九年级数学上册因式分解知识点总结

因式分解就是把多项式变形成积的形式。其方法有：（1）提取公式（2）分组分解法（3）公式法（主要是用乘法公式） （4）求根公式法（5）十字相乘法

　因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。　　因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④　　因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)　　公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。　　公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。　　提取公因式步骤：　　①确定公因式。②确定商式③公因式与商式写成积的形式。　　分解因式注意；　　①不准丢字母　　②不准丢常数项注意查项数③双重括号化成单括号　　④结果按数单字母单项式多项式顺序排列　　⑤相同因式写成幂的形式　　⑥首项负号放括号外　　⑦括号内同类项合并。（一）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 （二）平方差公式 1．平方差公式 （1）式子： a2-b2=(a+b)(a-b) （2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 （三）因式分解 1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。 2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 （四）完全平方公式 （1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 =(a-b)2 这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 （2）完全平方式的形式和特点 ①项数：三项 ②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 （3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 （4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 （5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 （五）分组分解法 我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式． 如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式． 原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n) 做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以 原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)•(a +b)． 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式． （六）提公因式法 1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式． 2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意： 1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于 一次项的系数． 2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤： ① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况； ②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数． 3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式． （七）分式的乘除法 1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式． 3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分． 4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2， (x-y)3＝-(y-x)3． 5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方． 6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减． （八）分数的加减法 1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来． 2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变． 3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备． 4．通分的依据：分式的基本性质． 5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 6.类比分数的通分得到分式的通分： 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。 8．异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 9．同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号． 10．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分． 11．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化． 12．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式． (九)含有字母系数的一元一次方程 1．含有字母系数的一元一次方程 引例：一数的a倍（a≠0）等于b，求这个数。用x表示这个数，根据题意，可得方程 ax=b（a≠0） 在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。 含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零。

　　初中数学集合的表示方法知识点 　　集合的表示方法包括列举法和描述法，两种表示方法一个常用于表示有限集合，一个常用于表示无限集合。 　　 集合的表示方法 　　(1)列举法： 　　常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，并用逗号隔开，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……} 　　(2)描述法： 　　常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字、符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 　　4.基数 　　集合A中不同元素的数目称为集合A的基数，记作Card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。 　　列举法和描述法的表示方法有很多相似之处，大家不要混淆了。 　　初中数学知识点总结：平面直角坐标系 　　下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 　　 平面直角坐标系 　　 平面直角坐标系： 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 　　水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 　　平面直角坐标系的"要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 　　 三个规定： 　　①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 　　②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 　　③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 　　相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 　　初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 　　对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 　　 平面直角坐标系的构成 　　在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 　　通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。 　　初中数学知识点：点的坐标的性质 　　下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。 　　 点的坐标的性质 　　建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 　　对于平面内任意一点C，过点C分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。 　　一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。 　　希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。 　 　初中数学知识点：因式分解的一般步骤 　　关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。 　　 因式分解的一般步骤 　　如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式， 　　通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。 　　注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。 　　相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。 　　初中数学知识点：因式分解 　　下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。 　　 因式分解 　　 因式分解定义 ：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。 　　 因式分解要素 ：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④ 　　因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c) 　　 公因式： 一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 　　 公因式确定方法 ：①系数是整数时取各项最大公约数。②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。 　　 提取公因式步骤： 　　①确定公因式。②确定商式③公因式与商式写成积的形式。 　　 分解因式注意； 　　①不准丢字母 　　②不准丢常数项注意查项数 　　③双重括号化成单括号 　　④结果按数单字母单项式多项式顺序排列 　　⑤相同因式写成幂的形式 　　⑥首项负号放括号外 　　⑦括号内同类项合并。 　　通过上面对因式分解内容知识的讲解学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望上面的内容给同学们的学习很好的帮助。

31，积32，m（a+b+c）33,(a+b）（a-b）34，（a±b）²35，提取公因式36，公式

3!24表示3的24次方,我刚接触,所以不会表示因为：3!24-1=(3!12+1)*(3!12-1)=(3!12+1)*(3!6+1)*(3!6-1)=(3!12+1)*(3!6+1)*(3!3+1)*(3!3-1)=(3!12+1)*(3!6+1)*28*(3!3-1)所以：3的24次方-1能被28整除想了好一会儿才想出...

