高数。定积分和极限之间的转化

就是求导(分子)"=(x∫(0→x)f(t)dt-∫(0→x)tf(t)dt)"=∫(0→x)f(t)dt+xf(x)-xf(x)=∫(0→x)f(t)dt

f(x) = ln(x^2)ln( (1+1/n)^2. (1+2/n)^2+..+ (1+n/n)^2 )^1/n=(1/n)( ln (1+1/n)^2+ ln(1+2/n)^2+...+ ln(1+n/n)^2)f(x) = lnx^2divided [1,2] into n equal intervals1,1+1/n,1+2/n,.....,1+n/n=2ln( (1+1/n)^2. (1+2/n)^2+..+ (1+n/n)^2 )^1/n=∫(1,2) lnx^2 dx = 2∫(1,2) lnx dx

一楼正解！

(1)原式=lim1/n*∑1/(1+(i/n)^2)=∫(0→1)dx/(1+x^2)=arctanx|(0→1)=π/4(2)原式=∫(0→1)sin(πx)dx=-cos(πx)/π|(0→1)=2/π

用定积分定义求极限方法如下：把1/n放进求和号里面，整个极限刚好是"根号下(1+x)"在[0, 1]上的定积分（把[0,1]区间n等分、每个小区间取右端点做成的积分和的极限）。所以，原极限=根号下(1+x)从0到1的定积分=积分号下“根号（1+x）”d(1+x)=2/3 (1+x)^(3/2)上限1下限0=2/3 [2^(3/2)-1]。例如：^（1）原式=∫(0,1) √(1+x)dx=(2/3)*(1+x)^(3/2)|du(0,1)=(2/3)*2^(3/2)-2/3（2）原式=lim(n->∞) (1/n)*[(1/n)^p+(2/n)^p+...+(n/n)^p]=∫(0,1) x^pdx=[1/(p+1)]*x^(p+1)|(0,1)=1/(p+1)定义中ε的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N。又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

把1/n放进求和号里面，整个极限刚好是"根号下(1+x)"在[0, 1]上的定积分（把[0,1]区间n等分、每个小区间取右端点做成的积分和的极限）。所以，原极限=根号下(1+x)从0到1的定积分=积分号下“根号（1+x）”d(1+x)=2/3 (1+x)^(3/2)上限1下限0=2/3 [2^(3/2)-1]。例如：^（1）原式=∫(0,1) √(1+x)dx=(2/3)*(1+x)^(3/2)|du(0,1)=(2/3)*2^(3/2)-2/3（2）原式=lim(n->∞) (1/n)*[(1/n)^p+(2/n)^p+...+(n/n)^p]=∫(0,1) x^pdx=[1/(p+1)]*x^(p+1)|(0,1)=1/(p+1)扩展资料：定义中ε的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N；又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。参考资料来源：百度百科-极限

先把定积分解出来，就是个关于X的代数式，再求解极限

1、首先定积分定义求极限原理i+1后进行列出。2、其次进行重复原理进行加一。3、然后进行计算出即可。

球带有定积分的极限，首先当x趋于0时，上限x无限趋于下限0，所以变上限定积分的值无限趋于0，因为当定积分的上限和下限相等时，定积分的值为0。 定积分数学定义：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点xi将区间[a，b]分为n个小区间，在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ri（i=1，2，3u201e，n），作和式f(r1)+...+f(rn)，当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x)在区间上的定积分.记作/abf(x)dx即/abf(x)dx＝limn>00[f(r1)+...+f(rn)]，这里，a与b叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。

因为x趋向于0，所以可以把x=0直接代入，然后就得到之后的式子，因为从0-0积分，就是0了

当极限可以凑成Σ(k=1,n) (1/n)f(k/n)的形式时就可以用积分定义其中1/n -> dx，f(k/n) -> f(x)，即∫(0,1) f(x) dx当用放缩法，下界和上界，在取极限后是相等时，就可以用夹挤定理上下界不一样时，可以用积分定义很高兴能回答您的提问，您不用添加任何财富，只要及时采纳就是对我们最好的回报。若提问人还有任何不懂的地方可随时追问，我会尽量解答，祝您学业进步，谢谢。如果问题解决后，请点击下面的“选为满意答案”学习高等数学最重要是持之以恒，其实无论哪种科目都是的，除了多书里的例题外，平时还要多亲自动手做练习，每种类型和每种难度的题目都挑战一番，不会做的也不用气馁，多些向别人请教，从别人那里学到的知识就是自己的了，然后再加以自己钻研的话一定会有不错的效果。所以累积经验是很重要的，最好的方法就是常来帮别人解答题目，增加历练和做题经验了！

