区域古构造应力场研究

有限单元方法（FEM）自20世纪50年代开始，已经在工程技术领域获得了极为广泛的应用，目前也成为处理岩土工程问题的有力工具；边界元方法是20世纪70年代兴起的一种数值方法，该方法具有降维作用，对于解决无限域或半无限域问题尤为理想［2］。有限单元方法以连续介质力学为基础，要考虑物质的连续性、介质物理力学性质的连续性及力学反应的连续性，将岩体在一定条件下视为连续介质或结合某种特殊单元（如节理单元）来模拟节理岩体的力学行为。1.1.1.1 有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理用一弹性薄板为例来叙述说明，如图1.1 所示。任意弹性薄板受到一定外力作用时，薄板内要产生相应的变形和应力，这种变形可用水平与垂直方向的位移分量 u、v 来表示，u、v 大小与位置（坐标）有关，即：图1.1 任意弹性薄板u=u（x，y） v=v（x，y） （1.1）由于u、v与位置有关，故将u、v称为位移函数。若求得上述的位移函数，则可由弹性力学的基本公式求得薄板中任一点的应变与应力，即：非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用可见，若求得薄板中任一点的应力，必须先求得位移函数，这种通过位移函数求得应力的方法称为“按位移求解”。1.1.1.2 有限单元法的基本方程从数学角度来看，有限单元法是把求解域内的连续场函数转化为求解有限个离散点处的场函数值，显然这种离散化的处理是一种近似，因此当单元划分的适当时，才能保证求解精度。由于所划分的单元足够小，在一个微小的单元内，未知的场函数就可以采用十分简单的代数多项式来近似地表示，即非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用或非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用式中：N为行函数矩阵，N=［N1，N2，N3，N4］，通常为坐标的函数；δe为单元的节点位移向量。单元内的应变可由（1.2）式求得，即：ε=Bδe=∑Biδi （1.5）式中B为应变矩阵，直接用节点位移来表示：非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用同样由（1.3）可求出单元应力矩阵：σ=Eε=EBδe （1.6）式中E为弹性矩阵：非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用单元能量泛函为：非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用根据最小势能原理，在所有可能的位移函数中，真实位移使结构体系的总势能有最小值，即：非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用因此有 ∫SBTEBdSδe-fe=0令 ke=∫SBTEBdS （1.8）则 fe=keδe （1.9）严格地说，岩体是非连续介质，为了能应用连续介质力学原理解决岩体工程问题而提出了各种准则，如尺度相对性准则、主应力差效应准则等［3］；孙广忠［4］认为完整结构岩体、断续结构岩体、散体结构岩体以及碎裂结构岩体在一定条件下可当作连续介质。随着对岩体的深入理解，逐步认识到岩体中包含的大量结构面对岩体力学特性和工程稳定起控制作用，并认为这是构成岩体和岩块力学与工程特性差异的根本原因。

本书为原1988年版的改写和再版，它反映了有限单元法的新进展以及作者从事本课程教学的新经验，比原版有较大的改动。全书分两篇。第一篇为基本部分，有七章，包括作为有限元单元法理论基础的加权余量法和变分原理，弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式，单元和插值函数的构造，等参单元和数值积分，有限单元法应用中的若干实际考虑，线性方程组解法和有限单元法程序的结构和特点。第二篇为专题部分，有九章，包括有限单元法的进一步理论基础--广义变分原理和杆件结构力学、平板弯曲、轴对称壳体、一般壳体、热传导、动力学、材料非线型、几何非线型等八个专门问题的有限单元法。每一章后面附有习题和思考题，有的章还附有典型计算程序或子程序。第一篇和第二篇分别适合本科生和研究生教学的基本要求。编写的重点是有限单元法的基本原理及表达格式的建立途径，单元插值函数和特性矩阵的构造及不同单元特性的比较，各种数值方法的原理、分析比较和计算执行。

第1章 预备知识1.1 引言1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法1.3 变分原理和里兹方法1.4 弹性力学的基本方程和变分原理1.5 小结习题参考文献第2章 弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式2.1 引言2.2 平面问题3结点三角形单元的有限元格式2.3 广义坐标有限单元法的一般格式2.4 有限单元解的性质和收敛性2.5 矩形单元和高精度三角形单元2.6 轴对称问题的有限元格式2.7 空间问题有限元2.8 小结习题第3章 单元和插值函数的构造3.1 引言3.2 一维单元3.3 二维单元3.4 三维单元3.5 阶谱单元3.6 小结习题第4章 等参单元和数值积分4.1 引言4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换4.3 等参变换的条件和等参单元的收敛性4.4 等参元用于分析弹性力学问题的一般格式4.5 数值积分方法4.6 等参元计算中数值积分阶次的选择4.7 小结习题参考文献第5章 有限单元法应用中的若干实际考虑5.1 引言5.2 应力计算结果的性质与处理5.3 子结构法5.4 结构对称性和周期性的利用5.5 非协调元和分片试验5.6 小结习题参考文献第6章 线性方程组的解法6.1 引言6.2 系数矩阵在计算机中的存储方法6.3 高斯消去法6.4 三角分解法6.5 追赶法6.6 分块解法6.7 波前法6.8 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法6.9 超松弛迭代法6.10 小结习题第7章 有限单元法程序的结构和特点--典型有限远程序介绍7.1 引言7.2 有限元分析本体程序7.3 网格生成技术7.4 等值线的绘制7.5 小结 第8章 有限单元法的进一步基础--广义变分8.1 引言8.2 约束变分原理8.3 弹性力学广义变分原理8.4 弹性力学修正变分原理8.5 小结习题第9章 杆件结构力学问题的有限单元法9.1 结构有限单元概论9.2 等截面直植-梁单元……第10章 平板弯曲问题的有限单元法第11章 轴对称壳体问题的有限单元法第12章 一般壳体问题的有限元法第13章 热传导问题的有限单元法第14章 动力学问题的有限单元法第15章 材料非线性问题的有限单元法第16章 几何非线性问题的有限单元法主要参考书目

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形 网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域 内选取N个配置点 。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

有限元法是求解工程科学中数学物理问题的一种通用数值方法。本书介绍有限元法的基本原理、建模方法及工程应用，强调理论与实践的结合。全书包括两篇共16章，第1篇由第1～10章组成，介绍有限元法的基本理论和方法，内容包括：有限元法基本理论、平面问题、轴对称问题和空间问题、杆梁结构系统、薄板弯曲问题以及热传导问题、结构动力学问题、非线性问题的有限元法。第2篇由第11～16章组成，介绍有限元建模技术及基于ANSYS的有限元分析工程应用，内容包括：有限元建模的基本流程、模型简化技术、网格划分技术、边界条件处理与模型检查以及基于ANSYS的有限元分析工程应用实例。考虑到面向工程硕士和工程技术人员的特点，本书力求使理论和实际应用有机地结合起来，突出概念、简练易懂，可操作性强。书中提供了大量图示说明和工程实例，以求直观易读。本书可作为高等学校工科类研究生、本科生的教材，也可作为相关专业工程技术人员和研究人员的学习参考书。

岩土工程常用的数值方法包括：有限差分法、边界元法、离散元法、颗粒元法、不连续变形分析法、流形元法、模糊数学方法、概率论与可靠度分析方法、灰色系统理论、人工智能与专家系统、神经网络方法、时间序列分析法。 有限单元法的优缺点：有限单元法的理论基础是虚功原理和基于最小势能的变分原理，它将研究域离散化，对位移场和应力场的连续性进行物理近似。有限单元法适用性广泛，从理论上讲对任何问题都适用，但计算速度相对较慢。即，物理概念清晰、灵活、通用、计算速度叫慢。 有限差分法：该方法适合求解非线性大变形问题，在岩土力学计算中有广泛的应用。有限差分法和有限单元法都产生一组待解方程组。尽管这些方程是通过不同方式推导出来的，但两者产生的方程是一致。另外，有限单元程序通常要将单元矩阵组合成大型整体刚度矩阵，而有限差分则无需如此，因为它相对高效地在每个计算步重新生成有限差分方程。在有限单元法中，常采用隐式、矩阵解算方法，而有限差分法则通常采用“显式”、时间递步法解算代数方程。 边界元法：该方法的理论基础是Betti功互等定理和Kelvin基本解，它只要离散求解域的边界，因而得到离散代数方程组中的未知量也只是边界上的量。边界元法化微分方程为边界积分方程，离散划分少，可以考虑远场应力，有降低维数的优点，可以用较少的内存解决较大的问题，便于提高计算速度。 离散元法：离散元法的理论基础是牛顿第二定律并结合不同的本构关系，适用对非连续体如岩体问题求解。该方法利用岩体的断裂面进行网格划分，每个单元就是被断裂面切割的岩块，视岩块的运动主要受控于岩体节理系统。它采用显式求解的方法，按照块体运动、弱面产生变形，变形是接触区的滑动和转动，由牛顿定律、运动学方程求解，无需形成大型矩阵而直接按时步迭代求解，在求解过程中允许块体间开裂、错动，并可以脱离母体而下落。离散元法对破碎岩石工程，动态和准动态问题能给出较好解答。 颗粒元法：颗粒元方法是通过离散单元方法来模拟圆形颗粒介质的运动及其相互作用，它采用数值方法将物体分为有代表性的多个颗粒单元，通过颗粒间的相互作用来表达整个宏观物体的应力响应，从而利用局部的模拟结果来计算颗粒群群体的运动与应力场特征。 不连续变形分析方法：该方法是并行于有限单元法的一种方法，其不同之处是可以计算不连续面的错位、滑移、开裂和旋转等大位移的静力和动力问题。此方法在岩石力学中的应用备受关注。 流形元法；该方法是运用现代数学“流形”的有限覆盖技术所建立起来的一种新的数值方法。有限覆盖是由物理覆盖和数学覆盖所组成的，它可以处理连续和非连续的问题，在统一解决有限单元法、不连续变形分析法和其他数值方法的耦合计算方面，有重要的应用前景。 无单元法：该方法是一种不划分单元的数值计算方法，它采用滑动最小二乘法所产生的光滑函数去近似场函数，而且又保留了有限单元法的一些特点。它只要求结点处的信息，而不需要也没有单元的信息。无单元法可以求解具有复杂边界条件的边值问题，如开裂问题，只要加密离散点就可以跟踪裂缝的传播。它在解决岩石力学非线性、非连续问题等方面具有重要价值和发展前景。混合法：对于复杂工程问题，可采用混合法，即有限单元法、边界元法、离散元法等两两耦合来求解。 模糊数学方法：模糊理论用隶属函数代替确定论中的特征函数描述边界不清的过渡性问题，模糊模式识别和综合评判理论对多因素问题分析适用。 概率论与可靠度分析方法：运用概率论方法分析事件发生的概率，进行安全和可靠度评价。对岩土力学而言，包括岩石（土）的稳定性判断、强度预测预报、工程可靠度分析、顶板稳定性分析、地震研究、基础工程稳定性研究等。 灰色系统理论：以“灰色、灰关系、灰数”为特征，研究介于“黑色”和“白色”之间事件的特征，在社会科学及自然科学领域应用广泛。岩土力学中，用灰色系统理论进行岩体分类、滑坡发生时间预测、岩爆分析与预测、基础工程稳定性、工程结构分析，用灰色关联度分析岩土体稳定性因素主次关系等。 人工智能与专家系统：应用专家的知识进行知识处理、知识运用、搜索、不确定性推理分析复杂问题并给出合理的建议和决策。岩石力学中，可进行如岩土（石）分类、稳定性分析、支护设计、加固方案优化等研究。 神经网络方法：试图模拟人脑神经系统的组织方式来构成新型的信息处理系统，通过神经网络的学习、记忆和推理过程进行信息处理。岩石力学中，用于各种岩土力学参数分析、地应力处理、地压预测、岩土分类、稳定性评价与预测等。 时间序列分析法：通过对系统行为的涨落规律统计，用时间序列函数研究系统的动态力学行为。岩石力学中，用于矿压显现规律研究、岩石蠕变、岩石工程的位移、边坡和硐室稳定性等、基础工程中降水、开挖、沉降变形等与时间相关的问题。

有限元法是数值分析法中的一种，是一套求微分方程的系统化数值计算方法，是解决力学问题比较有效的数值计算方法，是将数值计算转换为矩阵计算，有利于计算机运算。数值分析法就是构造一个比较简单的函数关系，来求解方程的近似值。

我觉得应该说有限元是数值分析的一种. 数值分析往简单说,你用荣格-库塔法积个分也是用了数值分析. 有限元的话,实际上就是把一个区域剖分成网格,然后利用边条件和初条件,一格一格求解.本质上是用数值的方法解偏微分方程.

第0章绪论10.1有限元法的要点和特性10.2有限元法的发展、现状和未来50.3本书概述9第1篇基 本 部 分第1章有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理131.1引言131.2微分方程的等效积分形式和加权余量法141.3变分原理和里兹方法281.4弹性力学的基本方程和变分原理361.5小结51复习题52练习题53第2章弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式552.1引言552.2弹性力学平面问题的有限元格式562.3广义坐标有限元法的一般格式772.4有限元解的性质和收敛准则822.5轴对称问题的有限元格式852.6小结93复习题94练习题95第3章单元和插值函数的构造983.1引言983.2一维单元1013.3二维单元1053.4三维单元1173.5阶谱单元1223.6小结127复习题128练习题129第4章等参元和数值积分1304.1引言1304.2等参变换的概念和单元矩阵的变换1314.3等参变换的条件和等参元的收敛性1364.4等参元用于分析弹性力学问题的一般格式1404.5数值积分方法1434.6等参元计算中数值积分阶次的选择1534.7小结159复习题160练习题160第5章有限元法应用中的若干实际考虑1625.1引言1625.2有限元模型的建立1635.3应力计算结果的性质和处理1675.4子结构法1865.5结构对称性和周期性的利用1925.6非协调元和分片试验2095.7小结217复习题218练习题219第6章线性代数方程组的解法2216.1引言2216.2高斯消去法及其变化形式2226.3带状系数矩阵的直接解法2316.4利用外存的直接解法2376.5迭代解法2406.6小结250复习题251练习题252第7章有限元分析计算机程序2547.1引言2547.2有限元分析的主体程序2567.3前处理程序2637.4后处理程序2667.5有限元软件的技术发展267练习题268第2篇专 题 部 分第8章有限元法的进一步基础——约束变分原理2718.1引言2718.2约束变分原理2728.3弹性力学广义变分原理2818.4弹性力学修正变分原理2868.5不可（或接近不可）压缩弹性力学问题的有限元法2898.6小结298复习题299练习题300第9章杆件结构力学问题3029.1结构单元概论3029.2等截面直杆|梁单元3069.3平面杆件系统3239.4空间杆件系统3299.5小结331复习题332练习题333第10章平板弯曲问题33410.1引言33410.2基于薄板理论的非协调板单元33810.3基于薄板理论的协调板单元34810.4Mindlin板单元（位移和转动各自独立插值的板单元）35210.5基于离散Kirchhoff理论（DKT）的薄板单元36410.6应力杂交板单元36710.7小结375复习题376练习题377第11章壳体问题37811.1引言37811.2基于薄壳理论的轴对称壳元38111.3位移和转动各自独立插值的轴对称壳元38911.4用于一般壳体的平面壳元39811.5用于一般壳体的超参数壳元40611.6相对自由度壳元41511.7壳元和实体元的联结41811.8壳元和梁|杆元的联结43011.9小结437复习题438练习题439第12章热传导问题44112.1引言44112.2稳态热传导问题44412.3瞬态热传导问题44712.4热应力的计算46112.5小结464复习题465练习题466第13章动力学问题46813.1引言46813.2质量矩阵和阻尼矩阵47213.3直接积分法47613.4振型叠加法48413.5解的稳定性49113.6大型特征值问题的解法49513.7减缩系统自由度的方法50913.8小结518复习题519练习题520第14章流固耦合问题52314.1引言52314.2无粘小扰动流动的基本方程和表达形式52414.3流固耦合系统有限元分析的（ui,p)格式52714.4流固耦合系统的动力特性分析53314.5流固耦合系统的动力响应分析53714.6小结543复习题544练习题544第15章材料非线性问题54515.1引言54515.2非线性方程组的解法54715.3材料弹塑性本构关系55615.4弹塑性增量有限元分析57615.5弹塑性增量分析数值方法中的几个问题57915.6弹塑性全量有限元分析59515.7热弹塑性|蠕变有限元分析60015.8小结613复习题614练习题615第16章几何非线性问题61716.1引言61716.2大变形条件下的应变和应力的度量61816.3几何非线性问题的表达格式62416.4有限元求解方程及解法62916.5大变形条件下的本构关系64216.6结构稳定性和屈曲问题64916.7算例65416.8小结659复习题661练习题662第17章接触和碰撞问题66617.1引言66617.2接触界面条件66717.3接触问题的求解方案67117.4接触问题的有限元方程67817.5有限元方程的求解方法68517.6接触分析中的几个问题69117.7算例69517.8小结700复习题701练习题702参考文献704A主要参考书704B各章的参考文献704附录A有限元分析教学程序（FEATP）711A1有限元分析主体程序源代码711A2前处理程序使用说明762

