,费马最后定理,费马平方和定理,费马最小原理 如果费马小定理的证明还是比较简单的,由于1,2,p-1构成p的完全剩余系,那么a,2a,3a,.(p-1)a也构成一个p的完全剩余系,所以它们的乘积模p相等 所以1*2*3*...(p-1) = a*2a*3a*...(p-1)a (mod p) 约掉1*2*3*...(p-1)得a^(p-1) = 1 (mod p) 费马平方和定理的证明比较困难,不过百科里面有证明. 费马原理是涉及到变分方面的知识. 而费马最后定理的证明超级困难,网上有外尔斯的全部证明电子版,有130多页,涉及到的东西都非常高深,基本上很少有人能完全看懂的.

这是高数里的问题吧答案我记得是 摆线 这是牛顿一开始做的.用到费马原理，就是两点间光所取路径用时最短.上面有人解释过费马原理了. 而摆线正是符合光的折射定律的，你可以自己证一下。即证质点运动到摆线上某点的速度（用能量守恒即可表示）比上该点切线的倾斜角(即该点折射角的余角）的余弦值是个常数。 对了 ,补充下,这是速降线问题. 我刚发现这个问题有人解答过了.在http://zhidao.baidu.com/question/69900666.html

光的折射定律可由费马原理导出 费马原理对折射定律的证明 假设光从介质n1入射到介质n2。以入射光线，法线和折射光线所在平面与两个介质的交界面的交线为x轴，取一条与法线平行的直线为y轴，建立直角坐标系，两条直线相交于点O(0 0)。在入射光线上任取一点A(x1 y1)，光线与两介质交界面的交点为B(x 0)，在折射光线上任取一点C(x2 y2)。 AB之间的距离为 图片参考：upload.wikimedia/math/4/d/f/4df8ada7cb702814053148eeb9a14358 。 经整理得 图片参考：upload.wikimedia/math/4/5/2/452bd323313ff19062194f159a22fd85 且 图片参考：upload.wikimedia/math/8/c/a/8ca1a089eb2790f46e17e5dade72508d 即 n1sinθ1 = n2sinθ2 (Snell"s law) 2007-01-13 12:42:00 补充： 费马原理：光沿着所需时间为极值的路径传播。当然﹐由n1sinθ1 = n2sinθ2 即sinθ2 =(n1/n2)sinθ1我们可以拿两样物质﹐再以sinθ1对sinθ2作图﹐若果所得结果是一条斜率为n1/n2的直线 则斯涅耳定律成立。相反﹐若果以cosθ1对cosθ2作图﹐所得结果不会是一条斜率为n1/n2的直线﹐因而不可以乘costan 情形类此 参考: wiki 因为sin左个两个angle可以得到一条以n为slope既直线 所以就用sin 而唔用cos tan tanθ同cosθ都唔可以得到一条直线 相对上计算比较困难(cosθ tanθ 同θ既图表可以用微积分计 但你唔会蠢到用微积分计计d咁易既野)

