怎样对含有参数的一元二次方程进行因式分解

概念简介定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法互逆。同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤。分解公式折叠平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²折叠完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²　　(a-b)²=a²-2ab+b²折叠十字相乘法公式x²+ax+bx+ab=(x+a)(x+b)折叠立方和立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³折叠其他平方公式a²+b²=（a+b）²-2ab或=(a-b)²+2aba³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ac)a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）。它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

关于怎么分解因式，步骤如下：如果多项式的首项为负，应先提取负号；如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。因式分解原则：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；结果的多项式首项一般为正。在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；括号内的首项系数一般为正。如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如（b+c)a要写成a(b+c);考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1,括号里面分到“底”。

=(3x-2y+2x-3y)(3x-2y-2x+3y)=(5x-5y)(x+y)=5(x-y)(x+y)

因式分解是数学中常用的计算方法，那么怎么进行因式分解呢？今天小编就来跟大家讲讲，希望对大家有所帮助。1.提公因式法，如果一个多项式的各项都含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式2.比如分解因式x3-2x2-x=x（x2-2x-1）。3.应用公式法，由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式。4.比如分解因式a2+4ab+4b2，可得到结果为（a+2b）2。

你好，可以利用提公因式法，再看看能不能用公式法因式分解，主要是用平方差公式和完全平方公式。

因式分解，也叫分解因式，是把多项式，变成一个个式子相乘的形式；如果需要示意图，就看看汉字“目”、“月”和“朋”、“用”，“月”和“目”就是长为3，宽分别是a、b的两个长方形，写成3a+3b像“朋”就是一个两项式，如果“月”和“目”拼成一个“用”，就是3(a+b)的一个长方形，把3a+3b两项相加的式子变成3(a+b)乘积的式子就是因式分解。分解因式最简单的方法，就是提公因式，不过要注意，公因式不仅是系数、字母，还会是一个式子，例如(a+b)(3m+2n)+(2m+3n)(a+b)，公因式是(a+b)=(a+b)(3m+2n+2m+3n)=(a+b)(5m+5n)这样再提系数5=5(a+b)(m+n)公式法，就是平方差、完全平方、立方和、立方差的公式倒过来用a"-b"=(a-b)(a+b)a"+2ab+b"=(a+b)"a"-2ab+b"=(a-b)"a""+b""=(a+b)(a"-ab+b")a""-b""=(a-b)(a"+ab+b")分组分解法，十字相乘法，公式就是x"+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)两个方法最好结合起来用，二次三项式，先把一次项一分为二，接下来把四个项，分开两组提公因式，做起来就轻松多了；Q关键是一次项怎样一分为二，就由常数项的正负来决定，先看看完全平方式，把2ab拆开两个ab做起来也觉得更加可靠。例如x"+10x+25=x"+5x+5x+25=x(x+5)+5(x+5)=(x+5)"这样也看到，完全平方式的b"必然是正数x"-10x+25=x"-5x-5x+25=x(x-5)-5(x-5)=(x-5)"Q如果常数项是正数，一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；x"+10x+24=x"+4x+6x+24=x(x+4)+6(x+4)=(x+4)(x+6)常数项24不变，一次项±10x就都是拆开4x与6x，还有x"-10x+24=x"-4x-6x+24=x(x-4)-6(x-4)=(x-4)(x-6)Q中间一次项不变，常数项的绝对值也不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式x"-10x-24=x"-12x+2x-24=x(x-12)+2(x-12)=(x+2)(x-12)常数项-24不变，一次项±10x就都是拆开2x与12x，还有x"+10x-24=x"+12x-2x-24=x(x+12)-2(x+12)=(x-2)(x+12)Q如果常数项是负数，一次项系数就是分开两个项的相差数；看到了吧，一次项和常数项，绝对值都是10x和24，分解因式却有4种结果，会不会看得晕头转向呢？怎么办？只要这样一步一步地写出来，就肯定不会出错了。x"±5x±6x"±10x±24x"±15x±54x"±20x±96x"±25x±150都是这样有4种结果，使用这个分解因式的方法，你自己也试一试吧。只要熟悉这个方法，就连二次项系数不是1也同样方便，例如4x"-31x-45对着31，我们恐怕不知道怎样分开两项可是看到-45，我们都会想到4X9=36，5X9=45，那么=4x"-36x+5x-45=4x(x-9)+5(x-9)=(x-9)(4x+5)或者=4x"+5x-36x-45=x(4x+5)-9(4x+5)=(x-9)(4x+5)

