barriers / 阅读 / 详情

因式分解都有那些方法

2023-05-20 01:17:49
共4条回复
LuckySXyd

考点聚焦】 <br>1.能说出因式分解的意义,并了解因式分解与整式乘法的区别和联系. <br>2.了解因式分解的一般步骤. <br>3.掌握提公因式法(字母的指数是数字)、运用公式法(直接用公式不超过两次)、分组分解法(分组后能直接提公因式或运用公式,无需拆项或添项)这三种分解因式的基本方法,会用这些方法分解不超过四项的多项式. <br> <br>【典型例题剖析】 <br>例1(浙江省绍兴市2002年中考试题)分解因式5x-5x3=_______. <br>解:5x-5x3=5x(1-x2)=5x(1-x)(1+x). <br>答案:5x(1-x)(1+x) <br>说明:一个多项式中每项都含有的公共的因式,是这个多项式的公因式,提公因式法是因式分解的基本方法之一,务必熟练掌握. <br>例2(福建省福州市2002年中考试题)分解因式a3-a=_______. <br>解:a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1) <br>答案:a(a-1)(a+1) <br>说明:实施一步分解因式以后,如果还含有能分解的因式,要继续分解,直至每一个因式都不能再分解为止. <br>例3(浙江省丽水市2002年中考试题)分解因式4x2-y2=_______. <br>解:4x2-y2=(2x)2-y2=(2x-y)(2x+y) <br>答案:(2x-y)(2x+y) <br>说明:运用公式法分解因式时,要把握所用公式的特点及各项的系数. <br>例4(山东省济南市2001年中考试题)分解因式:(x+y)2-(x+y)-2=_________. <br>解:(x+y)2-(x+y)-2=(x+y-2)(x+y+1). <br>答案:(x+y-2)(x+y+1) <br>说明:把(x+y)作为一个整体进行分解,要比先展开后再分解简洁,这也是分解因式中的常用的方法. <br>例5(宣武区2001年中考试题) <br>把多项式2xy-x2-y2+1分解因式的结果是(  ) <br>A.(x-y+1)(y-x+1) B.(x+y-1)(y-x+1) <br>C.(x+y-1)(x-y+1) D.(x-y+1)(x-y-1) <br>剖析:2xy-x2-y2+1=1-(x2+y2-2xy)=1-(x-y)2=〔1-(x-y)〕〔1+(x-y)〕 <br>=(1-x+y)(1+x-y)=(x-y+1)(y-x+1). <br>答案:A <br>说明:本题是分组后,运用公式分解因式.在运用公式时,要注意把握公式的特征.特别要注意符号的变化,这方面仍是出错率较高的地方. <br> guoyingkr 2009-12-11 22:02:21 第一类换元法,也称为凑微分法,顾名思义,就是把f[g(x)]g"(x)dx转化为f[g(x)d(g(x))的形式,所以用好这一方法的关键就是把给定的积分里的被积分式写成f[g(x)]g"(x)dx。要求对基本初等函数的导数,基本初等函数与其导数的关系很清楚(比如有些函数求导后,函数的形式不变,像露幂函数,指数函数)。除此,多项式的因式分解,三角函数恒等式等等都会用到。

学习的方法就是多做题,多看典型的例题,并做好总结。

第二类换元法,模式是把f(x)dx经过代换x=g(t)转化为f[g(t)]g"(t)dt,求出原函数后再回代x=g(t)的反函数t=h(x)。常用的代换是根式代换,三角代换,倒代换。适用于含有简单的根式,根式下是一次函数,如1/(√x+1)的积分,就可以考虑把√x代换;或被积函数里有√(a^2±x^2),√(x^2-a^2);还有些题目可以适用到代换,把1/x代换一下,如1/(x√(1+x^2))的积分。

熟能生巧!! 定理1 设具有原函数,可导,则有换元公式

.

此公式称为第一类换元公式(凑微分法)

说明:使用此公式的关键在于将

化为.

观察重点不同,所得结论不同.

例1 求.

解 被积函数中,是一个复合函数:,常数因子恰好是中间变量的导数.因此,作变换,便有

==,

再以代人,即得

.

例2 求.

解 被积函数.这里缺少这样一个因子,但由于是是常数,故可改变系数凑出这个因子:

,

从而令,便有

=

=.

一般地,对于积分,总可以变换,把它化为

==

例3 求.

解 被积函数中的一个因子为;剩下的因子恰好是中间变量的导数,于是有

=.

例4 求.

解 设,则,即,因此,

=

=.

例5 求.

解 =.

因为,所以设,那么,即,因此

==-

=.

类似地可得.

在对变量代换比较熟悉以后,就不一定要写出中间变量.

例6 求.

解 =.

在上例中,我们实际上已经用了变量代换,并在求出积分之后,代回了原积分变量,只是没有把这些步骤写出来而已.

例7 求.

解 =.

凑微分运用时的难点在于题中哪一部分凑成,这需要解题经验,如果记熟下列一些微分公式,解题中则会给我们一些启示:

;

例8 求.

解 由于

,

所以

=

=

=

=.

求.

解 ==.

求.

解 由于,因此,

=.

下面再举一些积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数,在计算这种积分的过程中,往往要用到一些三角恒等式.

求.

解 =

=.

求.

解 ==

=

=.

求.

解 =

=.

类似地可得 .

求.

解 =

=

因为

,

所以上述不定积分又可表为:

=.

求.

解 =

=.

.

解 =

=

=.

求.

解 利用三角学中的积化和差公式

得 ,

于是 =.

2,第二类换元法

定理2 设是单调的,可导的函数,并且.又设具有原函数,则有换元公式

=(第二类积分换元公式)

其中是的反函数.

证 设的原函数为,记,利用复合函数及反函数的求导法则,得到

,

即是的原函数.所以有

=

这就证明了公式.

