分式计算题de过程&答案

y=6/x

解：根据题意得，选取2,4+a，3b，c其中2+3b组成代数式， 4+a/c 组成分式.故答案为：选取2,4+a，3b，c其中2+3b组成代数式， 4+a/c 组成分式.

二年级数学第七周测试卷姓名：                      班级：                    成绩：                       一、填空（每空1分，共19分）1、☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆（    ）个☆，每3个一份，分成了（    ）份，还剩（    ）个。13÷（    ）=（    ）……（    ）2、计算有余数的除法，余数要比除法（       ）。3、算式29÷7＝3……1中，除数是(      )，商是(     )，余数是(     )。4、一个数除以9，如果有余数，余数可能有(     )个，其中最大的余数是(    )，最小的余数是(     )。5、□÷□=□……6，在这道除法算式中，除数最小应是（     ）。6、一个星期有7天，五月份有31天，有(     )个星期多(     )天。7、在有余数的除法中，被除数=(     )×(     )＋(     )二、选择（每题2分，共10分）1、在有余数的除法中，除数一定比（    ）大。 A、被除数   B、余数   C、商2、商是7的算式是(       )。        A、7÷7          B、21÷3       C、1×7  3、余数是4的算式有(      )。       A、36÷8       B、18－14     C、32÷74、一道除数是7的有余数除法中，余数可能是（   ）。 A、7、6、5、4、3、2、1        B、6、5、4、3、2、1、0       C、6、5、4、3、2、15、4.16棵树，平均每行种3棵，可种几行，多几棵?(    )A、16－3         B、16÷3          C、16+3三、判断（每题1分，共5分）1、在有余数的除法中，余数可能比除数大。    （    ）2、49除以8，商5余9。                     （    ）3、48÷7和60÷9的商相同，余数也相同。     （     ）4、妈妈将一些糖果平均分给8个小朋友，每人分到9块，还剩9块。（     ）5、一只35元的玩具熊可以换7辆8元的小汽车。（     ）四、计算（共31分）1、口算（每题1分，共10分）28÷7＝　　　    36÷6＝　　  8×6＝　　24÷4＝        34＋5＝30÷5＝　　    98－80＝　　　  7×5＝　　  9÷9＝        72÷8=2、用竖式计算（每题3分，共15分）26÷3=               41÷6=               33÷5=           18÷4＝         31÷7＝   3、列式计算（每题3分，共6分）（1）16里面最多有多少个3？              （2）50减去9和5的积，差是多少？ 五、（ ）里最大能填几？（每题1分，共5分）（   ）×8<36      9×(   )<44      65>8×(   )     4×(   )<33   54＞8×(   )六、在○里填上“>”“<”或“=”。（每题2分，共10分）18÷3○19÷3     12÷3○2×2    27÷3○26÷3   21÷5○20÷5    23＋58○67-19七、解决问题（共20分）1、一共有72本书，每组分8本。（6分）①一共可以分给几个组？（3分）              ②每组4人，平均每人分得几本？（3分） 2、25本书，平均分给3个小朋友，每个小朋友分到多少本？还剩几本？（4分） 4、小刚买来20条金鱼，送给小明4条，剩下多少条金鱼？小刚把剩下的平均放在3个鱼缸，每个鱼缸放多少条金鱼？还剩多少条？（5分） 5、__________________________ ，平均分给6个小朋友，每个小朋友分得几张？还剩几张？（补充条件，并解答出来）（5分） 

利用分数的性质（或者叫商不变原理），将分式的分子和分母同时除以xy就行了。

12000-2w=(w+10)*hh=(12000-2w)/(w+10)

分数的加减乘除的算法如下：1、分数加减：分母相同时，只把分子相加、减，分母不变；分母不相同时，要先通分成同分母分数再相加、减。2、分数乘法：把各个分数的分子乘起来作为分子，各个分数的分母相乘起来作为分母（即乘上这个分数的倒数），然后再约分。3、分数除法：用被除数的分子与除数的分母相乘作为分子；用被除数的分母与除数的分子相乘作为分母。分数原是指整体的一部分，或更一般地，任何数量相等的部分。表现形式为一个整数a和一个整数b的比。

加减都是吧分母化成他们的公倍数，比如2/3+3/4= 8/12+9/12=17/12乘是分子乘分子，分母乘分母，比如 2/3*3/4=6/12=1/2除是被除数乘以除数的倒数，，也是就 2/3除以3/4=2/3*4/3=8/9

