两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。

辗转相除法是一种求两个数的最大公约数的方法。其原理是：对于两个正整数a,b（a≥b），将它们的模（余数）表示为r₁，r₂，r₃ …… rₙ，即：a = q₁b + r₁b = q₂r₁ + r₂r₁ = q₃r₂ + r₃……rₙ₋ ₂ = qₙrₙ₋₁ + rₙ其中，q₁、q₂、q₃ …… qₙ₋₁分别表示商，r₁、r₂、r₃ …… rₙ分别表示余数。如果某一步的余数为0，则下一步的商就是a和b的最大公约数。通常，这个算法会一直持续到余数为0。

辗转相除法原理证明如下:先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数。这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数）。例如求1515和600的最大公约数，第一次：用600除1515，商2余315；第二次：用315除600，商1余285；第三次：用285除315，商1余30；第四次：用30除285，商9余15；第五次：用15除30，商2余0。1515和600的最大公约数是15。辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果求几个数的最大公约数，可以先求两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为止。最后所得的一个最大公约数，就是所求的几个数的最大公约数。辗转相除法，是由欧几里德算法而来。其基本原理如下：如果要求两个正整数a和b（假设a>b，其实这并不影响求解算法）的最大公约数，可以表示成下面的式子：a=b×q+r （1）其中，q表示a除以b所得的商，r表示余数。

两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21(252 = 21 × 12；105 = 21 × 5);因为252 ÷105 = 2......42，所以(105,42)是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至余数变为零。这时的除数就是所求的两个数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21 = 5 × 105 + （u22122） × 252。这个重要的等式叫做贝祖等式（又称“裴蜀定理”）。

辗转相除法又叫欧几里得辗转相除法,最早出现在公元前300年古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》》(第VII卷,命题i和ii)中.而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》.而在现代数学中,这应该是属于数论的部分的. 要想解释辗转相除法的原理,需要先知道以下两点： 一、一个一般定理： 如果a是任一整数而b是任一大于零的整数,则我们总能找到一整数q,使 a=bq+r 这里r是满足不等式0

辗转相除法,乃求两个正整数之最大公因子的算法.它是已知最古老的算法,其可追溯至3000年前.两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数.辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和...

原理如下：1、更相减损术以112和84为例，为什么gcd(112,84)=gcd(112-84,84)？？（gcd表示最大公因数）。为了方便我把gcd(112,84)记为x，那么112必然是x的整数倍，84也必然是x的整数倍，x的整数倍减去x的整数倍等于什么？还是x的整数倍啊！所以相减完的数任然有x这个因数，即gcd(112-84,84)=x=gcd(112,84)。代入数据，gcd(112,84)=28，112=4*28，84=3*28，112-84=28=1*28，显然一倍的28和3倍的28的最大公因式还是28。2、辗转相除法其实就是更相减损术的反复应用。假如现在我给你两个数1204和84，让你求gcd(1204,84)。如果你用更相减损术，那么你的运算过程是这样的：gcd(1204,84)=g(1204-84,84)=gcd(1204-84-84,84)=...你发现了什么？你发现进行了很多次减法！我们可以用乘法代替！gcd(1204,84)=gcd(1204-n*84,84)，n是减去的84的个数。我们如何一步到位找到最大的n呢？也就是说1204最多能被84减多少次呢？也就是说1204大概是84的多少倍呢？你发现，带余除法可以一步到位算出n：1204÷84=14……28，也就是说1204最多能减14个84，减完剩下28。这个28就是我们想要的，gcd(1204,84)=gcd(1204-14*84,84)=gcd(28,84)。实际上我们只需要除完的余数，得到余数的运算叫做模运算，C++中用%表示，1204%84=28。这就是辗转相除法。

不知道意图ufufgjg

无论怎样除，若有一个数是被除数和除数的公约数，则余数一定也含有这个公约数。（被除数≥除数）

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。辗转相除法是判断两个数是否互质的，而不是应用在一个数上，是求两个数的大公约数。辗转相除法的具体做法：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。这是具体流程图，判断一个数是否是质数就是看它能否被除1以外的数整除。

在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为252 u2212 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21 = 5 × 105 + (u22122) × 252。这个重要的等式叫做贝祖等式。 辗转相除法最早出现在欧几里得的几何原本中（大约公元前300年），所以它是现在仍在使用的算法中最早出现的。这个算法原先只用来处理自然数，但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的数，如高斯整数和一元多项式。自此，现代抽象代数概念如欧几里得整环开始出现。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。 辗转相除法有很多应用，它甚至可以用来生成全世界不同文化中的传统音乐节奏。在现代密码学方面，它是RSA算法（一种在电子商务中广泛使用的公钥加密算法）的重要部分。它还被用来解丢番图方程，寻找满足中国剩余定理的数，或者求有限域的倒数。辗转相除法还可以用来构造连分数，在施图姆定理和一些整数分解算法中也有应用。辗转相除法是现代数论中的基本工具。 辗转相除法处理大数时非常高效，它需要的步骤不会超过较小数的位数（十进制下）的五倍。加百利·拉梅(Gabriel Lamé)于1844年证明了这点，开创了计算复杂性理论。

因为对任意同时整除a和b的数u，有 a=su，b=tu， 它也能整除r，因为r=a-bq=su-qtu=(s-qt)u。 反过来每一个整除b和r的整数v，有 b=s"v , r=t"v 它也能整除a，因为a=bq+r=s"vq+t"v=(s"q+t")v. 因此a和b的每一个公因子同时也是b和r的一个公因子，反之亦然。这样由于a和b的全体公因子集合与b和r的全体公因子集合相同，所以a和b的最大公因子必须等于b和r的最大公因子其实还有一个更相减损术，也是求最大公约数的好方法