可以这样做假如一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 分解因式x -2x -x解为x -2x -x=x(x -2x-1) 。把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。基本结论：分解因式为整式乘法的逆过程。高级结论：在高等代数上，因式分解有一些重要结论，在初等代数层面上证明很困难，但是理解很容易。

因式分解，也叫分解因式，是把多项式，变成一个个式子相乘的形式;如果需要示意图，就看看汉字“目”、“月”和“朋”、“用”，“月”和“目”就是长为3，宽分别是a、b的两个长方形，写成3a+3b像“朋”就是一个两项式，如果“月”和“目”拼成一个“用”，就是3(a+b)的一个长方形，把3a+3b两项相加的式子变成3(a+b)乘积的式子就是因式分解。分解因式最简单的方法，就是提公因式，不过要注意，公因式不仅是系数、字母，还会是一个式子，例如(a+b)(3m+2n)+(2m+3n)(a+b)，公因式是(a+b)=(a+b)(3m+2n+2m+3n)=(a+b)(5m+5n)这样再提系数5=5(a+b)(m+n)公式法，就是平方差、完全平方、立方和、立方差的公式倒过来用a"-b"=(a-b)(a+b)a"+2ab+b"=(a+b)"a"-2ab+b"=(a-b)"a""+b""=(a+b)(a"-ab+b")a""-b""=(a-b)(a"+ab+b")分组分解法，十字相乘法，公式就是x"+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)两个方法最好结合起来用，二次三项式，先把一次项一分为二，接下来把四个项，分开两组提公因式，做起来就轻松多了;Q关键是一次项怎样一分为二，就由常数项的正负来决定，先看看完全平方式，把2ab拆开两个ab做起来也觉得更加可靠。例如x"+10x+25=x"+5x+5x+25=x(x+5)+5(x+5)=(x+5)"这样也看到，完全平方式的b"必然是正数x"-10x+25=x"-5x-5x+25=x(x-5)-5(x-5)=(x-5)"Q如果常数项是正数，一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项;x"+10x+24=x"+4x+6x+24=x(x+4)+6(x+4)=(x+4)(x+6)常数项24不变，一次项±10x就都是拆开4x与6x，还有x"-10x+24=x"-4x-6x+24=x(x-4)-6(x-4)=(x-4)(x-6)Q中间一次项不变，常数项的绝对值也不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式x"-10x-24=x"-12x+2x-24=x(x-12)+2(x-12)=(x+2)(x-12)常数项-24不变，一次项±10x就都是拆开2x与12x，还有x"+10x-24=x"+12x-2x-24=x(x+12)-2(x+12)=(x-2)(x+12)Q如果常数项是负数，一次项系数就是分开两个项的相差数;看到了吧，一次项和常数项，绝对值都是10x和24，分解因式却有4种结果，会不会看得晕头转向呢?怎么办?只要这样一步一步地写出来，就肯定不会出错了。x"±5x±6x"±10x±24x"±15x±54x"±20x±96x"±25x±150都是这样有4种结果，使用这个分解因式的方法，你自己也试一试吧。只要熟悉这个方法，就连二次项系数不是1也同样方便，例如4x"-31x-45对着31，我们恐怕不知道怎样分开两项可是看到-45，我们都会想到4X9=36，5X9=45，那么=4x"-36x+5x-45=4x(x-9)+5(x-9)=(x-9)(4x+5)或者=4x"+5x-36x-45=x(4x+5)-9(4x+5)=(x-9)(4x+5)

作出每个数的乘法即是因式分解

学习因式分解关键是理解因式分解与多项式乘法是互逆的关系，重点学习的四种因式分解方法会灵活运用。。最方便的方法就是先提取公因式，然后一步一步转化

负4x的3次方加8x的2次方减16x

左边看成是完全平方公式，即a-b是一个整体t那么左边=t^2-2bt+b^2=(t-b)^2=(a-b-b)^2=(a-2b)^2它不等于右边嘛

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。提公因法，如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。分组分解法，要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)。