首先要理解非协调元的概念：为了改善二维线性单元的性质，提高其精度 , Wilson提出在单元的位移插值函数中附加内部无结点的位移项，使得在单元与单元的交界面上是不保证协调的，也就是说由于单元内增加了附加位移项而致使单元之间不能保证在交界面上位移的连续性。这些附加位移项称之为非协调项，引入非协调位移项的单元称为非协调元。我总结其特点如下：1. 非协调元的位移插值函数中附加内部无结点的位移项；2. 非协调元不满足有限元中的相容性要求，在单元与单元的交界面上是不保证协调的；3. 通过分片实验的非协调元可以保证解的收敛；4. 可以改善单元性质，提高精度。具体可以参考经典书籍：《有限单元法基本原理和数值方法-王勖成-清华大学出版社》（第五章5.5节） 望采纳！

上海科技馆单层网壳结构节点受力分析 赵金城　许洪明 (上海交通大学　上海　200030) 　　摘　要:采用ANSYS有限元分析程序对上海科技馆单层网壳结构典型节点进行了分析,通过对节点上的连接杆件、 节点板、螺栓的受力分析,得出一些有意义的结论。 　　关键词:单层网壳结构　节点　有限元分析 STRESSANALYSISOFTHEJOINTOFADOMESHANGHAIM 　XuHongming JiaotongUniversity　Shanghai　200030) AbstractThetypicaljointofahugeellipsoidalaluminumdomeinthemiddlepartoftheShanghaiScience&TechnologyMuseumis analyzedusingthefiniteelementprogramANSYS.Thestressdistributionsinthestructuralaluminummember,thegussetplate,thelockboltfastenerarestudiedrespectively.Basedontheanalysis,someconclusionsaremadeinthepaper. Keywords:ellipsoidalaluminumdomestructure　joint　finiteelementanalysis 　　上海科技馆建筑中部为一巨型椭球体单层网壳 结构。该网壳结构由美国TEMCOR公司设计、制作,长轴尺寸为67m,短轴尺寸为51m,高4116m。杆件采用铝钛合金工字形截面。典型节点如图1所示。节点共有6根工字形截面杆件、上下两块铝合金节点板,通过紧固螺栓与杆件连接。各工字形截面杆件形心与主轴不在同一平面内,互成角度。与其它形式的节点相比,这种节点具有结构简单轻巧、节约材料、不需要焊接、施工方便、形式美观等优点 。 寻其破坏机理。 1　基本假定 (1)螺栓一端与节点板固定,另一端与杆件固 定,且不考虑螺纹的影响; (2)弹性分析; (3)不考虑杆件的扭矩及节点平面内弯矩的影响; (4)加载时边界条件的性质保持不变。2　分析模型的建立 (1)杆件:根据工字型截面杆件、连接螺栓以及 与连接板的空间位置、尺寸关系建立局部坐标系,在局部坐标系中,先建一工字形截面与一杆件平行的直线,将截面沿着直线延伸一定的距离,即可完成杆件的建模。 (2)节点板:因为节点板并非平面薄板,而是略 图1　网壳节点示意　mm 　 节点在网壳结构中具有特殊的作用和重要性,因为每个节点上连接杆件很多,各杆件处于空间位 置是多方位的,通过节点传递三维力流也很复杂,节点设计的好坏,无疑是网壳结构成败的关键之一。本文对节点的三维受力运用ANSYS软件进行有限元分析,目的在于了解整个节点的受力情况,进而探 IndustrialConstruction2001,Vol131,No110 有弯曲,故建模较为复杂。就整个网壳而言,其外表面为椭球面,节点板应该是椭球壳的一部分。本文近似将节点板作为球壳的一部分,首先建一个球面,球半径取椭球长轴半径和短轴半径的平均值。然后根据节点板的尺寸,在球面上选定一短线段,将此线 第一作者:赵金城　男　1965年4月出生　博士　副教授收稿日期:2001-06-15 工业建筑　2001年第31卷第10期　　7 段沿某一中心轴旋转得一曲面,将曲面沿其法线延伸至节点板的厚度即得节点板。 (3)螺栓:假定螺栓为剪切型。3　网格划分 (1)单元类型的选择 本文分析中杆件、节点板和连接螺栓都采用8节点四面体三维实体单元,每个节点3个自由度。 (2)单元网格尺寸的确定 考虑实际工程情况及计算机性能、计算速度等因素的影响,将节点区域划分成若干块,然后再逐块进行单元划分。具体划分出的网格如图2所示4　　 图31-SYZ;2--S2;5-S3 态是十分困难的,为简化分析,对1根杆件加了固定面约束,参考整个网架结构杆件的内力情况,节点分析中对没有约束的5根杆件仅施加了垂直于节点平面方向上的弯矩和轴向面压力,如图2所示 。 ,这表明螺栓受力是以剪应力,而正应力很小。最大的拉应力(主应力)为235MPa,最大压应力(主应力)约为210MPa。最大剪应力沿x轴向,约为200MPa,与最大主应力近似相等。由此可以判断此螺栓的破坏应以剪切破坏为主。 通过对各个部位螺栓的分析比较可以看出,螺栓的主应力图的形状与其剪力图具有一致性,也就是说螺栓的受力是以剪力为主的,这是因为各工字型杆件的受力以轴力为主,工字型截面上的弯矩只起了很小的作用。在同一根杆件的翼缘板与节点板的连接螺栓中,其产生的位移、最大剪应力、最大主应力都近似相等,由此可进一步判断这些螺栓的受力基本上是均匀受力的,即并不存在哪一部位的螺栓先被剪坏的问题。另外,通过对螺栓杆位移的分析可以认为,螺栓杆发生弯曲破坏的可能性不大。512　节点板 图4为上部节点板在沿直径长度上应力变化曲线 。 图2　网格划分 　 参考结构的内力分析结果,从约束杆件开始,逆时针俯视,所加荷载的大小为,第1根杆:M=20kNu30fbm,面力:p=30MPa;第2根:M=15kNu30fbm,p=40MPa;第3根:M=30kNu30fbm,p=35MPa;第4 根:M=20kNu30fbm,p=25MPa;第5根:M=25kNu30fbm, p=50MPa。 5　结果分析及讨论511　螺栓 根据ANSYS列出的应力数值,找出应力相对比较大的螺栓,然后对这些螺栓进行分析。图3为上节点板中部螺栓的剪应力、主应力沿中心轴长度上的变化图。图中SYZ代表yz平面法线方向的剪力, 　 图4　上部节点板应力分布曲线 1-S1;2-SY;3-SZ;4-S2;5-SX;6-S3 S1代表主应力,SX表示沿x轴的正应力。 主应力图和剪应力图反映出螺栓受力最大的部位大约在杆件翼缘与节点板交界处。 主应力图线与8 从应力图上可以看出,正应力图线与主应力图 线相一致,由此可知:剪应力相对于正应力来说非常 工业建筑　2001年第31卷第10期 小,几乎可以忽略不计。对于节点板而言,越靠近边缘,应力越小,这是因为杆件上的力首先通过边缘上的螺栓传递给节点板一部分力,然后再通过第二排螺栓传递一部分,这样直到将全部力传递给节点板。而且还可以很明显地看出,在螺栓孔处发生了应力集中。最大主应力在节点板内边缘处,压力约为7317MPa。此应力与节点板的极限强度相差很大。 另外,节点板位移图表明,在x方向上的位移较大,主要是由杆件沿x向的位移引起的,即节点板本身在x轴上并没有大的弯曲,在y、z轴上也没有大的弯曲。由此可知,节点板不大可能产生过大的弯曲变形。 下部节点板和上节点板特征相似,很小,以正应力为主。513　杆件图5、图其宽度方向和腹板沿其高度方向上的应力变化图 。 　　腹板上的剪应力和正应力都没有翼缘板上的大,这主要是在工字型杆件的弱轴(x轴)方向上也受到了较大力的作用。也正是基于这一点,翼缘板设计时用了较大的尺度 。 图6　腹板剪应力和正应力 1-SXY;2-SYZ;3-SXZ;4-SX;5-SY;6-SZ 　 6　结　论 (1)节点上应力最大的点在螺栓和节点板上。(2)相对于节点板和杆件,螺栓受的应力较大, 是较为薄弱的一个环节,且以剪切为主,这主要是建 模时螺栓较少的原因。节点板的受力以正应力为主,相对于螺栓来说较小。 (3)杆件相对较为安全,一般不会发生材料的强度破坏。 (4)上、下节点板受力情况基本相同。 图5　翼缘板剪应力和正应力 1-SXY;2-SYZ;3-SXZ;4-SY;5-SX;6-SZ 　 参考文献 1　尹德钰,刘善维,钱若军.网壳结构设计.北京:中国建筑工业出版社,19962　李和华.钢结构连接节点设计手册.北京:中国建筑工业出版社, 1992 3　沈世钊,陈昕.网壳结构稳定性分析.北京:科学出版社,19994　王勖成,邵敏.有限单元法基本原理和数值方法.北京:清华大学 翼缘板最大剪应力在翼缘板的中部,沿y轴方 向,约为1314MPa,而正应力约为4613MPa;腹板最大剪应力在腹板与翼缘板的交界处,沿y方向,约为1017MPa,最大正应力约为3113MPa。 出版社,1997 (上接第3页) 思路去完成。 上海科技馆通过采用预应力技术等措施,解决结构超长问题的设计思路;在同一建筑物中采用两种桩型基础的探索,以及采用新的结构材料、结构体系,甚至同一屋面中采用多种结构形式的复合结构体系,是使上海科技馆得以实现的基本设计思想。上海科技馆结构设计突破传统思想,大量采用新技术、新设计理论是处在高科技发展时代,现代建筑设计的必然趋势,是一种全新的设计理念。 现代建筑设计不仅仅是建筑空间、建筑美观及功能的表现,也需体现结构设计的合理与美观。 9 部分屋面的玻璃天顶,不能暴露凌乱的结构杆件,以及对结构厚度也有相当的要求,很多部位结构高跨比只能做到1Π25以下。针对各个部位不同的要求,采用了3种结构形式,分别为四角锥平板式钢网架结构、钢管空间桁架、箱形截面钢梁。8　小　结 上海科技馆建筑方案通过国际招标征集而来,无论建筑平面、立面以及建筑材料等均体现了新的设计理念和丰富的内涵,这种建筑必然给结构设计提出许多新的问题,必须通过新的设计手段和设计 上海科技馆单层网壳结构节点受力分析———赵金城等

有限单元法：优点：单元形状任意性好，可以更精确地模拟各种复杂几何结构；方程的系数矩阵是对称、正定、稀疏的，有利于存储和计算；不同媒质分界面不需要特殊处理，方程自动满足分界面衔接条件。缺点：用标量求解时有时会出现伪解，处理边缘（棱边）、尖角等情况时会出现奇异。有限差分法：要求模型能够被剖分成众多规则的单元，如四边形，六面体等，必须对所有的边界条件和交界条件进行算法处理，尤其是对复杂的边界和场域内各种介质交界的处理有着一定的困难，通常也难于实现自动处理的形式，严重制约了其在复杂地球物理模型中的应用，这也是它最大的不足之处。但由于交错网格的基本性质，该方法最大优点在于能够非常好的处理内部介质中电磁性差异引出的磁场和电场不连续现象。目前来说，作为电磁法数值模拟方法的主导者，有限差分法正处于各向同性介质模型转向各向异性介质模型的升级中;正处于频率域电磁模型的模拟向时间域电磁模型模拟的空间转换中，并借助于并行技术求解。

本科阶段开设有限元课程的专业很少很少，一般开设一些力学课程。牛逼学校可能本科开设了。研究生阶段一般有有限元这门课程。大部分公认的是：《有限单元法基本原理和数值方法》--王勖成、邵敏

有限元分析是使用有限元方法来分析静态或动态的物理物体或物理系统。在这种方法中一个物体或系统被分解为由多个相互联结的、简单、独立的点组成的几何模型。在这种方法中这些独立的点的数量是有限的，因此被称为有限元。由实际的物理模型中推导出来得平衡方程式被使用到每个点上，由此产生了一个方程组。这个方程组可以用线性代数的方法来求解。有限元分析 的精确度无法无限提高。元的数目到达一定高度后解的精确度不再提高，只有计算时间不断提高。有限元分析法（FEA）已应用得非常广泛，现已成为年创收达数十亿美元的相关产业的基础。即使是很复杂的应力问题的数值解，用有限元分析的常规方法就能得到。此方法是如此的重要，以至于即便像这些只对材料力学作入门性论述的模块，也应该略述其主要特点。 不管有限元法是如何的卓有成效，当你应用此法及类似的方法时，计算机解的缺点必须牢记在心头：这些解不一定能揭示诸如材料性能、几何特征等重要的变量是如何影响应力的。一旦输入数据有误，结果就会大相径庭，而分析者却难以觉察。所以理论建模最重要的作用可能是使设计者的直觉变得敏锐。有限元程序的用户应该为此目标部署设计策略，以尽可能多的封闭解和实验分析作为计算机仿真的补充。 与现代微机上许多字处理和电子制表软件包相比，有限元的程序不那么复杂。然而，这些程序的复杂程度依然使大部分用户无法有效地编写自己所需的程序。可以买到一些预先编好的商用程序1，其价格范围宽，从微机到超级计算机都可兼容。但有特定需求的用户也不必对程序的开发望而生畏，你会发现，从诸如齐凯维奇（Zienkiewicz2）等的教材中提供的程序资源可作为有用的起点。大部分有限元软件是用Fortran语言编写的，但诸如felt等某些更新的程序用的是C语言或其它更时新的程序语言。在实践中，有限元分析法通常由三个主要步骤组成： 1、预处理：用户需建立物体待分析部分的模型，在此模型中，该部分的几何形状被分割成若干个离散的子区域——或称为“单元”。各单元在一些称为“结点”的离散点上相互连接。这些结点中有的有固定的位移，而其余的有给定的载荷。准备这样的模型可能极其耗费时间，所以商用程序之间的相互竞争就在于：如何用最友好的图形化界面的“预处理模块”，来帮助用户完成这项繁琐乏味的工作。有些预处理模块作为计算机化的画图和设计过程的组成部分，可在先前存在的CAD文件中覆盖网格，因而可以方便地完成有限元分析。 2、分析：把预处理模块准备好的数据输入到有限元程序中，从而构成并求解用线性或非线性代数方程表示的系统u和f分别为各结点的位移和作用的外力。矩阵K的形式取决于求解问题的类3、分析的早期，用户需仔细地研读程序运算后产生的大量数字，即 型，本模块将概述桁架与线弹性体应力分析的方法。商用程序可能带有非常大的单元库，不同类型的单元适用于范围广泛的各类问题。有限元法的主要优点之一就是：许多不同类型的问题都可用相同的程序来处理，区别仅在于从单元库中指定适合于不同问题的单元类型。

