如何求数列极限？

重要极限有sinx/x当x趋向于无穷时的极限为1；（1+1/t）^t当t趋向于无穷时的极限为e，其他就是一些常数的极限是本身，1/n当n趋向于无穷时的极限为0。设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈（N，+∞）上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限。扩展资料：极限函数在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1，xN+2，...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

数列的极限的概念是若数列无限地趋向于某一实数，则该确定的实数称为此数列的极限。数列，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。著名的数列有斐波那契数列，卡特兰数，杨辉三角等。“等和数列”指在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。对一个数列，如果其任意的连续k项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列，它的性质是：必定是循环数列。等比数列在生活中也是常常运用的。极限内涵：“极限”是数学中的分支微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大或者变小的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”，“永远不能够等于A，但是取等于A，已经足够取得高精度计算结果的过程中。此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”，当然也可以用其他符号表示。极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的影响，趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值或极小值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

数列极限用通俗的语言来说就是：对于数列an，如果它的极限是a，那么，不管给出多小的正数ε，总能找到正整数N，只要数列的下标n>N，就能保证|an-a|<ε。比如对于这样一个数列an=n（当n《100时） 或an=1/n (当n>100时）这个数列的极限是0。当对于任意给定的正数比如1/3，数列下标在1~100时，|an|>ε=1/3，但只要n>N=100，后面的所有项都满足|an|<1/3从这个意义来说，数列有没有极限，前面的有限项（不管这有限项有多大）不起决定作用。

通俗地讲，广义的数列极限是指无限接近，但永远不可能达到。例如一个变量无限的靠近时，它只能无限的趋近于零，而不能真正的变成零。永远不能够等于零，也就是说永远的靠近，但永远变不成零。数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。数列极限的相关求解方法：①利用单调有界必收敛准则求数列极限。首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。②利用函数极限求数列极限。如果数列极限能看成某函数极限的特例，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。

数列极限定义如下：数列极限定义是：是数列极限的ε-N定义。设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，记作lim(n->∞)an=a, 或an->a(n->∞)，读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”. （若 {an}没有极限，则称{an}不收敛，或为发散数列）。设数列{an}={1,1,1,……}，即数列的所有项都是1. 直观地，很容易看出，这个数列的极限等于1。 对任意项an，任给正数ε，都有|an-1|=0<ε。也就是说，最极端的例子，数列的所有项减去1的差的绝对值，都小于任给的正数ε，那么这个数列就以1为极限。设数列{an}={1,2,1,1,1,……}，即，除了第二项，数列的其它项都等于1。也是非常直观地可以看出，这个数列的极限等于1。但这时就不是对任意项an，都有|an-1|=0<ε了。而是存在正整数N=2，使得n>N（如果取N=3，则使n≥N）时，就有|an-1|=0<ε了。因为|a2-1|=1，不能保证小于任给的正数ε。就算数列{an}={1亿,2,1,1,1,……}，或者{1,1,1,3,1,1,1,……}，{1,9,……,2,1,1,1,……}，它们的极限也都等于1。第一个数列实质没有任何改变，只要取N=2，就与前面的推导过程同理；第二个数列则只要取N=4就可以了；最后一个数列，虽然2前面有很多项，但终究是有限个的，假设包括2在内有100亿个项，那么就取N=100亿，而后面的项都是1，因此仍满足极限等于1的定义。现在再把第一个例子改写成数列{an}={a,a,a,……}，它的极限就是a。然后再把数列改成{a,a+1,a,a,a,……}或{100a,a+2,a,a,a,……}或{2a,3a,a,a+1,a,a,a,……}或{a+1,……,a+8,a,a,a,……}. 它们的极限也都等于a，其推导过程，和前面仍是一模一样的。定义证明：显然，根据定义，我们先要任给一个正数ε，并且确定一个N，使得当n>N时，就有|1/n-0|<ε. 那么0就是{1/n}的极限。从上面的那些简单例子，您应该能得到一个启发，解决这个问题的关键，就是找到N的位置。然而现在并没有非常具体的数列，那该怎么办呢？事实上，|1/n-0|=1/n. 要使1/n<ε，只要我们能够构造一个关于N的函数f(N)，使得1/n<f(N)≤ε，就可以解决了。接下来就是考查观察和思考能力的时候了。因为n>N，所以1/n<1/N。因此，只要构造f(N)=1/N≤ε，即N≥1/ε，就能反推出最后的结论。组织问题和解题过程如下：证明：lim(n->∞)(1/n)=0。证：任给正数ε，要使|1/n-0|=1/n<ε=1/(1/ε).(或1/n≤ε，但通常只取<ε)。只要取N≥1/ε，就有，当n>N时，|1/n-0|<ε。得证！