因式分解（4n^2+5)^2-9=（4n^2+5)^2-3^2=（4n^2+5+3）（4n^2+5-3）=（4n^2+8）（4n^2+2）=8（n^2+2）（2n^2+1）

因式分解的知识点的话，首先要提出多项式之间的他们的公因式，提出之后，再进行相对应的计算。

x的平方减x

上课认真，不会可以问同学或老师，有条件可以找老师补习提高！

2^(n+3)-2^(n-1) =2^(n-1)(2^4-1) =2^(n-1)×15 =2^(n-2)×30 ∵30能被6整除 ∴2^(n-2)×30能被6整除 ∴2^(n+3)-2^(n-1)能被6整除 明白请采纳, 有新问题请求助,

2^(n+3)=2^(n+1)×2^2提取公因式先：2^(n+3)-2^(n+1)=2^(n+1)(2^2-1)=2^(n+1)×3=2^n×6因为n为正整数，所以2^n是2的整数倍所以原式能被6整除

n3+3n2+n=n(n2+3n+2)=n(n+1)(n+2)三个连续自然数的乘积所以当n取最小正整数1时，这个数位6因为第一个因式为n则所有的数都是6的倍数

这就是考察平方差公式：a²-b²=(a-b)(a+b)在这里就是把(a+b)和(c+a)分别看成一个整体，再运用平方差公式进行分解。

25m²-n²=(5m+n)(5m-n)4-4x+x²=(2-x)²x平方-x-12=(x-4)(x+3)x平方+x-12=(x+4)(x-3)(x-2)平方-2(x-2)=(x-2)(x-2-2)=(x-2)(x-4)x平方+3xy+2y平方=(x+2y)(x+y)x平方-8x=x(x-8)4x平方-4x+1=(2x-1)²(2x+3)平方-(1-3x)平方=(2x+3+1-3x)(2x+3-1+3x)=(4-x)(2+5x)x平方-11x+18=(x-2)(x-9)把下列方程化为(x+m)平方=n的形式,再用开方法求解x平方-4x+3=0(x-2)²=1x1=3 x2=1x平方-2x-99=0(x-1)²=100x1=11 x2=-92x平方-7x-4=0x1=-1/2 x2=43x平方-4x-2=0这个用求根公式吧- -

因式分解最关键的是“双十字相乘法”

因式分解因式分解（factorization）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。经典例题：1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]•[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图像法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图像，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误? 如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0． 又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0， 即a＝c，△abc为等腰三角形。 例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。 例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。 解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。 提取公因式 ab+ac=a(b+c) 十字相乘法 ax²+bx+c=(px+m)(qx+n),其中pq=a,pn+qm=b,mn=c 完全平方 ax²+bx+c=a(x+b/2a)²+c-b²/4a,其中c-b²/4a=0即c=b²/4a 平方差 a²-b²=(a+b)(a-b) 平方和 a²+b²=(a+bi)(a-bi) 立方差 a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 立方和 a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