有限单元法其实就是用来求解偏微分方程的，但是实际问题的偏微分方程通畅很难求出其精确解，这时就需要用到有限单元法，对模型进行离散，得到有限个单元，然后对每个单元的力学信息进行插值求解，最后将所有单元组装起来，得到整个模型的力学信息。有限元的近似体现在对单元求解时用到的插值表达式。

有限元和有限单元的区别是定义与方法。根据查询相关公开资料显示，有限元法是一种数值分析方法，而有限单元法是基于有限元法的一种数值分析方法，有限单元法可以将物理场求解的复杂问题划分成许多较小的网格或单元，之间可以有一定的连接关系，从而实现对物理场的数值求解。

有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

计算分析模块就是“有限元”，这是一门学科，其理论基础包括：（1）变分原理，包括最小势能原理，最大余能原理，等多类变量的变分原理。（2）数值分析中的函数分片近似理论，说通俗点，就是插值。可以看一些有限元理论方面的书，国内比较经典的是王勖成的“有限单元法”，国外的如辛克维奇的有限单元法。 说通俗点，一般碰到的问题（如最简单的一根杆，这在材料力学上就讲了），通常是用一个微分方程来描述此杆，如果对微分方程进行求解，可以近似，利用有限差分法等。这是一类做法，但是有时有限差分法不适合用于实际复杂形状的问题。 从数学上讲，可以把此微分方程问题，变成一个积分的问题，通过对此积分问题进行变分，可以反过来推到这一微分方程。一般而言，积分量可以有多种形式，常用的就是能量，比如在结构分析中，就是势能用的最多。 然后对这个积分，我们计算就比微分方便一些。因为积分时，可以在积分区域上剖分网格，划分单元，得到一系列比较规则的单元，比如三角形，四边形等。通过在这些单元上进行积分，就可以进行计算。这要比传统的微分操作容易得多，主要是计算机的进步导致的。

有限元边界元之类的算法都是用来解带有边界条件的偏微分方程， 数值计算教材一般不会介绍这类特殊问题的算法， 一般只介绍最基本常见的算法有限元是有网格的算法， 跟无网格的算法明显是不同的， 所谓“交叉”，既然是解同类的问题， 有交叉也有各自特点这是正常的

有限元分析（FEA，Finite Element Analysis） 的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。 它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成， 对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解， 然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件）， 从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解， 因为实际问题被较简单的问题所代替。 由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高， 而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。 有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用， 例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长， 但作为一种方法而被提出，则是最近的事。 有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算， 并由于其方便性、 实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。 经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及， 有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术 领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。 有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性 仅限于相对小的子域中。 20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（ Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法= Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的） 满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（ 如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数）， 且不考虑整个定义域的复杂边界条件， 这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。 对于不同物理性质和数学模型的问题， 有限元求解法的基本步骤是相同的， 只是具体公式推导和运算求解不同。 有限元求解问题的基本步骤通常为： 第一步：问题及求解域定义： 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。 第二步：求解域离散化： 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组 成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（ 网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确， 但计算量及误差都将增大， 因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。 第三步：确定状态变量及控制方法： 一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微 分方程式表示，为适合有限元求解， 通常将微分方程化为等价的泛函形式。 第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解， 即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系， 建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系， 从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。 为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。 例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低， 而且有缺秩的危险，将导致无法求解。 第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（ 联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求， 即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。 总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话） 连续性建立在结点处。 第六步：联立方程组求解和结果解释： 有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、 选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。 对于计算结果的质量， 将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算 。 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。 前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分； 后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息， 了解计算结果。

设计过程中产品力学/可靠性/散热性能的评估方法主要有3种，1、实验研究2、理论计算3、有限元分析方法(CAE)每种都有各自的特点：实验研究：优点：直观，可靠；缺点：昂贵，周期长理论计算：优点：快速、简便；缺点：只能计算非常简单的模型有限元分析方法：优点：周期短，成本低；限制：数学模型的建立准确性随着工业4.0、机械2025等计划的提出，对于制造的要求越来越高，有限元分析是未来的趋势，目前很多大企业都有采用有限元分析方法来加速工业设计周期以及提高产品的质量，比如华为、创维、中车、美的、TCL、比亚迪、东方汽车、比克电池等等都有采用深圳有限元科技的有限元技术服务吧。

青海师专学报(教育科学) JOURNA L OF QINGHAI JUNIOR TEACHERS "COLLEGE (Education Science) 　　2004年第5期N o5. 2004　　 固体力学中的加权余量法简介 张晓哲1, 王燕昌2 (1. 2. 宁夏大学, ) 　　摘　要:加权余量法(Weighted Residual Method ) , 当前岩土工程计算中, 许多流行算法如有限元法、无网格法、, 本文对加权余量法进行了简要概述, 阐述了该方法的理论基础, 权函数、. 　　关键词:; ; 　　中图分类号:A　文章编号:1007-0117(2004) 05-0049-03 1　引言 2 ∫v (k T +q v ) wdV =0　　　　　　　(2. 4) 加权余量法(Weighted Residual Method ) 在固体力学中, 是求解线性、非线性微分方程的一种有效方法[1], 它是基于等效积分形式的近似方法[2], 也是通用的数值计算方法. 有限元法、边界元法、无网格法都是加权余量法的特殊情况, 由于这三种方法各有其特点, 所以都各自发展为一种独立的方法, 加权余量法最早是用于流体力学, 传热等科学领域, [3-5]后在固体力学中得到了更大的发展, 本文将就加权余量法所涉及的问题作简要概述. 2　加权余量法的理论基础 同理, 若边界条件式(2. 2) 和(2. 3) 在各自边界上任一点都满足, 则对任意函数w ,w 都有下面式子成立: (T -T ) wd Г∫=0　　　　　　　　　(2. 5) Г1 (q -q ) wd Г∫=0Г2 　　　　　　　　　(2. 6) 综合(2. 4) , (2. 5) , (2. 6) 2 (T -T ) wd Г得:　　∫v (k T +q v ) wdV +∫Г1 (q -q ) wd Г　　+∫=0Г2 2 　　∫v (k T +q v ) wdV 　　　　　　(2. 7) 在一般工程、科学计算问题中, 最终问题的解决往往可归结为在一定边界条件、初始条件下求解微分方程组. 在数学上, 一般把微分方程形式称为强形 式(strong form ) , 在求数值解时, 往往把微分方程边界条件转换成变分形式(weak form ) [6]. 下面将以一稳态热传导方程为例, 来介绍微分方程所对应的弱形式. 稳态热传导方程, 边界条件如下: (2. 1) k 2T +q v =0在域V 内 T -T =0 (T -T ) wd Г　　+∫=0　　　　　　(2. 8) Г1 2 　　∫v (k T +q v ) wdV (q -q ) wd Г　　+∫=0Г2 　　　　　　( 2. 9) 在边界Г1上　　　　(2. 2) q -q =0　　　　在边界Г2上　　　　(2. 3) 式中T 为边界Г1上已知温度,q 为边界Г2上已知热流,q ≡T n ,n 是有关边界上的外法线方向. 由于微分 方程(2. 1) 在域内任意一点都满足, 所以下式成立: 收稿日期:2004-05-25 作者简介:张晓哲(1980-) , 男, 山西浮山人, 宁夏大学2002级固体力学专业硕士. 49 青海师专学报(教育科学) Ω+∫　　∫w Rd Г=0　　　　　(3. 6) ΩwRd Г 式(3. 5) , (3. 6) 的意义是通过选择待定系数a i , 强迫余量在某种平均意义上等于零,w ,w 称为权函数, 余量的加权积分为零可得到一组方程, 用来求解待定系数a , 进而得到原问题的近似解答. 求解方程(3. 6) 的展开形式为: Ω+∫Г∫w 1B (Na ) d Г=0, Ωw 1A (Na ) d Ω+∫Г∫w 2B () d Г=0…Ωw 2A (Na ) d ∫() d Г=0　　(3. 7) Ωw (Na ) 4Г是域Ω的边界 . , 常见权函数选择有如下几种:4. 1　配点法:以笛拉克函数δ(Dirac dalta function ) 作为权函数, 对一维问题配点法为: δ(x -x i ) dx =R (x i ) ∫V Rw i dV =∫V R (i =1,2,3, …,n ) 对于二维问题配点法为: δ(x -x i ) δ(y -y i ) dxdy 　∫∫V Rw i dxdy =∫∫V R (x ,y ) 　　　　　　=R (x i ,y i ) (i =1,2, …,n ) 图1域Ω和边界Г 在求解域Ω中, 若场函数u 为精确解. 则在域Ω中, 任一点都满足微分方程(3. 1) , 同时还在边界Г上任一点都满足边界条件(3. 2) 式. 则等效积分形式(2. 7) , (2. 8) , (2. 9) 必然也严格得到满足, 但对于复杂的实际问题, 这样的精确解往往很难找到, 因此需要我们寻找具有一定精度的近似解. 对于微分方程(3. 1) , 边界条件(3. 2) 所要表达的问题, 未知函数u 可用近似函数来表示, 近似函数为一族带有待定参数的已知函数, 一般形式为: 　　　u =u =6N i a i =Na 　　　　　　(3. 3) i =1n 配点法的实质就是在n 个点上使其余量为零. 4. 2　子域法:在n 个子域Ωj 内w j =I , 在子域Ωj 以外,w j =0. 实质上强迫余量在n 个子域Ωj 上积分为零. 4. 3　最小二乘法:当近似解取为:u =∑N i a i 时, 权 i =1n 函数w j = ( A ∑N a ) , 9a j i =1i i n i =1 n 2 Ω取最此方法的实质是使得I (a i ) =∫N i a i ) d ΩA (∑ 小值. 即要求=0(i =1,2, …,n ) 9a i i 4. 4　力矩法:对一维问题有∫V Rx dV =0(i =0,1,2, …,n -1) i i 对二维问题有∫∫V R (x ,y ) x y dV =0 　　　　　　　　(i =0,1,2, …,n -1) 此方法的实质是强迫余量的各次矩为零, 通常又称此法为积分法. 4. 5　伽辽金法:是大家比较熟悉的方法, 按加权余 式中a i 为待定参数,N i 称之为试探函数的已知函 数, 它取自于完全函数系列, 是线性独立的所谓的完全函数系列是指任一函数都可用此序列表示, 近似函数通常选择使之满足强制边界条件和连续性要求. 显然, 通常n 取有限项数的情况下近似解是不能满足微分方程(3. 1) 及边界条件(3. 2) , 将产生余量R ,R , 即　　　　A (Na ) =R ,B (Na ) =R 　　　　(3. 4) 余量R 及R 也称之为残差, 由(2. 7) 式即得近似的等效积分形式: Ω+∫∫wB (Na ) d Г=0　　　(3. 5) ΩwA (Na ) d Г 写成余量形式为:50 量法的观点理解, 伽辽金法中的权函数、试函数为取自同一系列的函数. 5　试函数的选择 在加权余量法中, 试函数选择十分重要, 试函数 必须完备, 并且各试函数项之间应该线性无关. 根据使用情况, 试函数大致如下:(1) 多项式; (2) 三角 张晓哲, 王燕昌:固体力学中的加权余量法简介 级数; (3) 样条函数, 一般为三次或五次样条函数; (4) 梁振动函数; (5) 杆稳定函数; (6) 正交多项式, 如:切比雪夫多项式, 勒让德多项式; (7) 贝塞耳函数; (8) 克雷洛夫函数. 6　算例分析例:一条跨度为l , 受均布载荷作用的梁, 两端均为固定支撑(如图2) , 梁的挠度微分方程为:4　　　　EI 4-q =0　　　　　　　(6. 1) dx 式中E 为弹性模量,I 为梁的惯性矩,w 为挠度. 我们 2. 用配点法消除余量:从(6. 3) 中令余量R I =0即得到与(6. 4) 相同的C 值, 现在我们设另外一种试函 数: w =C 0+C 1x +C 2x 2+C 3x 3+C 4x 4　　　(6. 6) 将(6. 6) 代入边界条件和控制方程 得　　　C 0=C 1=0,C 2=q l 2/24EI , 　　C 3=q l /12EI ,C 4=q/24EI 得到与(6. 5) . 用子域法、伽辽, 所以这个解是, , 做法在此不选择挠度试函数为: 　　　　w =Cx 2(1-x ) 2　　　　　　(6. 2) 　　w =0,dw/dx =0. 将(6. 2) 代入(6. 得:　　　R I =EI 4q =24EIC -q 　　　(6. 3) 解:1.用最小二乘法消除余量:l ∫dV =∫v R I 0(24EIC -q ) 24EIdx =0dc 由此得到:C=q/24EI 　　　　　　　(6. 4) 将(6. 4) 代入(6. 2) 图2两端固支受均布荷载的梁 7　结语 通过理论基础介绍, 实际算例分析可看出, 加权余量法是目前许多流行算法的基础, 深刻理解、领会、掌握加权余量法, 对于固体力学数值计算工作者有着重要意义. 得　　　w =qx 2(l -x ) 2/24EI 　　　　 参考文献: (6. 5) [1]邓建中, 刘之行. 计算方法(第2版) [M].西安:西安交通大学出版社,2001. [2]王勖成, 邵敏. 有限单元法基本原理和数值方法(第2版) [M].北京:清华大学出版社,2002. [3]Z ienkiewicz O C. The Finite E lement Method ,McG raw -Hill Book C o UK,1978. [4]陆明万, 罗学富. 弹性理论基础[M].北京:清华大学出版社,1990. [5]胡海昌. 弹性力学的变分原理及应用[M].北京:科学出版社,1981. [6]荣延玉. 弹性力学分裂模量变分原理[J].西南交通大学学报,1981, (1) :48-56. [7]殷有泉. 固体力学非线性有限元导论[M].北京:北京大学出版社,1987. [8]何军毅, 林祥都. 工程结构非线性问题的数值解法[M].北京:国防工业出版社,1988. Weighted R esidual Method I n Solid Mechanics ZHANG Xiao -zhe 1, WANG Yan -chang 2 (1. 2. Ningxia University ,Y inchuan Ningxia 750021,China ) Abstract :Weighted Residual Method is an im portant numerical method in s olid mechanics. At present , s ome popular numerical method , such as finite element method , meshless , boundary element method , all regard it as the basic. As the result , these methods develop rapidly. This article tries to introduce W. R. M to reader sim plely , including the theory basic and the select of weight function and trial func 2tion. Finally , though numerical exam ples , dem onstrate the use in the engineering practice. K ey w ords :Weighted residual method ; weight function ; trial function 51