在n趋于无穷大的时候，(1+1/n)^n就趋于一个无理数，而且这个数在初等数学中是没有出现的，就将其定义为e，而e约等于2.71828，是一个无限不循环小数，为超越数。lim n→0，(1 + 1/n)^n。=e^lim n→0，nln(1+1/n)。=e^lim n→0,1/n*ln(1+1/n)。=(洛)e^lim n→0,1/1+1/n。=e^0。=1。数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当|x-xo|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。

1、按照本题问环境来看，应该讨论的是数列极限2、数列极限有以下特征，变量x按正常情况下视为常数，n视为自变量。3、数列极限中n为正整数，∞一般是指代+∞4、答案如下图所示拓展资料数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。

数列极限的定义如下：设{an}为数列，a为定数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N（或n≥N），有|an -a|<ε（或|an-a|≤ε），则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，即当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a。广义的数列极限是指无限接近，但永远不可能达到。例如一个变量无限的靠近时，它只能无限的趋近于零，而不能真正的变成零。永远不能够等于零，也就是说永远的靠近，但永远变不成零。极限是微积分当中的基础概念。极限当中的变量是连续的，可变的。在做题时，首先要观察这个数列是递增，递减还是摆动数列。在看题目当中的未知数无限增大或无限减小时，是否可以无限接近于某个数。只有符合这种条件才能称之为数列。数列有递增，递减和摆动三种情况。就是指数列的无限增大，无限减小或者前后摆动。数列会无限增大，同时也有可能无限减小，但无论发生哪种情况，它都只可能是无限趋近于某一个数，不可能真正的等于这个数。

设{Xn}为实数列，a为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn}收敛于a，定数a称为数列{Xn}的极限，并记作数列极限表达式，或Xn→a（n→∞）读作“当n趋于无穷大时，{Xn}的极限等于或趋于a”．若数列{Xn}没有极限，则称{Xn}不收敛，或称{Xn}为发散数列．该定义常称为数列极限的ε—N定义．

这波必顶你，高数理解挺到位的。

数列极限的定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。证明：对任意的c >0，解不等式| 1/ Vn|=1/ Vn<ε得n>1/ ε2，取N=[1/ ε2]+1。于是，对任意的ε >0， 总存在自然数取N=[1/ ε2]+1。当n>N时，有| 1/n| <ε故1im(n->∞)(1/ J n)=0。数列极限存在的条件：单调有界定理在实数系中，有界的单调有界数列必有极限。致密性定理任何有界数列必有收敛的子列。数列极限的应用：设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a.若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a.适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。

第一个重要极限第二个重要极限扩展资料：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。如果一个数列"收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

常见的几个数列极限具体如下：1、极限分为一般极限，还有个数列极限(区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种)。2、解决极限的方法如下1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。部熟记。(x趋近无穷的时候还原成无穷小)2)洛达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)首先他的使用有严格的使用前提。须是X趋近而不是N趋近。(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)须是0比0，无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛达法则分为三种情况1)0比0无穷比无穷时候直接用。2)0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了。3)0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0)。3、泰勒公式(含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e^x展开,sinx展开,cos展开,ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助。4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则大项除分子分母!看上去复杂处理很简单。5、无穷小与有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！