1、本题的解答方法是运用定积分的定义，化无穷级数的极限计算为定积分计算；2、转化的方法是，先找到dx，其实就是1/n；3、然后找到f（x），这个被极函数，在这里就是根号x；4、1/n趋近于0，积分下限是0；n/n是1，积分上限是1。具体解答过程如下：

供参考，请笑纳。即为所求。

好好看看定积分的定义是怎么引入的。记得不错的话，应该有以下几步：分割，近似，求和，取极限。

我们开始比较难，问的也比较难以理解，最终是什么意思？你可以到网站一看一看

定积分即是面积。假设被积函数是f（x），积分区间为（a，b）；将积分区域划分n份，n趋向于无穷大，则每一小份宽度为（b-a)/n；在每一份足够小的时候，积分面积可近似为一个矩形，面积s=（b-a）/n*f(x)。再将这些矩形的面积加起来就好了。故为：i=1—>n（a-b)/n*f(a+(b-a)/n*i)，就是求上式和的n趋向无穷大的极限。

这是定积分的定义，请你翻开高数书定积分那一节寻找其定义。你所给出的这题的方法是常用的利用定积分定义求极限的方法。

分割、近似、求和、取极限是求不规则问题的步骤，定积分是这些步骤的表达式，你说他们能不成立吗？

这是用到了定积分的定义，也可以说是几何意义lim 1/n*∑f(k/n)=f(x)在[0,1]上的定积分打公式不太方便，你可以看看这个文档利用定积分定义求数列极限_百度文库http://wenku.baidu.com/link?url=wBzAeXlfmbwu3YgMWidsxuTXlOt4Qac9KiKoaxh0sfLJvisyEdxhTbI8jcAFQoLzw4dDgAbhZxgdMKT60qtqJMrwKtgqJ0zityyF9z837Z7搜索一下利用定积分定义求极限你会发现很多这种题目的

数列有极限，即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a， 任意取一个值ε，是表明无论ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，换句话说就是Xn无限趋近于或等于a。 看n>N时，注意原话是：……对于任意小的ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn-a|<ε ，……。这是表明，无论ε多小，当n足够大时，都可以满足|Xn-a|<ε。换句话说，就是即使ε小到非常小（趋近于0），当n大到足够大的程度（趋向于无穷大）也会满足Xn与a的差小于ε（趋近于0）。 这么说的目的是给出一个准确的、可严格进行推导的定义，因此才没有采用我答的第一句话这种说法，而是使用了一个用数学式子表示出的定义。这并没有什么特殊的含义.

点击图片看清晰大图

这是根据定积分的定义来求的，其中蕴含”微元法“的思想。如果要解释，非常复杂，而且短时间也难以理解。我仅告诉你以后碰到这样的题怎样做。①提取1/n②构造i/n，其中i=1、2、3……，你这里是用k表示③将i/n改写成x你这道题前两步已解决，你问的就是第三步，将k/n改写成x，则ln(1+x)就作为被积函数，并且取(0,1)的定积分。其余项均不用去管。

