初二数学 整式的乘法与因式分解 （2x²y）³乘以（5xy²）除以（-10x²X^4 ）

郭敦顒回答：因式分解是整式乘法结果的逆运算。整式乘法的结果仍是整式，而任一整式不一定都能进行因式分解，既约整式没有其因式，就不能进行因式分解。整式乘法与因式分解类似于除法与乘法间的关系。

整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，而整式乘法正好相反

是的,摘自百度百科： 公式的应用不仅可从左到右的顺用（多项式乘法）,还可以由右向左逆用（因式分解).（因式分解与多项式乘法为逆运算）. 因此它们可以称为互为逆运算.

　　勤奋是你做八年级数学测试题的密码，能译出你一部壮丽的史诗。下面我给大家分享一些8年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解测试题，大家快来跟我一起看看吧。 　　8年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解试题 　　(满分120分，限时120分钟) 　　一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 　　1. 计算a10÷a2(a≠0)的结果是( ) 　　A.a5 B.a-5 C.a8 D.a-8 　　2. 下列计算中，正确的是( ) 　　A.(a3)4= a12 B.a3• a5= a15 C.a2+a2= a4 D.a6÷ a2= a3 　　3. 运用乘法公式计算(x+3)2的结果是( ) 　　A.x2+9 B.x2-6x+9 C.x2+6x+9 D.x2+3x+9 　　4. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 的是( ) 　　A. B. C. D. 　　5. 下列运算正确的是(　　) 　　A.( )﹣1=﹣ B.6×107=6000000 　　C.(2a)2=2a2 D.a3•a2=a5 　　6. 把x +x 分解因式得( ) 　　A.x (x +1) B. C.x( + ) D.x (x +x) 　　7. 若4x2+axy+25y2是一个完全平方式，则a=(　　) 　　A.20 B.﹣20 C.±20 D.±10 　　8. 将图(甲)中阴影部分的小长方形变换到图(乙)位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是(　　) 　　9. 2004 -2003×2005的计算结果是( ) 　　A.1 B.-1 C.0 D.2×2004 -1 　　10. 将代数式 +4x-1化成 +q的形式为( ) 　　A.(x-2) +3 B.(x+2) -4 C.(x+2) -5 D.(x+2) +4 　　二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 　　11. 因式分解：a3-a= 　　12. 计算：(-5a4)•(-8ab2)= . 　　13. 已知a =3，a =4，则a =__________ 　　14. 若 ，则代数式 的值为__________. 　　15. 若x+y=10，xy=1 ，则x3y+xy3= . 　　16. 若整式 (k为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 _______________(写出一个即可). 　　三、解答题(共8题，共72分) 　　17. (本题8分)计算：(a+b)2﹣b(2a+b) 　　18. (本题8分)分解因式：2m(m﹣n)2﹣8m2(n﹣m) 　　19. (本题8分)如图(1)，是一个长为2a宽为2b(a>b)的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图(2)拼成一个新的正方形，求中间空白部分的面积(用含a、b　的式子表示　) 　　20. (本题8分)计算( )3×( )4×( )3 　　21. (本题8分)简便计算：1.992+1.99×0.01 　　22. (本题10分)当a=3，b=-1时，求 的值。 　　23. (本题10分)已知 ，求代数式 的值。 　　24. (本题12分)阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值. 　　解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 　　2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 　　将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1 　　即S=22014﹣1 　　即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1 　　请你仿照此法计算： 1+2+22+23+24+…+210 　　8年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解测试题参考答案 　　一、选择题 　　1. C 2. A 3. C 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C 9. A 10. C 　　二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 　　11. a(a+1)(a-1) . 12. 40a5b2. 13. 14. 2 15. 98 16. -1等 　　三、解答题(共8题，共72分) 　　17. 解：原式=a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2 　　=a2; 　　18. 解：2m(m﹣n)2﹣8m2(n﹣m) 　　=2m(m﹣n)[(m﹣n)+4m] 　　=2m(m﹣n)(5m﹣n) 　　19. 解：先求出正方形的边长，继而得出面积， 　　然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案. 　　由题意可得，正方形的边长为(a+b)，故正方形的面积为(a+b)2， 　　又∵原矩形的面积为4ab， 　　∴中间空的部分的面积=(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2. 　　21. 解：1.992+1.99×0.01 　　=1.99×(1.99+0.01) 　　=3.98; 　　22. 解：原式=(3-1)×(3+1) 　　=8

14章整式的乘法与因式分解 一、基本的几个法则要熟练掌握： 1、 同底数幂相乘 易错点：底数要完全相同时才能用，注意的是幂是相乘不是加，结果是指数相加不是相乘。 2、 幂的乘方 易错点：底数不变，指数应该相乘不是相加。 3、 积的乘方 易错点：括号里面的因式都要乘方，不能漏乘方，当里面出现具体的数时很容易忘记。 4、 同底数幂相除 易错点：把除号想成乘号，指数应该相减写成相加。当字母和字母的指数一样的时候，得到的是0次幂，任何非0的数的0次幂应该等于1，而不等于0. 难点辨析： （1） 分清楚（-a）n与-an的意义和指数是否对“-”起作用！ （2） 对于以上的混合运算，最主要的要看清运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减（只有同类项才能加减，否则保留即可，不可随便合并）。 二、整式乘除法类型 1、单项式乘以单项式 易错点：系数和系数相乘出错，负号经常丢掉；容易丢字母或者看错指数；对于不是标准的形式的未化成标准形式就乘，导致出错。 2、 单项式乘以多项式 易错点：分别乘以多项式中的每一项，要注意多项式中每一项包含系数的符号，在做题时建议直接把多项式看成省略加号和的形式进行运算，运算的结果系数为负号可以直接变为减号。 例如：-a（b-c+d）=-ab+ac-ad 3、 多项式乘以多项式 一般形式：认认真真一项一项的乘，两项乘两项展开是四项，两项乘三项展开是六项，…, M项乘N项时候展开是MN项，当然最后的结果该合并的要合并，才算完成计算。 特殊形式：平方差公式：（a+b)（a-b）=a2-b2 完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2 补充：（x+p）(x+q)=x2+(p+q)x+pq 易错点：混淆公式，平方差与差的平方混，平方和与和的平方混。 解决办法：注意看等号的左边，意义是否一样。右边又有什么区别与联系。 拓展：（1）常见的式子a+b ,a-b , ab, a2+b2,a2-b2,(a+b)2,(a-b)2 中要知道他们任意三者之间的联系。任意知道两个就能把其它的式子的值求出来！你能都说出来吗？ （2） 几何推理 有关图形说明的等式要能辨清楚。