如何求数列极限如下：设 {Xn} 为实数数列，a 为定数.若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限。读作"当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a"。若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列。该定义常称为数列极限的 ε-N定义。对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。定理1:如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。定理2:如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2……)，总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。任意性：不等式|Xn-a|<ε刻划了Xn与a的无限接近程度，ε愈小，表示接近得愈好;而正数ε可以任意地小，说明Xn与a可以接近到任何程度。然而，尽管ε有其任意性，但一经给出正整数N，ε就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出ε，又ε既是任意小的正数。那么ε/2,ε的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中不等式|Xn-a|<ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等来代替。同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定ε小于一个确定的正数。另外，定义1中的|Xn-a|<ε也可改写成|Xn-a|≦ε。折叠相应性：一般说，N随ε的变小而变大，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的;但这并不意味着N是由ε所唯一确定的，因为对给定的 。比如当N=100时，能使得当n>N时有|xn-a|<ε，则N=101或更大时此不等式自然也成立.这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小.另外，定义1中的，n>N也可改写成n≧N。

1.认识数列极限的定义及性质。即最终数列发展到第无限项的时候，数列的数值是归于一个固定数的。2.了解证明数列极限的基本方法。主要是通过数列的子数列进行证明。3.学习例题，看题干解问题。主要看数列的定义和相关关于数列的题设4.利用定义来证明数列的极限。注意！只能利用定义来进行求取和证明，不可通过性质。5.检查解答过程，发现解题过程中的问题进行修改。保证问题解决！数列极限定义设{Xn}为实数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn}收敛于a，定数a称为数列{Xn}的极限，并或Xn→a(n→∞)读作"当n趋于无穷大时，{Xn}的极限等于或趋于a".若数列{Xn}没有极限，则称{Xn}不收敛，或称{Xn}为发散数列.该定义常称为数列极限的ε-N定义.对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。定理1:如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。定理2:如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2……)，总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。

数列求极限的方法总结如下：由定义求极限。极限的本质一既是无限的过程,又有确定的结果一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论,另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值,因此由定义法求极限就有一定的局限性,不适合比较复杂的题。利用函数的连续性求极限。此方法简单易行，但不适合于f(x)在其定义区间内是不连续的函数,及f(x)在x处无定义的情况。利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限。极限四则运算法则的条件是充分而非必要的,因此,利用极限四则运算法则求函数极限时,必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。满足条件者,方能利用极限四则运算法则进行求之,不满足条件者,不能直接利用极限四则运算法则求之。但是,并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限,而是需将函数进行恒等变形,使其符合条件后,再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时,通常运用一些简单技巧如折项,分子分母同乘某一因子,变量替换,分子分母有理化等等。利用两边夹定理求极限。定理如果 XsZsY,而lim=limy=,则limZ=A。两边夹定理运用的关键：适当选取两边的函数（或数列),并且使其极限为同一值。注意：在运用两边夹定理要保证所求函数（或数列）通过放缩后所得的两边的函数（或数列）的极限是同一值否则不能用此方法求极限。利用单调有界原理求极限。单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题:一个是数列的单调性,第二个是数列的有界性。求极限时,在等式的两边同时取极限,通过解方程求出合理的极限值，利用单调有界原理求极限有两个难点:一是证明数列的单调性,二是证明数列的有界性,在证明数列的单调性和数列的有界性时,我们通常都采用数学归纳法。利用等价无穷小代换求极限。在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合,不失为一种行之有效的方法,但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时,只能代换分子、分母中的乘积因子,而不能代换其中的加减法因子。于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上,在利用等价无穷小代换的方法求极限时,必须把分子(或分母)看作一个整体,用整个分子(或分母)的等价无穷小去代换。利用泰勒展式求极限.运用等价无穷小代换方法求某些极限,往往可以减少计算量,使问题得以简化,但一般说来,这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限,而对两个无穷小量非乘或非除的极限,对于一些未能定函数极限形态的关系式,不能用必达法则及等价无穷小代换方法,须用泰公式去求极限。