n1sinθ1 = n2sinθ2 一、托勒密对折射现象的实验研究公元二世纪，希腊人托勒密（90—168）通过实验研究了光的折射现象．1．实验设计：托勒密的实验设计如图所示：在一个圆盘上装上两把能绕盘中心S旋转的中间可以活动的尺子．将圆盘面垂直立于水中，水面到达圆心处．2．实验方法：实验时转动两把尺子使之分别与入射光线和折射光线重合．然后把圆盘取出，分别按照尺的位置测出入射角和折射角．3．实验结果：托勒密通过上述的方法测得从空气中射入水中的光线折射时的一系列对应值为：4．数据分析：托勒密通过分析以上数据，得出结论：折射角和入射角是成正比关系．今天我们知道这个结论是不正确的，它只有在入射角很小的情况下才近似成立．5．留给我们的沉思：从托勒密的实验设计实验方法到实验数据的收集可以说是完全正确的．他的实验结果也是相当精确的，与现代值几乎没有多大的差别．但是托勒密可惜的是未能从正确的数据中发现正确的规律，从这里可看出对实验数据正确处理，加上正确理论的指导在发现规律中的重要性．托勒密是第一个用实验方法测定入射角和折射角的人，他曾求出具有单位半径的圆中弧与所对应的弦长数字，并巧妙地用数学方法编制了表（相当于现代的正弦三角函数表），他当时对折射角和入射角的测量是相当精确的，如果他当时把关于光折射的实验数据与他所编制的这份表作一比较的话，他就会不难发现入射角的正弦与折射角的正弦之比对给定的两种介质来说是一个常数，这样他就会发现折射定律，然而他却没有这样做，以致错过了一次发现的机会．二、开普勒对折射规律的修正德国人开普勒在汇集前人光学知识的基础上，断定托勒密关于折射规律的结论是不正确的．于是他开始便想通过实验发现折射定律，但实验最后没有成功．他便转向从理论上加以探索．他得出的折射定律是：折射角由两部分组成，一部分正比于入射角，另一部分正比于入射角的正割；只有在入射角小于30°时，入射角和折射角成正比的关系才成立，显然，开普勒关于折射定律的研究和修正比托勒密前进了一步．但还没能给出正确的折射定律．三、斯涅耳发现折射定律荷兰数学家斯涅耳（1591—1626）于1620年前后，通过实验确立了开普勒想发现而没有能够发现的折射定律．他注意研究了水中的物体看起来象飘浮的现象，做了如下实验：当在空气中的0点观察水中的A点时，犹如在B点一样，如图(A)所示．斯涅耳发现，对于任意入射角存在以下关系(B)图所示．斯涅耳没有用理论推导，而是用实验又验证了它．斯涅耳对折射定律作了如下表述：在不相同的介质里，入射角和折射角的余割之比总是保持相同的值．由于余割和正弦成反比，所以这个叙述等价于现代折射定律的表达式．四、笛卡儿进一步完善了光的折射定律法国人笛卡儿，他以媒质中球的运动作类比，试图说明折射定律．如图所示，假设球在媒质Ⅰ中运动，当进入媒质Ⅱ时，球速的水平分量不变，垂直部分增大，Ⅱ中的光速变成Ⅰ中光速的u倍．其结果球在媒质Ⅱ内部偏转，而所需时间仅为通过媒质Ⅰ中所需时间的1/u．因此根据几何关系，可得在这段时间内，球在水平方向前进的距离BE等于CB/u．所以式中i为入射角，r为折射角．笛卡儿第一次给出了折射定律的现代表述形式．五、费马对折射定律的发展与理论论证法国人费马（1601—1665）从理论上得到费马原理，并用演绎方法从费马原理中推导出折射定律．1．费马从理论上得到费马原理．费马从理论上推导出：光沿着光程为极值的路径传播．设某空间介质的折射率连续变化，光由A点传播到B点就必循一曲线，如图所示它的总光程为根据变分法原理，光程为极值的条件为此式即为费马原理的数学表达式．由费马原理可以推导出反射定律和折射定律，并可证明它们的光程为极值．2．费马用演绎方法导出折射定律费马在前人发现折射定律的基础上对光的折射定律又有了新的发展．费马认为，导出折射定律可以采取另一种截然不同的思考方法．他假定不同媒质对光的传播表现出不同的阻力，他首先指出，光在不同媒质中传播时，所走路程取极值，即遵从费马原理．即是说，光从空间的一点到另一点，是沿着光程为极值（最小、最大或常量）的路程传播的．借助于光程这个概念可将光在媒质中所走过的路程折算为光在真空中通过的路程，这样便于比较光在不同媒质中所走路程的长短．1661年费马运用费马原理成功地导出了折射定律．六、光的折射定律的现代表述折射定律是几何光学的基本定律之一．是在光的折射过程中，确定折射光线与入射光线之间关系的定律．当光从一种介质射向另一种介质的平滑界面时，一部分光被界面反射，另一部分光透过界面在另一种介质中折射，折射光线服从折射定律：折射光线AB位于入射光线SA和法线AN所决定的平面（称为入射面）内，折射光和入射光分别在法线的两侧，入射角i与折射角r有如下关系式：式中n21是一个与角度大小无关的常数，称为第二介质对第一介质的相对折射率．但由于光是电磁波，所以该定律可从惠更斯原理导出，并得：该式进一步给出了折射率n21与两边介质中的光速V1和V2之间的关系．该定律同样适用于声波和无线电波．