整式乘法是将几个多项式的积的形式写成一个多项式。因式分解是将一个多项式写成几个多项式的积的。因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式，而整式的乘法是运用整式乘法法则由乘积形式化为多项式的形式，它们是互为逆运算。1、因式分解的一般方法是：首先提取公因式，然后用公式。形如x²+px+q的二次三项式，将二次项，一次项进行配方，使之配成一个完全平方式，此时的式子如果能够看成两个式子的平方差，则可以进行下一步分解，否则就不能进行分解。2、利用配方法可以将形如x²+px+q的部分二次三项式进行分解因式。3、因式分解的基本步骤：先看各项有没有公因式，如有，则先提取公因式；再看能否套用公式法（平方差公式或完全平方公式）；看能否使用十字相乘法；分组分解因式，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法、十字相乘法来达到分解的目的。因式分解主要掌握下面几种方法:1、提取公因式2、完全平方3、平方差公式4、十字相乘

两者是互逆的，因式分解是将一个多项式写成几个多项式的积，整式乘法是将几个多项式的积的形式写成一个多项式。因式分解与整式乘法是相反的两个过程，是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解与整式乘法是互逆的，因式分解是将一个多项式写成几个多项式的积，整式乘法是将几个多项式的积的形式写成一个多项式。因式分解与整式乘法是相反的两个过程。相对而言，两者是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解是整式乘法的逆运算.所以,因式分解的定义与整式的乘法是互逆运算.

计算:[x(x^2y^2-xy)-y(x^2-x^3y)]÷3x^2y=[x^2y(xy-1)-x^2y(1-xy)]÷3x^2y=2x^2y(xy-1)÷3x^2y=2/3(xy-1)(-5a)^5b^3c÷[(15a)^4b^2]=-5^5/(3^4*5^4) abc=-5/81 abc(-x+3y)(-x-3y)=(-x)^2-(3y)^2=x^2-9y^2 因式分解:x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)16x^2-24x+9=(4x)^2-2(4x)3+3^2=(4x-3)^2（m+n）^2-(m+n)(2m-n)=(m+n)(m+n-2m+n)=(m+n)(2n-m)=2n^2+mn-m^2