　　初二下学期学习的难度增加了，知识范围更广，课程的内容更加抽象，更加难以理解，应届毕业生考试网为您整理了人教版新初二年级下册数学知识点，欢迎大家阅读收藏。 　　第一章 分式 　　1 分式及其基本性质 　　分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变 　　2 分式的运算 　　(1)分式的乘除 　　乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 　　除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 　　(2) 分式的加减 　　加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减; 　　异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 　　3 整数指数幂的加减乘除法 　　4 分式方程及其解法 　　第二章 反比例函数 　　1 反比例函数的表达式、图像、性质 　　图像：双曲线 　　表达式：y=k/x(k不为0) 　　性质：两支的增减性相同; 　　2 反比例函数在实际问题中的应用 　　第三章 勾股定理 　　1 勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方 　　2 勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 　　第四章 四边形 　　1 平行四边形 　　性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。 　　判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 　　两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 　　对角线互相平分的四边形是平行四边形; 　　一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。 　　推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。 　　2 特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 　　(1) 矩形 　　性质：矩形的四个角都是直角; 　　矩形的对角线相等; 　　矩形具有平行四边形的所有性质 　　判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形; 　　对角线相等的平行四边形是矩形; 　　推论： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 　　(2) 菱形 　　性质：菱形的四条边都相等; 　　菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角; 　　菱形具有平行四边形的一切性质 　　判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形; 　　对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 　　四边相等的四边形是菱形。 　　(3) 正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。 　　3 梯形：直角梯形和等腰梯形 　　等腰梯形：等腰梯形同一底边上的两个角相等; 　　等腰梯形的两条对角线相等; 　　同一个底上的`两个角相等的梯形是等腰梯形。 　　第五章 数据的分析 　　加权平均数、中位数、众数、极差、方差 　　拓展：初中数学知识点全总结 　　某些数列前n项和 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 　　2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 　　13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 　　知识拓展：数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。 　　初中数学知识点总结：平面直角坐标系 　　下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 　　平面直角坐标系 　　平面直角坐标系： 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 　　水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 　　平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 　　三个规定： 　　①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 　　②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 　　③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 　　相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 　　初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 　　对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 　　平面直角坐标系的构成 　　在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 　　通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。 　　初中数学知识点：点的坐标的性质 　　下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。 　　点的坐标的性质 　　建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 　　对于平面内任意一点C，过点C分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。 　　一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。 　　希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。 　　初中数学知识点：因式分解的一般步骤 　　关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。 　　因式分解的一般步骤 　　如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式， 　　通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。 　　注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。 　　相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。 　　初中数学知识点：因式分解 　　下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。 　　因式分解 　　因式分解定义 ：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。 　　因式分解要素 ： 　　①结果必须是整式 　　②结果必须是积的形式 　　③结果是等式 　　④因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c) 　　公因式： 一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 　　公因式确定方法 ： 　　①系数是整数时取各项最大公约数。 　　②相同字母取最低次幂 　　③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。 　　提取公因式步骤： 　　①确定公因式。 　　②确定商式 　　③公因式与商式写成积的形式。 　　分解因式注意； 　　①不准丢字母 　　②不准丢常数项注意查项数 　　③双重括号化成单括号 　　④结果按数单字母单项式多项式顺序排列 　　⑤相同因式写成幂的形式 　　⑥首项负号放括号外 　　⑦括号内同类项合并。 　　通过上面对因式分解内容知识的讲解学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望上面的内容给同学们的学习很好的帮助。

9（a+b）²-12（a+b）+4=[3(a+b)-2]^2

　　下面是关于平面直角坐标系知识点的总结学习，同学们认真看看。 　　. 平面直角坐标系： 　　（1）在平面内两条有公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫纵轴或轴，取向上的方向为正方向；两数轴的交点叫做坐标原点。 　　（2）建立了直角坐标系的平面叫坐标平面．x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 　　相信上面对平面直角坐标系知识点的总结学习，同学们对此知识已经能很好的掌握了吧，加油！ 　　初中数学知识点总结：平面直角坐标系 　　下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 　　 平面直角坐标系 　　 平面直角坐标系： 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 　　水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 　　平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 　　 三个规定： 　　①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 　　②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 　　③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 　　相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 　　初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 　　对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 　　 平面直角坐标系的构成 　　在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 　　通过上面对平面直角坐标系的.构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。 　　初中数学知识点：点的坐标的性质 　　下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。 　　 点的坐标的性质 　　建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 　　对于平面内任意一点C，过点C分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。 　　一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。 　　希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。 　　初中数学知识点：因式分解的一般步骤 　　关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。 　　 因式分解的一般步骤 　　如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式， 　　通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。 　　注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。 　　相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。