下面举例说明换元公式的应用.

解 求这个积分的困难在于有根式,但我们可以利用三角公式

来化去根式.

设,那么=,,于是根式化成了三角式,所求积分化为

.

利用例14的结果得

由于,所以

,

,

于是所求积分为

.

解 和上例类似,可以利用三角公式

来化去根式.

设,那末,,于是

利用例17的结果得

为了要把及换成的函数,可以根据作辅助三角形(图4-3),便有

且,因此,

,

其中.

解 和以上两例类似,可以利用公式

来化去根式.注意到被积函数的定义域是和两个区间,我们在两

个区间内分别求不定积分

当时,设,那末

,

于是

为了把及换成的函数,我们根据作辅助三角形(图4—4),得到

因此,

其中.

当时,令,那么.由上段结果,有

=,

其中.

把在及内的结果合起来,可写作

.

从上面的三个例子可以看出:如果被积函数含有,可以作代换化去根式;如果被积函数含有,可以作代换化去根式;如果被积函数含有,可以作代换化去根式.但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换,不要拘泥于上述的变量代换(如例4,例8).

下面我们通过例子来介绍一种也很有用的代换——倒代换,利用它常可消去在被积函数的分母中的变量因子.

解 设 那末,于是

=,

当时,有

=

=

当时,有相同的结果.

基本积分表(2):

⒄ ,

⒅ ,

⒆ ,

⒇ ,

(21) ,

(22) ,

(23) ,

(24) .

求.

解 =,

利用公式⒇,便得

=.

求.

解 =,

利用公式(23),便得

=.

求.

解 =,

利用公式(22),便得

=.

二,分部积分法

问题:

解决思路: 利用两个函数乘积的求导法则.

设函数及具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为

,

移项,得 .

对这个等式两边求不定积分,得

. (1)

公式(1)称为分部积分公式.如果求有困难,而求比较容易时,分部积分公式就可以发挥作用了.

为简便起见,也可把公式(1)写成下面的形式

. (2)

现在通过例子说明如何运用这个重要公式.

解 这个积分用换元积分法不易求得结果.现在试用分部积分法来求它.但是怎样选取和呢 如果设,那么,代人分部积分公式(2),得

=,

而容易积出,所以

=.

求这个积分时,如果设,那么

于是 =

上式右端的积分比原积分更不容易求出.

由此可见,如果和选取不当,就求不出结果,所以应用分部积分法时,恰当选取和是一个关键.选取和一般要考虑下面两点:

(1) 要容易求得;

(2) 要比容易积出.

求.

解 设,那末,于是

=.

求.

解 设,那末,于是

=.

这里比容易积出,因为被积函数中的幂次前者比后者降低了一次.由例26可知,对再使用一次分部积分法就可以了.于是

==

=.

总结:如果被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数为.这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次.这里假定幂指数是正整数.

求.

解 设,那末,利用分部积分公式得

=.

求.

解 设,那末,于是

=

=

=

=.

求.

解 设,那末,于是

=

=

=

=.

总结:如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设对数函数或反三角函数为.

下面几个例子中所用的方法也是比较典型的.

求.

解 设,那末,于是

=.

等式右端的积分与等式左端的积分是同一类型的.对右端的积分再用一次分部积分法:设,那末,于是

=.

由于上式右端的第三项就是所求的积分,把它移到等号左端去,再两端同除以2,便得

=.

因上式右端已不包含积分项,所以必须加上任意常数C.

求.

解 设,那末,于是

=

=

=

=.

由于上式右端的第三项就是所求的积分,把它移到等号左端去,再两端各除以2,便得

=

在分部积分法运用比较熟练以后,就不必再写出哪一部分选作u,哪一部分

选作dv.只要把被积表达式凑成的形式,便可使用分部积分公式.

解 令,则.于是

=

利用例2的结果,并用代回,便得所求积分:

==.

三,简单有理函数的积分

有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数:

其中m和n都是非负整数;及都是实数,并

且.

假定在分子多顷式与分母多项式之间是没有公因式的.

(1)当有理函数(1)的分子多项式的次数n小于其分母多项式的次数m,即n < m时,

称这有理函数是真分式;

(2)当n≥m时,称这有理函数是假分式.

利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式和一个真分式之

和的形式.

例如, .

难点 将有理函数化为部分分式之和.

多项式的积分容易求得,而要计算真分式的积分需要用到真分式的下列性质:

如果多项式在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积,

(其中),那么真分式可以分解成如下部分分式

之和:

+

+

+

其中等都是常数.

有理函数化为部分分式之和的一般规律:

1) 分母中如果有因式,那末分解后有下列k个部分分式之和:

其中A1,A2,…,都是常数.特别地,如果k=1,那么分解后有了;

2) 分母中如果有因式,其中<0,那么分解后

有下列k个部分分式之和:

,

其中都是常数.特别地,如果k =1,那么分解后有.

真分式化为部分分式之和的待定系数法:

例如,真分式可分解成

,

其中A,B为待定常数,可以用如下的方法求出待定系数.

第一种方法 两端去分母后,得

, (3)

或 .

因为这是恒等式,等式两端的系数和常数项必须分别相等,于是有

从而解得 A=-5,B=6.

第二种方法 在恒等式(3)中,代人特殊的值,从而求出待定的常数.在(3)式中令,得A=-5;

令=3,得B=6. 同样得到

.

又如,真分式可分解成

,

再求待定系数A,B,C.两端去分母后,得

. (4)

在(4)式中,令=0,得A=1,令=1,得B=1.把A,B的值代入(4)式,并令

=2,得1=1+2+2C,即C=一1.所以

再如,真分式成

,

两端去分母后,得

,

. (5)

比较(5)式两端的各同次幂的系数及常数项,有

.

解之得 .

于是 .

下面举几个有理真分式的积分例子.