数列极限的求法：1、如果代入后，得到一个具体的数字，就是极限。2、如果代入后，得到的是无穷大，答案就是极限不存在。3、如果代入后，无法确定是具体数或是无穷大，就是不定式类型。4、计算极限，就是计算趋势tendency。存在条件：单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。致密性定理，任何有界数列必有收敛的子列。计算方法，参考下面图片：由定义求极限。极限的本质一既是无限的过程,又有确定的结果一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论,另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值,因此由定义法求极限就有一定的局限性,不适合比较复杂的题。

数列极限做题的核心是ε和N的关系，看个例题：设有数列 1、1/2、1/3...1/n，当n趋于无穷大时，数列趋于零，注意n只能取正整数；任取一个正数ε，令ε=0.5，要使|1/n-0|＜0.5成立，那么只要N≥2。例如当N=2，n只要取大于2的数，例如3、4、5...时不等式成立；同样，令ε=0.1，要使|1/n-0|＜0.1成立，那么只要N≥10。例如当N=10，n只要取大于10的数，例如11、12、13...时不等式成立；ε还可以取其它任意小的数，要多小有多小，由以上得出ε≥1/N，例如ε=0.1，N≥10时ε≥1/N成立，N要多大有多大，ε和N的关系就确定了；因此数列的极限定义：对于任意的ε＞0，存在N属于正整数，使得当n＞N时，总有|xn-a|＜ε，则称a为数列{xn}的极限

1.概念法：存在一个正数ε，当n>n时，|an-m|<ε恒成立2.定理法：(1)单调且有界数列必存在极限；(2)夹逼准则；(3)数学归纳法（有可能和（1）、（2）结合使用）3.函数法：将数列的通项公式构成成函数，利用对函数求极限来判定数列的极限，要和夹逼准则或者概念法一起使用1,证明数列{xn=罚法窜盒诃谷撮贪郸楷(n-1)/(n+1)}极限存在并求出其极限证明：∵1-1/(1+1/n)=1-n/(n+1)<1-2/(n+1)=xn<(n-1)/n=1-1/n即：1-1/(1+1/n)<xn<(n-1)/n=1-1/n已知：当n无穷大时：lim1/n=0∴lim[1-1/(1+1/n)]=1lim[1-1/n]=1根据夹逼准侧：xn极限存在，且limxn=12.略，方法同1

求数列极限的步骤：认识数列极限的定义及性质，了解证明数列极限的基本方法，学习例题，看题干解问题，利用定义来证明数列的极限，检查解答过程。 求数列极限的步骤 1.认识数列极限的定义及性质。即最终数列发展到第无限项的时候，数列的数值是归于一个固定数的。 2.了解证明数列极限的基本方法。主要是通过数列的子数列进行证明。 3.学习例题，看题干解问题。主要看数列的定义和相关关于数列的题设 4.利用定义来证明数列的极限。注意！只能利用定义来进行求取和证明，不可通过性质。 5.检查解答过程，发现解题过程中的问题进行修改。保证问题解决！ 数列极限定义 设{Xn}为实数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn}收敛于a，定数a称为数列{Xn}的极限，并或Xn→a(n→∞) 读作"当n趋于无穷大时，{Xn}的极限等于或趋于a". 若数列{Xn}没有极限，则称{Xn}不收敛，或称{Xn}为发散数列. 该定义常称为数列极限的ε-N定义. 对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。 定理1:如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。 定理2:如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2……)，总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。

1.概念法：存在一个正数ε,当n>N时,|an-M| < ε恒成立2.定理法：(1)单调且有界数列必存在极限；(2)夹逼准则；(3)数学归纳法（有可能和（1）、（2）结合使用）3.函数法：将数列的通项公式构成成函数,利用对函数求极限来判定数列的极限,要和夹逼准则或者概念法一起使用1,证明数列{xn=(n-1)/(n+1)}极限存在并求出其极限证明：∵1 -1/(1+1/n) = 1- n/(n+1)< 1-2/(n+1) = xn < (n-1)/n = 1-1/n即：1 -1/(1+1/n) < xn < (n-1)/n = 1-1/n已知：当n无穷大时：lim 1/n =0∴lim[1 -1/(1+1/n)]=1lim[1-1/n]=1根据夹逼准侧：xn极限存在,且limxn=1