因式分解是数字之间的关系(合数和质数) 整式的乘法是式子之间，可以含有字母

区别是--因式分解把一个多项式写成几个整式的积；整式乘法把几个整式的积写成一个多项式。联系：都用乘法法则及公式

八上·第十五章 “整式的乘除与因式分解”简介 课程教材研究所 左怀玲 俞求是 人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”.本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解.本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上.整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识,这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础,在后续的数学学习中具有重要意义,同时,这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识. 本章共安排了4个小节,教学时间约需13课时（供参考）： 15.1 整式的乘法 4课时 15.2 乘法公式 2课时 15.3 整式的除法 2课时 15.4 因式分解 3课时 数学活动 小结2课时 一、教科书内容和课程学习目标 （一）本章知识结构框图 （二）教科书内容 本章共包括4节 15.1 整式的乘法 整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分.本节分为四个小节,主要内容是整式的乘法,这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的.其中,幂的运算性质,即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础,教科书把它们依次安排在前三个小节中,教学中应适当复习幂、指数、底数等概念,特别要弄清正整数指数幂的意义. 在学生掌握了幂的运算性质后,作为它们的一个直接应用,教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容.首先是单项式与单项式相乘,由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘,因此,对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视.在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上,教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘,这样使整式乘法运算的教学从简到繁,由易到难,层层递进. 15.2 乘法公式 本节分为两个小节,分别介绍平方差公式与完全平方公式. 乘法公式是整式乘法的特殊情形,是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的,运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题,教科书在本节开始首先指出了这一点.接着,在第一小节安排了平方差公式的教学,教科书首先安排了下一个“探究”栏目,安排了3个题目,让学生通过计算,总结三个题目结果的共同点,发现其中的规律.接着,教科书推证了平方差公式,并进一步借助于几何图形对公式作了直观解释,让学生能更好地理解此公式.最后,举例说明运用平方差公式进行有关的计算.第二小节教科书设计了与第一小节类似的教学过程,引进了乘法的完全平方公式. 为了满足整式运算的需要,在本小节引进了添括号法则,这也是很重要的整式运算知识. 15.3 整式的除法 整式的除法也是整式四则运算的重要组成部分.本节也分为两个小节.同底数幂的除法是学习整式除法的基础和关键,因此教科书在第一小节中首先介绍同底数幂除法的性质.对于同底数幂除法,这里只先讨论所得商仍是整式的情形,对于所得商是分式的情形将在后续内容引入负整数指数幂的概念以后再讨论. 能熟练地进行单项式除以单项式的除法是进行多项式除以单项式等一般的整式除法的前提.在第二小节,教科书根据乘、除互为逆运算的关系,并以分配律、同底数幂的除法为依据,由计算具体的实例得到单项式除以单项式的除法法则.同样地,对于单项式除以单项式的除法,讨论的问题也都在被除式中字母的指数大于或等于除式中字母的指数的限制条件范围内. 对于多项式除以单项式,教科书是从计算 来导出运算法则的,根据是乘除法互为逆运算以及分配律.可以看出,法则的基本点是把多项式除以单项式转化为单项式的除法,而单项式除法是已经学习并掌握了的. 在本章中,不讨论多项式除以多项式等一般性的问题. 15.4 因式分解 因式分解是解析式的一种恒等变形,因式分解不但在解方程等问题中极其重要,在数学科学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用,是重要的数学基础知识.因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法等.本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法,它包括因式分解的有关概念,整式乘法与因式分解的区别与联系,因式分解的两种基本方法,即提公因式法和公式法.两种方法分别安排在第1和第2小节. （三）课程学习目标 通过本章教学要求达到以下的教学目标： 1. 使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质,能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,并能运用它们熟练地进行运算.使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则,并运用它们进行运算. 2. 使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式）,了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算. 3. 使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算,并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 4.使学生理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算,掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 二、本章编写特点 （一）强调重要数学思想方法的渗透 根据数与式之间的联系,教材通过类比的思想方法,由数的运算引出式的运算规律,体现了数学知识间具体与抽象的内在联系和数学的内在统一性. 对于整式乘法法则的教学,教科书注意渗透“转化”的思想方法.例如,多项式与多项式相乘的法则,第一步是转化为多项式与单项式相乘,第二步则是转化为单项式与单项式相乘,而单项式与单项式相乘则转化为有理数的乘法与同底数幂的乘法. 在整式除法的教学中教科书也注意渗透“转化”的思想方法,多项式与单项式相除第一步是转化为单项式与单项式相除,第二步是转化为有理数的除法与同底数幂的除法. 由上可知,整式的乘、除法教学要循序渐进,打好各项知识的基础,并运用好转化的思想方法,就能够很好地完成后面的教学内容,取得较好的教学效果. 此外,本章教材注意了代数与几何之间的联系,体现了数形结合的重要数学思想和方法,如在整式乘法和乘法公式部分,借助于几何图形对运算法则及公式作了直观解释,体现了代数与几何之间的内在联系和统一,能让学生更好地理解有关知识. （二）充分体现从具体到抽象再到具体的认知过程 从具体的实际问题出发,归纳出相关的数学概念,或抽象出隐含在具体问题中的数学思想和规律,这是本章的一个突出特点.密切联系实际,体现知识的形成和应用过程,这是本章编写中很重视的一个问题. 以第15.1节为例,无论同底数幂相乘、幂的乘方还是积的乘方,都是从具体、简单题目的运算出发,最后归纳出运算性质,然后再用归纳得出的结果进一步指导比较复杂的实际问题.而整式的乘、除法也是从具体的问题出发,归纳出运算法则,再进一步用于解决实际问题.这种从具体到抽象,再由抽象到具体的编排方式,可以循序渐进地向学生呈现教学内容,有助于学生的理解和掌握,符合现阶段学生的认知水平. （三）根据数学知识的逻辑关系循序渐进安排教学内容 本章所涉及的数学教学内容之间不仅具有密切的联系,且具有很强的逻辑关系.整式的乘法与除法是互为逆运算,乘法公式是具有特殊形式的整式乘法问题,整式的乘法与因式分解是方向相反的恒等变形,在涉及的这些内容中,整式的乘法是引入后续内容教学的基础,学好一般整式乘法的知识是进一步学习本章其他知识的前提.本章根据知识之间的这种逻辑关系,把教学重点放在整式乘法的教学上,符合逻辑、循序渐进地安排了单项式与单项式相乘、多项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘、乘法公式的教学内容.再如,根据数与式之间的联系,教科书通过类比的思想方法,由数的运算引出式的运算规律；引入乘法公式时,指出研究的是某些特殊形式的多项式相乘问题；根据整式乘法与整式除法的关系导出整式除法法则.在本章的教学中也应该注意本章知识之间的这种逻辑关系,使学生能从整体上把握本章知识. 三、本章教学中几个值得关注的问题 1.重视运算性质和公式的发生和归纳过程的教学 本章整式乘法运算性质、除法运算性质、乘法公式的得出过程,教科书是从某些具体的数与式计算,归纳得到一般的式的运算法则,是一个由特殊到一般,从具体到抽象的归纳过程.在性质和公式的教学中,要重视上述归纳过程的教学,使学生在这个过程中理解和掌握性质和公式,并能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,运用它们熟练地进行运算.应使学生在理解的基础上加以记忆,在运用、练习的过程中进一步加以巩固,并加深理解.另外,教科书在得到某些运算法则的过程中在逻辑上看也并不具备严密性,在教学中则应该考虑学生思维能力发展的年龄特点,把握好逻辑的适度严密性. 2．重视发挥学生的主观能动性 充分信任学生,努力发挥他们的主观能动性,让他们通过观察、思考、探究、讨论、归纳,主动地进行学习.勤于思考,善于思考,是学好数学的先决条件. 在本章中,教材安排了大量的“探究”和“思考”栏目.通过“探究”栏目让学生体验研究问题,解决问题,最后得出一般结论的过程,加深学生对问题的理解,使其既知其然,又知其所以然.本章共安排了9个“探究”栏目,许多重要结论或概念都是通过这个栏目归纳和总结出来的.在教学过程中应该充分发挥“探究”栏目的作用.通过这个栏目,学生一方面可以体验获得结论的过程,另一方面可以获得成功的喜悦. 课程改革的目的之一是促进学习方式的转变,加强学习的主动性和探究性,培养学生的创新精神和自学意识,而“思考”栏目的安排也是为实现上述的目标所做的设计之一.例如,在15.2.1节,通过对面积的讨论,可以发现平方差公式与面积之间的内在联系,进而感受到几何与代数内在的统一性.又如,在15.3.2节,通过“思考”栏目,让学生在思考具体问题的基础上自己归纳出单项式相除的法则.总之,通过“思考”栏目,学生们可以开动脑筋,加强发现探索,培养探究精神. 在本章的教学中,还要有意识地鼓励学生寻找“富有挑战性”的学习材料,适当地进行数学活动和交流,在探究、讨论、思考的过程中获得知识,培养能力.在本章的“数学活动”和“拓广探索”栏目中都设计了一些探究性的问题,老师们应该适当地安排这些问题,鼓励学生积极思维,努力探索,提高数学思维水平. 3．注意把握教学要求 根据课程标准,本章要求学生会进行简单的整式乘法（其中的多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）运算和除法运算.会推导平方差公式和完全平方公式,并了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算.会用提公因式法和公式法进行因式分解（指数是正整数）. 应该看到,本章的内容都是重要的数学基础知识,应用极其广泛,对于后续学习影响很大.所以,一方面,要重视本章知识的教学,把教学要求落到实处.另一方面也应该看到,本章的教学内容与传统的教学比较,在教学要求上有了一些降低,如对于整式乘除运算的教学要求,乘法公式的教学要求,对于因式分解的介绍等,都在一定程度上降低了内容的广度和深度.教学中,老师们可能会受到教学传统习惯和思想的影响,不自觉地拓宽教学内容范围、提高教学要求.老师们要认真学习领会课程标准的思想,贯彻教科书的编写意图,在教学中按照教科书的要求组织教学,努力克服教学传统观念的影响.例如,对于因式分解,教科书只要求学生会灵活地运用提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）两种分解方法,对分组分解法和十字相乘法则不做要求.对于其他因式分解方法,教科书只在选学栏目中给出了一种,即 型式子的因式分解（十字相乘法）,供学有余力的同学参考.教学中就应该把握好这样的教学要求. 4．抓住教学重点和关键,突破教学难点 本章的教学重点之一是整式的乘除,包括乘法公式.从整式乘除的地位和作用可知,如果不掌握好这部分内容,会给以后的学习带来极大的困难.因此要有针对性地加强练习,务必使学生对整式的乘除运算,包括其中运用乘法公式进行计算达到熟练的程度. 在整式的乘除中,单项式的乘除是关键.这是因为其他乘除都要转化为单项式的乘除.实际上,单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算,因此幂的运算是学好整式乘除的基石. 乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生不易掌握,运用时容易混淆,因此乘法公式的灵活运用是本部分的难点.在教学中要引导学生分析公式的结构特征,并在练习中与所运用公式的结构特征联系起来,对所发生的错误多做具体分析,以加深学生对公式结构特征的理解. 添括号时,括号内符号的确定是本部分的另一个难点.掌握添括号法则的关键是要把添上括号后括号内的多项式与括号前面的符号看成统一体,对于这一点学生不易理解,要结合例题进行分析.学生在学习添括号时,感觉添括号比去括号要难,括号前是“—”号比括号前是“+”号要难.遇到括号前是“—”号时,学生容易漏掉括号内一部分项的变号,在讲解例题时要强调法则中“各项”的含义. 因式分解一直是初中数学教学的一个难点,原因在于分解因式的方法很多,变化技巧较高,且没有一种一般有效的方法.教学中要注意把握教学要求,防止随意拓宽内容和加深题目的难度.教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法,即提公因式法和公式法,教学中则应让学生牢固地掌握. 5．注意安排学生对选学内容的学习 教学中除了要关注学生在数学知识和数学能力方面的提高外,还要考虑在传承数学史知识及数学文化修养方面做出努力,以使学生在获得数学知识的同时人文精神也得到陶冶. 本章安排了“阅读与思考”“观察与猜想”两个选学栏目,这些选学内容是本章有关内容的拓展与延伸.不失时机地安排学生阅读这些材料,可以开阔他们的视野,拓展他们的知识面. “阅读与思考”栏目中的“杨辉三角”,不但可以使学生了解一些二项展开式中各项系数的知识从而增强他们的数学修养,还可以潜移默化地培养他们的爱国情怀.“观察与猜想”栏目,让学生初步感受分解因式的另一种方法——十字相乘方法,这有利于学生理解必修内容.

