裂项求和法什么条件下可以用?

分式裂项是解题技巧用的，把一个分式根据分母，分裂开来，便于消项等。如:1/(x+1)(x+2)+1/(x+2)(x+3)+……+1/(x+99)(x+100)=1/(x+1)-1/(x+2)+1/(x+2)-1/(x+3)+……+1/(x+99)-1/(x+100)=1/(x+1)-1/(x+100)=99/(x+1)(x+100)

分数裂项公式：解：an=1/[N(N+1)]=（1/N）- [1/(N+1)]（裂项）Sn=1/(1×2) +1/(2×3) +1/(3×4) +1/(4×5)+....+1/N(N+1)=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/N）- [1/(N+1)]（裂项求和）= 1-1/(N+1)= N/(N+1)数列的裂项相消法三大特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” 。（3）分母上几个因数间的差是一个定值裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”。

只要是分式数列求和可采用裂项法，裂项的方法是用分母中较小因式的倒数减去较大因式的倒数,通分后与原通项公式相比较就可以得到所需要的常数。裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。通常用于代数，分数，有时候也用于整数。此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）。附：数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)。1、分组法求数列的和：如an=2n+3n。2、错位相减法求和：如an=n·2^n。3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)。4、倒序相加法求和：如an= n。5、求数列的最大、最小项的方法：① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3。② (an>0) 如an=6。③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)。6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值。(2)当 a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值。7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。

1/n(n+1)=(1/n)-[1/(n+1)]1/n(n+m)=(1/m){(1/n)-[1/(n+m)]}

将一个分数写成几个分数的和或者差的形式

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）（1）1/[n(n 1)]=1/n-1/(n 1)（2）1/[(2n-1)(2n 1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n 1)]（3）1/[n(n 1)(n 2)]=1/2{1/[n(n 1)]-1/[(n 1)(n 2)]}（4）1/(√a √b)=[1/(a-b)](√a-√b)（5） n·n!=(n 1)!-n!（6）1/[n(n k)]=1/k[1/n-1/(n k)]【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n 1) 的前n项和.解：an=1/n(n 1)=1/n-1/(n 1) （裂项）则 Sn=1-1/2 1/2-1/3 1/3-1/4… 1/n-1/(n 1)（裂项求和）= 1-1/(n 1)= n/(n 1)【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n 1) 的前n项和.解：an=n(n 1)=[n(n 1)(n 2)-(n-1)n(n 1)]/3（裂项）则 Sn=[1×2×3-0×1×2 2×3×4-1×2×3 …… n(n 1)(n 2)-(n-1)n(n 1)]/3（裂项求和）= [n(n 1)(n 2)]/3【例3】1/(1×4) 1/(4×7) 1/(7×10) …… 1/(91×94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。原式=1/3 *[（1-1/4） （1/4-1/7） （1/7-1/10） …… （1/91-1/94）]=1/3*(1-1/94)=31/94希望能帮到你

             你好！！！！！             高中数学——数列裂项中的常见几种形式          1.分式型裂项（高考常考的,一定要掌握）          2.根式裂项（高考常考的,一定要掌握）          3.指数型裂项（比如今天刚考完的广东一模就考察这种指数型裂项）          4.对数型裂项          5.三角函数型裂项（不常考）          6.排列组合型裂项（不常考）            希望以上的回答能够帮助到你！！！！

裂项法的核心就是将通项分裂，使分裂后能消去一些项，从而达到化简的目的。裂项法的技巧主要分为裂差技巧和裂和技巧两种。在裂差的情况下，需要将分式裂为两式之差，比如1/2*3+1/3*4+1/4*5+.......+1/49*50这个式子，可以把1/2*3化为1/2-1/3,后面的公式以此类推，达到化简的目的。在裂和的情况下，基本的思路是一样的，就是把1/n*n*1化为1/n-1/n+1，有区别的是要化简的公式的正负。

两边同时乘以bx

这个不是很好解答的。

简单哈原式可以分裂成相减的形式1/2乘以{1/(2n-1)-1/(2n+1)}

拆成三个分数相加？

这个 可以写成1/ab=（b-a）（1/a-1/b） 比如1/（n（n+2））=1/2(1/n-1/(n+2)) 当然也有别的许多也可以.. 但是从这个看出你应该是个初中生吧.所以 不要求掌握太多