求.

解 因为

,

所以

=

=

=

求.

解 由于被积函数的分母是二次质因式,所以应另想别的方法.因为分子是一次式-2,而分母的导数也是一个一次式:,所以可以把分子拆成两部分之和:一部分是分母的导数乘上一个常数因子;另一部分是常数,即

.

这样,所求的积分可计算如下:

=

=.

求.

解 因为

,

所以

=

=

=.

求.

解 因为

所以

=

=

=

=.

总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分都能积出,且原函数都是初等函数.此外,由代数学知道,从理论上说,多项式总可以在实数范围内分解成一次因式及二次质因式的乘积,从而把有理函数分解为多项式与部分分式之和.因此,有理函数的原函数都是初等函数.

cloudcone

十字相乘法…完全平方……

黑桃云

提公因式法 公式法 十字交叉法

西柚不是西游
* 回复内容中包含的链接未经审核,可能存在风险,暂不予完整展示!

分解因式的方法有什么?

相关推荐

因式分解法解方程

因式分解法解方程如下:1、公式法:a²-b²=(a+b)(a-b)、a²+2ab+b²=(a+b)²、a²-2ab+b²=(a-b)²。2、提公因式法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;当各项的系数有分数时,公因式系数为各分数的最大公约数。3、十字相乘法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项。
2023-01-13 14:08:521

因式分解12种方法图解

因式分解方法如下:一、提取公因式法提取公因式法是最基本的因式分解方法,甚至可以说后面的因式分解方法都是在这个基础上进行使用。一般来说,提取公因式法的使用针对比较直观的因式进行提取,例如学生在多项式中直接看到有一个共同项,立刻就想到提取公因式。例1:因式分解:3x^3+8x^2y+6x^2y^3=x^2(3x+8y+6y^3)有些多项式进行提取公因式法之后,还要进一步进行因式分解,如果没有分解到不能再分,不能算是正确答案。二、完全平方和公式法完全平方和公式法使用针对这样的多项式:x^2+2xy+y^2,这个式子的逆运算就是计算(x+y)(x+y)。而在实际的计算中不一定就是上面出现的式子,所以需要对这个式子进行理解,用大写字母表示,可以写成A^2+2AB+B^2,这是一个对称的多项式,第一个和第三个分别是某个字母或者称作某个式子的平方,中间一项是两个字母或者两个式子的乘积的2倍。三、完全平方差公式法完全平方差公式法和完全平方和公式法如同孪生兄弟,二者极其相似,它的基本表达式子是x^2-2xy+y^2,它是(x-y)(x-y)的乘积,而在实际因式分解中,并不像公式那样的明显,例如x^2-6x+9,x^2-4xy+4y^2.下面看一个常见的例子:x^2+y^2-2xy-6x+6y+9解析:通过观察发现这个式子可以变成x^2-6x+9-2y(x-3)+y^2,可以构成一个完全平方差公式。
2023-01-13 14:09:101

因式分解法?

一是提取公因式二是公式法(完全平方式和平方差)三是十字相乘
2023-01-13 14:09:223

什么叫因式分解法

因式分解法是数学中用以求解高次一元方程的一种方法。把方程的一侧的数通过移动项使其值化成0,把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积,然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。 把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
2023-01-13 14:09:311

什么是因式分解法?

什么叫做因式,什么叫做因式分解 如果多项式f(x)能够被非零多项式g(x)整除,即可以找出一个多项式g(x),使得f(x)=q(x)·g(x),那么g(x)就叫做f(x)的一个因式。 因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解。 什么叫因式分解?分解因式的方法有哪些? 定义: 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。方法:1.提公因式法。 2.公式法。 3.分组分解法。 4.凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)] 5.组合分解法。 6.十字相乘法。 7.双十字相乘法。 8.配方法。 9.拆项补项法。 10.换元法。 11.长除法。 12.求根法。 13.图象法。 14.主元法。 15.待定系数法。 16.特殊值法。 17.因式定理法。 希望帮到你 望采纳 谢谢 加油 因式分解的四种方法都是什么? 因式分解的四种方法:公因式法、公式法、十字相乘法和分组分解法。 什么是因式分解法解一元二次方程 因式分解法 一般形式为ax²+a(b+c)x+abc=0(a≠0) 符合这一规律的方程才可以用因式分解法 可以变为a(x+b)(x+c)=0,变为(x+b)(x+c)=0 所以解得x1=-b,x2=-c 若符合一般形式为ax²+2bx+b²=0(a≠0)的方程为特殊因式分解方程 a(x+b)(x+b)=0,即(x+b)²=0.∴x1=x2=-b (以上左边到右边去a是因为0除以除0以外任何数都为0) 望采纳 什么是因式分解的公式法? 无法回答
2023-01-13 14:09:341

什么是因式分解法(详细回答)

因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式.因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用.因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等.
2023-01-13 14:09:371

用因式分解法解方程(要过程)

x^2-3x=0x(x-3)=0所以x=0 或 x=3x^2-3x+2=0(x-2) (x-1) = 0所以x=2或x=1x^2-2x-8 =0(x-4) (x+2) = 0x=-2 或 x=4(x+4)^2-5(x+4) = 0(x+4)(x+4-5) = 0(x+4)(x-1) = 0x=-4 或 x=1
2023-01-13 14:09:453

解一元二次方程因式分解法

1.因式分解的方法提公因式法;公式法——完全平方式两个、平方差公式;十字相乘法,如x²+(a+b)+ab=(x+a)(x+b).2.因式分解法:当一元二次方程的一边是0,而另一边是易于分解成两个一次因式的乘积时,用分解因式的方法求解——一元二次方程的因式分解法.3.用因式分解法解一元二次方程的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零.4.理论依据:如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零即A•B=0则A=0或B=0.5.一般步骤:⑴化方程为一般形式;⑵将方程左边因式分解;⑶根据“至少一个因式为零”,转化为两个一元一次方程;⑷分别解两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根.5.示范:说明:用因式分解法解一元二次方程方便快捷,比配方法、公式法要容易,但前提是能因式分解,能正确因式分解.
2023-01-13 14:09:472

分解因式 解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程步骤:将方程右边化为0;将方程左边分解为两个一次式的积;令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。因式分解法解一元二次方程的步骤能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积;用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0;用分解因式法解一元二次方程的注意点:①必须将方程的右边化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式。因式分解主要有十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法等方法,求根公因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
2023-01-13 14:10:111

怎样用因式分解法解这个方程?