原式=【（x+1）（x-1）】/（x+3）²×1/（x-1）×（x+3）/（x+1）=1/（x+3）亲，请【采纳答案】，您的采纳是我答题的动力，谢谢。

因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)．⑵运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)； 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2⑶分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。 例如：m^2+5n-mn-5m=m^2-5m -mn+5n = (m^2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)．⑷拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)．十字相乘法 这种方法有两种情况。 ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)． 图示如下： × c d 例如：因为 1 -3 × 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f x、y为未知数，其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12． 分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解：图如下，把所有的数字交叉相连即可 x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 双十字相乘法其步骤为： ①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)； ②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

9 0.5 c 3x+6=5xx=3(4×3-15)的立方=-27

整式乘法：a的二次方乘上a的三次方的关于a的五次方。五次方是二次方加三次方多项式:：比如：3a减4.这样的式子就是多项式因式分解：X（X+1)=X的平方+X

因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。经典例题：1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x^3 -2x^2 -x(2003淮安市中考题) x^3 -2x^2 -x=x(x^2 -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a^2 +4ab+4b^2 (2003南通市中考题) 解：a^2 +4ab+4b^2 =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m^2 +5n-mn-5m 解：m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n = (m^2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx^2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x^2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x^2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x^2 +3x-40 解x^2 +3x-40=x^2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)^2-(6.5)^2=(x+8)(x-5)6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2 （解答错误太多，请大牛再分一遍吧）8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn ) 例8、分解因式2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6 解：令f(x)=2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为1/2 ，-3，-2，1 则2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图像法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn ) 例9、因式分解x^3 +2x^2 -5x-6 解：令y= x^3 +2x^2 -5x-6 作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x^3 +9x^2 +23x+15 解：令x=2，则x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x^3 +9x^2 +23x+15可能=（x+1）（x+3）（x+5） ，验证后的确如此。12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4=(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d) = x^4 +(a+c)x^3 +(ac+b+d)x^2 +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误? 如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0． 又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0， 即a＝c，△abc为等腰三角形。 例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。 例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。 解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。

（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn am+an+bm+bn =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b) 因式分解与整式乘法是(互逆)的过程

因式分解与整式的区别在于:整式乘法是把几个整式相乘化为一个 整式；而因式分解是把一个多项式化为几个因式的 乘积.

是的，他们互为逆运算

平方差公式：a²-b²=（a-b)(a+b)，逆过来：（a-b)(a+b)=a²-b²完全平方公式：（a+b)²=a²+2ab+b²，逆过来：a²+2ab+b²=（a+b）²

影响考试。单项式和多项式统称整式。这些都是考试肯定会考到的，肯定会影响到你的学业。

互逆

因式分解与整式乘法的区别在与:整式乘法是把几个整式相乘,化为一个(整式);而因式分解是把一个多项式化为几个因式的(乘积).