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（1）通项公式法：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示。有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一；有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。an=a1+(n-1)d其中，n=1时 a1=S1；n≥2时 an=Sn-Sn-1。an=kn+b(k,b为常数) 推导过程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b。（2）递推公式法：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。扩展资料性质：（1）任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d，它可以看作等差数列广义的通项公式。（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an-k+1，k∈N*。（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq。（4）对任意的k∈N*，有Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，?，Snk-S(n-1)k?成等差数列。

一、二者联系函数的极限和数列的极限都是高等数学的基础概念之一。函数极限的性质和数列极限的性质都包含唯一性。二、二者区别1、取值：数列的N取值是正整数，一般函数的X取值是连续的。函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。2、性质：函数极限的性质是局部有界性，而数列极限为有界性。3、因变量趋近方式：数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近；而函数没有跳跃趋近。4、数列具有离散性。而函数有连续型的，也有离散型的。扩展资料：数列极限和函数极限的性质1、常用的数列极限的性质：数列极限具有唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性。2、常用的函数极限的性质：函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等。参考资料来源：百度百科-函数极限百度百科-数列极限

这种情况，不是叫做两个极限，而是叫做没有极限。你的例子其实就是类似于奇数项的极限是a，偶数项的极限是b，不妨设a＞b（设a＜b也行，反正两个不相等），你感觉这就是两个极限的证明。但是根据极限的定义，如果一个数列an有极限k，那么对于任意正数l，总能找到一个正整数N，当n＞N的时候，总有|an-k|＜l成立。这才是an的极限是k那么根据这个定义，对于a来说，如果我们取的正数是（a-b）/2，那么无论你取多大的正整数N，当n＞N的时候，其偶数项趋近于b，所以偶数项和a的差|a（2n）-a|＜（a-b）/2不可能恒成立，a不是这个数列的极限。同理，对于b来说，如果我们取的正数是（a-b）/2，那么无论你取多大的正整数N，当n＞N的时候，其奇数项趋近于a，所以解析式和b的差|a（2n+1）-b|＜（a-b）/2不可能恒成立，b不是这个数列的极限。所以这样的数列其实是没有极限，而不是两个极限。这就为什么极限是唯一的缘故。即使从图上看，数列也既不是趋近于a（偶数项不趋近于a），也不是趋近于b（奇数项不趋近于b），所以没有极限。

|1/n^k-0|=1/n^k对任意ε>0，要1/n^k<ε，只要取N=[(1/ε)^(1/k)]+1>0，当n>N，就有|1/n^k-0|<ε因此，根据定义：lim 1/n^k=0例如：|往证：对于任意小e>0；总存在正整数N>0；使得只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e证明：对于任意小e>0，令(n^2+1)/(n^2-1)-1<e；化简得n>√(2/e-1);这里取N=[√(2/e-1)]+1;则有只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e总成立。即(n^2+1)/(n^2-1)关于n趋向无穷大的极限为1。证毕。扩展资料：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。参考资料来源：百度百科-无穷大

简单分析一下即可，详情如图所示

一、两者之间的联系虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。在极限论中海涅定理处于重要地位。有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。二、两者之间的区别1、从研究的对象看区别：数列极限是函数极限的一种特殊情况，数列是离散型函数。 而函数极限研究的对象主要是具有（哪怕局部具有）连续性的函数。2、取值方面的区别：数列中的下标n仅取正整数，而对函数而言其自变量x取值为实数。函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。3、从因变量趋近方式看区别：数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近。而函数没有跳跃趋近，函数极限的几种趋近形式：x趋于正无穷大；x趋于负无穷大；x趋于无穷大；x 左趋近于x0；x右趋近于x0 ; x趋近于x0，并且是连续增大。而函数极限只是n趋于正无穷大一种，而且是离散的增大。扩展资料：函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。问题的关键在于找到符合定义要求的，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。参考资料来源：百度百科-数列极限参考资料来源：百度百科-函数极限