　　一、辗转相除法优缺点和特点　　辗转相除法的优点：在于它能以有系统的方式求出两数的最大公约数，而无需分别对它们作因式分解。大数的素因数分解被认为是一个困难的问题，即使是现代的计算机也非常难于处理，所以许多加密系统的原理都是建基于此。　　辗转相除法的缺点：运算繁琐、复杂、易错，从算法实现角度考虑，该方法 存在存储量大，运算时间长，运算速度慢等不足．　　辗转相除法特点：惟一分解,即这些数系中的数能够被惟一地分解成不可约元素(素数在这些数系的对应物)。　　辗转相除法原理：　　设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。　　第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc　　第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c　　第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数　　第四步：可以断定m-kn与n互质【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】　　从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。　　证毕。　　二、穷举法的优缺点和特点　　穷举法的优点：算法简单。　　穷举法的缺点：运行时所花费的时间长。　　穷举法的特点：掌握利用穷举法解决问题的基 本要求；学会编写程序实现穷举法。　　例子：　　用穷举法解题时，就是按照某种方式列举问题答案的过程。针对问题的数据类型而言，常用的列举方法一有如下三种：　　（1）顺序列举 是指答案范围内的各种情况很容易与自然数对应甚至就是自然数，可以按自然数的变化顺序去列举。　　（2）排列列举 有时答案的数据形式是一组数的排列，列举出所有答案所在范围内的排列，为排列列举。　　（3）组合列举 当答案的数据形式为一些元素的组合时，往往需要用组合列举。组合是无序的。　　例子如下：在公元五世纪我国数学家张丘建在其《算经》一书中提出了“百鸡问题 ”：　　“鸡翁一值钱5，鸡母一值钱3，鸡雏三值钱1。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”这个数学问题的数学方程可列出如下：　　Cock+Hen+Chick=100　　Cock*5+Hen*3+Chick/3=100　　显然这是个不定方程，适用于穷举法求解。依次取Cock值域中的一个值，然后求其他两个数，满足条件就是解。

就是把上一轮有余数的除法计算中，除数变为下一轮计算的被除数，余数变为下一轮计算的除数，一直这样计算下去，直到最后一次计算余数为零，在最后一轮计算中的被除数，即为所求的最大公约数。举例：105和85的最大公约数第一轮计算105÷85=1...20第二轮计算85÷20=4...5第三轮计算20÷5=4第三轮没有余数，因此105和85的最大公约数就是第三轮计算的被除数5.至于c语言编程，下边是我自己写的g函数(思想就是辗转相除法求最大公约数)intg(intx,inty){intt;while(y!=0){t=x%y;x=y;y=t;}returnx;}

第一个等式表示14除以5余数为4，而5本身就是质数，所以14与5互质。其实当除数为质数时，只要除法有余数，被除数与除数就互质。

辗转相除法辗转相除法,又名欧几里德算法（Euclideanalgorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法,其可追溯至前300年。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。[编辑]算法辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数a和b的最大公因子的：1.若r是a÷b的余数,则gcd(a,b)=gcd(b,r)2.a和其倍数之最大公因子为a。另一种写法是：1.a÷b，令r为所得余数（0≤r＜b）若r=0，算法结束；b即为答案。2.互换：置a←b，b←r，并返回第一步。[编辑]虚拟码这个算法可以用递归写成如下:functiongcd(a,b){if(a不整除b)returngcd(b,amodb);elsereturna;}或纯使用循环:functiongcd(a,b){definerasinteger;whileb≠0{r:=amodb;a:=b;b:=r;}returna;}其中“amodb”是指取a÷b的余数。例如，123456和7890的最大公因子是6,这可由下列步骤看出：abamodb12345678905106789051062784510627842322278423224622322462124621261260只要可计算余数都可用辗转相除法来求最大公因子。这包括多项式、复整数及所有欧几里德定义域（Euclideandomain）。辗转相除法的运算速度为O(n2)，其中n为输入数值的位数

原式等价于15x+8y=450，要使其有整数解，则x必为偶数，y的个位数必为5，又8y≤450,因此y只能取55,45,35,25,15,5，将其带入原式，满足该条件的整数解只有x=6,y=45和x=22,y=15两组

方法1、采用被除数、除数、数的最大公约数相同的原理，直到最后余数为0，则取前一个不为0的余数即最大公约数所谓辗转，想来应该是用前一个循环的除数作后一个循环的被除数，前一个循环的余除数作后一个循环的除数，不停地循环，直到余数为0。方法2、如果两个数有最大公约数A，那么这两个数，以及这两个数的差，还有大数除以小数的余数，必然都是A的倍数。所以当最后两个数刚好能整除时，较小的数就是最大公约数。

首先，这个程序是求两个数的最大公约数的程序。对于<pre t="code" l="cpp">if(m<n)(r=m,m=n,n=r);这条语句，因为在while循环里有r=m%n，如果m<n的话，就不满足继续循环下去的条件。这个方法叫辗转相除法，是求最大公约数的一般方法。具体原理啥的，就请自己看了。