整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式都统称为整式。总概念单项式与多项式统称为整式。例题：、、是整式。不是整式2单项式概念由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（monomial）。单独一个数或一个字母也是单项式[1]，如Q，-1，a，等。系数（1）单项式中的常数因数叫做单项式的系数(coefficient).如3x的系数是3。（2）如果一个单项式只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为-1，如系数为1，系数为-1。（3）如果只是一个数字，系数是本身。如5的系数还是5。次数一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数（degree of a monomaial）。例如中字母x的次数是1，字母y的次数是2，则的次数为1+2=3，又如，次数为2+1=3，因为3的次数3不算入单项式的次数中。单独一个非零数的次数是0。[1]例如：4xy的系数为4，次数为2。x的指数是1，y的指数是1，指数相加得2。3单项式的易错混点（1）单项式的系数包括前面的符号，如：-a的系数是-1；（2）单项式是由数字因数和字母因数组成的，单项式不含加减运算，含有除法运算时，分母不含字母，分子不含加减运算，如：就不是单项式，也不是单项式，因为它们都含加减运算（但第二题也不是分式，因为是一个数，所以它是多项式）；（3）单项式的次数与多项式的次数是不同概念，要注意区分；（4）系数是1或-1时，省略1不写；指数是1时，1也省略不写，在这两个知识点上容易出现错误。4多项式概念由有限个单项式的代数和组成的代数式叫做多项式(polynomial)。（化为最简式，即（常数） （指数不为负数））项在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。多项式中的符号，看作各项的性质符号.一元N次多项式最多N+1项。例：在多项式2x-3中，2x和-3是它的项，其中-3是常数项；在多项式中它的项分别是、2x和18，其中18是常数项，它是三项式。次数多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，如：中，这一项的次数最高，这个多项式的次数就是5+3=8，这个多项式就是八次三项式。排列有时为了计算需要，可以将多项式各项的位置根据加法交换律按照其中某个字母的指数大小顺序来排列。例如：把多项式按字母x指数从大到小的顺序排列，写成或，这叫做把多项式按字母x的降幂排列，若按x指数从小到大排列，则就是把多项式按字母x的升幂排列，写成或，也可以是多项式中的其他字母。5多项式的易错混点（1）多项式的次数是次数最高项的次数，而不是各项次数的和，应理解透概念。（2）看清是降幂还是升幂排列。6同类项概念所含字母相同，并且相同字母的指数也分别对应相同的几个单项式叫同类项。法则将多项式中的同类项合并为一项，叫做合并同类项。合并时，将系数相加，字母和字母指数不变。例如：合并为。整式的加减就是单项式和多项式的加减，可利用去括号法则和合并同类项来完成。例如，。7整式的乘法同底数幂的乘法底数是相同的幂即为同底数幂。幂幂同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即，（m，n为整数），如。幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方幂的乘方即（m，n为整数），如。积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为：（n为整数），如。单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。例如：单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。例如：。多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。例如：。8乘法公式定义乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字，单项式，多项式，有的还可以推广到分式，根式。（详细内容请至“乘法公式”词条查看）常用公式完全平方公式：，三数和平方公式：，平方差公式：，立方和公式：，立方差公式：，完全立方公式：，欧拉公式：9因式分解定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。分解因式与整式乘法为相反变形。（详细内容请至“因式分解”词条查看）方法因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法。提公因式法又叫提取公因式法。一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式。如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来作为多项式的一个因式，提取公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种因式分解的方法叫提公因式法。例如，公因式为，因式分解结果为。公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫公式法。因式分解常用乘法公式：因式分解中的平方差公式：因式分解中的完全平方公式：，因式分解中的三数完全平方公式：十字相乘法运用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法。如果二次三项式中的常数项能分解成两个因数的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可进行以下的因式分解：完全平方式也可用此公式分解。例如，分组分解法利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。若是四项式，一般二二分组或一三分组。例如，是一三分组。10整式的除法同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。（m、n是正整数且）例如，。任何不等于零的数的零次幂为1，即单项式除以单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。注：单项式除以单项式主要是通过转化为同底数幂的除法解决的。例如，。多项式除以单项式多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。

单项式和多项式都统称为整式。整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。分解因式与整式乘法互逆。公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc(m+n)*(a+b)=ma+mb+na+nb为您提供10道例题以便理解：因式分解练习题：1.5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)2.x^3-x^2+x-1解法：=(x^3-x^2)+(x-1)=x^2(x-1)+ (x-1)=(x-1)(x^2+1)3.x2-x-y2-y解法：=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)4、bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)．5、x^2+3x-40=x^2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)^2-(6.5)^2=(x+8)(x-5)．6、(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时,可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．7、m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 8、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)9、(ab+b)2−(a+b)2= (ab+b+a+b)(ab+b−a−b)= (ab+2b+a)(ab−a)= a(b−1)(ab+2b+a)．10、3x^6-3x^2=3x^2（x^4-1)=3x^2(x^2+1)(x^2-1)=3x^2(x^2+1)(x+1)(x-1)

原式=（x²+2xy+y²-x²+y²)÷2y =(2xy+2y²)÷2y =x+yx+y=3+(-2)=1

1.互逆关系； 2.首先找出多项式的各个项（即单项式） 然后找这些单项式的系数的最大公约数 再找相同字母的最低次幂（只要有一个项没有的字母都不是公因式的一部分）； 3.首先不能选错或者记错公式（平方差公式,完全平方公式,求根公式）；其次找准公式中的“a”、“b”在题目中相当于谁,然后套公式替换（注意正负号）；再次是观察一下有没有可能再进行因式分解,也就是有没有分解完；最后是检验,再带回去用整式乘法算算,看看是否等于原题.

1．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式图一（2）完全平方公式图二2．因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，初中课本涉及到的常用方法主要有：提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），因式分解与整式乘法是相反方向的变形，在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是一种重要的基本技能。图三初中：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）．高中：不再学习整式．但在整个高中学习中都会用到因式分解进行计算.建议：掌握十字相乘法分解因式.