(x-4)(x-3)=0x1=4,x2=3.
2023-01-13 14:10:154

解方程,用因式分解法

原方程也可表示为(x-3)*(x-3)-2x*(x-3)=0(因为a²=a*a)提取出(x-3),得(x-3)*(x-3-2x)=0化简得(x-3)*(-3-x)=0∴x-3=0或-3-x=0解得x1=3,x2=-3
2023-01-13 14:10:243

求因式分解的简便方法

这是竞赛中的快速方法分组分解法   分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。   能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。   比如:   ax+ay+bx+by   =a(x+y)+b(x+y)   =(a+b)(x+y)   我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。   同样,这道题也可以这样做。   ax+ay+bx+by   =x(a+b)+y(a+b)   =(a+b)(x+y)   几道例题:   1. 5ax+5bx+3ay+3by   解法:=5x(a+b)+3y(a+b)   =(5x+3y)(a+b)   说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。   2. x3-x2+x-1   解法:=(x^3-x2)+(x-1)   =x2(x-1)+ (x-1)   =(x-1)(x2+1)   利用二二分法,提公因式法提出 x2,然后相合轻松解决。   3. x2-x-y2-y   解法:=(x2-y2)-(x+y)   =(x+y)(x-y)-(x+y)   =(x+y)(x-y-1)   利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。 十字相乘法   这种方法有两种情况。   ①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 </b>  这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .   </B>②kx2+mx+n型的式子的因式分解 </b>  如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d).   图示如下:   a b   ╳   c d   例如:因为   1 -3   ╳   7 2   -3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,   所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3).   十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中 拆项、添项法   这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。   例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)   =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)   =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)   =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)   =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)   =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)   =(c+b)(c-a)(a+b). 配方法   </B>对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。   例如:x2+3x-40   =x2+3x+2.25-42.25   =(x+1.5)2-(6.5)2   =(x+8)(x-5). 应用因式定理   对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a.   例如:f(x)=x2+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上,x2+5x+6=(x+2)(x+3).)   注意:1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p(p,q为互质整数时)该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数;   2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数 换元法   有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。 相关公式 注意:换元后勿忘还元.   例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时,可以令y=x2+x,则   原式=(y+1)(y+2)-12   =y2+3y+2-12=y2+3y-10   =(y+5)(y-2)   =(x2+x+5)(x2+x-2)   =(x2+x+5)(x+2)(x-1).   也可以参看右图。 求根法   </B>令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .   例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,   则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1.   所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1). 图象法   </B>令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn).   与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。   例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时,可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.   作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2   则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2). 主元法   </B>先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 特殊值法   </B>将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。   例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则   x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105,   将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 .   注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,   则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。 待定系数法   </B>首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。   例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。   于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) 相关公式 =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd   由此可得a+c=-1,   ac+b+d=-5,   ad+bc=-6,   bd=-4.   解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.   则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).   也可以参看右图。 双十字相乘法   </B>双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。   双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:   ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f   x、y为未知数,其余都是常数   用一道例题来说明如何使用。   例:分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.   分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。   解:图如下,把所有的数字交叉相连即可   x 2y 2   ① ② ③   x 3y 6   ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).   双十字相乘法其步骤为:   ①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);   ②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6);   ③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。   利用根与系数的关系对二次多项式进行因式分解   例:对于二次多项式 aX^2+bX+c(a≠0)   aX^2+bX+c=a[X^2+(b/a)X+(c/a)X].   当△=b^2-4ac≥0时,   =a(X^2-X1-X2+X1X2)   =a(X-X1)(X-X2).
2023-01-13 14:10:401

用因式分解法怎么解

 
2023-01-13 14:10:437

什么叫因式分解法?

因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
2023-01-13 14:10:501

怎样用因式分解法解方程

化成积的形式,设各因数为0,求解。
2023-01-13 14:10:533

用因式分解法如何解方程?

解:3(x-5)²=2(5-x),移项3(x-5)²-2(5-x)=03(x-5)²+2(x-5)=0,提取公因式(x-5)(x-5)[3(x-5)+2]=0(x-5)(3x-15+2)=0(x-5)(3x-13)=0x-5=0,3x-13=0x1=5,x2=13/3
2023-01-13 14:10:591

解方程,用因式分解法

2023-01-13 14:11:028

因式分解法一元二次方程的解法

1.因式分解的方法 提公因式法;公式法——完全平方式两个、平方差公式;十字相乘法,如 x²+(a+b)+ab=(x+a)(x+b).2.因式分解法: 当一元二次方程的一边是0,而另一边是易于分解成两个一次因式的乘积时,用分解因式的方法求解——一元二次方程的因式分解法.3.用因式分解法解一元二次方程的条件是: 方程左边易于分解,而右边等于零.4.理论依据: 如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零即 A•B=0则A=0或B=0.5.一般步骤: ⑴化方程为一般形式; ⑵将方程左边因式分解; ⑶根据“至少一个因式为零”,转化为两个一元一次方程; ⑷分别解两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根.5.示范:因式分解法说明:用因式分解法解一元二次方程方便快捷,比配方法、公式法要容易,但前提是能因式分解,能正确因式分解.
2023-01-13 14:11:342

因式分解法方法

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等. ⑴提公因式法 ①公因式:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的~. ②提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. am+bm+cm=m(a+b+c) ③具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式:. a^2-b^2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式: a^2±2ab+b^2=(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式:a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法:把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法:把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2+(p q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q) ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么 kx^2+mx+n=(ax b)(cx d) a -----/b ac=k bd=n c /-----d ad+bc=m ※ 多项式因式分解的一般步骤: ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解; ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解; ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理:如果f(a)=0,则f(x)必含有因式(x-a)。如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定(x+2)是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题: 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明:对于任何数x,y,下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解:a +4ab+4b =(a+2b) 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析: 1 -3 7 2 2-21=-19 解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解:令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解:令y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解:令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值 则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5) 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。 解:设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
2023-01-13 14:12:021

怎么样学好二元一次方程的因式分解法?