自己能掌握知识才是王道。

一、与定积分定义与性质有关的问题●用定积分的定义求数列极限的基本原则与使用方法依据：基于以上结论和定积分的定义，于是对于特定分割（均分为n份）和区间上特殊取点（统一取为左端点或者统一取为右端点），从而可以用定积分的定义来求无穷项和的极限.原则、步骤与方法：如果考虑使用定积分的定义来求无穷项和的数列的极限，则首先将极限式写成∑求和形式；然后提出一个1/n，再将剩下部分中包含的n与k（或者i）转换为i/n或k/n的函数表达式（这个过程可能需要经过放缩，结合夹逼定理），即最终的极限式可以写成∑f(i/n)(1/n)的结构，则可以把最终的极限描述为被积函数为f(x)，积分区间为[0,1]的定积分形式. 具体过程参见课件中的例题和后面的参考阅读！【注】如果希望构建积分区间为[a,b]，则需要提出(b-a)/n，并将剩余部分转换为a+(b-a)i/n，即极限式转换为∑f[a+(b-a)i/n](b-a)/n的结构，则最终的极限描述为被积函数为f(x)，积分区间为[a,b]的定积分形式.●定积分性质命题相关的注意事项(1) 与定积分不等式命题相关的证明考虑积分性质中的保号性中的几个结论(2) 与定积分、被积函数和积分区间相关的命题的证明，考虑定积分的积分中值定理；定积分中值定理架起了定积分与被积函数和积分区间之间的桥梁，使得定积分的研究可以转换为被积函数来研究.二. 与变限积分函数有关的问题积分上限函数为被积函数的一个原函数，因此，积分上限函数是连续可导函数● 在已知条件或者结论中包含有积分上限函数的问题，一般直接的思路就是先对积分上限函数求导● 积分上限函数也称为变上限函数，因此，有变下限函数，以及上下积分限都为函数的积分限函数，对于它们都可以转换为变上限函数来处理。于是结合积分上限函数的复合函数可以得到以上变限函数的导数表达式● 对于积分变限函数求导的基本原则是在求导之前将被积表达式要变换成与求导变量无关，而仅仅与积分变量相关的表达式；积分上下限为求导变量的函数的结构，这样就可以直接使用变限积分求导公式直接套用！即将被积函数的积分变量替换为变限表达式，然后乘以变限函数的导数即得导数结果，即依据课件及上面的公式将最终所求的变限积分式子转换如下，并有如下求导结果即如果被积表达式中包含有求导变量，则要提出来，如果提不出来，则通过积分的换元法的方式转换，使得其不包含有求导变量.

找本数学分析的书看看就行。

如图

定积分的概念和几何意义如下：概念：是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。几何意义：被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上部分为正，x轴之下部分为负，根据cosx在[0,2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。定积分的意义有很多，它可以表示一个图形的面积，也可以和物理联系在一起，定积分可以为负值，但如果你要求图形的面积，就要用到它的绝对值。理解这个含义，需要注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。定积分的分类：1、不定积分，即已知导数求原函数。若F"(x)= f(x)，那么[F(x)+C]"= f(x)，（C∈R，c属于常数）也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。所以一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。2、定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由y=0,x=a,x=b,y= f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

=(1/n)*(根号(1/n)+根号(2/n)+……+1)=根号x从0到1的积分=2/3

定积分的定义。是把极限转化成定积分形式。Σf（k/n）*1/n=∫0到1f（x）dx 等式左边的叫做黎曼和。 这个是所有数量积分的定义

相当于f(x)相当于dx,这个dx不同于普通的dx,这里把区间（0，b）分成n份，一般普通的分法就是n等分，每份b/n作为dx，但是这里把（0，b）按照b^(i/n)的距离来进行分割成n分，每份当n趋于无穷也是dx

这个提问有点不理解，不是说利用定积分定义求极限，积分区间为什么是0到1，而是通常你为了好求极限，把式子化成积分区间0-1的形式

因为对分划来说，只是令分点个数n趋于无穷，并不能保证每个小子区间的长度是趋于0的（这是定积分的定义要求的），比如你把【a b】先用中点分为两端，以后做分划时只对右半区间做分划而左半区间不动，这时分点个数n趋于无穷，但显然不满足定积分定义要求。

请熟悉定积分的定义,定积分的基本步骤是分割代替求和取极限. 变成极限题,是因为这里分割是n等分分割（分割的小线段长b-a/n就是小矩形的长）,代替是用右分段点所对应的函数值代替（第i个小矩形的高f（a+（b-a）/n）i）,也可以是左分段点,求和,这里就是把这里的所有n等分的小曲边梯形的面级相加,取极限就是把n趋向于无穷大.你能明白这个过程,一定能够解题

可以用定义证明，详情如图所示

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。中文名定积分外文名definite integral学科数学本质积分释义积分和的极限快速导航性质常用积分法分点问题黎曼积分定理应用定义定积分定义：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：

无界函数当然只能求反常积分了。

因为b-a无论多大都比n趋近于无穷大小很多，想象一下n可以约去b-a都是无穷，无穷了就是N分之1，0到1可以方便的运算何乐而不为

定积分分部积分法是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。其主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式。定积分定义：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。