数值计算方法如下：1、有限元法：有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式。借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数 形式，便构成不同的有限元方法。 　在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元 上的近似解构成。根据所采用的权函数和插值函数的不同 ，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。2、多重网格方法：多重网格方法通过在疏密不同的网格层上进行迭代,以平滑不同频率的误差分量。具有收敛速度快,精度高等优点。多重网格法基本原理微分方程的误差分量可以分为两大类，一类是频率变化较缓慢的低频分量；另一类是频率高，摆动快的高频分量。一般的迭代方法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显著。高频分量和低频分量是相对的，与网格尺度有关，在细网格上被视为低频的分量，在粗网格上可能为高频分量。多重网格方法作为一种快速计算方法，迭代求解由偏微分方程组离散以后组成的代数方程组，其基本原理在于一定的网格最容易消除波长与网格步长相对应的误差分量。该方法采用不同尺度的网格，不同疏密的网格消除不同波长的误差分量，首先在细网格上采用迭代法，当收敛速度变缓慢时暗示误差已经光滑，则转移到较粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进行下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细网格上。3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。4、有限体积法：有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒。而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值 ，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。5、近似求解的误差估计方法：近似求解的误差估计方法共有三大类:单元余量法,通量投射法及外推法。单元余量法广泛地用于以FEM离散的误差估计之中,它主要是估计精确算子的余量,而不是整套控制方程的全局误差。这样就必须假定周围的单元误差并不相互耦合,误差计算采用逐节点算法进行。单元余量法的各种不同做法主要来自对单元误差方程的边界条件的不同处理办法。基于此,该方法能够有效处理局部的残余量,并能成功地用于网格优化程序。通量投射法的基本原理来自一个很简单的事实:精确求解偏微分方程不可能有不连续的微分,而近似求解却可以存在微分的不连续,这样产生的误差即来自微分本身,即误差为系统的光滑求解与不光滑求解之差。该方法与单元余量法一样,对节点误差采用能量范数,故也能成功地用于网格优化程序。单元余量法及通量投射法都局限于局部的误差计算(采用能量范数),误差方程的全局特性没有考虑。另外计算的可行性(指误差估计方程的计算时间应小于近似求解计算时间)不能在这两种方法中体现,因为获得的误差方程数量,阶数与流场控制方程相同。外推是指采用后向数值误差估计思想由精确解推出近似解的误差值。各类文献中较多地采用Richardson外推方法来估计截断误差。无论是低阶还是高阶格式,随着网格的加密数值计算结果都会趋近于准确解。但由于计算机内存与计算时间的限制,实际上不能采用这种网格无限加密的办法。6、多尺度计算方法：近年来发展的多尺度计算方法包括均匀化方法、非均匀化多尺度方法、以及小波数值均匀化方法、多尺度有限体积法、多尺度有限元法等。该方法通过对单胞问题的求解，把细观尺度的信息映射到宏观尺度上，从而推导出宏观尺度上的均匀化等式，即可在宏观尺度上求解原问题。均匀化方法在很多科学和工程应用中取得了巨大成功，但这种方法建立在系数细观结构周期性假设的基础上，因此应用范围受到了很大限制。鄂维南等提出的非均匀化多尺度方法，是构造多尺度计算方法的一般框架。该方法有两个重要的组成部分：基于宏观变量的整体宏观格式和由微观模型来估计缺少的宏观数据，多尺度问题的解通过这两部分共同得到。该方法基于多分辨分析，在细尺度上建立原方程的离散算子，然后对离散算子进行小波变换，得到了大尺度上的数值均匀化算子。此方法在大尺度上解方程，大大地减小了计算时间。该法在宏观尺度上进行网格剖分，然后通过在每个单元里求解细观尺度的方程(构造线性或者振荡的边界条件)来获得基函数。从而把细观尺度的信息反应到有限元法的基函数里，使宏观尺度的解包含了细观尺度的信息。但多尺度有限元方法在构造基函数时需要较大的计算量。借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数 形式，便构成不同的有限元方法。 　在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元 上的近似解构成。根据所采用的权函数和插值函数的不同 ，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。2、多重网格方法：多重网格方法通过在疏密不同的网格层上进行迭代,以平滑不同频率的误差分量。具有收敛速度快,精度高等优点。多重网格法基本原理微分方程的误差分量可以分为两大类，一类是频率变化较缓慢的低频分量；另一类是频率高，摆动快的高频分量。一般的迭代方法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显著。高频分量和低频分量是相对的，与网格尺度有关，在细网格上被视为低频的分量，在粗网格上可能为高频分量。多重网格方法作为一种快速计算方法，迭代求解由偏微分方程组离散以后组成的代数方程组，其基本原理在于一定的网格最容易消除波长与网格步长相对应的误差分量。该方法采用不同尺度的网格，不同疏密的网格消除不同波长的误差分量，首先在细网格上采用迭代法，当收敛速度变缓慢时暗示误差已经光滑，则转移到较粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进行下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细网格上。3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。4、有限体积法：有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒。而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值 ，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。5、近似求解的误差估计方法：近似求解的误差估计方法共有三大类:单元余量法,通量投射法及外推法。单元余量法广泛地用于以FEM离散的误差估计之中,它主要是估计精确算子的余量,而不是整套控制方程的全局误差。这样就必须假定周围的单元误差并不相互耦合,误差计算采用逐节点算法进行。单元余量法的各种不同做法主要来自对单元误差方程的边界条件的不同处理办法。基于此,该方法能够有效处理局部的残余量,并能成功地用于网格优化程序。通量投射法的基本原理来自一个很简单的事实:精确求解偏微分方程不可能有不连续的微分,而近似求解却可以存在微分的不连续,这样产生的误差即来自微分本身,即误差为系统的光滑求解与不光滑求解之差。该方法与单元余量法一样,对节点误差采用能量范数,故也能成功地用于网格优化程序。单元余量法及通量投射法都局限于局部的误差计算(采用能量范数),误差方程的全局特性没有考虑。另外计算的可行性(指误差估计方程的计算时间应小于近似求解计算时间)不能在这两种方法中体现,因为获得的误差方程数量,阶数与流场控制方程相同。外推是指采用后向数值误差估计思想由精确解推出近似解的误差值。各类文献中较多地采用Richardson外推方法来估计截断误差。无论是低阶还是高阶格式,随着网格的加密数值计算结果都会趋近于准确解。但由于计算机内存与计算时间的限制,实际上不能采用这种网格无限加密的办法。6、多尺度计算方法：近年来发展的多尺度计算方法包括均匀化方法、非均匀化多尺度方法、以及小波数值均匀化方法、多尺度有限体积法、多尺度有限元法等。该方法通过对单胞问题的求解，把细观尺度的信息映射到宏观尺度上，从而推导出宏观尺度上的均匀化等式，即可在宏观尺度上求解原问题。均匀化方法在很多科学和工程应用中取得了巨大成功，但这种方法建立在系数细观结构周期性假设的基础上，因此应用范围受到了很大限制。鄂维南等提出的非均匀化多尺度方法，是构造多尺度计算方法的一般框架。该方法有两个重要的组成部分：基于宏观变量的整体宏观格式和由微观模型来估计缺少的宏观数据，多尺度问题的解通过这两部分共同得到。该方法基于多分辨分析，在细尺度上建立原方程的离散算子，然后对离散算子进行小波变换，得到了大尺度上的数值均匀化算子。此方法在大尺度上解方程，大大地减小了计算时间。该法在宏观尺度上进行网格剖分，然后通过在每个单元里求解细观尺度的方程(构造线性或者振荡的边界条件)来获得基函数。从而把细观尺度的信息反应到有限元法的基函数里，使宏观尺度的解包含了细观尺度的信息。但多尺度有限元方法在构造基函数时需要较大的计算量。

限元有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 英文：Finite Element 有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：编辑本段1） 物体离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。编辑本段2） 单元特性分析 A、 选择位移模式 在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。 当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数。 B、 分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。 C、 计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。编辑本段3） 单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程 （1-1） 式中，K是整体结构的刚度矩阵；q是节点位移列阵；f是载荷列阵。编辑本段4） 求解未知节点位移 解有限元方程式（1-1）得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。 通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是"一分一合"，分是为了就进行单元分析，合则为了对整体结构进行综合分析。 有限元的发展概况 1943年 courant在论文中取定义在三角形域上分片连续函数，利用最小势能原理研究St.Venant的扭转问题。 1960年 clough的平......

有限元就是有限单元法，就是建一个连续体，分散成有限个单元，所以此时是连续域变成了有限域。那么这种解法呢，是一种数值方法，利用计算机进行处理。对于每个单元对应一种特定的差值函数，现有利于计算机进行求解。

1，有限元法(finite element method)是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。2，有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中(这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系)。3，自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想:由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。

百度百科有正解

有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。有限差分方法（finite difference method）一种求偏微分（或常微分）方程和方程组定解问题的数值解的方法，简称差分方法。有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积法的基本方法。

1、有限元分析，利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素（即单元），实现有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。2、有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。因为实际问题被较简单的问题所代替，所以这个解不是准确解，而是近似解。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。3、有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

元计算FELAC有限元分析的基本步骤如下。1)建立研究对象的近似模型。　2)将研究对象分割成有限数量的单元 研究者很难从整体上分析对象系统，需要把对象系统分解成有限数量的、形式相同、相对简单的分区或组成部分，这个过程也被称为离散化。3)用标准方法对每个单元提出一个近似解 研究者能够比较容易地分析基本单元的行为，提出求解基本单元的方法。4)将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统 将基本单元组装成一个近似系统，在几何形状和性能特征方面可以近似地代表研究对象。5)用数值方法求解这个近似系统。 采用离散化之后，就不需要再求解复杂的偏微分方程组，而转换为求解线性方程组。数学家提出了许多求解大规模线性方程组的数值算法。6)计算结果处理与结果验证 由数值计算可以得到大量的数据，如何显示、分析数据并找到有用的结论是人们一直关系的问题。内容拷贝元计算官网

有限元的误差可以来自多方面，比较重要的例如：1）离散，有限元把连续的弹性体离散成为有限个单元；2）有限元的形函数不能包括所有的变形方式，比如线性单元，通常刚度偏大，尤其是三角形单元，这也是题中所谓的位移下限性的来源。3）单元形状不良，造成单元的变换矩阵接近奇异，带入数值计算误差。当然有限元的位移并不是总是下限性，与本构方程和计算项目有关系。

常用的解算方法有两种。1.解析法就是用数学物理方法（分离变量法、拉普拉斯变换、傅立叶变换、汉格尔变换等）求解数学模型，得到某些变量变化规律的解析表达式，即解析解或分析解。由于这种解法求解，所必需的假设条件受到许多限制（如含水层为均质、边界呈规则几何形）使得数学模型求解困难，限制了这种方法的应用。2.数值解法主要是有限差分法及有限单元法。其基本步骤是：1）将渗流区域按条件剖分为许多单元（单元内为均质的，边界是规则的），按要求在单元上定义一个结点（点元），将渗流区域内连续的水头分布离散化为在全部结点上有多个数所组成的数组。2）在离散化的基础上，将偏微分方程联同边界条件转化为线性代数方程组。3）解线性代数方程组求出水头分布。若是非稳定流，还应根据初始的水头分布多次解方程组，以求得各时刻的水头分布。在把微分方程转换为线性代数方程组时，有限差分法是用差商代替导数；而有限单元法则是用线性的或高次插值函数来实现离散化，再用变分或其他数学方法将偏微分方程转化为线性代数方程组。随着电子计算机的发展，数值解法越来越成为求解地下水运动数学模型的重要方法。小结本章要求重点理解掌握以下基本概念和原理：渗透与渗流，渗透系数及渗透率，储水系数和储水率，稳定流与非稳定流，有压流和无压流，一维流、二维流、三维流，以及达西定律和渗流折射定律的表达式。复习思考题1.研究渗流常用什么方法，为什么？2.在地下水动力学中，为什么可以用测压水头代替总水头？3.水力坡度表示的方式有哪些？不同方式的使用条件是什么？4.达西定律为什么不能叫层流定律？5.渗透系数与渗透率有什么不同？在什么条件下可以相互替代？6.什么是含水介质的均质与非均质、各向同性与各向异性？

均质机工作原理：由于转子的高速运转，被分散的介质被自动的吸入分散头，然后这些介质呈放射状以较高速度通过转子与定子之间。施加在分散介质上的巨大加速度产生极大的剪切和破碎力。另外，定-转子间介质的高速扰动也促使达到最佳的分散效果。有限元法把连续体离散成有限个单元，每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。

ANSYS有限元分析技术是适应使用电子计算机而发展起来的数值方法。 起源于上个世纪50年代航空工程中飞机结构的矩阵分析。世界力学名著“有限元法”的作者监凯维奇教授对有限元法曾做过如下定义： 1、把连续体分成有限个部分，其性态由有限个参数所规定。 2、求解离散成有限元的集合体时，其有限单元应满足连续体所遵循的规则，如力平衡规则等。 应用有限元技术有以下帮助： 1、 产品设计与开发： 缩短产品开发周期；降低开发成本；提高产品质量。 2、 对现有结构进行评估：分析产品破坏原因；评估产品在设计中无法考虑因素作用下的安全性能。 3、 进行产品的失效分析：发展与建立材料模型等。

有限元方法(Finite Element Method)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解有限差分方法(Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法比有限元法简单的多，但是误差也比有限元要大。建议用有限差分做粗略估计，用有限元做详细求解。