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　　因式分解，在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程，广泛应用在初中数学里，下面我为你整理了初中八年级数学因式分解教案人教版，希望对你有帮助。 　　八年级数学因式分解教案人教版【教材分析】 　　“因式分解(提取公因式法)”是“华东师大版八年级数学(上)”第十三章第五节内容。本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链接开拓作用。提取公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。 　　八年级数学因式分解教案人教版【学情分析】 　　因为我们班的学生大多数来自农村移民的学生，学生基础薄弱，学习兴趣不浓，所以我通过具有现实意义的情境引入新课，调动学生学习热情。 　　八年级数学因式分解教案人教版【三维目标】 　　根据大纲要求,结合本教材特点和学生认知能力，将教学目标确定为： 　　知识与技能：1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。 　　2、熟练运用提取公因式法分解因式。 　　过程与方法： 在教学过程中，体会类比的数学思想逐步形成独立思考，主动探索的习惯。 　　情感态度与价值观： 通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。 　　八年级数学因式分解教案人教版【教学重难点】 　　教学重点：理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式 　　教学难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式 　　八年级数学因式分解教案人教版【教学方法与教学手段】 　　教法：类比、探究式教学方法 　　教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系;设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。 　　学法：自主、合作、探索的学习方式 　　在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，体现素质教育的要求。 　　八年级数学因式分解教案人教版【教学过程】 　　教学环节教学流程教学内容学生活动设计意图 　　创设情境 　　4′实例导入列式替代 　　近年来，我国土地沙漠化问题严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林活动。每队都种树37行，其中一队种树102列，二队种树93列，三队种树105列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗? 　　列式：37×102+37×93+37×105 　　有简便算法吗? 　　=37×(102+93+105) 　　=37×300=11100(棵) 　　在这一过程中，把37换成m，102换成a，93换成b，105换成c，? 　　于是有：m·a+m·b+m·c= m (a+b+c) 　　利用整式乘法验证： 　　m (a+b+c)= m·a+m·b+m·c 　　通过演示引出问题 　　学生思考列式 　　逆用乘法分配律，迁移化归利用整式乘法，进行验证通过具有现实意义的情境引入，调动学生学习热情，也提高学生关注生存环境的环保意识。 　　利用因数分解将字母代替数，引入因式分解，知识衔接连贯，温故知新，并且用整式乘法来验证等式，为因式分解与整式乘法的联系埋下伏笔。 　　新课讲解 　　4′提问类比引入新知 　　因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式。 　　对象：多项式 结果：整式的乘积形式 　　学生举例：(说明什么是因式分解) 　　思考：整式的乘法与因式分解的关系：和差积 　　1、 整式的乘法 　　因式分解 　　2、利用整式乘法检验因式分解的正确性。 　　练习思考(判别因式分解) 　　ma+mb+mc=m(a+b+c)想学习这样分解因式的方法吗? 　　这就是提取公因式法理解概念 　　学生思考后回答，教师给予鼓励评价 　　独立思考、合作交流启发学生从整式乘法角度举例培养学生发散思维和创新意识，同时根据例子发现学生对因式分解理解的正误，教师可及时引导纠正。通过类比的数学思想让学生发现整式乘法与因式分解的关系。 　　联系思考中以习题形式反馈学习质量，边学边练，形成数学活动经验，不增加记忆负担。 　　新课讲解 　　11′游戏探索 　　归纳总结 　　公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。 　　寻找公因式游戏：根据多项式和提供的整式，寻找出这个多项式的公因式。 　　① 3a+3b ② 21x2y2+7x2y 　　a, b, 3 21xy, 7x2y,7x2y2 　　③ -x3y2+3xy2-xy ④ x(x-y)2-y(x-y) 　　xy, -xy, 3xy x(x-y), y(x-y), (x-y) 　　寻找公因式的方法： 　　(1)取多项式中各项系数的最大公约数作为公因式中的数字因式。 　　(2)各项中的相同的字母(或多项式)作为公因式中的字母(或多项式)，并取它们的最低次幂。 　　理解概念 　　准备好写有整式和多项式的纸牌，学生分为四组，每组选四个同学游戏，其中3个同学举一组题中的整式牌，第4个同学根据组员建议寻找出此组题中多项式的公因式，并说明理由。 　　学生讨论归纳出方法。引入公因式的概念后，用游戏活动激起学生对新知识的学习兴趣，使课堂气氛轻松活跃。 　　这样设置打破了传统的由教师讲授找公因式方法，学生被动接受记忆，而是让学生在游戏中团结协作，自主探索出方法，有利于发展思维能力及培养学生归纳总结表达交流的能力。 　　实例分 　　析提取公因式法： 　　把公因式提出来,多项式 ma+mb+mc就分解成m和a+b+c的乘积，这种因式分解方法叫做提公因式法。 　　例：把下列各式分解因式： 　　(1) 3a+3b (2) 21x2y2+7x2y 　　(3) –x3y2+3xy2-xy 　　易出现的典型错误： 　　1、符号 2、项数理解概念 　　师生共同完成，纠正易出现的错误，写出规范解题格式。例题在游戏中出现过，由此可将注意力集中在提出公因式后各项的变化上，更易让学生学会准确的提取公因式。 　　例：(4)x(x-y)2-y(x-y) 　　(5)(x-y)3-(y-x)2 　　注：n为偶数 (x-y)n = (y-x)n 　　n为奇数 (x-y)n = - (y-x)n 　　学生积极思考，讨论回答。此例说明各项中相同的整式也可作为公因式的一部分，为以后学习换元法铺路。

　　教材分析 　　因式分解是代数式的一种重要恒等变形。《数学课程标准》虽然降低了因式分解的特殊技巧的要求,也对因式分解常用的四种方法减少为两种,且公式法的应用中,也减少为两个公式,但丝毫没有否定因式分解的教育价值及其在代数运算中的重要作用。本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的,事实上,它是整式乘法的逆向运用,与整式乘法运算有密切的联系。分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想,而且也是解决后续—分式的化简、解方程等—恒等变形的基础,为数学交流提供了有效的途径。分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。本章的教育价值还体现在使学生接受对立统一的观点,培养学生善于观察、善于分析、正确预见、解决问题的能力。 　　学情分析 　　通过探究平方差公式和运用平方差公式分解因式的活动中，让学生发表自己的观点，从交流中获益，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志建立自信心。 　　教学目标 　　1、在分解因式的过程中体会整式乘法与因式分解之间的联系。 　　2、通过公式a -b =(a+b)(a-b)的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、等能力，发展有条理地思考及语言表达能力。 　　3、能运用提公因式法、公式法进行综合运用。 　　4、通过活动4，能将高偶指数幂转化为2次指数幂，培养学生的化归思想。 　　教学重点和难点 　 　重点： 灵活运用平方差公式进行分解因式。 　 　难点： 平方差公式的推导及其运用，两种因式分解方法（提公因式法、平方差公式）的综合运用。