证明：(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)，对于任意的n都成立则取对数有nln(1+1/n)<1<(n+1)ln(1+1/n)，1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n令an=(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)，下面证明数列{an}是单调递减，且有下界的数列a(n+1)-an=1/(n+1)-ln(n+1)+lnn=1/(n+1)-ln((n+1)/n=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0故an是单调递减数列又an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn>ln(1+1/1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+……+ln(1+1/n)-lnn=ln2+ln3/2+ln4/3+……+ln[(n+1)/n]-lnn=ln(2*3/2*4/3*……*(n+1)/n)-lnn=ln(n+1)-lnn>0综上所述：数列{an}是单调递减，且有下界的数列，由单调有界定理知，数列{an}的极限存在。扩展资料：单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

看不懂

一个数列的极限可以有无穷个当n趋向于不同的数时数列就可能会有不同的极限

1、数列极限定义中的ε是个任意小的正数【解答】 对。只有可以任意的小，才能说明无限地接近，也就是极限的存在。2、数列极限中的N有无穷多个,但只要找到一个就够了【解答】 对。只要n比N大，不等式就成立，有无数个比N大的数，都可以作为N。3、一个数列如果有极限，那么极限是唯一的【解答】 对。即使是波动的，也不算是极限，而只能说是有界的。4、与|an-A|<ε等价的是an属于（A-ε,A+ε）【解答】 对。这是不等式的基本性质。5、数列极限为A，说明（A-ε,A+ε）内存在有无穷多项，（A-ε,A+ε）外存在无穷多项【解答】 错。（A-ε,A+ε）内存在有无穷多项，（A-ε,A+ε）外存在有限多项。

数列要有极限，则一定有界 的逆否命题是 数列没有界则他没有极限 ，这句话成立，那么原来那句也成立

注意格式!待续

重要极限有sinx/x当x趋向于无穷时的极限为1；（1+1/t）^t当t趋向于无穷时的极限为e，其他就是一些常数的极限是本身，1/n当n趋向于无穷时的极限为0。设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈（N，+∞）上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限。扩展资料：极限函数在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1，xN+2，...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

巧了，我也是文科生，我也不懂，哈哈

？

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。极限是无限迫近的意思。数列{Xn}的极限的极限是a，代表数列xn无限迫近a。从直观上理解，就是数列Xn能无限的靠近a。

在n趋于无穷大的时候，(1+1/n)^n就趋于一个无理数，而且这个数在初等数学中是没有出现的，就将其定义为e，而e约等于2.71828，是一个无限不循环小数，为超越数。lim n→0，(1 + 1/n)^n。=e^lim n→0，nln(1+1/n)。=e^lim n→0,1/n*ln(1+1/n)。=(洛)e^lim n→0,1/1+1/n。=e^0。=1。数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当|x-xo|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。

　　数列求极限的方法有那些？极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。极限分为一般极限，还有个数列极限，下面是为大家总结的数列求极限的方法总结。 　　1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。 　　2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x），没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的.幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。 　　3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。 　　4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母！！！看上去复杂，处理很简单！ 　　5、无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！ 　　6、夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 　　7、等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）。 　　8、各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。 　　9、求左右极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。 　　10、两个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限） 　　11、还有个方法，非常方便的方法，就是当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！x的x次方快于x！快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。 　　12、换元法是一种技巧，不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。 　　13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。 　　14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。 　　15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性！ 　　16、直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减某个值）加减f（x）的形式，看见了要特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义！ 　　函数是表皮，函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质： 　　1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样（奇函数相加为0）； 　　2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致； 　　3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系； 　　4、还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）:o再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的）间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点；第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点（这也说明极限即使不存在也有可能是有界的）。 　　扩展资料： 　　数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。

数列的极限的三大性质：1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，-1，1，-1，……，(-1)n+1 ，……3、保号性：若 （或<0），则对任何 m∈（0，a） （a<0时则是 m∈（a，0） ），存在N>0，使n>N时有xn＞m （相应的xn＜m ）。

求极限的常用方法： 1.函数的连续性 2.等价无穷小代换 3.“单调有界的数列必有极限”定理 4.有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量 5.两个重要极限（sinx/x=1,e） 6.级数的收敛性求数列极限 7.罗必塔法则 8.定积分的定义 打字不易,如满意,望采纳.