方程一边变为0,然后再运用因式分解的三部把另一边化成乘积的形式:1提公因式 2套公式 3检查,然后分别写出两个乘积等于零
2023-01-13 14:12:113

因式分解的所有解法

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等.因式分解 - 方法 ⑴提公因式法①公因式:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的~. ②提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. am+bm+cm=m(a+b+c) ③具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式:. a^2-b^2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式: a^2±2ab+b^2=(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式:a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)【a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)】a^m+b^m=(a+b)【a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)】(m为奇数)⑶分组分解法 分组分解法:把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法:把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2+(p q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q) ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么 kx^2+mx+n=(ax b)(cx d) a -----/b ac=k bd=n c /-----d ad+bc=m ※ 多项式因式分解的一般步骤: ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解; ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解; ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理:如果f(a)=0,则f(x)必含有因式(x-a)。如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定(x+2)是x^2+5x+6的一个因式。经典例题:1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=【(1+y)+x^2(1-y)】^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=【(1+y)+x^2(1-y)】^2-(2x)^2=【(1+y)+x^2(1-y)+2x】·【(1+y)+x^2(1-y)-2x】=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=【(x+1)^2-y(x^2-1)】【(x-1)^2-y(x^2-1)】=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明:对于任何数x,y,下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解:a +4ab+4b =(a+2b) 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析: 1 -3 7 2 2-21=-19 解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x 【2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x 【2(x + )-(x+ )-6 = x 【2(y -2)-y-6】 = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解:令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解:令y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) 【a -a(b+c)+bc】 =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解:令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值 则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5) 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。 解:设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
2023-01-13 14:12:141

如何分解因式

百度看教学视频。
2023-01-13 14:12:174

因式分解法 怎么结

数学中用以求解一元二次方程的一种方法。把方程的一侧的数(包括未知数),通过移动使其值化成0,把方分类体系程的另一侧各项化成若干因式的乘积,然后分别令各因式等于0而求出其解的方法求解。
2023-01-13 14:12:201

因式分解法解一元二次方程

用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为零,那么这两个因式中至少有一个等于零。用分解因式法解一元二次方程的注意点:必须将方程的右边化为0,方程两边不能同时除以含有未知数的代数式。因式分解主要有十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法等方法,求根公因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法,运用公式法,分组分解法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
2023-01-13 14:12:242

因式分解法

因式分解:公式法.能合并的同类项要合并
2023-01-13 14:12:312

因式分解的办法

因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法,求根公式法,换元法,长除法,短除法,除法等。 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5   解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)   =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)   =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)   =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)   =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)      注意三原则   1 分解要彻底   2 最后结果只有小括号   3 最后结果中多项式首项系数为正 归纳方法:   1、提公因式法。   各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。   如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。   具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。当各项的系数有分数时,公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数,分子为各分数分子的最大公约数(最大公因数)   如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。   口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。   例如:-am+bm+cm=-(a-b-c)m;   a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)注意:把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式2、公式法。   如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。   平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2 反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b)   完全平方公式:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2   (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2   注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。   两根式:ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a)   立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)   立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)   完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3   公式:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)   例如:a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2   3、分组分解法。4、凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]   5、组合分解法。   6、十字相乘法。十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1.a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。 基本式子:x^2+(p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q),所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解,上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×(-3)。而5+(-3)又恰好等于一次项系数2。所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3)十字相乘法讲解:x^2-3x+2如下:   x -1    ╳   x -2   左边x乘x= x^2   右边-1乘-2=2   中间-1乘x+(-2)乘x(对角)=-3x   上边的【x+(-1)】乘下边的【x+(-2)】   就等于(x-1)*(x-2)   x^2-3x+2=(x-1)*(x-2)   7、双十字相乘法。   8、配方法。   9、拆项法。   10、换元法。   11、长除法。   12、加减项法。   13、求根法。   14、图象法。   15、主元法。   16、待定系数法。   17、特殊值法。   18、因式定理法。
2023-01-13 14:12:351

用因式分解法如何解方程?

=((X-1)+2)*((X-1)+1)=(X+1)*X
2023-01-13 14:12:383

因式分解法是什么意思(因式分解法是什么方法)

1、因式分解法是什么意思。 2、因式分解法是什么。 3、数学因式分解怎么做。 4、因式分解法的四种方法。1.数学中用以求解高次一元方程的一种方法。 2.把方程的一侧的数(包括未知数),通过移动使其值化成0,把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积,然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。 3. 把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。 4.因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
2023-01-13 14:12:471

初三一元二次方程-----因式分解法and十字相乘法 ,懂的来!