分解因式的方法有什么？

3！24表示3的24次方，我刚接触，所以不会表示解：因为：3!24-1=(3!12+1)*(3!12-1)=(3!12+1)*(3!6+1)*(3!6-1)=(3!12+1)*(3!6+1)*(3!3+1)*(3!3-1)=(3!12+1)*(3!6+1)*28*(3!3-1)所以：3的24次方-1能被28整除想了好一会儿才想出的，给分吧

（a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2=（a²+b²-c²-2ab）（a²+b²-c²+2ab）=【（a-b）²-c²】【（a+b）²-c²】=（a-b-c）（a-b+c）（a+b-c）（a+b+c）因为a、b、c为三角形的三边,所以都是正数,且由两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可得：a-b-c＜0a-b+c＞0a+b-c＞0a+b+c＞0所以（a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2=（a-b-c）（a-b+c）（a+b-c）（a+b+c）＜0

选C，用假设法

2(t-1)2+t-1=0  (t-1)(2t-1)=0所以t=1，t=1/2

因式分解（分解因式）Factorization，把一个多项式化为几个  最简整式  的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

可以参考除法运算的方法，用所需因式分解的式子迟疑可以明显看出的因式就得到结果了

(a^3－b^3)＝(a－b)(a^2＋ab＋b^2) 是立方差公式

（4n的平方+5）的平方-9=16n^4+40n^2+16除以8的话=2n^4+5n^2+2，n为整数，所以肯定为整数；设那个基数=2n+1，其中n是自然数，那么两个连续奇数的平方差=（2n+3）^2-（2n+1）^2=8n+8,除以8的话=n+1,n为整数，所以肯定可以整除；望采纳

4a方十b方十4a一6b十12=（4a²+4a+1）+（b²-6b+9）+1=（2a+1）²+（b-3）²+1≥0+0+1=1＞0所以，4a方十b方十4a一6b十12大于0

81^7-27^9-9^13=3^28-3^27-3^26=(3^26)(3²-3-1)=(3^24)×454a²+b²+4a-6b+12=4a²+4a+3+(b²-6b+9)=4(a²+a+1/4)+(b²-6b+9)+2=4(a+1/2)²+(b-3)²+2≥2>0

324－1＝(312)2－1＝（312＋1）×（312－1）＝（312＋1）×[(36)2－1]＝（312＋1）×(36＋1)×（36－1）＝（312＋1）×(36＋1)×[(33)2－1]＝（312＋1）×(36＋1)×（33＋1）×（33－1）＝（312＋1）×(36＋1)×28×26

答案：选C。通过观察，这是一个二次项系数为1的二次三项式，可以直接利用公式x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)来进行因式分解。用十字相乘法，把常数项分解成两个数的乘积，使一次项系数变成这两因数的和。通过分析，常数项 -6可以分解成：3*(-2)、(-3)*2、6*(-1)、(-6)*1。设所给二次三项式中一次项的系数为c，那么， 令a=3, b=-2 ,则c=1；令a=-3, b=2 ,则c=-1；令a=6, b=-1 ,则c=5；令a=-6, b=1 ,则c=-5。所以所求括号中一次项的系数只能是1，-1，5，-5。

(2n+1)^2-49=4n²+4n+1-49=4n²+4n-48=4（n²+n-12）=4（n-3）（n+4)题目事实上有些漏洞，n≥3时(2n+1)^2-49能被4整除。希望解答了你的疑问。