看不懂```

n=const -- n 等于常数。谈折射时，n 表示折射率。谈“费马最后的定理”时，n 表示方程的指数：X^n + Y^n = Z^n 当 n 大于 2 时，这个方程没有任何整数解

我这个是答案是我在考研究生时候回答的！在椭圆镜面内两个焦点之间，非直线传播时，光路为定值；改变椭圆曲率半径，使其增大则为极小值；使其变小则为极大值！老师给了满分，并且加了星！

不矛盾啊光干涉之前都是有色散的如果造出理论中才有的单线条光线的话,是不会有干涉的

费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1660年提出,又名“最短光时”原理. 费马原理：光沿着所需时间为平稳的路径传播.（所谓的平稳是数学上的变分概念,可以简单理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点.多数情况是极小值.宇宙学中指的时空透镜就是极大值,椭圆状镜面的表面则是拐点.） 光程 s=n l(n 为光所在介质的折射率,l为几何路程) 又因为 n=c/v 和 l=vt 所以得到 s=ct. 由此可见,光在某种介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走的几何路程. 费马原理指出,光从一点传播到另一点,其间无论经过多少次折射和反射,光程为极值.也就是说,光是沿着光程为极值（极大值、极小值或常量）的路径传播的.

费马原理（Fermat"s principle）最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值，甚至是函数的拐点。 最初提出时，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”：光沿着所需时间为平稳的路径传播。所谓的平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

费马原理，最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值，甚至是函数的拐点。 最初提出时，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。

光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。　　又称最小时间原理或费马原理，法国数学家费马于1657年首先提出。路径积分　　是量子力学的基本原理，费马原理是路径积分的一个推论。

如何用费马原理证明光的反射定律的回答如下：1、方法：1）首先是假设是在均匀介质中，只有反射光线在入射光线和法线的平面内才可能按照最小光程传播,因为任何反射光线路径都不小于它在此平面内的投影.2）可以第二步是设入射光线和反射光线分别过A、B点,在反射面同侧,作C点与A点沿反射面对称,连接BC交反射面于D点,易证AD=CD,然后由于两点之间直线最短,可以知道ACB是最短光程路线,而且符合反射定律，这样即可证明。2、相关内容：费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是最大值、最小值，甚至是函数的拐点。最初提出时，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”：光沿着所需时间为平稳的路径传播。所谓的平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点，费马原理可以证明光的反射原理。3、英文表示：Fermat principle

费马原理：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。

费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播 。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。折射定律（law of refraction） 或 斯涅尔定律（Snell"s Law）。折射定律：光线通过两介质的界面折射时,确定入射光线与折射光线传播方向间关系的定律,几何光学基本定律之一。如图,入射光线与通过入射点的界面法线所构成的平面称为入射面,入射光线和折射光线与法线的夹角分别称为入射角和折射角,以θ1和θ2表示。折射定律为:①折射光线在入射面内。②入射角和折射角的正弦之比为一常数,用n21表示,即式中n12称为第二介质对第一介质的相对折射率。

费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”:光沿着所需时间为 平稳 的路径传播.所谓的平稳是数学上的 微分 概念,可以理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点.

光程差其表达式为：1、公式一：2、公式二：其中c为真空中的光速，v为光在介质中的传播速度。在波动光学中，两束光的相位差成为了主要的研究对象，而光在不同介质之中传播是频率不变而波长会发生改变，因而相位关系也就不同。光程差整合了传播路径这一几何特征量和介质中光的波动性质的变化，利用真空折合距离差这一相同标准，可以计算出不同距离不同介质中传播的两束光的相位差。扩展资料光程与光程差作为光学中的基础量，在几何光学和波动光学中光的干涉、衍射及双折射效应等的推导过程中都具有重要意义和应用。1、费马原理费马（Feramt）在1657年首次提出了最短传播时间原理，后称之为费马原理：在给定的两点间，光沿所需时间最短的路径传播，即：光总是沿光程最小的路径传播。费马原理是几何光学最基础的公理，光在同一介质中沿直线传播，光的反射定律及光的折射定律等基本规律都是通过费马原理推导出的。其揭示了光的传播路径与光程的关系。2、光的干涉相干光相互叠加会出现明暗交替的干涉条纹，可以通过光程差来计算干涉条纹的特征。参考资料来源：百度百科-光程差