《ABAQUS非线性有限元分析与实例》是ABAQUS软件应用的实例教材，结合有限元的基本理论和数值计算方法，通过一系列的相关例题和讨论，介绍了ABAQUS软件的主要内容。书中系统地讲解了编写输入数据文件和前处理的要领，对输出文件进行分析和后处理的方法，并系统地讲述了一些应用在土木、材料、机械和铁道工程的实例。为了帮助二次开发，详细地讲解了如何编写用忘掉材料子程序UMAT和单元子程序UEL。因此，《ABAQUS非线性有限元分析与实例》可作为工程师应用有限元软件进行力学分析和结构设计的手册，也可作为力学和工程专业研究生和本科生的有限元数值计算课的参考教材。《ABAQUS非线性有限元分析与实例》适合高校理工科教师、科研人员、工科本科生和研究生、从事设计和有限元分析的工程师等人阅读。目录第1章 引言 1.1 hks与abaqus 1.2 有限元著作和软件的发展历史 1.3 有限元带来设计的革命 1.4 在设计中应用abaqus 1.5 abaqusutkk 1.5.1 abaqus软件产品 1.5.2 abaqus文档 1.6 有限元法制简单回顾 1.6.1 使用隐式方法求解位移 1.6.2 应力波传播的描述 1.7 abaqus描述实践教程 1.7.1 本书内容 1.7.2 本书中的一些约定 1.7.3 鼠标的基本操作 1.7.4 本书上篇中的有关章节 第2章 abaqus基础 2.1 abaqus分析模型的组成 2.2 abaqus/cae简介 2.2.1 启动abaqus/cae.2.2.2 主窗口的组成部分 　　2.2.3 什么是功能模块 　　2.3 例题：用abaqus/cae生成桥式吊架模型 　　2.3.1 量纲 　　2.3.2 创建部件 　　2.3.3 创建材料 　　2.3.4 定义和赋予截面（section)特性 　　2.3.5 定义装配 　　2.3.6 设置分析过程 　　2.3.7 在模型上施加边界条件和载荷 　　2.3.8 模型的网络剖分 　　2.3.9 创建一个分析作业 　　2.3.10 检查模型 　　2.3.11 运行分析 　　2.3.12 用abaqus/cae进行后处理 　　2.3.13 应用abaqus/explicit重新运行分析 　　2.3.14 对动态分析的结果进行后处理 　　2.4 比较隐式与显式过程 　　2.4.1 在隐式和显式分析之间选择 　　2.4.2 在隐式和显式分析中网格加密的成本 　　小结 　　第3章 有限单元和刚性体 　　3.1 有限单元 　　3.1.1 单元的表征 　　3.1.2 实体单元 　　3.1.3 壳单元 　　3.1.4 梁单元 　　3.1.5 桁架单元 　　3.2 刚性体 　　3.2.1 确定何时使用刚性体 　　3.2.2 刚性体部件 　　3.2.3 刚性单元 　　3.3 质量和转动惯量单元 　　3.4 弹簧和减振器单元 　　小结 　　第4章 应用实体单元 　　4.1 单元的数学描述和积分 　　4.1.1 完全积分 　　4.1.2 减缩积分 　　4.1.3 非协调单元 　　4.1.4 杂交单元 　　4.2 选择实体单元 　　4.3 例题：连接环 　　4.3.1 前处理——应用abaqus/cae建模 　　4.3.2 后处理——结果可视化 　　4.3.3 用abaqus/explicit重新进行分析 　　4.3.4 后处理动力学分析结果 　　4.4 网格收敛性 　　4.5 例题：像胶块中的（abaqus/explicit） 　　4.5.1 前处理——abaqus/cae创建模型 　　4.5.2 后处理 　　4.5.3 改变网格的效果 　　4.6 相关的abauqus例题 　　4.7 建议阅读的文献 　　小结 　　第5章 应用壳单元 　　5.1 单元几何尺寸 　　5.1.1 壳体厚度和截面点(section points) 　　5.1.2 壳法线和壳面 　　5.1.3 壳的初始曲率 　　5.1.4 参考面的偏移（referance surface offset) 　　5.2 壳体公式——厚壳或薄壳 　　5.3 壳的材料方向 　　5.3.1 默认的局部材料方向 　　5.3.2 建立可变的材料方向 　　5.4 选择壳单元 　　5.5 例题：斜板 　　5.5.1 前处理——用abaqus/cae建立模型 　　5.5.2 后处理 　　5.6 相关的abaqus/cae例题 　　5.7 建议阅读的文献 　　小结 　　第6章 应用梁单元 　　6.1 梁横截面几何 　　6.1.1 形状截面点(section points) 　　6.1.2 横截面方向 　　6.1.3 梁单元曲率 　　6.1.4 梁截面的节点偏移 　　6.2 计算公式和积分 　　6.2.1 剪切变形 　　6.2.2 扭转响应——翘曲 　　6.3 选择梁单元 　　6.4 例题：货物吊车 　　6.4.1 前处理——abaqus/cae创建模型 　　6.4.2 后处理 　　6.5 相关的abaqus例子 　　6.6 建议阅读的文献 　　小结 　　第7章 线性动态分析 　　7.1 引言 　　7.1.1 固有频率和模态 　　7.1.2 振型叠加 　　7.2 阻尼 　　7.2.1 在abaqus/standard中阻尼的定义 　　7.2.2 选择阻尼值 　　7.3 单元选择 　　7.4 动态问题的网格剖分 　　7.5 例题：货物吊车——动态载荷 　　7.5.1 修改模型 　　7.5.2 结果 　　7.5.3 后处理 　　7.6 模态数量的影响 　　7.7 阻尼的影响 　　7.8 志直接时间积分的比较 　　7.9 其他的动态过程 　　7.9.1 线性模态法的动态分析 　　7.9.2 非线性动态分析 　　7.10 相关的abaqus的例子 　　7.11建议阅读的文献 　　小结 　　第8章 非线性 　　8.1 非线性的来源 　　8.1.1 材料非线性 　　8.1.2 边界非线性 　　8.1.3 几何非线性 　　8.2 非线性问题的求解 　　8.2.1 分析步、增量步和迭代步 　　8.2.2 abaqus/standard中的平衡迭代和收敛 　　8.2.3 abaqus/standard中的自动增量控制 　　8.3 在abaqus/cae分析中包含非线性 　　8.3.1 几何非线性 　　8.3.2 材料非线性一 　　8.3.3 边界非线性 　　8.4 例题：非线性斜板 　　8.4.1 修改模型 　　8.4.2 作业诊断 　　8.4.3 后处理 　　8.4.4 用abaqus/explicit运行分析 　　8.5 相关的abaqus例子 　　8.6 建议阅读的文献 　　小结 　　第9章 显式非线性动态分析 　　9.1 abaqus/explicit适用的问题类型 　　9.2 动力学显式有限元方法 　　9.2.1 显式时间积分 　　9.2.2 比较隐式和显式时间积分程序 　　9.2.3 显式时间积分方法的优越性 　　9.3 自动时间增量和稳定性 　　9.3.1 显式方法的条件稳定性 　　9.3.2 稳定性限制的定义 　　9.3.3在abaqus/explicit中的完全自动时间增量与固定时间增量 　　9.3.4 质量缩放以控制时间增量 　　9.3.5 材料对稳定极限的影响 　　9.3.6 网格对稳定极限的影响 　　9.3.7 数值不稳定性 　　9.4 例题：在棒中的应力波传播 　　9.4.1 前处理——abaqus/cae创建模型 　　9.4.2 后处理 　　9.4.3 网格对稳定时间增量和cpu时间的影响 　　9.4.4 材料对稳定时间增量和cpu时间的影响 　　9.5 动态振荡的阻尼 　　9.5.1 体粘性 　　9.5.2 粘性压力 　　9.5.3 材料阻尼 　　9.5.4 离散的减振器 　　9.6 能量平衡 　　9.6.1 能量平衡的表述 　　9.6.2 能量平衡的输出 　　9.7 弹簧和减振器的潜在不稳定性 　　9.7.1 确定稳定时间增量 　　9.7.2 识别非稳定性 　　9.7.3 消除不稳定性 　　小结 　　第10章 材料 　　10.1 在abaqus中定义材料 　　10.2 延性金属的塑性 　　10.2.1 延性金属的塑性性质 　　10.2.2 有限变形应力和应变度量 　　10.2.3 在abaqus中定义塑性 　　10.3 弹-塑性问题的单元的选取 　　10.4 例题2：连接不的塑性 　　10.4.1 修改模型 　　10.4.2作业监控和诊断 　　10.4.3 对结果进行后处理 　　10.4.4 在材料模型中加入硬化特性 　　10.4.5 运行考虑塑性硬化的分析 　　10.4.6 对结果进行后处理 　　10.5 例题：加强板承受爆炸载荷 　　10.5.1 前处理——用abaqus/cae创建模型 　　10.5.2 后处理 　　10.5.3 分析的回顾 　　10.6 超弹性 　　10.6.1 引言 　　10.6.2 可压缩性 　　10.6.3 应变势能 　　10.6.4 应用试验数据定义超弹性行为 　　10.7 例题：轴对称像胶支座 　　10.7.1 对称性 　　10.7.2 前处理——应用abaqus/cae创建模型 　　10.7.3 后处理 　　10.8 大变形的网格设计 　　10.9 减少体积自锁的技术 　　10.10 相关的abaqus例题 　　10.11 建议阅读的文献 　　小结 　　第11章 多步骤分析 　　11.1 一般分析过程 　　11.1.1 在一般分析步中的时间 　　11.1.2 在一般分析步中指定载荷 　　11.2 线性摄动分析 　　11.2.1 在线性摄动分析步中指定时间 　　11.2.2 在线性摄动分析步中指定载荷 　　11.3 例题：管道系统的振动 　　11.3.1 前处理——用abaqus/cae创建模型 　　11.3.2 对作业的监控 　　11.3.3 后处理 　　11.4 重启动分析 　　11.4.1 重启动和状态文件 　　11.4.2 重启动一个分析 　　11.5 例题：重启动管道的振动分析 　　11.5.1 创建一个重启动分析模型 　　11.5.2 监控作业 　　11.5.3 对重启动分析的结果作后处理 　　11.6 相关的abaqus例题 　　小结 　　第12章 接触 　　12.1 abaqus接触功能概述 　　12.2 定义接触面 　　12.3 接触面间的相互作用 　　12.3.1 接触面的法向行为 　　12.3.2 表面的滑动 　　12.3.3 摩擦模型 　　12.3.4 其他接触相互作用选项 　　12.3.5 基于表面的约束 　　12.4 在abaqus/standard中定义接触 　　12.4.1 接触相互作用 　　12.4.2 从属(slave)和主控（master)表面 　　12.4.3 小滑动与有限滑动 　　12.4.4 单元选择 　　12.4.5 接触算法 　　12.5 在abaqus/standard中的刚性表面模拟问题 　　12.6 abaqus/standard例题：凹槽成型 　　12.6.1 前处理——用abaqus/cae 建模 　　12.6.2 监视作业 　　12.6.3 abaqus/standard接触分析的故障检测 　　12.6.4 后处理 　　12.7 在abaqus/explicit中定义接触 　　12.8 abaqus/explicit建模中需要考虑的问题 　　12.8.1 正确定义表面 　　12.8.2 模型的过约束 　　12.8.3 网格细化 　　12.8.4 初始过盈接触 　　12.9 abaqus/explicit例题：电路板跌落试验 　　12.9.1 前处理——用abaqus/cae建模 　　12.9.2 后处理 　　12.10 综合例题：筒的挤压 　　12.10.1 前处理——用abaqus/cae创建模型 　　12.10.2 屈曲分析的结果 　　12.10.3 修改模型的创建筒的挤压分析 　　12.10.4 挤压分析的结果 　　12.11 abaqus/standard和abaqus/explicit的比较 　　12.12 相关的abaqus例题 　　12.13 建议阅读的文献 　　小结 　　第13章 abaqus/standard准静态分析 　　13.1 显式动态问题类比 　　13.2 加载速率 　　13.2.1 光滑幅值曲线 　　13.2.2 结构问题 　　13.2.3 金属成型问题 　　13.3 质量放大 　　13.4 能量平衡 　　13.5 例题：abaqus/standard凹槽成型 　　13.5.1 前处理——应用abaqus/standard重新运算模型 　　13.5.2 成型分析——尝试2 　　13.5.3 两次成型尝试的讨论 　　13.5.4 加速分析的方法 　　小结 　　下篇 abaqus应用实例 　　第14章 abaqus在土木工程中的应用（一） 　　14.1 问题描述 　　14.2 斜拉桥建模 　　14.2.1 桥塔建模 　　14.2.2 拉索建模 　　14.2.3 桥面体系 　　14.2.4 数值方法的选取 　　14.3 静力分析和施工过程仿零点 　　14.3.1 常规方式的静力分析 　　14.3.2 逐段加载 　　14.4 动态分析 　　14.4.1 模态分析 　　14.4.2 地震反应时程分析 　　第15章 abaqus在土木工程中的应用（二） 　　15.1 钢筋混凝土圆柱形结构的倾倒分析 　　15.1.1 分析模型 　　15.1.2 abaqus混凝土本构模型 　　15.1.3 混凝土中的加强筋 　　15.1.4 分析结果 　　15.2 牙轮钻砂破岩过程模拟 　　15.3 大型储液罐的动力分析 　　15.3.1 问题描述 　　15.3.2 储液罐有限元模型 　　15.3.3 附加质量公式和单元模型 　　15.3.4 动力响应分析过程 　　15.3.5动力响应分析结果与讨论 　　第16章 abaqus多场耦合问题工程实例 　　16.1 一种新型高速客车空气弹簧的非线性有限元分析 　　16.1.1 前言 　　16.1.2 cad模型和abaqus有限元模型 　　16.1.3 空气弹簧的有限元计算结果与分析 　　16.1.4 计算结果和分析 　　16.2 多场耦合问题在水坝工程中的应用两例 　　16.2.1 变形场——温度场——渗流场分析（thm分析）及堆石坝实例 　　16.2.2 掺mgo混凝土失坝的施工/运行仿真分析（tcm分析） 　　16.2.3 小结 　　16.3 复合材料层合板固化过程中的化学场、温度场耦合问题 　　16.3.1 前言 　　16.3.2 abaqus有限元模型 　　16.3.3 材料属性 　　16.3.4 初始条件和边界条件 　　16.3.5 用户子程序 　　16.3.6 结果与分析 　　第17章 abaqus在焊接工业中的应用 　　17.1 用abaqus软件进行插销试验焊接温度场分析 　　17.1.1 平板焊接温度场有限元分析及实测对比 　　17.1.2 插销试验的温度场 　　17.2 焊接接头氢扩散数值模拟 　　17.2.1 接头扩散过程的几项基本假设 　　17.2.2 初始条件和边界条件 　　17.2.3 焊接接头 　　第18章 像胶超弹性材料的应用实例 　　18.1 问题简介 　　18.2 像胶各种本构关系模型 　　18.2.1 超弹性模型本构关系基本理论 　　18.2.2 各类超弹性本构模型 　　18.2.3 小结 　　18.3 过盈配合平面应力正气小变形解 　　18.4 过盈配合平面应力下的大变形解 　　18.5 体积刚度及泊松比对过盈配合的影响 　　18.5.1 体积刚度对过盈配合的影响 　　18.5.2 泊松比对过盈配合的影响 　　第19章 abaqus用户材料子程序（umat） 　　19.1 引言 　　19.2 模型的数学描述 　　19.2.1 johnson-cook强化模型简介 　　19.2.2 率相关塑性的基本公式 　　19.2.3 完全隐式的应力更新算法 　　19.3 abaqus用户村料子程序 　　19.3.1 子程序概况与接口 　　19.3.2 编程 　　19.4 shpb实验的有限元模拟 　　19.4.1 分离式hopkinson压杆（shpb）实验 　　19.4.2 有限元建模 　　19.4.3 二维动态分析 　　19.4.4 三维动态分析 　　19.5 umat的fortran程序 　　19.5.1 umat 　　19.5.2 umatht（包含材料的热行为） 　　第20章 abaqus用户单元子程序（uel） 　　20.1 非线性索单元 　　20.1.1 背景 　　20.1.2 基本公式 　　20.1.3 应用举例 　　20.1.4 非线性索单元用户子程序 　　20.2 利用abaqus用户单元计算应变梯度塑性问题 　　20.2.1 两种应变梯度理论 　　20.2.2 abaqus用户单元的使用 　　20.2.3 有限元计算的结果

它的特殊它的应用还是非常广泛的，我们大家还是应该努力的查看的来

弹性力学实际是材料力学的延伸，它的求解方法及思想涉及到了泰勒级数等概念，在微观上要比通常所学的材料力学精确很多。对单一零件或者整体的分析尤其是复杂几何体和受力环境下可以得到更不精确的解。如果你进入硕士，你会接触到塑性力学；断裂力学；复合材料力学，它是弹性力学的拓展（更广义的本构关系），这两门在实际应用中是比较普遍的。但至此以前，你都在学一些缓慢加载的静力学问题，真实的动力传递等行为都是动态响应的结果，涉及到冲击动力学，振动力学（振动本身十分的难）力学是更基础的理论，而在其中很多概念都来自于弹性力学。综上，弹性力学是入门的基础，它介绍了很多其他复杂力学的研究问题的方法和思路，所以还是很重要的。

它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：1）物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。2）单元特性分析A、选择位移模式在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数，如y=其中是待定系数，是与坐标有关的某种函数。B、分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。C、计算等效节点力物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。3）单元组集利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程（1-1）式中，K是整体结构的刚度矩阵；q是节点位移列阵；f是载荷列阵。4）求解未知节点位移解有限元方程式（1-1）得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是"一分一合"，分是为了就进行单元分析，合则为了对整体结构进行综合分析。有限元的发展概况021943年courant在论文中取定义在三角形域上分片连续函数，利用最小势能原理研究St.Venant的扭转问题。1960年clough的平面弹性论文中用“有限元法”这个名称。1970年随着计算机和软件的发展，有限元发展起来。涉及的内容：有限元所依据的理论，单元的划分原则，形状函数的选取及协调性。有限元法涉及：数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性。应用范围：固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学求解的情况：杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）。能求解各类场分布问题（流体场、温度场、电磁场等的稳态和瞬态问题），水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。

有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。　　概念：　　将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。元素（单元）的形状原则上是任意的。二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等。每个单元的顶点称为节点（或结点）。　　思想：　　有限单元法最早可上溯到20世纪40年代。Courant第一次应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。现代有限单元法的第一个成功的尝试是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。1960年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元法"，使人们认识到它的功效。