应该讲到了高中才出现在课本中。但是其基本方法初中就可以理解了。

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：定理：gcd(a,b) = gcd(b,amod b)证明：a可以表示成a = kb +r，则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数，则有d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r因此d是(b,amod b)的公约数假设d 是(b,amod b)的公约数，则d | b , d|r ，但是a = kb +r因此d也是(a,b)的公约数因此(a,b)和(b,a modb)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：intGcd(int a, int b){if(b ==0)return a;returnGcd(b, a % b);}当然你也可以写成迭代形式：intGcd(int a, int b){while(b !=0){int r = b;b = a % b;a =r;}returna;}本质上都是用的上面那个原理。补充:扩展欧几里德算法是用来在已知a,b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：intexGcd(int a, int b, int &x, int&y){if(b ==0){x = 1;y = 0; return a;}int r =exGcd(b, a % b, x, y);int t =x;x =y;y = t - a/ b * y;returnr;}把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。可以这样思考:对于a" = b,b" = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a"x + b"y = Gcd(a", b")由于b" = a% b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)那么可以得到:a"x + b"y= Gcd(a", b") ===>bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a", b") = Gcd(a, b)===>ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是y和(x-a/b*y).在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题，可都没有说全，都只说了一部分，看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程，步骤如下：求a * x+ b * y = n的整数解。1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a"* x + b" * y = n"，此时Gcd(a",b")=1;2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a" * x + b" * y = 1的一组整数解x0,y0，则n" * x0,n" *y0是方程a" * x + b" * y = n"的一组整数解；3、根据数论中的相关定理，可得方程a"* x + b" * y = n"的所有整数解为：x = n" * x0 + b" * ty = n" * y0 - a" * t(t为整数)上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。步骤如下：扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程：解不定方程ax + by = n的步骤如下: (1)计算gcd(a, b). 若gcd(a, b)不能整除n，则方程无整数解；否则，在方程的两边同除以gcd(a, b)，得到新的不定方程a"x + b"y = n"，此时gcd(a", b") = 1 (2)求出不定方程a"x + b"y = 1的一组整数解x0, y0，则n"x0，n"y0是方程a"x + b"y = n"的一组整数解。 (3)根据&@^%W#&定理，可得方程a"x + b"y = n"的所有整数解为： x = n"x0 + b"t y = n"y0 - a"t (t为整数) 这也就是方程ax + by = n的所有整数解 利用扩展的欧几里德算法，计算gcd(a, b)和满足d = gcd(a, b) = ax0 + by0的x0和y0，也就是求出了满足a"x0 + b"y0 = 1的一组整数解。因此可得： x = n/d * x0 + b/d * t y = n/d * y0 - a/d * t (t是整数) program oujilide; var i,j,a,b,c,d,x,y:longint; function gcd(a,b:longint):longint; var i:longint; beginif a=0 then exit(b); if b=0 then exit(a); gcd:=gcd(b,a mod b); end; procedure extend_gcd(a,b:longint;var x,y:longint); var i,j:longint; beginif b=0 thenbeginx:=1; y:=0; exit end; extend_gcd(b,a mod b,x,y); i:=x; x:=y; y:=i-(a div b)*x; end; beginassign(input,"oujilide.in"); reset(input); assign(output,"oujilide.out"); rewrite(output); read(a,b,c); d:=gcd(a,b); if c mod d=0 then begin a:=a div d; b:=b div d; c:=c div d; endelse begin writeln("No answer!"); exit; end; extend_gcd(a,b,x,y); x:=c*x; y:=c*y; writeln(x," ",y); end.

就是几个数的因数都有这个数，然后这个数是相同因数里面最大的，题目可以多做做，不是很难得，应该是自己可以做出来的哦，一定要加油哦。

辗转相除法是用来求最大公约数的一种方法。在许多计算机语言中都有。两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为252 61 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。

辗转相除法，乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法，其可追溯至3000年前。两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（252=21×12；105=21×5）；因为252u2212105=147，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21=5×105+(u22122）×252。这个重要的等式叫做贝祖等式。

更相减损术,或称“辗转相除法”是用来求最大公约数的． 给出两个正整数a和b，用b除a得商a0，余数r，写成式子：a=a0b+r，0≤r＜b． ..........(1) 　　这是最基本的式子．如果r等于0，那么b可以除尽a，而a、b的最大公约数就是b． 　　如果r≠0，再用r除b，得商a1，余数r1，即：b=a1r+r1，0≤r1＜r．............ (2) 　　如果r1=0，那么r除尽b，由(1)也除尽a，所以r是a、b的公约数．反之，任何一个除尽a、b的数，由(1)，也除尽r，因此r是a、b的最大公约数． 　　如果r1≠0，则用r1除r得商a2，余数r2，即：r=a2r1+r2，0≤r2＜r1． ...........(3) 　　如果r2=0，那么由(2)可知r1是b、r的公约数，由(1)，r1也是a、b的公约数．反之，如果一数除得尽a、b，那末由(1)，它一定也除得尽b、r，由(2)，它一定除得尽r、r1，所以r1是a、b的最大公约数． 　　如果r2≠0，再用r2除r1，如法进行．由于b＞r＞r1＞r2＞......逐步小下来，而又都是正整数，因此经过有限步骤后一定可以找到a、b的最大公约数d(它可能是1)．这就是有名的辗转相除法，在外国称为欧几里得算法． 例子:求42897与18644的最大公约数： 42897/18644 余数 5609 18644/5609 余数 1817 5609/1817 余数 158 1817/158 余数 79 158/79 余数 0 到余数为0的除数，就是两数的最大公约数！42897与18644的最大公约数=79 。这就是辗转相除法。

设两数为a、b(b<a)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数第四步：可以断定m-kn与n互质【否则，可设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】，因此c也是b和r的最大公约数。从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。证毕。以上步骤的操作是建立在刚开始时r!=0的基础之上的。即m与n亦互质。

辗转相除法又叫欧几里得辗转相除法,最早出现在公元前300年古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》》(第VII卷,命题i和ii)中.而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》.而在现代数学中,这应该是属于数论的部分的. 要想解释辗转相除法的原理,需要先知道以下两点： 一、一个一般定理： 如果a是任一整数而b是任一大于零的整数,则我们总能找到一整数q,使 a=bq+r 这里r是满足不等式0

辗转相除法又叫欧几里得辗转相除法，最早出现在公元前300年古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》》(第VII卷,命题i和ii)中。而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。而在现代数学中，这应该是属于数论的部分的。要想解释辗转相除法的原理，需要先知道以下两点：一、一个一般定理：如果a是任一整数而b是任一大于零的整数，则我们总能找到一整数q，使a=bq+r这里r是满足不等式0<=r<b的一个整数。二、最大公因子的表示方法：如果整数a和b的最大公因子是d，则表示为d=(a,b)（不知道现在教科书上是怎么表示的）给定a和b（a>=b)两个整数，求最大公因子d。根据上边给的定理，可以将a写成a=bq+r辗转相除法是告诉我们(a,b)=(b,r)即a和b的最大公因数和b和r（r是a除以b的余数）的最大公因数是相等的。原理：因为对任意同时整除a和b的数u，有a=su，b=tu，它也能整除r，因为r=a-bq=su-qtu=(s-qt)u。反过来每一个整除b和r的整数v，有b=s"v,r=t"v它也能整除a，因为a=bq+r=s"vq+t"v=(s"q+t")v.因此a和b的每一个公因子同时也是b和r的一个公因子，反之亦然。这样由于a和b的全体公因子集合与b和r的全体公因子集合相同，所以a和b的最大公因子必须等于b和r的最大公因子，这就证明了上边的等式。即(a,b)=(b,r)。