在实分析中 由黎曼创立的黎曼积分首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。 目录[隐藏] 1 概念 2 定义 2.1 区间的分割 2.2 黎曼和 2.3 黎曼积分 3 参考文献 [编辑] 概念 图片参考：upload.wikimedia/ *** /mons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/180px-Integral_as_region_under_curve.svg 图片参考：zh. *** /skins-1.5/mon/images/magnify-clip 作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分 对于一在区间[a b]上之给定非负函数f(x)，我们想要确定f(x)所代表的曲线与X坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为 图片参考：upload.wikimedia/math/b/5/d/b5deb829e994dfb49a5b358a983bc072 黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时请注意，如f(x)取负值，则相应的面积值S亦取负值。 图片参考：upload.wikimedia/ *** /mons/thumb/e/ee/Riemann/180px-Riemann 图片参考：zh. *** /skins-1.5/mon/images/magnify-clip 一列黎曼和。右上角的数字表示分割的矩形数。这列黎曼和趋于一个定值，记为此函数的黎曼积分。 [编辑] 定义 [编辑] 区间的分割 一个闭区间[a b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列 图片参考：upload.wikimedia/math/b/9/c/b9c2e906c034aac5ee566167b365ae7e 。 再定义取样分割。一个闭区间[a b]的一个取样分割是指在进行分割 图片参考：upload.wikimedia/math/b/5/b/b5bdd4498300db5d5a89937426defaba 。λ的定义同上。 精细化分割：设 图片参考：upload.wikimedia/math/4/6/c/46ce1561759675e92312b4ffe3aa534e 的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。 于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作「精细」。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更「精细」。 [编辑] 黎曼和 对一个在闭区间[a b]有定义的实值函数f，f关于取样分割 图片参考：upload.wikimedia/math/4/6/c/46ce1561759675e92312b4ffe3aa534e 的黎曼和定义为以下和式： 图片参考：upload.wikimedia/math/3/a/0/3a07ef6859176a83c8c1ed566fd942fd }- 和式中的每一项是子区间长度xi + 1 u2212 xi与在ti处的函数值f(ti)的乘积。直观地说，就是以标记点ti到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。 [编辑] 黎曼积分 不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越「精细」的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对「越来越『精细』」作出严格的定义。 要使得「越来越『精细』」有效，需要把λ趋于0。如此[xi xi + 1]中的函数值才会与f(ti)接近，矩形面积的和与「曲线下方」的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。 严格定义如下：S是函数f在闭区间[a b]上的黎曼积分，若且唯若对于任意的ε > 0，都存在δ > 0，使得对于任意的取样分割 图片参考：upload.wikimedia/math/d/6/5/d653b937f6dfeb6423d8e30b914c6ff8 ，就有： 图片参考：upload.wikimedia/math/0/f/e/0feb190bfd76c8d3271e372d4b2e0a55 }- 也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间[a b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f在闭区间[a b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f为黎曼可积的。 这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有 图片参考：upload.wikimedia/math/d/6/5/d653b937f6dfeb6423d8e30b914c6ff8 的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。 另一个定义: S是函数f在闭区间[a b]上的黎曼积分，若且唯若对于任意的ε > 0，都存在一个取样分割 图片参考：upload.wikimedia/math/5/8/2/582a86a6f691afe45d694e2392cc5e9c ，都有： 图片参考：upload.wikimedia/math/1/a/3/1a3851681b995a26ce22b416f2c1aee6 }- 这两个定义是等价的。如果有一个S满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值 图片参考：upload.wikimedia/math/d/6/5/d653b937f6dfeb6423d8e30b914c6ff8 的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于δ，于是满足 图片参考：upload.wikimedia/math/1/a/3/1a3851681b995a26ce22b416f2c1aee6 }- 其次，如果有一个S满足第二个定义，首先引进达布积分的概念。首先第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割 图片参考：upload.wikimedia/math/4/b/3/4b3c127fad4cbedbf78cc709db21a948 ，所以和S至多相差ε。

微积分包括微分和积分积分包括不定积分和定积分其中不定积分没有积分上下限所得原函数后面加一个常数c定积分是在不定积分的基础上加上了积分上下限所得的是数dy/dx叫导数将dx乘到等式右边就是微分

定义要凑dx，这就是dx

练不到计算能力

需要。KOC运营不限于抖音、快手、小红书、b站平台各种新渠道，在运营时需要露脸，并且上半身也要露出来，至少胸部以上，这是KOC的规定，为了保证在运营时屏幕前的人是你本人。

1cd=4π =12.56 lm1500mcd=1.5cd=18.84lm1500mcd=18.84流明

这一点你可以通过售后来进行确认。

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