《基于ABAQUS的有限元分析和应用》是基于ABAQUS软件6.7版本进行有限元分析与应用的入门指南和工程分析与科学研究教程。全书分为上、下两篇。上篇结合有限元的基本理论和数值计算方法，通过系列的相关例题和讨论，系统地介绍了ABAQUS软件的主要功能和应用方法，包括编写输入数据文件和前处理的要领，对输出文件进行分析和后处理的方法等；下篇精选了一批ABAQUS在科研和工程领域的典型应用案例，涉及了土木、机械、航空、铁道等工程领域，橡胶、岩土和复合材料等多种材料的应用研究，以及如何通过编写用户接口程序进行二次开发等内容。ABAQUS是国际上最先进的大型通用有限元计算分析软件之一，具有强健的计算功能和模拟性能，拥有大量不同种类的单元模型、材料模型和分析过程。《基于ABAQUS的有限元分析和应用》是应用ABAQUS有限元软件进行力学分析和结构计算的必备工具书,可供从事工程设计和有限元分析的科研人员和工程师等阅读和参考，也可以作为力学和工程专业研究生和本科生的有限元数值计算课的辅助教材。

有限差分方法(Finite Difference Method) 有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。　　 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限体积法（Finite Volume Method） 有限体积法又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。 其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。 有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。 有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。 就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。 在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。

目前常用的二维极限平衡分析方法有：瑞典法（亦称作Fellenious法）、简化Janbu法、Bishop简化法、严格Janbu法、Lowe-Karafiath（罗厄）法、美国陆军工程师团法、Morgenstern-Price法、Spencer法、垂直条分Sarma法、斜条分Sarma法、传递系数法等，区别主要在于条间力假设。这些方法都是假定滑体各分条块在某种条件下（超载或材料强度折减）在剪切面上都达到极限平衡状态，并将超载倍数或强度折减的系数定义为边坡稳定的安全系数。上述各种极限平衡分析方法是一些基本的分析方法，在分析中需要进行迭代计算，在计算时会遇到迭代不收敛及计算精度问题。随着岩土力学、数值分析方法和计算机技术的发展，许多学者对这些分析方法进行了不断地改进、发展与完善。欢欢速度采纳！！！

有限元分析是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元分析软件目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC四个比较知名比较大的公司。

　　有限差分方法（Finite Differential Method）是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 　　构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达 式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等， 其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 　　有限元法（Finite Element Method）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分 方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法。从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金（Galerkin）法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点 。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日（Lagrange）多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特（Hermite）多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。 有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。 有限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数

有限差分方法(Finite Difference Method)有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。　　对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。

宽带钢轧机板形控制技术比较研究（转）宽带钢轧机板形控制技术比较研究张清东 黄纶伟 周晓敏摘 要 运用软件仿真方法并结合生产实践，从板形调控功效和板带轧机综合性能两个方面，比较研究了目前国际上各主要板形控制技术．研究结果不仅有助于板带轧机的选型和板形技术的配置，也有益于先进板形技术的创制．关键词 板带轧机；板形技术；比较研究分类号 PG 335.11Comparative Study on Shape Control Technologies for Wide Strip MillsZHANG Qingdong HUANG Lunwei ZHOU Xiaomin （Mechanical Engineering School, UST Beijing, Beijing 100083,China ）ABSTRACT The main advanced shape control technologies in operation now were studied and compared, for this reason, shape-adjusting action matrices and mills" overall shape control performances of these actuators were imitated by numerical calculation methods. The research conclusions will be not only beneficial to design of strip rolling mills and selection of shape control actuators for a mill, but also beneficialto creating new advanced shape control technologies.KEYWORDS strip rolling mill; shape control technology; comparative study 自70年代以来，由于市场对板形质量的要求愈来愈高，推动板形控制技术成为板带生产的关键性技术．围绕板形控制技术的开发，国际上先后出现了诸如HC，CVC，UC，K-WRS，PC等多种不同机型的新一代高技术板带轧机．这些轧机都拥有1项自有的标志性板形控制技术并辅以多项其他通用板形控制技术（如弯辊、压下倾斜、分段冷却），在生产中都配备有板形自动检测装置并实现了板形自动控制． 板形控制技术都是具有特定设备形态的工艺技术，其板形控制性能与自身的设备条件，如辊系结构与尺寸（辊数、直径、辊长等），以及工艺条件，如轧制力与轧件宽度等有关．因此，研究和比较板形控制技术需要针对已知的设备条件和工艺条件，从板形调控功效和板带轧机性能两方面进行．1 板形调控功效的定义[1] 板形调控功效是在一种板形控制技术的单位调节量作用下，轧机承载辊缝形状在沿带钢宽度方向上各处的变化量，公式表示如下： (1)式中：E(x)—板形调控功效函数，可能是简单多项式或高阶复杂多项式；gf (x)—承载辊缝形状变化量的函数；S —广义调节量（力或位移）；x—沿板宽方向坐标． 调控功效也可用单位调节量引起的沿板宽方向辊缝形状变化量的离散值表示：E=[e1,e2,…，ei，…] （2）此时，E—板形调控功效矩阵． 以上形式的板形调控功效可以表示板形控制技术对承载辊缝形状的各个描述指标（凸度、楔形度、边部减薄量、局部突起量）的调控作用． 在板形平坦度自动控制系统中，板形调控功效矩阵可表示为板形控制技术的单位调节量所引起的带钢前张应力沿横向各处的变化量，公式表示如下：E=[q1,q2,…，qi，…] （3）其中，m—板宽范围内板形仪测量区段数；qi—第i区段上带钢前张应力变化量． 板形调控功效可以通过实验或软件仿真2种方法确定．其中实验方法需在规模相同的实验轧机或者直接在生产轧机上进行，难度较大．软件仿真的方法经济有效，能灵活地模拟各种轧制条件，应用较为广泛．2 板形控制技术的板形调控功效仿真比较 板形调控功效可以准确地描述一种板形控制技术的板形控制思想和调控特性，研究和比较板形控制技术首先要研究并比较其板形调控功效． 运用有限单元法和影响函数法对目前使用的主要板形控制技术——CVC，HC，PC，K-WRS，DSR，弯辊和压下倾斜的板形调控功效进行仿真研究，结果见图1和2．各图的纵坐标为以0.001 mm为单位的辊缝开度变化量，横坐标为距带钢中心线的距离与半板宽之比，其中DW为工作辊直径，DI为中间辊直径，DB为支持辊直径，B为板宽，P为总轧制力．图中的曲线形态和相应函数表达式表示了各板形技术的板形调控功效的大小、特性．图1 6种板形控制技术仿真.横坐标为距带钢中心线距离与半板宽之比(r);纵坐标为以0.001mm为单位的辊缝开度的变化(γ).(a)四辊CVC,(b)六辊CVC,(c)UC,(d)PC,(e)K-WRS,(f)不对称弯辊与压下倾斜Fig.1Shape-adiusting action of six shape control actuators by imitation图2 DSR辊各个压块和工作辊弯辊的调控功效Fig.2Shape-adjusting action of padsactuators and WT bending on DSR 从图可见，CVC，HC，PC和对称弯辊技术的板形调控功效都是对称的，并且都以2次成分为主．其中4次成分含量最多的有：六辊CVC轧机的中间辊抽辊和工作辊弯辊，以及PC轧机的轧辊交叉和UC轧机中间辊弯辊． 压下倾斜和不对称弯辊技术的板形调控功效是非对称的，并且整体调控作用明显．DSR的单个压块压力调节的板形调控功效除一个是高次对称的，其余皆是非对称的，有一定的局部调控作用．DSR的全体压块压力可以各种对称或非对称分布模式给出，相应提供各种对称或非对称的板形调控功效．K?朩RS轧机的工作辊抽辊没有板形调控作用，其作用在于均匀化磨损． 另外，图中的板形调控功效是在一定的板宽、辊径、辊长和轧制力下计算所得．进一步研究可以发现： （1）板宽与辊长之比对调控功效有一定影响．随着比值的增大，各种板形控制技术的调控功效的大小增加，尤其4次成分增加更多． （2）各种板形控制技术的调控功效对轧辊直径变化的敏感程度不同．如工作辊弯辊对轧辊直径的变化较为敏感，而CVC则基本上与轧辊直径无关． （3）平均单位板宽轧制压力对某些板形控制技术的板形调控功效具有影响．对比可知，以力为调节量的板形控制技术的调控功效基本不受影响，而以辊形、抽辊为调节量的板形控制技术，其调控功效大小随轧制压力增大而增大．3 板形调控功效在控制系统中的作用 板形调控功效是板形自动控制系统中板形控制策略设计的前提和归宿，它在一定程度上决定了所采取的板形控制策略，以及控制效果评价函数形式和各板形控制技术设定值调节量的求解方法，是板形自动控制模型建立的基础．板形调控功效对板形自动控制模型的影响在现有3类闭环反馈控制模型中都显而易见[2]．3.1 基于模式识别类 对于板形调控功效函数较简单的板形控制技术，运用线性最小二乘法把实测板形信号分解为与各调控功效函数相对应的种模式：求得达极小值时的各值，直接用于确定种板形控制技术的设定值的调节量,一般有．3.2 基于最小二乘评价函数类 对于板形调控功效函数较复杂的板形技术，不进行模式识别，直接运用线性最小二乘原理建立离散的板形控制效果评价函数并求解各板形控制技术设定值的调节量： (6) 确定使达到极小值的,[S]p×1=[A]-1p×p[R]p×1 (7)式中，A—板形调控功效矩阵；R—板形实测值矩阵．3.3 基于板形参数评价函数类 首先，运用最小二乘法将板形实测值拟合为完全4次多项式：y(x)=λ+λ1x+λ2x2+λ3x3+λ4x4 (8)再转化为用于表达板形调控功效的板形参数同时将板形控制目标表示为以板形参数分别构造加权的对称及非对称的控制效果评价函数．运用登山探索法直接确定使达到极小值的各板形控制技术设定值的调节量． 以上3类模型分别为3种不同的控制策略及数学模型，用于控制不同的板形技术．4 板带轧机板形控制性能界定指标 板形控制的实质在于对承载辊缝形状的控制．各种板形控制技术的板形控制原理都是调控承载辊缝的形状．在轧制过程中，影响轧件板形（承载辊缝形状）的干扰因素主要是轧辊辊形变化（轧机方面的）和轧制力波动（轧件方面的）．板形控制性能优良的板带轧机，其承载辊缝形状应该同时具有足够大的可调控范围和对轧制力、轧辊辊形变动干扰的抵抗能力．因此提出以下板带轧机板形控制性能界定指标．4．1 辊缝形状调控域 辊缝形状调控域即轧机各项板形控制技术共同对辊缝形状的各个描述指标——凸度、楔形度、边部减薄量、局部突起量——的最大可调控范围．但一般可以将带钢宽度跨距内的辊缝曲线用离散数值表示，并通过多项式拟合得到曲线的2次凸度和4次凸度，并在坐标系中建立辊缝凸度最大可调控范围，称之为辊缝凸度调节域．4．2辊缝横向刚度 轧机一方面应具有承载辊缝形状的可调控柔性，另一方面则应具有当轧制力发生波动和存在干扰时辊缝形状保持相对稳定的能力即辊缝刚性．辊缝的刚性用辊缝横向刚度K界定：K=△q/△Cw （9）式中，—轧制压力q的变化量；—辊缝凸度对应于的变化量．4．3辊形自保持性（稳定性） 轧机的各轧辊在服役期内不断发生表面磨损，下机后可以测得磨损后的轧辊表面轮廓曲线，再与上机前的轧辊初始辊形曲线相减，就可得到轧辊在服役期内表面上的（中点或边部点的）相对磨损量分布曲线，称为轧辊磨损曲线或磨损辊形．定义辊形自保持性参数Rw：Rw=1.0-Wmax.K/Lw （10）其中，Wmax—宽度方向上最大相对磨损量；Lw—磨损曲线宽度；K—轧辊径长比． 如果轧辊表面磨损均匀，则轧辊具有最优的辊形自保持性即辊形稳定性，Rw=1.0．实际生产中，除表面局部剥落外，轧辊磨损曲线多为近似光滑曲线型（C型，高次或低次多项式）、“梯形（T型）”、“阶梯型（S型）”和“猫耳型（CE型）”． 轧辊表面不均匀磨损导致辊缝形状变动和某些板形控制技术的调控功效变化．辊缝调节域表明了辊缝的调节柔性，辊缝横向刚度表明了辊缝在轧制力变动时的稳定性．建立将二者结合组成的Cw-Cq-q坐标系，以轧制宽度B为参变量，可以得到描述轧机板形控制性能的三维图．如果轧辊自保持性良好，则这一板形控制性能的三维图在整个轧辊服役期内保持恒定． 辊缝的调节柔性和刚度特性以及轧辊的辊形自保持性是比较板带轧机的板形控制性能的主要依据． 板形调控功效是板形控制技术的特质，也是决定板带轧机板形控制特性的基本“元素”．因此，比较板带轧机的板形控制性能也可以说明板形控制技术的优劣．5 板形调控功效决定板带轧机性能 板带轧机板形控制技术的配置方案决定了轧机的机型，也决定了轧机的板形控制策略——“柔性辊缝”或“刚性辊缝”．如果轧机的标志性板形控制技术的调控思想是扩大辊缝形状调控域，则称之为柔性辊缝型；如果是提高辊缝横向刚度，则称之为刚性辊缝型． CVC轧机和PC轧机同属高柔度、低刚度辊缝，即柔性辊缝型；HC（UC）轧机属于低凸度、高刚度辊缝型，即刚性辊缝型；VCL（VCR）支持辊技术可提高辊缝刚度并使支持辊具有优良的辊形自保持性，也属于刚性辊缝型；DSR技术既可以实现柔性辊缝控制也可实现刚性辊缝控制．6 板带轧机综合性能比较 板带钢热轧和冷轧机的主要机型有常规四辊，CVC，HC（UC），PC，K?朩RS，VCL（VCR），DSR等．通过软件仿真和生产实践调研从8个方面对各种机型板带轧机的综合性能进行比较，见表1．表1 板带轧机综合性能比较Table 1 Comparison of overall performances in strip rolling mill项目 常规四辊 CVC HC(UC) PC K-WRS VCL(VCR) DSR 轧辊是否抽动 否 是 是 交叉 是 否 是 否 辊缝形状调控域 C A A A C B B A 辊缝横向刚度 C C A C C A A A 辊形自保持性 C C C C B A A B 轧件行进稳定性 B B B C B A A A 辊耗 A C C V B A A C 实现自由轧制 C C B C A C A C 结构及维护简易 A B B C B A B C 避免过大轴向力 A B B C B A A A 辊形及磨辊简易 A C B A A C C A 比较结果进一步说明目前的板带轧机各种机型都各有所长也各有所短，还没有一种机型具有绝对的优势． 尤其是各机型都有明显缺点：CVC辊形曲线易被磨损破坏，辊间接触压力分布呈S型使支持辊（和工作辊）磨损严重不均．HC（UC）轧机辊间接触压力呈三角形分布，使辊端出现较大的接触压力尖峰，从而导致辊面的剥落，增大辊耗和换辊次数．PC轧机机械结构复杂，工作辊轴向力大，交叉点与轧制宽度中心线重合难，轧件易跑偏．K?朩RS和CVC热轧机上下工作辊的不相等“磨损箱”必造成工作辊移位后的非对称辊缝，导致轧件楔形和单边浪的出现，甚至跑偏的发生；而PC轧机由于轧辊不移动可以避免此类问题．使用常规平辊的K-WRS轧机对板形控制无有贡献，但如采用具有特殊辊廓曲线的工作辊，则能兼有板形控制的功能．K-WRS轧机能使磨损分散化和平缓化，为热轧自由规程轧制提供条件，而CVC，HC（UC），PC技术都无此能力．7 结束语 比较研究进一步证明，目前的各项板形控制技术都同时具有优势和局限，处于发展中、尚未成熟．这一方面给板带轧机的选型和板形控制技术的配置制造了难度，另一方面也留下了针对板形控制技术的较大创新空间．正因此，近年来有关板形的研究始终都是前沿和热点，板形技术向系列化和一体化模式发展．系列化主要表现在连轧机组各机架板形控制技术的开发、兼顾板形的轧制道次设定，以及以轧机为重点同时开发热轧层流冷却、热轧精整、冷轧酸洗、冷轧平整与精整中的板形控制技术．一体化主要表现在热轧和冷轧机的机型配置、辊形设计、工艺制度和控制模型被整合为一体的板形综合控制技术．张清东（北京科技大学机械工程学院，北京 100083）黄纶伟（北京科技大学机械工程学院，北京 100083）周晓敏（北京科技大学机械工程学院，北京 100083）参考文献1，黄纶伟.DSR板形技术研究：[学位论文].北京：北京科技大学，1999.32，张清东.冷轧宽带钢板形检测与自动控制.钢铁，1999（10）： 69