先把2提出去。

那要看是怎么样的三项相乘了，不过我猜应该是这种类型的吧1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}度娘一下裂项法就行了，百度百科很全的，但是不是随便几个数都能裂项的

没有为什么，你可以把后面的式子通分下可以得到原式了。

t^2—1可以拆成(t+1)(t-1)

解如下图所示

x³/3 f(x)|(0，1)=1/3 f(1)－0=0－0=0f(x)=∫(1，x) e^(－y²)dyf"(x)=e^(－x²)•(x)"－e^(－1²)•(1)"=e^(－x²)

第五章定积分复习题答案 一、填空题 1. 0 2. 1 2 3. t2 5. >1 ; ?1 4. bf ?(b) ? af ?(a) ? f (b) ? f (a) 6. b?a?s 7. a2 ? b2 2 二、计算题 1.解: ? 1 0 1 x2 1 arctan xdx = ? (arctan x ? arctan x

首先，把分母因式分解，然后用各因式做分母，用A，B，C等分别设为分子，然后通分相加，利用分子恒相等，可以列方程，但有ax^2+bx+c为分母的，要设Ax+B为分子，会复杂一点。

(Ct+D)/(t+1)^2=(Ct+C+D-C)/(t+1)^2=C/(t+1)+(D-C)/(t+1)^2可以看到，最终还是化成分子为常数的情形，且这种表达式更好积分。

就是把一个式子变成多个,以便于计算的方法. 小学阶段常见的就是用裂项加消元计算分式的和. 如 1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100 =1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) (裂项） =1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100 (消元） =2-1/100 =199/100 一、基本概念： 1、 数列的定义及表示方法： 2、 数列的项与项数： 3、 有穷数列与无穷数列： 4、 递增（减）、摆动、循环数列： 5、 数列{an}的通项公式an： 6、 数列的前n项和公式Sn: 7、 等差数列、公差d、等差数列的结构： 8、 等比数列、公比q、等比数列的结构： 二、基本公式： 9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式；当d=0时,an是一个常数. 11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式. 12、等比数列的通项公式：an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0) 13、等比数列的前n项和公式：当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时,Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列. 15、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则 16、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则 17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列. 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列. 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列. 20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列. 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列. 22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?) 24、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列. 25、{bn}（bn>0）是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列. 26.在等差数列 中： （1）若项数为 ,则 （2）若数为 则,, 27.在等比数列 中： （1） 若项数为 ,则 （2）若数为 则, 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构. 28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求数列{an}的最大、最小项的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求 (1)当 >0,d

裂项公式是：1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]。1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]。1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}。1/(3n-2)(3n+1)1/(3n-2)-1/(3n+1)=3/(3n-2)(3n+1)只要是分式数列求和,可采用裂项法。裂项的方法是用分母中较小因式的倒数减去较大因式的倒数，通分后与原通项公式相比较就可以得到所需要的常数。裂项求和与倒序相加、错位相减、分组求和等方法一样，是解决一些特殊数列的求和问题的常用方法.这些独具特点的方法,就单个而言,确实精巧。例子：求和：1/2+1/6+1/12+1/20＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)1/(4*5)＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)＝1-1/5=4/5

用待定系数法很好算的，可能是你想解三元一次方程组所以觉得麻烦，其实不需要对比系数解方程组设y=1/[(x-a)(x-b)(x-c)]=A/(x-a)+B/(x-b)+C/(x-c)通分比较分子，得到A(x-b)(x-c)+B(x-a)(x-c)+C(x-a)(x-b)=1你这里不要展开左边对比系数，而要取x为a,b,c代人取x=a,得到 A(a-b)(a-c)=1，所以 A=1/[(a-b)(a-c)]取x=b ...(你应该懂了）

就是把一个式子变成多个，以便于计算的方法。 小学阶段常见的就是用裂项加消元计算分式的和。 如 1 1/1*2 1/2*3 1/3*4 ... 1/99*100 =1 (1-1/2) (1/2-1/3) ... (1/99-1/100) (裂项） =1 1-1/2 1/2-1/3 ...-1/99 1/99-1/100 (消元） =2-1/100 =199/100一、基本概念： 1、 数列的定义及表示方法： 2、 数列的项与项数： 3、 有穷数列与无穷数列： 4、 递增（减）、摆动、循环数列： 5、 数列{an}的通项公式an： 6、 数列的前n项和公式Sn: 7、 等差数列、公差d、等差数列的结构： 8、 等比数列、公比q、等比数列的结构： 二、基本公式： 9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1 (n-1)d an=ak (n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。 12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0) 13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。 15、等差数列{an}中，若m n=p q，则 16、等比数列{an}中，若m n=p q，则 17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an bn}、{an-bn}仍为等差数列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列。 20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法：a-d,a,a d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a d,a 3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。 25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。 26. 在等差数列 中： （1）若项数为 ，则 （2）若数为 则， ， 27. 在等比数列 中： （1） 若项数为 ，则 （2）若数为 则， 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和：如an=2n 3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和：如an=1/n(n 1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求数列{an}的最大、最小项的方法：① an 1-an=…… 如an= -2n2 29n-3 ② (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