3！24表示3的24次方，我刚接触，所以不会表示解：因为：3!24-1=(3!12+1)*(3!12-1)=(3!12+1)*(3!6+1)*(3!6-1)=(3!12+1)*(3!6+1)*(3!3+1)*(3!3-1)=(3!12+1)*(3!6+1)*28*(3!3-1)所以：3的24次方-1能被28整除想了好一会儿才想出的，给分吧

原式=（3^12+1)(3^12-1)=(3^12+1)(3^6+1)(3^6-1)=(3^12+1)(3^6+1)(3^3+1)(3^3-1)=(3^12+1)(3^6+1)*28*(3^3-1)即证能被28整除

2ab

n3+3n2+n=n(n2+3n+2)=n(n+1)(n+2) 三个连续自然数的乘积所以当n取最小正整数1时，这个数位6 因为第一个因式为n 则所有的数都是6的倍数

QQ269832331，免费给你讲解因式分解

X^3+6X^2+12X+8=X^3+2X^2+4X^2+8x+4x+8=x^2(x+2)+4x(x+2)+4(x+2)=(x^2+4x+4)(x+2)=(x+2)²(x+2)=(x+2)³4X^2-1=(2x+1)(2x-1)8X^3+27=(2x)³+3³=(2x+3)(4x²-6x+9)

(x+y+z)^3=0如果你不知道三项的展开式的话 先把x+y看成一项（x+y+z）^3=(x+y)^3+z^3+3(x+y)^2z+3(x+y)z^2=x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+3(x+y)^2z+3(x+y)z^2=x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3(x+y)^2z+3(x+y)z^2=x^3+y^3+z^3+3(x+y)[xy+(x+y)*z+z^2]=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(xy+xz+yz+z^2)=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(x+z)(y+z)=0x^3+y^3+z^3=-3(x+y)(x+z)(y+z)x+y+z=0x+y=-zy+z=-xx+z=-yx^3+y^3+z^3=3xyz同学你好，如果问题已解决，记得右上角采纳哦~~~您的采纳是对我的肯定~谢谢哦

9999×9993=(9996+3)(9996-3)=9996²-3² 9999×9993

2011 2 -2010 2 =（2011+2010）=4021．

20112-20102=（2011+2010）（2011-2010）=4021．

因式分解中一定要有字母——并未未知数都是数字如何进行分解啊~

jikop;p;07l,k ,ui

1、=(a-1)(7+x)2、=(b-a)(3b-3a+6)=3(b-a)(b-a+2)3、=(m-n)(m-n-m)=-n(m-n)4、=(x-y)^2(x-y)=(x-y)^35、=(a^2+b^2)(m+n)6、=(a-b)^2(18a-18b-12b)=(a-b)^2(18a-30b)=6(a-b)^2(3a-5b)7、=(2a+b)(2a-3b-3a)=(2a+b)(-a-3b)=-(2a+b)(a+3b)8、=(x+y)(x^2-xy-x^2-xy)=(x+y)(-2xy)=-2xy(x+y)

n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2)三个连续整数必是6的倍数

解：1、由x²＋y²－xy＋2x－y＋1＝0得（x+1)^2+y^2=y(x+1)>=0,变形有（x+1-y)^2=-y(x+1)>=0,所以y(x+1）<=0,又y(x+1)>=0，所以y(x+1)=0,则（x+1)^2+y^2=0，有y=0,x=-1. 2、1×2×3×4＋1＝25＝5²=(2^2+1)^2，2×3×4×5＋1＝121＝11²=（3^2+2)^2，　　　 3×4×5×6＋1＝361＝19²=（4^2+3)^2,由此可知规律为n×(n+1)×(n+2)×(n+3)+1=((n+1)^2+n)^2(其中n>=1且为整数），用数学语言表示就是连续四个自然数（第一个自然数大于或等于1）的乘积与1的和等于第二个自然数的平方与第一个自然数和的平方。

1、牢记公式，记不住可以在做题中反复巩固。2、题海战术，简单有效。