费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。折射定律（lawofrefraction）或斯涅尔定律（snell"slaw）。折射定律：光线通过两介质的界面折射时,确定入射光线与折射光线传播方向间关系的定律,几何光学基本定律之一。如图,入射光线与通过入射点的界面法线所构成的平面称为入射面,入射光线和折射光线与法线的夹角分别称为入射角和折射角,以θ1和θ2表示。折射定律为:①折射光线在入射面内。②入射角和折射角的正弦之比为一常数,用n21表示,即式中n12称为第二介质对第一介质的相对折射率。

射线有一个端点。端点是地震波的震源，地震波就是从震源发出的一条条射线

运用费马原理证明光在反射和折射的过程中从一点到另一点所用的时间或走的路程比其他任何路径都要短。反射时，可以作出光源关于反射面的对称点，再将它和反射后经过的任意一点连起来，则这条线段的长度就是光所走的路程，可以用三角形两边之和大于第三边的原理证明光只有在这条线段与反射面之间的交点反射走的路程才最短，而在这点反射时，入射角和出射角是相等的。折射的道理一样，只不过要考虑光速的变化，你可以通过相应地按光在两种介质中的速度比例改变光在一种介质中的路程，再同样地通过几何学推证。反射定理考虑由Q发出经反射面到达P的光线．相对于反射面取P的镜像对称点P"，从Q到P任一可能路径QM"P的长度与QM"P"相等．显然，直线QMP"是其中最短的一根，从而路径QMP长度最短．根据肥马原理，QMP是光线的实际路径．折射定律考虑由Q出发经折射面折射到达P的光线．作QQ"与PP"平行，故而共面，我们称此平面为Ⅱ．考虑从Q经折射面上任一点M"到P的光线QM"P．由M"作垂足Q"、P"联线的垂线M"M，不难看出QM＜QM"，PM＜PM"，既光线QM"P在Ⅱ平面上的投影QMP比QM"P本身的光程更短．可见光程最短的路径应在Ⅱ平面内寻找．假设QQ"＝h1,PP"=h2,Q"P"=P,Q"M=x,则（QMP）＝n1QM+n2MP既d(QMP)/dx=n1x/根号（h1*h1+x*+)-n2(p-x)/根号（h2*he+(p-x)*(p-x)由光程的最小条件d(MQP)/dx=0可得n1sini1=n2sini2

光程差其表达式为：1、公式一：2、公式二：其中c为真空中的光速，v为光在介质中的传播速度。在波动光学中，两束光的相位差成为了主要的研究对象，而光在不同介质之中传播是频率不变而波长会发生改变，因而相位关系也就不同。光程差整合了传播路径这一几何特征量和介质中光的波动性质的变化，利用真空折合距离差这一相同标准，可以计算出不同距离不同介质中传播的两束光的相位差。扩展资料光程与光程差作为光学中的基础量，在几何光学和波动光学中光的干涉、衍射及双折射效应等的推导过程中都具有重要意义和应用。1、费马原理费马（Feramt）在1657年首次提出了最短传播时间原理，后称之为费马原理：在给定的两点间，光沿所需时间最短的路径传播，即：光总是沿光程最小的路径传播。费马原理是几何光学最基础的公理，光在同一介质中沿直线传播，光的反射定律及光的折射定律等基本规律都是通过费马原理推导出的。其揭示了光的传播路径与光程的关系。2、光的干涉相干光相互叠加会出现明暗交替的干涉条纹，可以通过光程差来计算干涉条纹的特征。参考资料来源：百度百科-光程差

详细过程在这里实在是写不出，其实就是证明光在反射和折射的过程中从一点到另一点所用的时间或走的路程比其他任何路径都要短。反射时，可以作出光源关于反射面的对称点，再将它和反射后经过的任意一点连起来，则这条线段的长度就是光所走的路程，可以用三角形两边之和大于第三边的原理证明光只有在这条线段与反射面之间的交点反射走的路程才最短，而在这点反射时，入射角和出射角是相等的。折射的道理一样，只不过要考虑光速的变化，你可以通过相应地按光在两种介质中的速度比例改变光在一种介质中的路程，再同样地通过几何学推证。也可以模似一个物理过程，比如人先在岸上跑，再跳到水里（速度变小）追船，然后研究水中速度与岸应有的夹角，在这里实在是写不清楚。