一元二次方程定义在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高项的次数和是2;(3) 是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程. (4)将方程化为一般形式:ax^2+bx+c=0时,应满足(a≠0)补充说明:1、该部分的只是为初等数学知识,一般在初三学习。2、该部分是高考的热点。3,方程的两根与方程中各数有如下关系:X1+X2= -b/a X1*X2=c/a(也称韦达定理)4, 方程两根为X1,X2时,方程为:X^2-(X1+X2)X+X1X2=0(根据韦达定理逆推而得)一般形式ax^2+bx+c=0(a、b、c是实数a≠0)例如:x^2+2x+1=0一般解法1.配方法(可解全部一元二次方程)如:解方程:x^2+2x-3=0解:把常数项移项得:x^2+2x=3等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2+2x+1=4因式分解得:(x+1)^2=4解得:x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.公式法(可解全部一元二次方程)其公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a3.因式分解法(可解部分一元二次方程)(因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。如:解方程:x^2+2x+1=0解:利用完全平方公式因式分解得:(x+1)^2=0解得:x1=x2=-14.开方法(可解全部一元二次方程)5.代数法(可解全部一元二次方程)ax^2+bx+c=0同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0设:x=y-b/2方程就变成:(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0再变成:y^2+(b^2*3)/4+c=0y=±√[(b^2*3)/4+c]如何选择最简单的解法:1、看是否可以直接开方解;2、看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法);3、使用公式法求解;4、最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦)。例题精讲:1、直接开平方法:直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=m±√n例1.解方程(1)(3x+1)^2=7 (2)9x^2-24x+16=11分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)^2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。(1)解:(3x+1)^2=7∴(3x+1)^2=7∴3x+1=±√7(注意不要丢解)∴x= ...∴原方程的解为x1=...,x2= ...(2)解: 9x^2-24x+16=11∴(3x-4)^2=11∴3x-4=±√11∴x= ...∴原方程的解为x1=...,x2= ...2.配方法:例1 用配方法解方程 3x^2-4x-2=0解:将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2将二次项系数化为1:x^2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方:x^2-x+( )^2= +( )^2配方:(x-)^2=直接开平方得:x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3.公式法:把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式,然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。当b^2-4ac>0时,求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a(两个不相等的实数根)当b^2-4ac=0时,求根公式为x1=x2=-b/2a(两个相等的实数根)当b^2-4ac<0时,求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a(两个虚数根)(初中理解为无实数根)例3.用公式法解方程 2x^2-8x=-5解:将方程化为一般形式:2x^2-8x+5=0∴a=2, b=-8, c=5b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x= = =∴原方程的解为x1=,x2= .4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4.用因式分解法解下列方程:(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0(3) 6x^2+5x-50=0 (选学) (4)x^2-4x+4=0 (选学)(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=5,x2=-2是原方程的解。(2)解:2x^2+3x=0x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=0,x2=-3/2是原方程的解。注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。(3)解:6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。(4)解:x^2-4x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)(x-2)(x-2 )=0∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。小结:一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。课外拓展一元二次方程一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为ax^2+bx+c=0, (a≠0)在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中:求出一个数使它与它的倒数之和等于 一个已给数,即求出这样的x与,使x=1, x+ =b,x^2-bx+1=0,他们做出( )2;再做出 ,然后得出解答:+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数,所以负根是略而不提的。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,例如:ax^2=b。在公元前4、5世纪时,我国已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中之一。公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程x^2+px+q=0的一个求根公式。在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种不同的形式,令 a、b、c为正数,如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作讨论,是依照丢番图的做法。阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一次给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。韦达(1540-1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解外,还给出根与系数的关系。我国《九章算术.勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x^2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。判别方法一元二次方程的判断式:b^2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根.b^2-4ac=0 方程有两个相等的实数根.b^2-4ac<0 方程有两个共轭的虚数根(初中可理解为无实数根).上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边.列一元二次方程解题的步骤(1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;(2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;(3)找出相等关系,并用它列出方程;(4)解方程求出题中未知数的值;(5)检验所求的答案是否符合题意,并做答.经典例题精讲1.对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0.2.解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.3.一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立.利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况;(2)根据参系数的性质确定根的范围;(3)解与根有关的证明题.4.一元二次方程根与系数的应用很多:(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.韦达定理韦达(Vieta"s ,Francois,seigneurdeLa Bigotiere)1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律,后任律师,1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码,赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号,并对方程论做了改进。他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师,后从事政治活动,当过议会的议员,在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究,第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”)。韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系韦达定理(Viete"s Theorem)的内容一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中设两个根为X1和X2则X1+X2= -b/aX1*X2=c/a韦达定理的推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个一元n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1,X2…,Xn我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和,Π是求积。如果一元二次方程在复数集中的根是,那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。韦达定理在方程论中有着广泛的应用。韦达定理的证明设x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。有:a(x-x1)(x-x2)=0所以 ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0通过对比系数可得:-a(x1+x2)=b ax1x2=c所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a韦达定理推广的证明设x1,x2,……,xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)通过系数对比可得:A(n-1)=-An(∑xi)A(n-2)=An(∑xixj)…A0==(-1)^n*An*ΠXi所以:∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和,Π是求积。计算机解一元二次方程VB实现方法"该代码仅可实现一般形式的求值,并以对话框形式显示。"看不懂就不要看了dim a,b,c,i"在这里添加a、b、c的赋值过程"例如:a=text1.text"b=text2.text"c=text3.text"以上代码为负值if a <> 0 and b <> 0 and c<> 0 thenif a*2 <> 0 theni=((0-b)+Sqr(b^2-4*a*c))/2msgbox ii=((0-b)-Sqr(b^2-4*a*c))/2msgbox ielsemsgbox("2a为零")end ifelsemsgbox("请输入数据")end if这些应该对你有帮助。
2023-01-13 14:12:541

因式分解有几种常见方法?