1/n（n+1）＝（n+1-n）/n（n+1）＝（n+1）/n（n+1）-n/n（n+1）＝1/n-1/（n+1）

1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]。1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]。1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}。 数列裂项求和法例题 1/(3n-2)(3n+1) 1/(3n-2)-1/(3n+1)=3/(3n-2)(3n+1) 只要是分式数列求和,可采用裂项法 裂项的方法是用分母中较小因式的倒数减去较大因式的倒数，通分后与原通项公式相比较就可以得到所需要的常数。 裂项求和与倒序相加、错位相减、分组求和等方法一样，是解决一些特殊数列的求和问题的常用方法.这些独具特点的方法,就单个而言,确实精巧。 例子： 求和：1/2+1/6+1/12+1/20 ＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)1/(4*5) ＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5) ＝1-1/5=4/5 裂项法求和公式 （1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)] （2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] （3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]} （4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) （5） n·n!=(n+1)!-n! （6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)] （7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n （8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

看多了就有感觉了。。类似于例子那样的。。试着把等式右边的通分一下，就能体会到。如果原来的分母是两个相差整数值的项的乘积。。分子还是个整数，那就能分了。。

1/6+1/12+1/16......1/2n*(2n-1)=[1/2-1/3]+[1/3-1/4]+[1/4-1/4].......+1/(n-1) +1/n= 1/2+1/n

ab/a+b 因为ab/a=b所以=b+b=2b

相邻的奇数互质哇.两个互质数a,b(a大于b)符合1/b-1/a=(a-b)/(ab).解:原式=0.5(1-1/3)+0.5(1/3-1/5)+0.5(1/5-1/7)+...+0.5(1/2005-1/2007)=0.5(1-1/2007)(中间已消去)=1003/2007.

详细过程如图rt希望过程清晰明白

x/[(2x-1)(x+2)]≡ A/(2x-1) +B/(x+2)=>x≡ A(x+2)+B(2x-1)x=1/21/2 = A( 1/2 + 2)A = 1/5x= -2-2 =B(-4-1)B = 2/5x/[(2x-1)(x+2)]≡ (1/5)[1/(2x-1)] +(2/5) [1/(x+2)]

1、1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 2、1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]3、1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]4、1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)5、n·n!=(n+1)!-n!【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1)的前n项和.解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）-[1/(n+1)]（裂项）则sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）-[1/(n+1)]（裂项求和）=1-1/(n+1)=n/(n+1)【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1)的前n项和.解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）则sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）1=[n(n+1)(n+2)-2]/3【例3】1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(91×94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。原式=1/3*[（1-1/4）+（1/4-1/7）+（1/7-1/10）+……+（1/91-1/94）]=1/3*(1-1/94)=31/94。

5

1/（m ＋k ）（n ＋k ）＝1/（m ＋k ）（n －m ）－1/（n ＋k ）（n －m ），试裂为1/（m ＋k ）－1/（n ＋k ），分子是n一m要变为1需要乘1/（n －m ）

 