　　一：定义法； 　　二：单调有界法； 　　三：运用两边夹法； 　　四：先求和再求极限法； 　　五：先用放缩法再求极限； 　　六：用施笃兹公式法。 　　1、如果代入后，得到一个具体的数字，就是极限； 　　2、如果代入后，得到的是无穷大，答案就是极限不存在； 　　3、如果代入后，无法确定是具体数或是无穷大，则是不定式类型。

　　“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。 　　极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。 　　极限是无限迫近的意思。 　　数列{Xn}的极限的极限是a，代表数列xn无限迫近a。 　　从直观上理解，就是数列Xn能无限的靠近a。

数列极限的求法：1、如果代入后，得到一个具体的数字，就是极限。2、如果代入后，得到的是无穷大，答案就是极限不存在。3、如果代入后，无法确定是具体数或是无穷大，就是不定式类型，4、计算极限，就是计算趋势 tendency。存在条件：单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。致密性定理，任何有界数列必有收敛的子列。计算方法，参考下面图片：拓展资料数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。极限：解题思路：参考资料：百度百科-数列极限

求数列极限的方式如下：1.认识数列极限的定义及性质。即最终数列发展到第无限项的时候，数列的数值是归于一个固定数的。2.了解证明数列极限的基本方法。主要是通过数列的子数列进行证明。3.学习例题，看题干解问题。主要看数列的定义和相关关于数列的题设4.利用定义来证明数列的极限。注意！只能利用定义来进行求取和证明，不可通过性质。5.检查解答过程，发现解题过程中的问题进行修改。保证问题解决！数列极限定义设｛Xn}为实数列，a为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣＜ε则称数列｛Xn}收敛于a，定数a称为数列｛Xn}的极限，并或Xn→a(n→∞）。读作＂当n趋于无穷大时，｛Xn}的极限等于或趋于a"。若数列｛Xn}没有极限，则称｛Xn}不收敛，或称｛Xn}为发散数列。该定义常称为数列极限的ε－N定义。对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。定理1:如果数列｛Xn}收敛，则其极限是唯一的。定理2:如果数列｛Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2……），总可以找到一个正数M，使｜Xn|≤M。

数列极限的求法：1、如果代入后，得到一个具体的数字，就是极限。2、如果代入后，得到的是无穷大，答案就是极限不存在。3、如果代入后，无法确定是具体数或是无穷大，就是不定式类型。4、计算极限，就是计算趋势tendency。存在条件：单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。致密性定理，任何有界数列必有收敛的子列。计算方法，参考下面图片：由定义求极限。极限的本质一既是无限的过程,又有确定的结果一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论,另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值,因此由定义法求极限就有一定的局限性,不适合比较复杂的题。

[n-1] / [n+1] =[n+1- 2] / [n+1] = 1- 2/ [n+1]当n趋于无穷时，尾项 “2/ [n+1]“极限为0，所以数列的极限为 1 - 0 =1

第一个重要极限第二个重要极限扩展资料：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。如果一个数列"收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

概念法：存在一个正数ε，当n>N时，|an-M| < ε恒成立 。定理法：单调且有界数列必存在极限；夹逼准则；数学归纳法。函数法：将数列的通项公式构成成函数，利用对函数求极限来判定数列的极限，要和夹逼准则或者概念法一起使用 。极限的具体定义如下：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。性质唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；有界性：如果一个数列{Xn}收敛（有极限），那么这个数列{Xn}一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，-1，1，-1，??（-1）^n+1，??和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{Xn}，{Yn}都收敛，那么数列{Xn+Yn}也收敛，而且它的极限等于{Xn}的极限和{Yn}的极限的和。