首先看有没有公因式，有就提出来；再看能不能用乘法公式，能用就用公式；如果是多项。可以考虑分组来分解。只要最后变为连乘的形式就好了。

因式分解 ：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 3、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 3、 分组分解法 4、要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 6、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 7、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 8、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

如图

因式分解：a的平方-4=（a+2）（a-2）分解因式：（a+2）（a-2）=a的平方-4方法：提取公因式：1找多项式每项的公因式 2提公因式注意问题：1每个括号多不能提 2每个括号的第一项不能提数 3数字的最大约数不一定为1 4（x-y）^2n=（y-x）^2n （x-y）^2n+1=-（y-x）^2n+1 -a+b=-（a-b） 分解后答案不能有多重括号，每个括号都要化简 6数字和单个字母要写在最前面 7能变相同的要写相同因式 8求代数的值：先因式分解在求值方法：公式法：1平方差公式 2完全平方公式平方差公式：：a的平方-4=（a+2）（a-2）（a+2）（a-2）=a的平方-4注意：分解的结果不能为根号，如：x的平方-7y的平方完全平方公式：首的平方加减2*首*尾+尾的平方特点：1必须是三项式 2有两个“项”的平方（有两个“项”的符号相同） 3有这两“项”的2倍或-2倍方法：分组分解法如果整式是4项，分组方法有 2 2分1 3分（必须是完全平方）例：xa+bx+ya+by解：2 2分xa+bx+ya+by=（xa+bx）+（ya+by）=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）解：1 3分xa+bx+ya+by=（xa+ya）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）5项：分组分解是2 3分6项：分组分解是2 2 2分3 2 1分3 3分方法：十字相乘法定义：1常数项是正数是，它分解成两个同号的因数，它们与一次项系数符号相同 2常数项是负数是，它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次系数符号相同例：x的平方+7x+10 （归纳一）1 2 =（x+2）（x+5）1 52+5=7例：x的平方+3x-4 （归纳二）1 4 =（x+4）（x-1）1 -14+（-1）=3Ax的平方+Bx+C=（A1x+C1）（A2x+C2）（ABC是常数）A1*A2=A C1*C2=C A1 C1 A2 C2 -------------- A2C1+A1C2=B因式分解的应用：解决方法：1化简 2因式分解 3配方看完了好评我哦~~

� 配方法：是解一元二次方程的通法，是公式法的基础，没有配方法就没有公式法． 公式法：是解一元二次方程的通法，较配方法简单，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法：是最简单的解一元二次方程的方法，但只适用于左边易分解而右边是零的一元二次方程． 直接开平方法与因式分解法都蕴含着由高次向低次转化的思想方法． 一元二次方程是通过直接开平方法及因式分解法将方程进行转化，达到降次的目的．这种转化的思想方法是将高次方程低次化经常采取的．是解高次方程中的重要的思想方法． 在一元二次方程的解法中，平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，利用配方法可推导出一元二次方程的求根公式．配方法和公式法都是解一元二次方程的通法．后者较前者简单．但没有配方法就没有公式法．公式法是解一元二次方程最常用的方法．因式分解的方法是独立的一种方法．它和前三种方法没有任何联系，但蕴含的基本思想和直接开平方法一样，即由高次向低次转化的一种基本思想方法．方程的左边易分解，而右边为零的题目，均用因式分解法较简单．