搜索词条费马原理更多图片(6张)费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播 。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。中文名称：费马原理外文名称：Fermat principle分享用途地震学地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。光学光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。在大部分情况下，此极值为最小值，但点击查看图片费马原理有时为最大值，有时为恒定值。原理光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。又称最小时间原理或极短光程原理，法国数学家费马于1657年首先提出。设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds所需时间为式中c为真空中的光速。光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。上式中的积分就是光沿 ACB曲线从A点传到B点的总光程。故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。光程取极值的条件为光程的一阶变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播 。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。点击查看图片费马原理应用费马原理对折射定律的证明假设光从介质n1入射到介质n2。在两个介质的交界面上取一条直线为x轴，法线为y轴，在入射光线上任取一点A(x1, y1)，光线与两介质交界面的交点为B(x, 0)，在折射光线上任取一点C(x2, y2)。

表示光程：△=nxs。n表示介质的折射率，s表示光在介质中传播的路程。光程是一个折合量，可理解为在相同时间内光线在真空中传播的距离。在传播时间相同或相位改变相同的条件下，把光在介质中传播的路程折合为光在真空中传播的相应路程。在数值上，光程等于介质折射率乘以光在介质中传播的路程。物理中“△”符号还可能表示改变量，准确说是增量（末减初）。它出现时必定伴随着一个物理量的改变。[f6791.cn][coucuan.cn][qddaweijidian.cn][lanhr.c o m.cn][youjingang.cn][f584.cn][jnsdf.cn][i5gou.cn][jik8866.cn][glass35.cn]

费马原理对折射定律的证明假设光从介质n1入射到介质n2。在两个介质的交界面上取一条直线为x轴，法线为y轴，在入射光线上任取一点A(x1, y1)，光线与两介质交界面的交点为B(x, 0)，在折射光线上任取一点C(x2, y2)。折射定律中对费马原理的证明如图所示：

详细过程在这里实在是写不出，其实就是证明光在反射和折射的过程中从一点到另一点所用的时间或走的路程比其他任何路径都要短。反射时，可以作出光源关于反射面的对称点，再将它和反射后经过的任意一点连起来，则这条线段的长度就是光所走的路程，可以用三角形两边之和大于第三边的原理证明光只有在这条线段与反射面之间的交点反射走的路程才最短，而在这点反射时，入射角和出射角是相等的。折射的道理一样，只不过要考虑光速的变化，你可以通过相应地按光在两种介质中的速度比例改变光在一种介质中的路程，再同样地通过几何学推证。也可以模似一个物理过程，比如人先在岸上跑，再跳到水里（速度变小）追船，然后研究水中速度与岸应有的夹角，在这里实在是写不清楚。

光程差其表达式为：1、公式一：2、公式二：其中c为真空中的光速，v为光在介质中的传播速度。在波动光学中，两束光的相位差成为了主要的研究对象，而光在不同介质之中传播是频率不变而波长会发生改变，因而相位关系也就不同。光程差整合了传播路径这一几何特征量和介质中光的波动性质的变化，利用真空折合距离差这一相同标准，可以计算出不同距离不同介质中传播的两束光的相位差。扩展资料光程与光程差作为光学中的基础量，在几何光学和波动光学中光的干涉、衍射及双折射效应等的推导过程中都具有重要意义和应用。1、费马原理费马（Feramt）在1657年首次提出了最短传播时间原理，后称之为费马原理：在给定的两点间，光沿所需时间最短的路径传播，即：光总是沿光程最小的路径传播。费马原理是几何光学最基础的公理，光在同一介质中沿直线传播，光的反射定律及光的折射定律等基本规律都是通过费马原理推导出的。其揭示了光的传播路径与光程的关系。2、光的干涉相干光相互叠加会出现明暗交替的干涉条纹，可以通过光程差来计算干涉条纹的特征。参考资料来源：百度百科-光程差