那我就按照你给的这个例子具体来说吧： 8251＝6105＋2146,为了表示简单,我就用a=b+c表示这个吧 于是有c=a-b 那么如果有d|a,且d|b,就必然有d|a-b,也就是d|c, 可见a和b的公约数必然也是c的约数. 现在假设d是a,b的最大公约数,那么d也必然是c的约数,于是d是b,c的公约数,现在就要证明它是最大公约数—— 因为a=b+c,于是b,c的公约数也必然是a的约数,假设(b,c)=e,（根据"d是b,c的公约数"知道d|e）那么有e|b+c,即e|a,可见e也是a,b的公约数,e|d,综上有e=d 可见(a,b)=(b,c)=d 这个思想一推广,就成了辗转相除法了. 说的够明白吧?.

定义已经给过了~证明：设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a＝bq......r1(0≤r)。若r1=0，则(a，b)＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝r1q......r2(0≤r2).若r2＝0，则(a，b)＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为(a，b)。给个例子具体来说吧：8251＝6105＋2146，为了表示简单，我就用a=b+c表示这个吧于是有c=a-b那么如果有d|a,且d|b,就必然有d|a-b,也就是d|c,可见a和b的公约数必然也是c的约数。现在假设d是a,b的最大公约数，那么d也必然是c的约数，于是d是b,c的公约数，现在就要证明它是最大公约数——因为a=b+c，于是b,c的公约数也必然是a的约数，假设(b,c)=e,（根据"d是b,c的公约数"知道d|e）那么有e|b+c,即e|a,可见e也是a,b的公约数，e|d,综上有e=d可见(a,b)=(b,c)=d这个思想一推广，就成了辗转相除法了。求ab的最大公约数：a=mb+c（带余除法：辗转相除法的步骤）设n是a,b的最大公约数，则上式可写成na`=mnb`+c所以，c=n(a`-mb`)，所以n也是c的公约数。同理可证，bc的最大公约数也是a的公约数这就是原理。

辗转相除法又叫欧几里得辗转相除法，最早出现在公元前300年古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》》(第VII卷,命题i和ii)中。而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。而在现代数学中，这应该是属于数论的部分的。要想解释辗转相除法的原理，需要先知道以下两点：一、一个一般定理： 如果a是任一整数而b是任一大于零的整数，则我们总能找到一整数q，使 a=bq+r 这里r是满足不等式0<=r<b的一个整数。二、最大公因子的表示方法： 如果整数a和b的最大公因子是d，则表示为d=(a,b) （不知道现在教科书上是怎么表示的） 给定a和b（a>=b)两个整数，求最大公因子d。 根据上边给的定理，可以将a写成 a=bq+r 辗转相除法是告诉我们 (a,b)=(b,r) 即a和b的最大公因数和b和r（r是a除以b的余数）的最大公因数是相等的。原理：因为对任意同时整除a和b的数u，有 a=su，b=tu， 它也能整除r，因为r=a-bq=su-qtu=(s-qt)u。 反过来每一个整除b和r的整数v，有 b=s"v , r=t"v 它也能整除a，因为a=bq+r=s"vq+t"v=(s"q+t")v. 因此a和b的每一个公因子同时也是b和r的一个公因子，反之亦然。这样由于a和b的全体公因子集合与b和r的全体公因子集合相同，所以a和b的最大公因子必须等于b和r的最大公因子，这就证明了上边的等式。即(a,b)=(b,r)。

1、辗除法(zhǎnchú fǎ )--辗转相除法， 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至3000年前。它首次出现于欧几里德的《几何原本》(第VII卷，命题i和ii)中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。2、原理：公约数指的是能够整除两个数字的一个数字。那么公约数一定能被这两个数字的差整除。既然能被差整除，那就能被这个差和最小的那个数字整除，就这么反复的应用。3、用法：辗转相除法用来求两个数的最大公约数。始终用较大数除以较小数，然后用余数代替较大数。整除时的除数就是最大公约数。希望帮到你 望采纳 谢谢 加油~

　　一、辗转相除法优缺点和特点　　辗转相除法的优点：在于它能以有系统的方式求出两数的最大公约数，而无需分别对它们作因式分解。大数的素因数分解被认为是一个困难的问题，即使是现代的计算机也非常难于处理，所以许多加密系统的原理都是建基于此。　　辗转相除法的缺点：运算繁琐、复杂、易错，从算法实现角度考虑，该方法 存在存储量大，运算时间长，运算速度慢等不足．　　辗转相除法特点：惟一分解,即这些数系中的数能够被惟一地分解成不可约元素(素数在这些数系的对应物)。　　辗转相除法原理：　　设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。　　第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc　　第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c　　第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数　　第四步：可以断定m-kn与n互质【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】　　从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。　　证毕。　　二、穷举法的优缺点和特点　　穷举法的优点：算法简单。　　穷举法的缺点：运行时所花费的时间长。　　穷举法的特点：掌握利用穷举法解决问题的基 本要求；学会编写程序实现穷举法。　　例子：　　用穷举法解题时，就是按照某种方式列举问题答案的过程。针对问题的数据类型而言，常用的列举方法一有如下三种：　　（1）顺序列举 是指答案范围内的各种情况很容易与自然数对应甚至就是自然数，可以按自然数的变化顺序去列举。　　（2）排列列举 有时答案的数据形式是一组数的排列，列举出所有答案所在范围内的排列，为排列列举。　　（3）组合列举 当答案的数据形式为一些元素的组合时，往往需要用组合列举。组合是无序的。　　例子如下：在公元五世纪我国数学家张丘建在其《算经》一书中提出了“百鸡问题 ”：　　“鸡翁一值钱5，鸡母一值钱3，鸡雏三值钱1。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”这个数学问题的数学方程可列出如下：　　Cock+Hen+Chick=100　　Cock*5+Hen*3+Chick/3=100　　显然这是个不定方程，适用于穷举法求解。依次取Cock值域中的一个值，然后求其他两个数，满足条件就是解。