1.提公因式2.应用公式3.分组分解4.拆项和添项5.十字相乘(二元二次也使用)6.换元法7.看未知为已知(a+b看为整体)8.余数定理9.待定系数法10.轮换式和对称式
2023-01-13 14:12:582

因式分解法,解答步骤

 
2023-01-13 14:13:014

因式分解的全部方法

提公因式法、分组分解法、待定系数法等等。1、一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式,分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式,就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可先用字母表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值。
2023-01-13 14:13:131

解因式分解有哪些方法

分解因式的方法有什么?
2023-01-13 14:13:196

怎么做因式分解

基本方法   ⑴提公因式法  各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。  如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。  具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。  如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。  口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。  例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);  a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。  注意:把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式  ⑵公式法  如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。  平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b);  完全平方公式:a^2±2ab+b^2=(a±b)^2;  注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。  立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);   立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2);  完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.  公式:a^3+b^3+c^3+3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)  例如:a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。  (3)分解因式技巧  1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。  2.分解因式技巧掌握:  ①等式左边必须是多项式;  ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;  ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;  ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。  注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。  3.提公因式法基本步骤:  (1)找出公因式;  (2)提公因式并确定另一个因式:  ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;  ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;  ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。 [编辑本段]竞赛用到的方法   ⑶分组分解法  分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。  能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。  比如:  ax+ay+bx+by  =a(x+y)+b(x+y)  =(a+b)(x+y)  我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。  同样,这道题也可以这样做。  ax+ay+bx+by  =x(a+b)+y(a+b)  =(a+b)(x+y)  几道例题:  1. 5ax+5bx+3ay+3by  解法:=5x(a+b)+3y(a+b)  =(5x+3y)(a+b)  说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。  2. x^3-x^2+x-1  解法:=(x^3-x^2)+(x-1)  =x^2(x-1)+ (x-1)  =(x-1)(x2+1)  利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。  3. x2-x-y2-y  解法:=(x2-y2)-(x+y)  =(x+y)(x-y)-(x+y)  =(x+y)(x-y-1)  利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。     ⑷十字相乘法  这种方法有两种情况。  ①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解   这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .  ②kx²+mx+n型的式子的因式分解   如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d).  图示如下:  ×  c d   例如:因为  1 -3   ×  7 2   -3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,   所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3).  十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中   ⑸拆项、添项法  这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。  例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)  =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)   =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)   =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)   =(c+b)(c-a)(a+b).     ⑹配方法  对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。  例如:x²+3x-40  =x²+3x+2.25-42.25  =(x+1.5)²-(6.5)²  =(x+8)(x-5).   ⑺应用因式定理  对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a.  例如:f(x)=x²+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上,x²+5x+6=(x+2)(x+3).)  注意:1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p(p,q为互质整数时)该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数;  2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数   ⑻换元法  有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。   注意:换元后勿忘还元.  例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时,可以令y=x²+x,则  原式=(y+1)(y+2)-12  =y²+3y+2-12=y²+3y-10  =(y+5)(y-2)  =(x²+x+5)(x²+x-2)  =(x²+x+5)(x+2)(x-1).  也可以参看右图。     ⑼求根法  令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .  例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,  则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1.  所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).     ⑽图象法  令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn).  与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。  例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时,可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.  作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2   则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).     ⑾主元法  先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。     ⑿特殊值法  将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。  例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则  x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105,   将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 .  注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,   则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。     ⒀待定系数法  首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。  例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。  于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)   =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd   由此可得a+c=-1,  ac+b+d=-5,  ad+bc=-6,  bd=-4.  解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.  则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).  也可以参看右图。     ⒁双十字相乘法  双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。  双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:  ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f  x、y为未知数,其余都是常数  用一道例题来说明如何使用。  例:分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.  分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。  解:图如下,把所有的数字交叉相连即可  x 2y 2  ① ② ③  x 3y 6  ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).  双十字相乘法其步骤为:  ①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);  ②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6);  ③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。 [编辑本段]多项式因式分解的一般步骤:  ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;   ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;   ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;  ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。  也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要合适。”  几道例题  1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.  解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(补项)  =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(完全平方)  =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2  =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]  =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)  =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]  =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).  2.求证:对于任何实数x,y,下式的值都不会为33:  x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.  解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)  =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)  =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)  =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)  =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).  (分解因式的过程也可以参看右图。)  当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立。  3..△ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证:这个三角形是等腰三角形。  分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。  证明:∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,  ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.  ∴(a-c)(a+2b+c)=0.  ∵a、b、c是△ABC的三条边,  ∴a+2b+c>0.  ∴a-c=0,  即a=c,△ABC为等腰三角形。  4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。  解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)  =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).
2023-01-13 14:13:251

用因式分解法解方程

5x(2x-3)=5(2x-3)5(2x-3)(x-1)=02x-3=0或x-1=0x=3/2或x=1
2023-01-13 14:13:281

二小括号x-2的平方=x^2减四用因式分解法解

(x-2)²=x²-4(x-2)²-(x²-4)=0(x-2)²-(x+2)(x-2)=0(x-2)[(x-2)-(x+2)]=0-4(x-2)=0x-2=0x=2
2023-01-13 14:13:312

如何用因式分解法解一元二次方程

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一、将方程右边化为( 0) 二、方程左边分解为(两个 )因式的乘积三、令每个一次式分别为( 0)得到两个一元一次方程四、两个一元一次方程的解,就是所求一元二次方程的解。扩展资料复合应用题解题思路:是由两个或两个以上相互联系的简单应用题组合而成的。1、理解题意,就是弄清应用题中的已知条件和要求问题。2、分析数量关系,就是分析已知数量与未知数数量,已知数量与未知数数量间的关系,找到解题途径,确定先算什么,再算什么,最好算什么。3、列式解答,就是根据分析,列出算式并计算出来。4、验算并给出答案,就是检验解答过程中是否合理,结果是否正确,与原题的条件是否相符,最后写出答案。
2023-01-13 14:13:371