因式分解主要有四种方法：（1）提取公因式法。（2）运用公式法。（3）十字相乘法。（4）添项拆项分组法。其中（1）（2）种方法是比较简单的。※（1）方法只要有一双慧眼，能发现几个单项式中的公因式即可。※（2）方法主要就是要背出几个公式，并灵活运用。如：平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）。完全平方公式：（a+b）²=a²+b²+2ab或a²+b²-2ab=（a-b）²。更高深的还有立方差公式：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）。立方和公式：a³+b³=（a-b）（a²-ab+b²）完全立方公式：（a+b）³=a³+3ab²+3a²b+b³或（a-b）³=a³-3a²b+3ab²-b³※（3）十字相乘法主要是对二次三项式的理解，相信你们的中考时不必要求的所以在这里也不必多说了，但还是给你举一个例子（如：x²-x+6=（x-3）（x+2）），但这种方法在高中时特别有用，熟能生巧，多做题就可以熟练了！※（4）添项拆项分组法是这四个方法中最难的一个，你得学会通过运用前（1）（2）（3）方法来把某一或某几个单项式拆开来构成公式和十字相乘法的条件，另外有时也需要添项来构成条件，因式分解是国际难题，尤其会在这种情况下出现，但这种情况中考也不太考，你如果现在还是初中的话可以在课外多做了解，为高中做准备！说了这么多了，也把因式分解跟你好好说了一下，望你在因式分解乃至数学方面都能学都够好，最后金榜题名

提公因式法，如果一个多项式的各项都含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式2.比如分解因式x3-2x2-x=x（x2-2x-1）。3.应用公式法，由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式。4.比如分解因式a2+4ab+4b2，可得到结果为（a+2b）2。

提公因式法：xx+5x=0→x(x+5)=0公式法：[比如你用完全平方公式aa+2ab+bb=(a+b)(a+b)]2xx+4xx+2=0→2(xx+2xx+1)=0→2(x+1)(x+1)=0十字相乘：xx+2x-3=xx+(3-1)x+(-1)*3=(x+3)(x-1)分组分解法：xx+yy+13-6x-4y=xx-6x+yy-4y+9+4=(xx-6x+9)+(yy-4y+4)=(x-3)(x-3)+(y-2)(y-2)望采纳！

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

一、运用公式法 　　我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： 　　a^2-b^2=(a+b)(a-b) 　　a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 　　a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 　　如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 　　二、平方差公式 　　1、式子： a^2-b^2=(a+b)(a-b) 　　2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。　　三、完全平方公式 　　1、把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来， 　　就可以得到：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 和 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这两个公式叫完全平方公式。 　　这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。 　　把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。 　　2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项; 　　②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同; 　　③有一项是这两个数的积的两倍。 　　3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 　　4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 　　5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 　　四、分组分解法 　　我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。 　　如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。 　　原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n) 　　做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)×(a+b). 　　这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 　　五、提公因式法 　　1、在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式. 　　2、运用公式x^2 +(p+q)x+pq=(x+q)×(x+p)进行因式分解要注意： 　　(1)必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数。 　　(2)将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤： 　　① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况; 　　②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数。 　　3、将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式。

1.提取公因式这个是最基本的.就是有公因式就提出来,这个大家都会,就不多说了2.完全平方a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2看到式字内有两个数平方就要注意下了,找找有没有两数积的两倍,有的话就按上面的公式进行.3.平方差公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)这个要熟记,因为在配完全平方时有可能会拆添项,如果前面是完全平方,后面又减一个数的话,就可以用平方差公式再进行分解.4.十字相乘x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)这个很实用,但用起来不容易.在无法用以上的方法进行分解时,可以用下十字相乘法.例子:x^2+5x+6首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.一次项系数为1.所以可以写成1*1常数项为6.可以写成1*6,2*3,-1*-6,-2*-3(小数不提倡)然后这样排列1 - 21 - 3(后面一列的位置可以调换,只要这两个数的乘积为常数项即可)然后对角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘积相加.2+3=5,与一次项系数相同(有可能不相等,此时应另做尝试),所以可一写为(x+2)(x+3) (此时横着来就行了)我再写几个式子,楼主再自己琢磨下吧.x^2-x-2=(x-2)(x+1)2x^2+5x-12=(2x-3)(x+4)其实最重要的是自己去运用,以上方法其实可以联合起来一起用,实践永远比别人教要好. 顺便告诉你.若一个式子的b^2-4ac小于0的话,这个式子是无论如何也不能分解了(在实数范围内,b为一次项系数,a为二次项系数,c为常数项)这些方法一般在最高次为二次时适用!