数学是人类探究世界，研究自然界任何事物的核心。 没有数学就没有物理学，化学，生物学，人类将永远停滞不前。

1. 99^3-99=99*(99^2-1)=99*(99+1)*(99-1)=99*100*98所以“99^3-99”能被100整除。2. （x+1）（x+2）=x^2+3x+2，从左到右是整式乘法，从右到左是因式分解。

整式乘法就是两个整式相乘（一个中的每一项分别乘以另一个中的每一项）最后合并同类项因式分解就是将一个整式写成等式右边等于零，左边写成两个或多个单项式相乘的形式（多用来求方程的解）如：4x2(平方）+12x+7=0因式分解：（2x+7)(2x+1)=0

导函数的基本公式如图所示：求导法则：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。4、如果有复合函数，则用链式法则求导。点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f"(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在，只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

我想问你你如何在复数域上得到"幂的乘方,底数不变,指数相乘"这个法则的?复变函数中,幂函数f(z)=z^a一般情况下是多值函数,只有当a为整数时,f(z)才是单值.所谓单值多值,指的是一个自变量z对应单个/多个因变量f(z).具体来说,任取一个不是整数的t,e^(2πit)这个函数我可以看做是f(z)=z^(2πit)当z=e时的情况.因为t不是整数,所以f(z)是多值函数,也就是说e^(2πit)这个式子表示无穷多个复数w1,w2,w3,...听懂吗?而(e^2πi)^t这个式子,我同样看做是幂函数g(z)=z^t,当z=e^2πi时的情况.而当z=e^2πi=1,t取实数的时候,g(z)恒等於1,也就是说这是一个常数函数.请问上面无数个复数w1,w2,w3,...怎麼能和一个常数直接划等号?如果直接划等号,岂不就意味著w1=w2=w3=...,那还叫做多值函数吗?至於为什麼你最上面说n为整数时二者都为1,那是因为n为整数时,幂函数是单值的,一个自变量只对应一个因变量.所以幂的运算法则成立.

三角函数所有公式大全：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotαtanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosαsin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαsin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]记忆三角函数公式1、“奇变偶不变，符号看象限”：“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。2、符号判断口诀：“一全正;二正弦;三正切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”; 第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”。“ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

x>-2或x<-5

这只是约等于sin37度约等于0.6018

齿开头的四字成语：齿颊挂人、齿牙余论、齿甘乘肥、齿亡舌存、齿牙春色、齿牙馀惠、齿危发秀、齿剑如归、齿落舌钝、齿少心锐、齿颊生香、齿过肩随、齿牙为祸、齿如编贝

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:1.y=c(c为常数)y"=02.y=x^ny"=nx^(n-1)3.y=a^xy"=a^xlnay=e^xy"=e^x4.y=logaxy"=logae/xy=lnxy"=1/x5.y=sinxy"=cosx6.y=cosxy"=-sinx7.y=tanxy"=1/cos^2x8.y=cotxy"=-1/sin^2x9.y=arcsinxy"=1/√1-x^210.y=arccosxy"=-1/√1-x^211.y=arctanxy"=1/1+x^212.y=arccotxy"=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y"=f"[g(x)]•g"(x)『f"[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g"(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y"=u"v-uv"/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y"=1/x"证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到y=e^xy"=e^x和y=lnxy"=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。可以知道，当a=e时有y=e^xy"=e^x。4.y=logax⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。可以知道，当a=e时有y=lnxy"=1/x。这时可以进行y=x^ny"=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,所以y"=e^nlnx•(nlnx)"=x^n•n/x=nx^(n-1)。5.y=sinx⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx6.类似地，可以导出y=cosxy"=-sinx。7.y=tanx=sinx/cosxy"=[(sinx)"cosx-sinx(cos)"]/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x8.y=cotx=cosx/sinxy"=[(cosx)"sinx-cosx(sinx)"]/sin^2x=-1/sin^2x9.y=arcsinxx=sinyx"=cosyy"=1/x"=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^210.y=arccosxx=cosyx"=-sinyy"=1/x"=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^211.y=arctanxx=tanyx"=1/cos^2yy"=1/x"=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^212.y=arccotxx=cotyx"=-1/sin^2yy"=1/x"=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与4.y=u土v,y"=u"土v"5.y=uv,y=u"v+uv"均能较快捷地求得结果。

三角函数公式1. 同角三角函数的基本关系：倒数关系：tanα •cotα＝1 sinα •cscα＝1 cosα •secα＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式：sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=12. 一个特殊公式：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）3. 锐角三角函数公式正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边4. 二倍角公式正弦sin2A=2sinA•cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）5. 三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a) 6. n倍角公式sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）。 其中R=2^（n-1） 7. 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2；cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 8. 和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)9. 两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ10. 积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/211. 双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容12. 诱导公式sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限13. 万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²] 14. 其它公式(1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)² (3)1+(cotα)²=(cscα)² 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²，第二个除(cosα)²即可。(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) 15. 两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

恨之入骨

三角函数基本公式包括三角函数半角公式、三角函数倍角公式、三角函数两角和与差公式、三角函数积化和差公式等等，接下来分享具体内容。 三角函数基本公式 三角函数半角公式 sin(A/2)=±√((1-cosA)/2) cos(A/2)=±√((1+cosA)/2) tan(A/2)=±√((1-cosA)/((1+cosA)) 三角函数倍角公式 Sin2A=2SinA*CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) 三角函数两角和与差公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cossinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 三角函数积化和差 sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2 三角函数和差化积 sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 三角函数的万能公式 sin(A)=[2tan(A/2)]/[1+tan2(A/2)] cos(A)=[1-tan2(A/2)]/[1+tan2(A/2)] tan(A)=[2tan(A/2)]/[1-tan2(A/2)] 三角函数半角公式推导过程 已知公式 sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=cos²A-sin²A=2cos²A-1=1-2sin²A① 半角正弦公式 由等式①，整理得：sin²A=1-cosA/2 将A/2带入A，整理得：sin²A/2=1-cosA/2 开方，得sinA/2=±√((1-cosA)/2) 半角余弦公式 由等式①，整理得：cos2A+1=2cos²A 将A/2带入，整理得：cos²A/2=cosA+1/2 开方，得cos(A/2)=±√((1+cosA)/2) 半角正切公式 tan(A/2)=[sin(A/2)]/[cos(A/2)]=±√((1-cosA)/((1+cosA))