部分分式展开法

1. 公式法：　　等差数列求和公式: 　　Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 　　等比数列求和公式： 　　Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) 　　其他 　　1+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 　　1+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2 2.错位相减法　　适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn 　　例如： 　　an=a1+(n-1)d 　　bn=b1·q^(n-1) 　　Cn=anbn 　　Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn 　　qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1) 　　Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1) 　　Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______① 　　=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) 　　=a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) 　　Tn=上述式子/(1-q) 　　此外.①式可变形为 　　Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和. 　　此形式更理解也好记 3.倒序相加法　　这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an) 　　Sn =a1+ a2+ a3+...... +an 　　Sn =an+ a(n-1)+a(n-2)...... +a1 　　上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2 4.分组法　　有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 　　例如：an=2^n+n-1 5.裂项法　　适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。 　　常用公式： 　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ，1/（n-1）-1/n<1/n2<1/n-1/n+1（n≥2） 　　（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] 　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] 　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) 　　（5） n·n!=(n+1)!-n! 　　（6）1/（√n+√（n+a））=1/a（√（n+a）-√n） 　　[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和. 　　解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项） 　　则 　　Sn 　　=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和） 　　= 1-1/(n+1) 　　= n/(n+1) 　　小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。 　　注意： 余下的项具有如下的特点 　　1余下的项前后的位置前后是对称的。 　　2余下的项前后的正负性是相反的。 6.数学归纳法　　一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤： 　　（1）证明当n取第一个值时命题成立； 　　（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 　　例： 　　求证： 　　1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5 　　证明： 　　当n=1时，有： 　　1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5 　　假设命题在n=k时成立，于是： 　　1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 　　则当n=k+1时有： 　　1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) 　　= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) 　　= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) 　　= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) 　　= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 　　即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证 7.通项化归　　先将通项公式进行化简，再进行求和。 　　如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。 8.并项求和：　　例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n 　　方法一：（并项） 　　求出奇数项和偶数项的和，再相减。 　　方法二： 　　（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

裂项后能前后相消，剩余有限项即可。

就是把一个式子变成多个，以便于计算的方法。 小学阶段常见的就是用裂项加消元计算分式的和。 如 1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100 =1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) (裂项） =1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100 (消元） =2-1/100 =199/100一、基本概念： 1、 数列的定义及表示方法： 2、 数列的项与项数： 3、 有穷数列与无穷数列： 4、 递增（减）、摆动、循环数列： 5、 数列{an}的通项公式an： 6、 数列的前n项和公式Sn: 7、 等差数列、公差d、等差数列的结构： 8、 等比数列、公比q、等比数列的结构： 二、基本公式： 9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。 12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0) 13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。 15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列。 20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。 25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。 26. 在等差数列 中： （1）若项数为 ，则 （2）若数为 则， ， 27. 在等比数列 中： （1） 若项数为 ，则 （2）若数为 则， 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求数列{an}的最大、最小项的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

数列求和不存在累加法，一般是递推数列的递推公式形如数列相邻两项作差=含n的代数式时候，求通项公式，可以用累加法转化为求和问题裂项相消法适合于数列求和问题，形式为分式，分母为乘积的形式，如通项为1/n(n+1)，这时考虑裂项相消法

前面回答真是误人子弟，因为一个在0展开一个在1展开，所以不一样

这个题要运用点技巧，把1/1x2写成1减去二分之一，后面的1/2x3写成二分之一减去三分之一，这样依次类推就可以做出来啦，答案应该是一减去两千零九分之一

把一个或若干个代数式分别拆开求和,构造等差或等比数列

常见的有：一般的有：裂项相消法是把一个数列的每一项分裂为两项之差的形式，从而求数列之和的方法. 根据数列类型的不同。该类型的特点是分母是两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，通过分母有理化来达到消项的目的，有时在证明不等式时，常把分母缩放成两个根式之和，来达到消项化简的目的。裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的形式，裂项后消去中间的部分，达到求和目的一种数列求和方法。先根据通项公式找裂项公式，然后逐项写开，消去。

　　1.公式法：　　等差数列求和公式:　　Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2　　等比数列求和公式：　　Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)　　其他　　1+2^2+3^2+4^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6　　1+2^3+3^3+4^3+.+n^3=[n(n+1)/2]^2　　2.错位相减法　　适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn　　例如：　　an=a1+(n-1)d　　bn=b1·q^(n-1)　　Cn=anbn　　Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn　　qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)　　Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)　　Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______①　　=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)　　=a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)　　Tn=上述式子/(1-q)　　此外.①式可变形为　　Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和.　　此形式更理解也好记　　3.倒序相加法　　这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)　　Sn =a1+ a2+ a3+.+an　　Sn =an+ a(n-1)+a(n-2).+a1　　上下相加 得到2Sn 即 Sn= (a1+an)n/2　　4.分组法　　有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.　　例如：an=2^n+n-1　　5.裂项法　　适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项.　　常用公式：　　(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ,1/(n-1)-1/n　　没有所谓的难与不难，唯一的原因是你对公式的不熟悉或者理解不透彻，建议多做题，做总结，数学思维就会慢慢形成了。

错位相减,简单常用.