最重要的其实是观察 只要观察里好 因式分解就好 还要掌握多种方法 我就不多说了 最好多做点习题

提取公因式：当多项式的每个项都有相同的因子时，可以提取它 例：10x+25x^2=5x(2+5x)用公式：当多项式满足某个乘法公式时使用 例：a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2十字相乘：常用于一元二次三项式中是(ax+b)(cx+d)=acx^2+(bc+ad)x+bd的逆推，也是解一元二次方程的方法 例：2x^2+7x+4=(2x+1)(x+3)分组分解：顾名思义，分成多组分解 例：x^2-y^2+2-1=x^2-(y-1)^2=(x+y-1)(x-y+1)双十字：以ax^2+by^2+cx+dy+exy+f的形式给出，列十字相乘时有x、y、常数。高次公式：在分解次数较高的多项式中使用三元平方：(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca 和的立方：(a+b)^3=a^3+2a^2b+2ab^2+b^3 差的立方：(a-b)^3=a^3-2a^2b+2ab^2-b^3 立方和：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 立方差：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 一些因式分解应用题中可能用到： a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]/2 a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)大多数因式分解都要综合上述几种方法

作为整式变形主要内容的因式分解是解决多项式问题的重要手段.那么如何才能学好因式分解这部分内容呢？笔者以为应注意掌握以下几个问题：　　一、正确理解因式分解的意义　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.　　由此，我们理解因式分解的这一定义应注意以下几点：一是分解因式的结果是几个整式积的形式；二是分解因式的过程是多项式的恒等变形，即等式左边为多项式，右边是几个整式积的形式；三是等式的右边每个因式必须为整式且每个因式的次数都低于原来的多项式的次数；四是分解因式必须分解到右边的每个因式不能再分解为止.　　二、知道因式分解与整式乘法的区别与联系　　分解因式与整式乘法是两个互逆变形过程.整式乘法是把几个整式相乘化成一个多项式，结果是单项式的和；而因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式，结果是乘积的形式.　　三、掌握提取公因式法分解因式的基本方法　　提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法.提公因式法的理论依据是乘法的分配律，其实质是乘法的分配律的"逆用".公因式的定义：多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式的公因式.　　确定公因式的方法：确定一个多项式的公因式时，需对数字系数和字母分别进行考虑.即①对于系数：如果各项系数都是整数时，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；②对于字母：取各项相同的字母；③对于字母指数：取各相同字母的指数取其次数最低的.

(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果。

提公因式法：ax+bx+cx=x(a+b+c)平方差公式:a＾2-b＾2=(a+b)(a-b)完全平方公式:a＾2+2ab+b＾2=(a+b)＾2十字相乘法:x＾2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)xaxb------------ax+bx=(a+b)x这些初二、初三都要学的。

多做题

找系数的最大公因数，用乘法分配率，因式分解

(2a+3b)²-(2a-b)²=[(2a+3b)+(2a-b)][(2a+3b)-(2a-b)]=(4a+2b)(4b)=8b(2a+b)

把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。原则：1.结果最后只留下小括号2.结果的多项式首项为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子。3.括号内的首项系数不能为负；4.如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如a（a+b）。方法分类方法一. 提公因式法方法二. 公式法方法三.待定系数法方法四.十字相乘法