这是用辗转相除法求两个数的最大公约数原理：如果　n=bm+r则　(n,m)=(m,r)gcd(m,n)求的是　m与n的最大公约数n mod m是n除以m的余数所以有 gcd(m,n)=gcd(n mod m,m)如果还是不明白，请搜索“辗转相除法"

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求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。 辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f（x,y）表示x，y的最大公约数，取k=x/y，b=x%y，则x=ky+b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f（x,y）=f（y,x%y）（y>0），如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。 例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数。

帅爆啦，上面的解答

只听过交叉相乘

a和b的最大公因数=2x3=6，最小公倍数=2x3x5x7=210。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。扩展资料如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。例： 在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公约数。早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f（x, y）表示x，y的最大公约数，取k = x/y，b = x%y，则x = ky + b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y。而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f（x, y）= f（y, x%y）（y > 0），如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。

45的因数：1, 3, 5, 9, 15, 45。56的因数：1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56。64的因数：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64。公因数是1

是6.

线段上格点的个数给定平面上的两个格点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),线段上P1P2上，除P1和P2以外一共有多少格点虽然可以用穷举法，遍历min(x1,x2)≤x≤max(x1,x2)且min(y1,y2)≤y≤max(y1,y2)的格点可以得到正确答案，但是复杂度确实O(|x1u2212x2|×|y1u2212y2|)，其实这个题的答案是|x1u2212x2|和|y1u2212y2|的最大公约数减去1。（注意，|x1u2212x2|=0且|y1u2212y2|=0时，答案为0）原因，首先看一下|x1u2212x2|和|y1u2212y2|的最大公约数代表的是啥？其实可以看成在横向和竖向的最大的公共等分数，比如6的等分点可以是1:1:1:1:1:1分成6份,也可以是2:2:2分成3份，或者是6，只有1份。（其实对应的是6能被6，3，1整除）那么6和9的最大公共等分数是3，即6分为2：2：2，9分为3：3：3.那么边长为6和9的矩形，按照这样分会是什么情况呢？通过上图可以看出，大矩形的对角线正好经过(2,3),(4,6),(6,9)除开(6,9)，就是本体所要求的点。这就是为什么这个题的答案是|x1u2212x2|和|y1u2212y2|的最大公约数减去1。那这个题可以转换为求最大公约数的问题，最大公约数一般使用辗转相除法辗转想法的原理：如果有两个自然数a和b（a>b)，可以写成a=k×b+c情况1：如果c=0,那么gcd(a,b)=b情况2：如果c≠0,那么gcd(a,b)=gcd(b,c)下面提供了3个求最大公约数的方法（顺便一提，a和b的最大公倍数为a×bgcd(a,b)

C语言中的while是一种循环语句，是计算机的一种基本循环模式。当满足条件时进入循环，不满足跳出使用格式为：while(条件表达式){循环体语句；}当while循环的条件表达式为真时，进入循环，一直循环到条件表达式为假为止

5*7*8=280,对于除数5,找到7与8的公倍数且能被5除余3的最小值168,同理找到对于7,8的类似数120,245,三者之和533一定满足,再检查是否最小,减n个280,验证,显然为253,这是代数里面辗转相除法的应用,知道原理的话更简单,