一、研究思路地下水数值模型的构建旨在建立符合实际的数值模型。然而，几十年来的实践告诉我们，由于地下水流动系统很多因素的复杂性，不确定性，使得人们很难构建出反映实际客观的地下水数值模型，这种复杂性和不确定性程度随着研究对象不同而有所不同。对于盆地大区域地下水流问题主要特点是:区域面积大、地质水文地质资料控制程度低、开采量时空分布信息少、观测孔密度不均。就山西六大盆地而言，主要特点如下。1）具有相对独立的水文地质单元结构；2）山间盆地，沉积层分布不稳定，透镜体多，难以划分连续的含水层或隔水层和弱透水层；3）地下水开采量目前只能按水文地质单元或行政区域统计的年开采总量，以及水力部门统计的工农业生产和居民生活用水量。针对山西六大盆地下水系统特征及资料情况，结合地下水数值模型研究基本理论方法，采取下述思路构建六大盆地地下水数值模型。1）以各盆地结构模型研究成果为基础，根据岩性分布结合岩性参数特征，采用网格属性参数粗化理论方法，建立数值模型网格参数模型。2）由于六大盆地含水层分布不稳定，没有稳定分布的隔水层和弱透水层，地下水流表现出三维流；因此，采用三维不稳定流模型描述六大盆地地下水流动过程。3）由于各盆地属于山间盆地，盆地边界基本上由基岩山区控制。因此，以盆地孔隙水系统为地下水流动单元建立数值模型，孔隙水系统与边山系统的关系由以上章节研究结果确定。二、数值方法及模拟软件地下水数值模拟方法很多，如有限差分法、有限单元法等。实际上，利用有限单元法和有限差分法建立的模型没有太大的差别，对于稳定流问题，在网格剖分和插值方法相同时，两者可以统一起来。张宏仁还证明了对于平面二维稳定流问题而言，两种方法是完全等价的；对于平面二维非稳定流问题，用有限元法导出来的代数方程，实质上是有严重缺陷的差分方程，在一定条件下会给出反常的计算结果，如反常的水位值。也就是说，利用有限单元法建立的非稳定的地下水流模型，在时间步长Δt较小的情况下，某些单元可能出现质量不守恒，因此会引起个别点的水头反常。使储量矩阵对角线化虽可消除反常现象，但却又使有限元法与有限差分法完全等同起来，这表明，有限差分法比有限元法更实用。相比之下，有限差分法物理意义明确，容易理解，对于矩形单元法，其主要缺点是当对某些单元网格加密时，会增加许多额外不必要的计算单元；但如果利用基于三角形网格剖分的有限差分法，就具有有限单元法相同的优点。对于大区域地下水流动问题计算，采用矩形网格有限单元法，计算简便，也能满足精度要求。因此，我们采用有限差分法建立山西六大盆地地下水数值模型。根据任务书要求，山西六大盆地数值模型采用美国地质调查局的地下水三维渗流模拟软件GMS软件进行研究，该软件模块多，功能全，几乎可以用来模拟与地下水相关的所有水流和溶质运移问题。相比其他同类软件如ModIME、MODFLOW和Visual MODFLOW，GMS软件除模块更多之外，各模块的功能也更趋完善。GMS软件具有良好的可视化模拟前后处理模块，其中模拟计算程序是采用矩形网格有限差分法，能够较好地处理地下水系统中各种常见的水文地质现象，如大气降水补给、河流湖泊水库及灌溉渠系渗漏、农田灌溉回渗、地面蒸发排泄以及人工开采等源汇项。目前使用的GMS软件对多层含水层系统混合开采井或三维流系统中开采井以及混合观测孔水位等问题的处理与陈崇希教授提出的渗流-管流模型处理方法相比还有待进一步完善。不过，根据山西六大盆地水文地质勘察和地下水开采量及地下水水位动态观测资料精度，用GMS软件进行数值模拟研究是可以满足客观实际要求的。三、基本方法与步骤1）根据山西六大盆地钻孔资料研究各盆地第四系地下水系统岩性结构、利用沉积构造资料和地下水流场信息研究各盆地孔隙水与周边基岩岩溶裂隙水水力联系，确定边界性质；利用敏感性分析方法对盆地深度超过300m的孔隙水对上部孔隙水的补给量进行估算，确定人为确定的底边界条件及相应的误差。2）根据各地地形地貌和岩层构造资料，结合地下水统测和长观孔地下水动态资料，研究各盆地第四系地下水补、径、排特征，在系统研究区域内大气降水、河流湖泊水库等地表水体及渠系渗漏和灌溉回渗等对地下水系统的补给；以及地面蒸发排泄、人工开采地下水等资料的基础上，对各盆地进行地下水资源均衡计算，核实各盆地某些边界补给量。3）根据各盆地岩性、构造及地下水系统补、径、排特征，建立各盆地第四系地下水流动系统的概念模型。4）根据各盆地的水文地质概念模型及全国地下水资源评价技术规范有关要求，利用GMS软件建立各盆地第四系地下水流动数值模型。5）对地下水数值模型进行识别校正，在此基础上，对各盆地地下水开采现状及调整方案进行模拟预测和评价。

《混凝土结构有限元分析》系在十余年的教学基础上编写而成的，为清华大学研究生精品教材之一，本书的特点是理论性和实用性并重。全书共分10章，不仅系统、深入地介绍了钢筋混凝土结构有限元分析的基本理论和方法，同时还介绍了一些新的数值分析方法，此外本书还介绍了混凝土单元的建模技巧和分析方法。具体包括应力与应变分析、混凝土的破坏准则、混凝土材料的本构关系、钢筋混凝土有限元模型、混凝土的断裂与损伤、非线性方程的求解、杆系有限元模型等内容。本书既可作为高等院校土建类专业的研究生和高年级本科生的教材，也可作为广大土建科研人员、技术人员的参考图书。