学习因式分解必须有多项式乘法的基础，而且，对于多项式乘法只是会还不能满足学习因式分解的要求，一定要对多项式乘法运算非常熟悉。只有乘法的基础牢固，才能或者说才有可能学好因式分解。 　　 　　此外，要牢记常用的五个乘法公式，并灵活掌握。这样，对于它们的逆运算，才能够较好地接受和学习，因此建议同学们在学习因式分解之前，把多项式的乘法特别是乘法公式做一下系统复习。根据因式分解与多项式乘法关系，我们往往利用多项式乘法来检验因式分解的正确性。 　　 　　其次，在学习因式分解的过程中，有四种基本分解因式的方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。对于这些方法，有些同学一说就明白，一做却又不会。原因就在于他们的练习量不够，只有量变才有质变，因此学好数学有一种重要方法──必须辅以一定的练习。 　　 　　拿到一道因式分解，在方法的选取上一般是：1.先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式；2.再看能否使用公式法；3.对于二次三项式的多项式，在不能使用公式法时要考虑十字相乘法；4.对于四项或四项以上的多项式，要考虑分组分解法；5.若以上方法均感到困难，可考虑用配方法、换元法、拆项法、添项法和待定系数法等多种分解因式的方法。 　　 　　第三，因式分解的结果应是几个“整式”的积。如果结果是乘积的形式，但括号内并不是整式，也不能说是完成了因式分解。我们还应注意，因式分解必须进行到每一个因式都不能分解为止，也就是我们所俗称的因式分解必须“彻底”。当我们在分解因式时发现有二次或二次以上的因式时应注意分解的结果能不能再分解，如果能分解，应该继续分解下去。当然，因式分解是否“彻底”，与指定的范围有关，在本章只要求在有理数范围内分解因式，到以后学了数的开方后，有些式子在实数范围内还可以分解。 　　 　　最后，因式分解不仅是数学的一种基本方法，它也是下一章学习分式的基础，因式分解不过关，分式就不可能学好。

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等。[编辑本段]基本方法　　⑴提公因式法　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。　　注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫因式分解　　⑵公式法　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。　　平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；　　完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)； 　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；　　完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．　　其余公式请参看上边的图片。　　例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2

一提（提公因式）二套（公式）三叉（十字）四组（分组分解） 按这过程来 分完后要看括号内还能不能分

1.提取公因式这个是最基本的.就是有公因式就提出来,这个大家都会,就不多说了2.完全平方a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2看到式字内有两个数平方就要注意下了,找找有没有两数积的两倍,有的话就按上面的公式进行.3.平方差公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)这个要熟记,因为在配完全平方时有可能会拆添项,如果前面是完全平方,后面又减一个数的话,就可以用平方差公式再进行分解.4.十字相乘x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)这个很实用,但用起来不容易.在无法用以上的方法进行分解时,可以用下十字相乘法.例子:x^2+5x+6首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.一次项系数为1.所以可以写成1*1常数项为6.可以写成1*6,2*3,-1*-6,-2*-3(小数不提倡)然后这样排列1 - 21 - 3(后面一列的位置可以调换,只要这两个数的乘积为常数项即可)然后对角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘积相加.2+3=5,与一次项系数相同(有可能不相等,此时应另做尝试),所以可一写为(x+2)(x+3) (此时横着来就行了)我再写几个式子,楼主再自己琢磨下吧.x^2-x-2=(x-2)(x+1)2x^2+5x-12=(2x-3)(x+4)其实最重要的是自己去运用,以上方法其实可以联合起来一起用,实践永远比别人教要好. 顺便告诉你.若一个式子的b^2-4ac小于0的话,这个式子是无论如何也不能分解了(在实数范围内,b为一次项系数,a为二次项系数,c为常数项)这些方法一般在最高次为二次时适用!

全部展开，把立方项消掉

提取公因式、用公式、十字相乘、分组分解

提公因式法，如果一个多项式的各项都含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。应用公式法，由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式。

形如ax2+bx+c=0得一元二次方程，因式分解为（x-m）*（x-n）=0 (要求m+n=b/a,m*n=c/a),则x=m或x=n举例：2x2-3x-1=0(x-1/2)(x-1)=0, (满足1/2+1=3/2,1/2*1=1/2)所以x=1/2或x=1

x²+6xy+9y²-9a²+6a-1=(x²+6xy+9y²)-(9a²-6a+1)=(x+3y)²-(3a-1)²=[(x+3y)+(3a-1)][(x+3y)-(3a-1)]=(x+3y+3a-1)(x+3y-3a+1)

是要学校基础的 还是要竞赛里面应用的。如果是竞赛的话可以随便来一道，如1.如果x^2+3y与3x+y^2都是完全平方数，那么满足x、y的所有整数值为

第一题的题目是不是有问题？中间的-20P+6P应该先合并吧。

熟记

学熟主元法，配方法，待定系数法，十字相乘法等

因式分解法解一元二次方程步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。因式分解法解一元二次方程的步骤能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式。因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

题？？