（2y-1）小于或等于（y-2）！然后移项！把y移到2y-1中！得y-1小于或等于-2！然后-1移到-2中！y就小于或等于-1了！很容易吧！！！

　　带有恶字的成语： 　　深恶痛疾、 　　怙恶不悛、 　　恶贯满盈、 　　除恶务尽、 　　凶神恶煞、 　　彰善瘅恶、 　　恶性循环、 　　怒从心上起，恶向胆边生、 　　恶语相加、 　　爱之欲其生，恶之欲其死、 　　欺善怕恶、 　　作恶多端、 　　罪恶昭彰、 　　罪大恶极 　　恶字开头的成语接龙： 　　恶恶从短 → 短绠汲深 → 深仇重怨 → 怨天忧人 → 人百其身 → 身无立锥 → 　　锥处囊中 → 中饱私囊 → 囊空如洗 → 洗心革面 → 面谩腹诽 → 　　诽誉在俗 → 俗不可耐 → 耐人咀嚼 → 嚼齿穿龈 → 龈齿弹舌 　　恶字开头的成语及解释： 　　恶不去善：不因为厌恶某人而否定他的优点。 　　恶叉白赖：耍无赖，无理取闹。 　　恶尘无染：指没有受到坏习气的影响。 　　恶恶从短：比喻对人所做的坏事，不十分苛责。 　　恶贯祸盈：贯：钱串;祸：为害。指罪恶累累像钱串已满，末日来临 　　恶贯久盈：贯：钱串;盈：充满。罪恶像钱串一样堆满。形容罪大恶极，已到了该受惩罚的末日 　　恶贯满盈：贯：穿钱的绳子;盈：满。罪恶之多，犹如穿线一般已穿满一根绳子。形容罪大恶极，到受惩罚的时候了。 　　恶贯已盈：形容罪大恶极，到受惩罚的"时候了。同“恶贯满盈”。 　　恶虎不食子：即使凶恶的老虎也不吃自己生下的小老虎。比喻不伤害亲近者。 　　恶迹昭著：昭著：显著，明显。恶劣的事迹十分明显，人所共见。形容罪行严重。 　　恶积祸盈：罪恶成堆，祸害满贯。形容罪大恶极。 　　恶籍盈指：犹恶贯满盈。 　　恶居下流：恶：讨厌，憎恨;下流：即下游，引伸为卑下的地位。憎恨处于下游。原指君子不愿居于卑下的地位。现也指不甘居下游。 　　恶龙不斗地头蛇：地头蛇：比喻称霸一方的人。比喻外来者尽管很厉害，也斗不过本地的恶势力 　　恶人先告状：指坏人或理亏的人抢先诉说或歪曲事实 　　恶人自有恶人磨：磨：折磨。指狠毒的人自然会有更狠毒的人来折磨他 　　恶稔贯盈：稔：成熟;贯盈：穿满了绳索，指到了极点。罪恶积蓄成熟，像钱串已满。形容作恶多端，末日来临 　　恶稔祸盈：稔：成熟;盈：满，指到了极点。罪恶积蓄成熟，像钱串已满。形容作恶多端，末日来临 　　恶稔罪盈：稔：成熟;盈：满，指到了极点。罪恶积蓄成熟，像钱串已满。形容作恶多端，末日来临 　　恶声恶气：形容说话语气很凶狠，态度粗暴。 　　包含恶字的成语及解释： 　　爱生恶死：恶：厌恶。喜爱生存，厌恶死亡。 　　爱则加诸膝，恶则坠诸渊：加诸膝：放在膝盖上;坠诸渊：推进深渊里。意指不讲原则，感情用事，对别人的爱憎态度，全凭自己的好恶来决定。 　　爱之欲其生，恶之欲其死：喜爱他时，总想叫他活着;讨厌他时，总想叫他死掉。指极度地凭个人爱憎对待人。 　　褒善贬恶：褒：赞扬;贬：批评。对好人好事加以赞扬;对坏人坏事加以斥责。指分清善恶，提出公正的评价。 　　敝绨恶粟：指衣食粗劣。 　　敝绨恶粟：指衣食粗劣。 　　不恶而严：并不恶声恶气，但很威严，使人知敬畏。 　　不念旧恶：念：记在心上。不计较过去的怨仇。 　　刬恶锄奸：铲除凶恶奸邪之人。 　　剗恶锄奸：铲除凶恶奸邪之人。 　　长恶不悛：指长期作恶，不肯悔改。 　　长恶靡悛：指长期作恶，不肯悔改。 　　惩恶劝善：惩：责罚;劝：勉励。惩罚坏人，奖励好人。 　　丑类恶物：指坏人。 　　除恶务本：铲除恶势力，必须杜绝根本。 　　除恶务尽：恶：邪恶;务：必须。清除坏人坏事必须干净彻底。 　　除邪惩恶：惩：处罚。清除邪气，惩办坏人。 　　从恶如崩：指为恶如山崩那样容易。 　　从恶若崩：崩：倒塌。学坏像高山崩塌一样迅速。比喻学坏很容易。 　　从恶是崩：学坏象高山崩塌一样迅速。比喻学坏很容易。

即是把分式整理成（AX±B）/（CX±D）＞0或（AX±B）/（CX±D）＜0前者，（同号为正），即解AX±B和CX±D同时＞0或＜0的不等式组（先交集后并集）后者，（异号为正），即解AX±B和CX±D一个＞0一个＜0的两不等式组（先交集后并集）