一、地质灾害稳定性分析（一）数值法工程地质数值法，是采用弹塑性力学理论和数值计算方法，从研究岩土体应力和位移场的角度，分析评价岩土体在一定环境条件下的稳定性状态。近30多年来，数值法得到了迅速发展，并被广泛地应用于工程实践中，本文采用FLAC3D（Fast Lagrangian Analysis of Continua in 3 Dimensions）软件进行斜坡稳定性数值分析。FLAC3D软件是美国ITASCA咨询集团开发，主要用于模拟岩土体及其他材料组成的结构体，在达到屈服极限后的变形破坏行为。该软件将流体力学中跟踪流体运动的拉格朗日法成功地用于解决岩石力学问题，它除了能解决一般的岩土问题之外，还能进行如高温应变、流变、或动荷载、水岩耦合分析等复杂的问题。1.模型计算方法FLAC3D软件是利用有限差的方法模拟计算由岩土体及其他材料组成的结构体在达到屈服极限后的变形破坏行为，包括静力计算和有限差强度折减计算两种方式。这两种计算方式得到的结果并不完全相同，本次同时选择这两种计算方式，对本区黄土滑坡和不稳定斜坡做验算分析。静力计算的方法需要建立的模型以及所选参数必须使得模型计算的时候完全收敛，如果计算过程快速收敛，则认为模型是基本稳定的。但是，在做滑坡稳定性分析时候，由于影响滑坡稳定性的因素较多，比如坡高、坡度以及不同坡体的黄土体力学参数的不同，往往不能得到一个快速收敛的计算模型，因此通过静力计算的方式不能完全判断坡体的安全性。强度折减法是FLAC3D唯一的可以计算坡体安全系数的方法。因此，可以利用这一方法求出坡体的安全系数，然后结合静力计算的结果来判断坡体的稳定性。根据《滑坡防治工程勘察规范》（DZ/T 0218-2006），选择安全系数＜1.05判断为不稳定，安全系数1.05～1.15为较稳定，安全系数≥1.15为稳定，以此作为主要灾害点的稳定性判据。有限差强度折减系数法的基本原理，是将土体强度参数内聚力（C）以及内摩擦角（u03d5）值同时除以一个折减系数Ftrial，得到一组新的Ctrial和u03d5trial值。然后，作为新材料参数带入有限差进行试算。当计算正好收敛时，也即Ftrial再稍大一些（数量级一般为10～3），计算便不收敛，对应的Ftrial被称为坡体的最小安全系数，此时土体达到临界状态，发生剪切破坏。计算结果均指达到临界状态时的折减系数：Ctrial=C/Ftrialtanu03d5trial=tanu03d5/Ftrial2.模型类型及参数选择选择摩尔库仑模式作为材料模型，根据勘查和力学性质测试结果，并考虑到调查区灾害的发生与降雨关系密切，故选择饱水状态下的物理力学参数作为计算参数：体积模量：K=4.5MPa剪切模量：G=2.1MPa内聚力：C=3.4×104Pa内摩擦角：u03d5=21.4°3.黄土边坡分析（1）模型建立及网格剖分调查资料表明，30°～60°的黄土直线型斜坡发生变形破坏的可能性较大，考虑到建立模型的方便性，选择30°～70°之间的直线型边坡进行分析，同时建立一些阶梯状的边坡进行比较分析。按照郑颖仁教授的观点，在做边坡模型的强度折减法求边坡安全系数的同时，要求所建立的模型坡角到最左侧的距离为1.5倍坡高，而坡顶到最右侧的距离为2倍坡高，这样计算的安全系数结果最为准确。以坡高40m坡度45°的直线型边坡为例，建立模型并进行网格剖分。虽然调查区黄土为层状结构，不同时期黄土厚度和土力性质不尽相同，但勘查试验数据表明，其饱和抗剪强度差异不大。因此，假设黄土是均质的，整个模型的强度参数均一。定义模型右侧和底部为约束边界条件，坡面和坡顶为自动边界。（2）常规模型和简化模型的对比分析在调查区黄土边坡中，坡高的分布十分不均匀，从十数米，数十米到上百米不等，并且每种坡高都对应有不同的坡度。因此，分析黄土边坡稳定性时需要全面分析，研究不同坡高不同坡度情况下的各种边坡的安全稳定性。本次利用FLAC3D软件模拟了20～50m（每5m区分）坡高情况下30°～70°（每5°区分）所有坡体的稳定性情况。由于模型的不同网格数量以及节点数量不同，造成软件计算时间上由巨大的差异。郑颖仁教授所提出的常规模型在计算中有一定的道理，但也同样极大地增多了模型网格和节点数目，所以强度折减的计算时间非常长。因此，必须首先比较了一下常规模型和简化模型的计算结果。首先，用常规模型分析40m坡高30°～70°之间所有坡体的稳定性情况。利用强度折减系数法计算各种坡度情况下的安全系数，可利用静力平衡计算和强度折减计算，来得到一定坡高各种不同坡度边坡的稳定性分析（表3-16）。将常规模型计算的坡度与安全系数关系进行拟合，可以得到坡度与安全系数的影响关系曲线（图3-10）。图3-10 常规模型40m坡高不同坡度与安全系数的关系曲线图表3-16 常规模型40m坡高不同坡度边坡稳定性计算汇总表由于常规模型网格个数的节和点数较多，计算机处理的过程中数据量过分庞杂，计算速度慢，而黄土边坡的长宽高往往又比较大。这样我们如果利用郑颖仁教授的常规模型分析，效率不是很理想。因此，将边坡的模型网格进行简化处理，以这样的处理结果对比常规模型的计算结果。对比时仍然以 40m 坡高35°～70°为例分析，计算结果如表3-17，得简化模型的拟合曲线如图3-11。图3-11 简化模型40m坡高不同坡度与安全系数关系曲线图观察一下常规模型强度折减法求得的安全系数发现：而当坡体不稳定时，两种模型计算的安全系数相同；而当坡体稳定时，简化模型的安全系数计算结果要比简化模型的结果小一些，但是总体上坡体稳定性的结果影响不是很大。在实际工程应用中，我们为了安全考虑，完全可以考虑使用计算结果较小的简化模型进行分析计算。表3-17 简化模型40m坡高不同坡度边坡稳定性计算汇总（3）坡度与安全系数的关系利用简化模型，分别结合静力计算方法和强度折减系数方法，分析计算了20～50m坡高情况下的各种坡度边坡的稳定性；同时得到固定坡高的情况下，坡度和安全系数的拟合关系曲线。通过坡度与安全系数的拟合曲线可以看出，固定坡高时，当改变坡度，安全系数随着坡度的增加而减小，坡体逐渐不稳定。而安全系数随着坡度变化呈现对数关系变化，拟合程度较高。（4）土体强度参数的变化分析根据勘查和试验测试数据，区内黄土的内聚力C值以及内摩擦角u03d5值变化较大（如表3-18），因此有必要研究一下强度参数的变化趋势对于坡体安全系数的影响。表3-18 黄土物理力学指标统计表以20m坡高60°边坡为例，固定模型的内聚力：C=34kPa然后改变土体的内摩擦角，利用强度折减系数法分别计算不同内摩擦角情况下的安全系数情况，得到结果如表3-19所示。由计算结果可以看出，随着内摩擦角的增大，安全系数逐渐增大。内摩擦角越小，潜在滑动带越向外扩展，危险滑弧越开阔，而坡体的稳定性越差（图3-12）。表3-19 不同内摩擦角对安全系数的影响统计表仍然以20m坡高60°边坡为例，固定模型的内摩擦角：u03d5=21.3°然后改变土体的内聚力，利用强度折减系数法分别计算不同内聚力情况下的安全系数情况，得到结果如表3-20所示。计算结果显示，内聚力越大，安全系数越高。但是潜在滑动面越向外伸展，滑弧越开阔，但是稳定性越高，这一点和内摩擦角的影响恰好相反（图3-13）。表3-20 不同内聚力对安全系数的影响统计表图3-12 滑弧随内摩擦角的变化趋势图图3-13 滑弧随内聚力的变化趋势图（5）边坡剖面形态的影响研究区黄土边坡的剖面形态大致分为四类：直线型、阶梯型、凸型和凹型。调查结果发现凸型边坡和直线型边坡发生失稳变化的数目最多，可能性最大。因此有必要分析坡型的变化对于坡体稳定性的影响。在这里我们只对直线型和阶梯型边坡作对比分析。以40m坡高45°边坡为例，分别建立直线型和阶梯型边坡，利用静力平衡和强度折减方法计算其各自的安全系数，并对照最大不平衡力曲线和坡体内部剪切应变云图分析这两种坡体的稳定性。计算结果发现直线型边坡明显发生破坏，坡体内部剪切应变呈带状分布，而阶梯型边坡的安全系数增大，静力计算时在4460时步收敛，坡体稳定（图3-14，图3-15；表3-21）。图3-14 直线型边坡静力计算下的最大不平衡力曲线图图3-15 阶梯型边坡静力计算下的最大不平衡力曲线图表3-21 40m、45°直线型和阶梯型边坡对比分析表4.主要灾害点稳定性分析根据上述分析方法，对调查区的30个主要滑坡和不稳定斜坡点进行数值分析，求出坡体的安全系数，判断坡体的稳定性，分析结果列于表3-22。表3-22 主要灾害点稳定性数值分析结果表（二）极限平衡法1.计算方法与软件选择斜坡稳定性分析的方法较多，目前较成熟的主要有：瑞典条分法、毕肖普法、工程师团法、罗厄法、斯宾塞法、摩根斯顿法、简化法等，由于这些方法对土体进行了不同的假定，计算结果也各有差别。本次采用Geo-Slope软件对选择的30处滑坡和不稳定斜坡进行稳定计算。Geo-Slope软件是一个集极限平衡法和有限元法于一体的计算软件，分成斜坡稳定性分析（Slope/w）、渗流分析（Seep/w）、应力分析（Sigma/w）、地震状态分析（Quake/w）和温度变化分析（Temp/w）等。本次主要采用边坡稳定性分析（Slope/w）模块来分析黄土斜坡的安全系数，Slope/w可以采用力的极限和力矩极限平衡来计算稳定系数，其稳定分析原理主要是采用条分法原理。即通过滑面将滑动土块分成n个垂直条块，滑面可以是圆弧滑面和各种复合滑面，Slope/w综合了瑞典条分法、毕肖普法、斯宾塞法、摩根斯顿法、简化法等各种方法，Slope/w考虑了条块间的作用力，使计算结果更趋于合理。Slope/w通过手动给定可能的圆心变化范围，给定多个搜索步长，自动搜索最危险滑面。Slope/w可以通过在土层中给出可能的孔隙水位置来计算孔隙水存在状况下的稳定性，也可以计算局部加荷条件下的稳定性。现以毕肖普法为例，简单介绍极限平衡法的计算原理。毕肖普主要采用力的极限平衡来计算安全系数。以毕肖普法为例，说明极限平衡法的计算原理，其计算图示如图3-16所示。其上作用的荷载有Wi，Ui，Qi，待求的反力及内力有Ni，Si及ΔEi。根据剪切面上的极限平衡要求，可列出下式：延安宝塔区滑坡崩塌地质灾害图3-16 毕肖普法计算图示将所有的荷载及反力、内力均投影在x"轴上，可写出：延安宝塔区滑坡崩塌地质灾害上式可改为延安宝塔区滑坡崩塌地质灾害将所有的分条的ΔEi迭加，由于∑ΔEi=0，得延安宝塔区滑坡崩塌地质灾害可得延安宝塔区滑坡崩塌地质灾害上式的Ni未知，我们利用分条上竖向力的平衡条件得出延安宝塔区滑坡崩塌地质灾害解方程得：延安宝塔区滑坡崩塌地质灾害代入式整理得延安宝塔区滑坡崩塌地质灾害上式两端都有k，因此在计算k时需要进行试算，一般首先假定右侧：k=1。求出左端的k，再代入右端重新计算k值，直到假定的k值与计算出的k值非常接近为止。2.主要灾害点稳定性分析根据调查结果，调查区灾害的发生与降雨因素关系密切，故在参数选择上以饱水状态下的岩土体物理力学参数作为计算参数。根据《滑坡防治工程勘察规范》（DZ/T 0218-2006），选择安全系数＜1.05判断为不稳定，安全系数1.05～1.15为较稳定，安全系数≥1.15为稳定作为主要灾害点的稳定性判据。运用Geo-Slope 软件计算30个灾害点和不稳定斜坡的安全系数进行计算，计算结果如表3-23所示。表3-23 主要灾害点安全系数计算一览表续表下面以赵家岸滑坡为例来说明采用Slope/w进行稳定性分析的具体实施步骤：（1）剖面图引入：Slope/w可以直接从Autocad中引入斜坡剖面图，也可以直接给出比例尺画出斜坡的剖面图。为了计算剖面精确起见，根据实测剖面数据，直接输入数据点画出剖面图。（2）选择分析方法设置：Slope/w可以选择极限平衡方法和有限单元法来计算，极限平衡法中可以选择毕肖普法、斯宾塞法、摩根斯顿法、简化法等各种方法来计算安全系数，有限单元计算时要引入斜坡内部应力状态函数来计算。本次选择极限平衡法计算。（3）确定分块的数目和分块的容差。以确定分析计算的精确性，一般以软件默认的分块为30个，容差为0.01。（4）划分土层并赋予每个土层力学参数。Slope/w主要以不同岩土性质的分界线来区分各岩土性质，把不同岩性分成不同的土层区，并用不同的颜色以示区分。给土层分区后，再赋予各土层力学参数，力学参数根据延安部分地区勘查数据给出。（5）给定潜在圆弧滑面的圆心位置，给出圆心位置x和y方向上的增量步和圆弧半径范围和半径增量步，程序自动搜索潜在的最危险滑面，计算其安全系数。对赵家岸滑坡，搜索的最危险滑面如图3-17所示，从图上可以看出，赵家岸滑坡后壁最不稳定。图3-17 赵家岸滑坡最危险滑面图（三）类比法工程地质类比法，是把已有的滑坡或边坡的稳定性研究经验应用到条件相似的对象滑坡或边坡的稳定性判定中去。在进行类比时，不但要考虑滑坡或边坡结构特征的相似性，还应考虑促使滑坡或边坡演变的主导因素和发展阶段的相似性。影响滑坡或边坡稳定性的因素可分为地形地貌、地质特征（地层岩性、岩土体结构面特征、构造节理等）、降雨、人类工程活动（开挖、加载、蓄水等）。这些因素对滑坡或边坡的稳定性是相互作用、相互影响的。在这些因素的相互作用下，结合坡体变形特征，判别坡体的稳定性。1.地形地貌通过对调查区灾害点坡度与坡高统计认为，调查区滑坡多发生于25°以上、坡高大于30m的斜坡，且集中坡度在30°～50°、坡高在40～120m的坡体上。在调查的滑坡中，原始坡型为凸型坡的，占滑坡总数的36.52%；直线型坡占滑坡总数的52.56%；合计占滑坡总数的89.08%，即调查区滑坡发育坡体以凸型、直线型坡为主，安全隐患斜坡坡度在40°以上，且集中于坡度为60°～90°、坡高大于20m的地段内，在地貌上大多位于冲沟两侧或坡体前部的人工斩坡、开挖地段。2.地层岩性调查区地层岩性主要由更新世黄土、新近纪泥岩、侏罗纪和三叠纪砂、泥岩及互层组成。由于更新世黄土（主要是晚更新世黄土）的湿陷性崩解性，以及红粘土及泥岩的相对隔水和遇水软化、强度降低的性质，使其成为斜坡失稳、发生滑坡、崩塌灾害的易发地层。基岩是全区的基座地层，构成黄土-基岩接触面滑坡的滑床；在基岩出露较高、风化强烈地段或砂泥岩互层地段，是岩质斜坡失稳形成地质灾害的易发区。在黄土斜坡地带，人工开挖形成高陡边坡，成为地质灾害潜在隐患地段。3.岩土体结构面调查区岩土体结构面主要是黄土内部顺坡披覆的古土壤层、黄土与红粘土层界面、黄土与砂、泥岩层界面、滑坡所形成的滑塌节理面、滑面以及坡体内部发育的构造节理面、垂直节理面、裂隙等。由于渗透性的差异，在性质差异较大地层岩性界面上形成了隔水层，汇聚的雨水使得上覆黄土、泥岩软化、泥化，抗剪强度降低，形成软弱带，诱发滑坡的发生；而滑坡体内部发育的滑塌节理面、滑面是诱发滑坡复活或发生滑塌的主要因素。这些结构面的存在对坡体的稳定性有着潜在的威胁，一旦条件成熟，可能引起滑坡或诱发滑坡复活而造成灾害的发生。黄土内部发育的构造节理及垂直节理、裂隙等是黄土边坡失稳的一个重要因素。黄土边坡常常沿这些内部节理面发生破坏，比如居民窑洞发育构造节理，则常常沿构造节理面发生塌窑事故。高陡边坡地带，土体常沿垂直节理发育并形成卸荷裂隙、拉张裂缝，形成危岩、危坡。受构造作用，岩体内部发育共轭节理，岩体被切割为不同大小、不规则的岩块，受物理风化作用，发育风化裂隙，使得岩体更加破碎，在边坡尤其是高陡地段易发生崩坠现象，造成灾害。在砂泥岩互层高陡边坡地段，泥岩抗剪强度较低，与砂岩强度差异较大，再加之易受风蚀作用，致使上部砂岩悬空、鼓胀外倾，形成危岩体，易发生倾倒、拉裂、鼓胀等形式的崩塌灾害。4.人类工程活动人类工程活动是诱发地质灾害发生的直接因素。人类工程活动主要以不合理的斩坡、开挖及修建蓄水库为主。由于受地形地貌因素的制约，调查区居民为了居住、生活及经济建设等的需要，工程活动强烈，进行大量的开挖、斩坡等，造成坡脚应力集中并急剧增大，原有的应力平衡状态遭到破坏而失去平衡，诱发坡体失稳而发生塌方事故。比如尚合年村滑塌，麻塔崩塌等灾害，均是由于不合理的开挖，造成边坡过陡，引起坡脚应力过于集中，在其他因素的影响下发生的塌方事故，造成伤亡及财产损失。再如延安市卫校东侧沟内滑坡，是由于人为不合理的斩坡、开挖坡脚，导致滑坡发生，将石砌挡墙推倒，滑体涌至居民屋墙。目前，坡体坡度约45°，处于不稳定状态，对居民生命财产构成直接威胁。而人工修建蓄水库，引起地下水位抬升，导致坡体容重增加，破坏了原有的应力平衡状态，且地下水导致坡体内部软弱带软化、泥化，抗剪强度降低，易诱发滑坡的发生或老滑坡的复活。赵家岸滑坡由于坡后库岸蓄水，导致地下水位上升，村民地基严重渗水，且地下水位达到了老滑面上部，并有泉水出露，滑坡体稳定性很差，有复活的危险，危及赵家岸村民的生命财产安全。根据以上因素分析对比，结合坡体变形迹象及特征，对部分重大灾害点进行稳定性判别（表324，表3-25）。表3-24 主要滑坡灾害点稳定性分析续表表3-25 主要不稳定边坡点稳定性分析表（四）主要地质灾害稳定性综合评价前面已经用数值分析法、极限平衡法和工程地质类比法对主要灾害点的稳定性进行了分析，三种方法分析的侧重点不一样。数值法主要是采用弹塑性力学理论和数值计算方法，从研究岩土体的应力和位移场的角度，分析评价岩体在一定的环境条件下的稳定性状态；极限平衡法主要运用极限平衡理论来评价斜坡稳定性；而工程地质类比法则是把已有的滑坡或斜坡的稳定性研究经验应用到条件相似的滑坡或斜坡的稳定性判定中去。影响斜坡稳定性的因素比较复杂。因此，本节将综合这三种方法的计算结果，来综合判断主要地质灾害点所处坡体的稳定性。综合分析结果表明：30处滑坡和不稳定斜坡中，稳定的3处，占总数的10%；较稳定的7处，占总数的23.3%；不稳定的20处，占总数的66.7%（表3-26）。表3-26 地质灾害稳定性综合评判表二、地质灾害危害性评估（一）评估标准地质灾害的威胁对象包括人口和财产。人口可以直接用数量来表征；财产包括土地、牲畜、房屋、道路等。根据遥感解译和实际物价调查资料，建立主要经济价值评估标准（表3-27），按照威胁对象的危险程度和易损性，依据标准逐一累加计算。地质灾害灾情与危害程度分级标准按表3-28的规定评估。表3-27 承灾体经济价值评价标准表表3-28 地质灾害灾情与危害程度分级标准表1）灾情分级：即已发生的地质灾害灾度分级，采用“死亡人数”或“直接经济损失”栏指标评估；2）危害程度分级：即对可能发生的地质灾害危害程度的预测分级，采用“受威胁人数”或“直接经济损失”栏指标评估。（二）现状评估1.滑坡根据收集以往滑坡资料，以及本次实地调查结果，调查区近些年来有记载的、造成一定经济损失和人员伤亡的滑坡共有34处。在这34处滑坡灾害中，除1处较大级滑坡外，其余33处灾情均为一般级，总共造成5人死亡，以及102.6万元的财产损失。从已查明日期的滑坡来看，新滑坡灾害发生率为0.76处/年（表3-29）。表3-29 滑坡灾害灾情与危害程度评价表2.崩塌崩塌发生后，其遗迹不易保存，地质历史时期的崩塌一般多不存在，对其发生时间尚难以进一步查明。据有时间记载的崩塌调查资料，可对近年来崩塌发生的频率给出基本的数据。从20世纪60年代以来，共发生有记载的崩塌灾害16处，其中较大级崩塌2处，一般级崩塌14处，死亡12人，经济损失48万元（表3-30）。由于调查根据灾情分级，区地质环境条件差，人口密集，尽管年发生频率低，亦应引起人们的特别关注，每一处都有可能带来生命财产的损失。表3-30 崩塌灾害灾情与危害程度评价表（三）预测评估地质灾害危害性预测评估就是对可能危及居民生民财产安全、工程建设的地质灾害的危害性做出评估。本次评估分滑坡、崩塌以及不稳定斜坡三种类型，对其危害性进行预测评估。评估内容主要是受威胁人数以及由于财产损毁而可能造成的潜在经济损失。1.滑坡区内滑坡可分为古滑坡、老滑坡和新滑坡3类型，这些滑坡在自然和人为因素的双重诱发下，均存在复活的可能性。野外调查滑坡总共有293处，可分为活动滑坡和不活动滑坡。本节筛选出活动滑坡39处，占调查滑坡总数的13%，对其危害性进行预测评估。通过对这39处滑坡的危害性预测评估，危害性大的有8处，危害性中等的有25处，危害性小的有6处。总共有约2098人受到滑坡威胁，潜在经济损失约2863万元（表3-31）。表3-31 滑坡灾害危害性预测评估续表2.崩塌调查区地质灾害以黄土滑坡为主，崩塌居次；调查中所指的崩塌，有崩塌隐患和已发生崩塌两种，这里所指的是已发生崩塌的潜在危害性预测。根据实地调查和以往资料调查结果，区内所发生的52处崩塌灾害中有14处目前还处于不稳定状态，存在潜在危险，占调查崩塌总数的27%。崩塌发生的坡面，在以降水为主的风化作用下，也被改造，且极易生长植被，也不易发觉。既成崩塌少，并不意味着崩塌的危害性小。崩塌的形成条件在调查区普遍存在，黄土深厚，直立性好，垂直节理发育，延河及其支流两岸黄土陡壁悬崖比比皆是，大多窑洞都是选择很陡的坡面（＞65°）水平掘进，窑洞前平房和院子都置于高陡黄土悬崖崩塌的威胁下。这14处崩塌灾害中，危害性中等的有6处，危害性小的有8处，危害性大的暂无，这与崩塌灾害规模、影响范围较小有关。14处崩塌共威胁240人，潜在经济损失56万元（表3-32）。表3-32 崩塌灾害危害性预测评估3.不稳定斜坡不稳定斜坡是一种潜在地质灾害，既有基岩斜坡，也有黄土斜坡，以及黄土-基岩斜坡，在调查区广泛分布。坡下多有居民居住，或为企事业单位办公、生产基地，是全区生产建设和人民生活的主要场所，从而构成潜在危害。不稳定斜坡只是对斜坡的稳定性做出不稳定的基本判断，但对其不稳定的变化模式没有给出确定的结论。这是由于潜在的变化存在许多不确定的因素，尚不能对其未来变化做出准确的预测。在详细调查的51处不稳定斜坡中，有11处存在较大潜在威胁，占不稳定斜坡总数的22%。对其威胁人口和潜在经济损失进行估算统计表明，危害性较大的不稳定斜坡有3处，危害性中等的有8处，其他40处危害性较小（未列入）。总共威胁909人，潜在经济损失652万元（表3-33）。调查中只是有选择性地在不同地区选取了部分不稳定斜坡作为调查点，以反映不稳定斜坡的基本特征。实际上，未发生过崩滑灾害的不稳定黄土斜坡其危害性最难评估，对不稳定斜坡的预测评估工作有待于进一步的研究探索。表3-33 不稳定斜坡危害性预测评估续表