边　差　长　乘　除　底　点　度　分　高　勾　股　行　和　弧环　集　加　减　积　角　解　宽　棱　列　面　秒　幂　模　球式　商　体　项　象　线　弦　腰　圆十位　个位　几何　大圆　小圆　下标百位　千位　万位　分子　分母 分数　中点　约分　加数　减数通分　除数　商数　奇数　偶数　质数（素数）　合数 　算式因式　因数　单价　数量　约数　正数　负数　整数　分数　倒数乘方　开方　底数　指数　平方　立方　数轴　原点　同号　异号余数　除式　商式　余式　整式　系数　次数　速度　距离　时间方程　等式　左边　右边　变号　相等　解集　分式　实数　根式对数　底数　首数　尾数　坐标　横轴　纵轴　函数变量　截距　正弦　余弦　正切　余切　正割　余割　坡度　坡比频数　频率　原象　对角　等式　基数　正角　负角　零角　弧度函数　端点　值域　周期　实数　概率　直线　公理　定义　概念　射线 线段顶点　始边　终边　圆角　平角　锐角　钝角　直角　余角 补角垂线　垂足　斜线　斜足　命题　定理　条件　题设　结论证明　内角　外角　推论　斜边　曲线　弧线　周长　对边矩形　菱形　邻边　梯形　面积　比例　等比　分比　垂心重心　内心　外心　旁心　射影　圆心　半径　直径　定点　定长圆弧　优弧　劣弧　等圆　等弧　弓形　相离　相切　切点　切线相交　割线　外离　外切　内切　内径　外径　中心　弧长　扇形轨迹　误差　视图　交点　斜率　夹角　平面　棱柱　底面　侧面　侧棱　棱锥　斜高棱台　圆柱　圆锥圆台　母线　球面　球体　体积　环体　环面面角 有解　无解　单根　上限　下限　上界　下界边界　端点　全等　相似被减数　被除数　假分数　真分数　带分数　质因数小数点　多位数　百分数　单名数　复名数　统计表　统计图比例尺　循环节　近似数　准确数　圆周率　百分位　十分位千分位　万分位　自然数　正整数　负整数　有理数　无理数相反数　绝对值　正分数　连分数　近似数　弦切角　曲率圆负分数　有理数　正方向　负方向　正因数　负因数　正约数运算律　交换律　结合律　分配律　最大数　最小数　逆运算奇次幂　偶次幂　平方表　立方表　平方数　立方数　被除式代数式　平方和　平方差　立方和　立方差　单项式　多项式二项式　三项式　常数项　一次项　二次项　同类项　填空题选择题　判断题　证明题　未知数　大于号　小于号　等号恒等号　不等号　公分母　不等式　方程组　代入法　加减法公因式　有理式　繁分式　换元法　平方根　立方式　根指数小数点　公式法　判别式　零指数　对数式　幂指数 对数表横坐标　纵坐标　自变量　因变量　函数值　解析法 解析式列表法　图象法　指点法　截距式　正弦表　余弦表 正切表余切表　平均数　有限集　描述法　列举法　图示法 真子集欧拉图　非空集　逆映射　自反性　对称性　传递性 可数集可数势　幂函数　角度制　弧度制 密位制定义城　函数值　开区间　闭区间　增函数　减函数 单调性奇函数　偶函数　奇偶性　五点法　公因子　对逆性 比较法综合法　分析法　最大值　最小值　递推式　归纳法长方体　正方体　正方形　相交线 延长线中垂线　对顶角　同位角　内错角　无限极　长方形 平行线真命题　假命题　三角形　内角和　辅助线　直角边 全等形对应边　对应角　原命题　原定理　逆定理 对称点对称轴　多边形　对角线　四边形　五边形　三角形 否命题中位线　相似形　比例尺　内分点　外分点　平面图 同心圆内切圆　外接圆　弦心距　圆心角　圆周角　弓形角 内对角连心线　公切线　公共弦　中心角　圆周长　圆面积 反证法主视图　俯视图　二视图　三视图　虚实线　左视图 离心率双曲线 抛物线　倾斜角　点斜式　斜截式 两点式一般式　参变数　公垂线 斜线段半平面　二面角　斜棱柱　直棱柱　正梭柱　直观图 正棱锥上底面　下底面　多面体　旋转体　旋转面　旋转轴 拟柱体圆柱面　圆锥面　多面角　变化率 原函数混合运算　乘法口诀　循环小数　无限小数　有限小数　简易方程四舍五入　单位长度　加法法则　减法法则　乘法法则　除法法则数量关系　升幂排列　降幂排列　分解因式　完全平方　完全立方同解方程　连续整数　连续奇数　连续偶数　同题原理　最简方程最简分式　字母系数　公式变形　公式方程　整式方程　二次方根三次方根　被开方数　平方根表　立方根表　二次根式　几次方根求根公式　韦达定理　分式方程　有理方程　无理方程分数指数　反对数表　坐标平面　坐标原点　比例系数　一次函数二次函数　三角函数　正弦定理　余弦定理　样本方差等价集合　可数集合　对应法则　指数函数　对数函数　自然对数指数方程　对数方程　单值对应　单调区间　单调函数　诱导公式周期函数　周期交换　振幅变换　相位变换　正弦曲线　余弦曲线正切曲线　余切曲线　倍角公式　半角公式　积化和差　和差化积三角方程　线性方程　主对角线　副对角钱　零多项式　余数定理因式定理　通项公式　有穷数列　无穷数列　等比数列　总和符号特殊数列　不定方程　系数矩阵　增广炬阵　初等变换　虚数单位共轭复数　共轭虚数　辐角主值　三角形式　代数形式　加法原理乘法原理　几何图形　平面图形　等量代换　度量单位　角平分线互为余角　互为补角　同旁内角　平行公理　性质定理　判定定理斜三角形　对应顶点　尺规作图　基本作图　互逆命题　互逆定理凸多边形　平行线段　逆否命题　对称中心　等腰梯形　等分线段比例线段　勾股定理　黄金分割　比例外项　比例内项　比例中项比例定理　相似系数　位似图形　位似中心　内公切线　外公切线正多边形　扇形面积　互否命题　互逆命题　等价命题　尺寸注法标准方程　平移公式　旋转公式　有向线段　定比分点　有向直线经验公式　有心曲线　无心曲线　参数方程　普通方程　极坐标系等速螺线　异面直线　直二面角　凸多面体　祖恒原理　体积单位球面距离　凸多面角　直三角面　正多面体　欧拉定理　连续函数复合函数　中间变量　瞬间速度　瞬时功率　二阶导数　近似计算辅助函数　不定积分　被积函数　积分变量　积分常数　凑微分法相对误差　绝对误差　带余除法　微分方程　初等变换　立体几何平面几何　解析几何　初等函数　等差数列　常用对数四舍五入法　纯循环小数　一次二项式　二次三项式　最大公约数最小公倍数　代入消元法　加减消元法　平方差公式　立方差公式立方和公式　提公因式法　分组分解法　十字相乘法　最简公分母算数平方根　完全平方数　几次算数根　因式分解法　双二次方程负整数指数　科学记数法　有序实数对　两点间距离　解析表达式正比例函数　反比例函数　三角函数表　样本标准差　样本分布表总体平均数　样本平均数　集合不相交　基本恒等式　最小正周期两角和公式　两角差公式　反三角函数　反正弦函数　反余弦函数反正切函数　反余切函数　第一象限角　第二象限角　第三象限角第四象限角　线性方程组　二阶行列式　三阶行列式　四阶行列式对角线法则　系数行列式　代数余子式　降阶展开法　绝对不等式条件不等式　矛盾不等式　克莱姆法则　算术平均数　几何平均数一元多项式　乘法单调性　加法单调性　最小正周期　零次多项式待定系数法　辗转相除法　二项式定法　二项展开式　二项式系数数学归纳法　同解不等式　垂直平分线　互为邻补角　等腰三角形等边三角形　锐角三角形　钝角三角形　直角三角形　全等三角形边角边公理　角边角公理　边边边定理　轴对称图形　第四比例项外角平分线　相似多边形　内接四边形　相似三角形　内接三角形内接多边形　内接五边形　外切三角形　外切多边形　共轭双曲线斜二测画法　三垂线定理　平行六面体　直接积分法　换元积分法第二积分法　分部积分法　混循环小数　第一积分法　同类二次根一元一次方程　一元二次方程　完全平方公式　最简二次根式直接开平方法　万能置换公式　绝对值不等式实系数多项式　复系数多项式　整系数多项式　不等边三角形中心对称图形　基本初等函数　基本积分公式　分部积分公式二元一次方程一元一次不等式　一元二次不等式　二元一次方程组三元一次方程组　二元二次方程组　平面直角坐标系等腰直角三角形　二元一次不等式　二元线性方程组一元一次不等式组