用因式分解法解方程

4x(x-1)+1=04x^2-4x+1=0(2x-1)^2=0所以 2x-1=0 x=1/2
2023-01-13 14:13:403

高一幂函数难题,希望各位侠士能给在下解答,多谢

-f(x)=f(-x) 为连续函数 在(-1,1)内自己代两个数进去就解除mn了
2023-01-13 14:10:342

开头民的成语有哪些

民生凋敝、民以食为天、民胞物与、民穷财尽、民淳俗厚、民不畏死、民不聊生、民心不壹、民不堪命、民困国贫、民殷国富、民疲师老、民生在勤、民脂民膏、民保于信、民以食为本、
2023-01-13 14:10:341

高中 高一数学 幂函数 第3题 详细过程。最好写在纸头上

首先幂函数的系数是1所以m^2-m-1=1,得到m=2或-1而幂函数在【0,正无穷)上递增需满足m^2-2m-1>0解得m>根号2+1或m<1-根号2所以舍去2得到m=-1望采纳,谢谢!
2023-01-13 14:10:371

民 开头成语接龙

民以食为天 [ mín yǐ shí wéi tiān ]生词本基本释义 详细释义[ mín yǐ shí wéi tiān ]天:比喻赖以生存的最重要的东西。人民以粮食为自己生活所系。指民食的重要。出 处《汉书·郦食其传》:“王者以民为天,而民以食为天。”
2023-01-13 14:10:372

分式不等式的解法

分式不等式解法为:可以用同解原理去分母,解分式不等式;如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0(其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0),则f(x)g(x)>0,或f(x)g(x)<0。然后因式分解找零点,用穿针引线法。分式不等式与分式方程类似,像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0(其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0)这样,分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。分式不等式第一种解法为: 令分子、分母等于0,并求出解;画数轴在数轴上找出解的位置;判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过。分式不等式第二种解法为: 移项、通分将右面化为0,左面为分式的形式;令分子、分母等于0,并求出解;画数轴在数轴上找出解的位置;判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过得出计算结果。
2023-01-13 14:10:381

高一简单数学题 怎么判断幂函数?

x 的负三次方
2023-01-13 14:10:404

高一数学幂函数

一个小1,一个大于1,不妨设0<α<1<βy=x^α图象过(1/3,2/3)(2/3)=(1/3)^αα=log(1/3)(2/3)y=x^β图象过(2/3 , 1/3)(1/3)=(2/3)^ββ=log(2/3)(1/3)αβ=[log(1/3)(2/3)][log(2/3)(1/3)]由对数的换底公式:loga(b)=1/logb(a)得:[log(1/3)(2/3)][log(2/3)(1/3)]=[log(1/3)(2/3)][1/log(1/3)(2/3)]=1
2023-01-13 14:10:271

高一幂函数指数函数问题(简单)

我只给你讲思路,希望你自己思考。因为数学要自己思考才学得好的。1.首先先设4+3x-x^2为t,t是一个二次函数,它的值域你不陌生吧。t的值域即为y=lnt的t的定义域,再根据y=lnt的图像就可以求出来了。2.首先还是设2x-1为t,所以t的值域就可以求了。 接下来,可以根据图像,直接得出0<a²-1<1了,接下来在解不等式了。3.在不等号的中间及两边加减同样的数字,所以1<x²<2.接下来只能分组计算x²>1或x²<2分别解不等式,取其交集。最后祝你学习进步
2023-01-13 14:10:242

等差数列怎么求和

在数学中解决问题,通常公式是很重要的一部分,记住公式可以很方便的去解决问题,大大减少了工作量和工作时间,一个公式就可以解决一类问题,那么,等差数列求和公式公式是什么呢? 公式 Sn=(a1+an)n/2;Sn=na1+n(n-1)d/2(d为公差);Sn=An2+Bn;A=d/2,B=a1-(d/2)。 基本性质 若m、n、p、q∈N ①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ②若m+n=2q,则am+an=2aq(等差中项) 注意:上述公式中an表示等差数列的第n项。 等差数列推论 (1)从通项公式可以看出,a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由前n项和公式知,S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。 (2)从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1),(类似:p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n}。 (3)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)*a(n),S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列,等等。若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)。 证明:p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p。 (4)其他推论: ①和=(首项+末项)×项数÷2; ②项数=(末项-首项)÷公差+1; ③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×(项数-1); ④末项=2x和÷项数-首项; ⑤末项=首项+(项数-1)×公差; ⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。
2023-01-13 14:10:231

什么时候开始学幂函数?就是三角函数

高中开始学习
2023-01-13 14:10:213

min开头的成语

min开头的成语:民安物阜 拼音:[ mín ān wù fù ] 释义:阜:多。人民平安,物产丰富。形容社会安定,经济繁荣的景象。民不堪命 拼音:[ mín bù kān mìng ] 释义:堪:忍受;命:命令。民众负担沉重,痛苦得活不下去。民不聊生 拼音:[ mín bù liáo shēng ] 释义:聊:依赖,凭借。指老百姓无以为生,活不下去。民不畏死 拼音:[ mín bù wèi sǐ ] 释义:畏:惧怕。人民不怕死。形容不怕死的气慨。民胞物与 拼音:[ mín bāo wù yǔ ] 释义:民为同胞,物为同类。泛指爱人和一切物类。
2023-01-13 14:10:201

高一数学 幂函数问题

这个函数的图像不过原点,就是说当x=0的时候,y不能等于0可是函数中x=0的时候,前面的系数是不影响函数值的,所以只能让指数等于0,这样可以令得0的0次方等于1,也就是m^2-m-2=0 解得m=2或者m=-1另外,当m=2时,其系数m^2-3m+3=4-6+3≠0,可取 m=-1时,其系数m^2-3m+3=1+3+3≠0,可取所以m=2或者m=-1这个题目的关键就是让指数为0,同时,让指数为0的m的值不能让系数同时为0就可以了希望能帮到你,请采纳,谢谢
2023-01-13 14:10:181