什么是数学第1章 自然数引言§ 1 整数的计算§ 2 数系的无限性 数学归纳法第1章补充数论引言§ 1 素数§ 2 同余§ 3 毕达哥拉斯数和费马大定理§ 4欧几里得辗转相除法第2章 数学中的数系引言§ 1 有理数§ 2 不可公度线段 无理数和极限概念§ 3解析几何概述§ 4 无限的数学分析§ 5 复数§ 6 代数数和超越数第2章补充 集合代数第3章 几何作图 数域的代数引言第1部分 不可能性的证明和代数§ 1 基本几何作图§ 2 可作图的数和数域§ 3 三个不可解的希腊问题第2部分 作图的各种方法§ 4 几何变换 反演§ 5 用其他工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图§ 6 再谈反演及其应用第4章 射影几何 公理体系非欧几里得几何§ 1 引言§ 2 基本概念§ 3 交比§ 4 平行性和无穷远§ 5 应用§ 6 解析表示§ 7 只用直尺的作图问题§ 8 二次曲线和二次曲面§ 9 公理体系和非欧几何附录 高维空间中的几何学第5章 拓扑学引言§ 1 多面体的欧拉公式§ 2 图形的拓扑性质§ 3 拓扑定理的其他例子§ 4 曲面的拓扑分类附录第6章 函数和极限引言§ 1 变量和函数§ 2 极限§ 3 连续趋近的极限§ 4 连续性的精确定义§ 5 有关连续函数的两个基本定理§ 6布尔查诺定理的一些应用第6章 补充 极限和连续的一些例题§ 1 极限的例题§ 2 连续性的例题第7章 极大与极小引言§ 1 初等几何中的问题§ 2 基本极值问题的一般原则§ 3 驻点与微分学§ 4施瓦茨的三角形问题§ 5施泰纳问题§ 6 极值与不等式§ 7 极值的存在性 狄里赫莱原理§ 8 等周问题§ 9 带有边界条件的极值问题施泰纳问题和等周问题之间的联系§ 10 变分法§ 11 极小问题的实验解法 肥皂膜实验第8章微积分引言§ 1 积分§ 2 导数§ 3 微分法§ 4莱布尼茨的记号和“无穷小”§ 5微积分基本定理§ 6 指数函数与对数函数§ 7微分方程第8章 补充§ 1 原理方面的内容§ 2 数量级§ 3 无穷级数和无穷乘积§ 4 用统计方法得到素数定理第9章 最新进展§ 1 产生素数的公式§ 2哥德巴赫猜想和孪生素数§ 3 费马大定理§ 4 连续统假设§ 5 集合论中的符号§ 6 四色定理§ 7豪斯道夫维数和分形§ 8 纽结§ 9 力学中的一个问题§ 10施泰纳问题§ 11 肥皂膜和最小曲面§ 12 非标准分析附录 补充说明 问题和习题算术和代数解析几何几何作图射影几何和非欧几何拓扑学函数、极限和连续性极大与极小微积分积分法参考书目1推荐阅读（参考书目2）

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(2009年首届全国大学生数学竞赛)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分 集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 极限与连续 1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L"Hospital）法则、近似计算. 多元函数微分学 1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式. 2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. 3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）. 4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法. 一元函数积分学 1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型. 2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类. 3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理. 4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用. 多元函数积分学 1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）. 2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）. 3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）. 4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性. 5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算. 6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件. 7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系. 无穷级数 1. 数项级数 级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法. 函数项级数 函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用. 幂级数 幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数. Fourier级数 三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分 多项式 1. 数域与一元多项式的概念 2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法 3. 互素、不可约多项式、重因式与重根. 4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质. 5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解. 6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根. 7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理. 行列式 1. n级行列式的定义. 2. n级行列式的性质. 3. 行列式的计算. 4. 行列式按一行（列）展开. 5.拉普拉斯(Laplace)展开定理. 6. 克拉默(Cramer)法则. 线性方程组 1.高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解. 2. n维向量的运算与向量组. 3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价. 4. 向量组的极大无关组、向量组的秩. 5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系. 6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构. 7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数 矩阵 1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律. 2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系. 3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件. 4. 分块矩阵及其运算与性质. 5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形. 6. 分块初等矩阵、分块初等变换. 双线性函数与二次型 1. 双线性函数、对偶空间 2. 二次型及其矩阵表示. 3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法. 4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理. 5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵 线性空间 1.线性空间的定义与简单性质. 2. 维数，基与坐标. 3. 基变换与坐标变换. 4. 线性子空间. 5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和. 线性变换 1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵. 2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换. 3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理. 4. 线性变换的值域与核、不变子空间. 若当标准形 1.矩阵. 2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件. 3. 若当标准形. 欧氏空间 1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵. 2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法. 3. 欧氏空间的同构. 4. 正交变换、子空间的正交补. 5. 对称变换、实对称矩阵的标准形. 6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形. 7. 酉空间. Ⅲ、解析几何部分 向量与坐标 1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算. 2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算. 3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角. 4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用. 5. 应用向量求解一些几何、三角问题. 轨迹与方程 1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系. 2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系. 3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程. 4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程. 平面与空间直线 1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义. 2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程. 3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系. 4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程. 二次曲面 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程. 2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程. 3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法. 4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题. 二次曲线的一般理论 1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线. 2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点. 3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径. 4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根. 5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图. （二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下： 函数、极限、连续 1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. 5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L"Hospital)法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 一元函数积分学 1. 原函数和不定积分的概念. 2. 不定积分的基本性质、基本积分公式. 3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式. 4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 6. 广义积分. 7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： . 线性微分方程解的性质及解的结构定理. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积 欧拉(Euler)方程. 微分方程的简单应用 五、向量代数和空间解析几何 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 六、多元函数微分学 多元函数的概念、二元函数的几何意义. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. 多元复合函数、隐函数的求导法. 二阶偏导数、方向导数和梯度. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线. 二元函数的二阶泰勒公式. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用. 七、多元函数积分学 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标). 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) 八、无穷级数 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛. 函数项级数的收敛域与和函数的概念. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法. 初等函数的幂级数展开式. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数

一个科学的。一个数学的咋比如果真比的话我感觉还是阿基米德，我感觉阿基米德在科学方面做得贡献比数学多，因为我感觉生活中科学总用的比数学多，不可能我们生活中还要证明几何是不是菱形，他的度数是多少，把它中间砍个正方形出来又证明它和菱形有什么关系我感觉这在平常生活中实在是不可能。

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数.其计算原理依赖于下面的定理：定理：gcd(a,b) = gcd(b,amod b)证明：a可以表示成a = kb +r,则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数,则有d|a,d|b,而r = a - kb,因此d|r因此d是(b,amod b)的公约数假设d 是(b,amod b)的公约数,则d | b ,d|r ,但是a = kb +r因此d也是(a,b)的公约数因此(a,b)和(b,a modb)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为：intGcd(int a,int b){if(b ==0)return a;returnGcd(b,a % b);}当然你也可以写成迭代形式：intGcd(int a,int b){while(b !=0){int r = b;b = a % b;a =r;}returna;}本质上都是用的上面那个原理.补充:扩展欧几里德算法是用来在已知a,b求解一组x,y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在,根据数论中的相关定理).扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中.下面是一个使用C++的实现：intexGcd(int a,int b,int &x,int&y){if(b ==0){x = 1;y = 0;return a;}int r =exGcd(b,a % b,x,y);int t =x;x =y;y = t - a/ b * y;returnr;}把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓.可以这样思考:对于a" = b,b" = a % b 而言,我们求得 x,y使得 a"x + b"y = Gcd(a",b")由于b" = a% b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)那么可以得到:a"x + b"y= Gcd(a",b") ===>bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a",b") = Gcd(a,b)===>ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a,b)因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是y和(x-a/b*y).在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题,可都没有说全,都只说了一部分,看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程,步骤如下：求a * x+ b * y = n的整数解.1、先计算Gcd(a,b),若n不能被Gcd(a,b)整除,则方程无整数解；否则,在方程两边同时除以Gcd(a,b),得到新的不定方程a"* x + b" * y = n",此时Gcd(a",b")=1;2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a" * x + b" * y = 1的一组整数解x0,y0,则n" * x0,n" *y0是方程a" * x + b" * y = n"的一组整数解；3、根据数论中的相关定理,可得方程a"* x + b" * y = n"的所有整数解为：x = n" * x0 + b" * ty = n" * y0 - a" * t(t为整数)上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解.步骤如下：扩展欧几里德算法－求解不定方程,线性同余方程：解不定方程ax + by = n的步骤如下:(1)计算gcd(a,b).若gcd(a,b)不能整除n,则方程无整数解；否则,在方程的两边同除以gcd(a,b),得到新的不定方程a"x + b"y = n",此时gcd(a",b") = 1 (2)求出不定方程a"x + b"y = 1的一组整数解x0,y0,则n"x0,n"y0是方程a"x + b"y = n"的一组整数解.(3)根据&@^%W#&定理,可得方程a"x + b"y = n"的所有整数解为：x = n"x0 + b"t y = n"y0 - a"t (t为整数) 这也就是方程ax + by = n的所有整数解 利用扩展的欧几里德算法,计算gcd(a,b)和满足d = gcd(a,b) = ax0 + by0的x0和y0,也就是求出了满足a"x0 + b"y0 = 1的一组整数解.因此可得：x = n/d * x0 + b/d * t y = n/d * y0 - a/d * t (t是整数) program oujilide; var i,j,a,b,c,d,x,y:longint; function gcd(a,b:longint):longint; var i:longint; beginif a=0 then exit(b); if b=0 then exit(a); gcd:=gcd(b,a mod b); end; procedure extend_gcd(a,b:longint;var x,y:longint); var i,j:longint; beginif b=0 thenbeginx:=1; y:=0; exit end; extend_gcd(b,a mod b,x,y); i:=x; x:=y; y:=i-(a div b)*x; end; beginassign(input,"oujilide.in"); reset(input); assign(output,"oujilide.out"); rewrite(output); read(a,b,c); d:=gcd(a,b); if c mod d=0 then begin a:=a div d; b:=b div d; c:=c div d; endelse begin writeln("No answer!"); exit; end; extend_gcd(a,b,x,y); x:=c*x; y:=c*y; writeln(x," ",y); end.

a-b=p(质数)，由辗转相除法的原理可得出结论：要么p是a，b的公约数，要么a，b互质。如果p是a，b的公约数：令b=np,则a=b+p=(n+1)p,ab=n(n+1)p^2，n(n+1)不可能是完全平方数如果a，b互质:由ab是完全平方数，可知，a和b都是完全平方数，令a是m的平方，b是n的平方，则a-b=m^2-n^2=(m+n)(m-n),a-b是质数，所以m-n=1，m+n=p，sqrt(2011)>44,而45+44=89是一个素数，所以，a最小是45^2=2025，b只能是44^2=1936

#include <iostream>using namespace std;int main(){ int a,b,r,l; //r,l用来做为中间变量 int result; int t1=0; int t2=0; //用来保存a,b的最大公约数 cout<<"please enter two numbers: "; cin>>a>>b; //交换输入的两个数字，始终是a来存大值，b来存小值 if(a<b) { r =a; a =b; b =r; } t1 = a%b; if(t1==0) t2=b; else { while(t1!=0) { t2=b; if(t1<t2) { l=t1; t1=t2; t2=l; } t1= t1%t2; } } result = t2*(a/t2)*(b/t2); // a,b的最小公倍数 = a,b的最大公约数 * （a/最大公约数）*（b/最大公约数） cout<<"the result is "<<result<<endl; return 0;}