加减法的方法是 分母一定要一样,即分母不一样的需要同分,一样的话直接分子相加减就可以 乘法的运算方法是 分母与分母相乘,分子与分子相乘,分子分母有公约数的可以约分 除法的运算方法是除以一个分数就是乘以这个分数的倒数,然后按照乘法的规则运算即可 希望对你有所帮助,

1.先算乘除法，在算加减法 ，算分数时应先通分。2.乘除法：分子分母相乘除   3.加减：分子相加减 分母不变4、一个算式里，如果只含有同一级运算，按照从左往右的顺序进行计算。5、一个算式里，如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。6、一个算式里，如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。

好像没有什么口诀啊，这个要理解。

加减：同分母分数，分母不变，分子相加减异分母分数，先通分，再加减乘：分子乘分子的积做分子，分母乘分母的积做分母【能约分的先约分】除：除以一个数【0除外】，等于乘这个数的倒数

分数的加减乘除的算法：1、加减：分数加减法要把分母换算统一再计算。例如：1/2+1/3=3/6+2/6=5/6，减法同理。2、乘法：乘法直接分子与分子相乘，分母与分母相乘。例如：1/2*1/3=1/6.3、除法：除法是除数颠倒和被除数相乘。例如：1/2÷1/3=1/2*3/1=3/2.希望能对你有所帮助。

加减主要是通分

先乘除,后加减,有括号的先算括号里的积/一个因数=另一个因数被除数/除数=商被除数/商=除数除数*商=被除数整数加、减计算法则：1）要把相同数位对齐，再把相同计数单位上的数相加或相减；2）哪一位满十就向前一位进。2、小数加、减法的计算法则：1）计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），2）再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。）3、分数加、减计算法则：1）分母相同时，只把分子相加、减，分母不变；2）分母不相同时，要先通分成同分母分数再相加、减。4、整数乘法法则：1）从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对个因数的哪一位对齐；2）然后把几次乘得的数加起来。（整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0。）5、小数乘法法则：1）按整数乘法的法则算出积；2）再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点。3）得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。6、分数乘法法则：把各个分数的分子乘起来作为分子，各个分数的分母相乘起来作为分母，（即乘上这个分数的倒数），然后再约分。7、整数的除法法则1）从被除数的商位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；

分数加减：先通分，然后分母不变，分子相加减。分数乘法：分子相乘做分子，分母相乘做分母除法：被除数与除数的倒数相乘（分数倒数直接将其分子分母对调位置）

先把整数换为分数2/1 然后把整数换成地分数，和另一个分数换成分母相同地分数，因为2/1和6/5的分母1和5的最小公倍数是10，所以把2/1换成20/10,把6/5换成12/10，然后利用同分母的分数相加，分母不变，分母相加，得 20/10+12/10=32/10=3又1/5=3.2 / 是指分数线

分数乘法分子乘分子分母乘分母，分数除法被除数乘除数的相反数，加法把分母换成相同的，分子相加，减法和加法一样的，通分就是把分母换成相同的

4/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9 5/2 -（ 3/2 + 4/5 ） 7/8 + （ 1/8 + 1/9 ） 9 × 5/6 + 5/6 3/4 × 8/9 - 1/3 7 × 5/49 + 3/14 6 ×（ 1/2 + 2/3 ） 8 × 4/5 + 8 × 11/5 31 × 5/6 – 5/6  9/7 - （ 2/7 – 10/21 ）3/7 × 49/9 - 4/3 8/9 × 15/36 + 1/27 12× 5/6 – 2/9 ×3 8× 5/4 + 1/4 6÷ 3/8 – 3/8 ÷6 

加法是将分子相加,如七分之二加七分之三等于七分之五.如果分母不同,就通分.减法和加法相同.乘法是分母乘分母,分子乘分子,如五分之三乘三分之二等于十五分之六.除法是一个分数成另一个分数的倒数.ok

换算到同分母加减，乘就上乘上下乘下，除就把被除数倒过来乘

1、分数的加减法（1）分母相同的分数相加减，分母不变，分子相加减。最后结果在进行约分。例：1/7+3/7=(1+3)/7=4/75/11-2/11=(5-2)/11=3/11（2）分母不同的分数相加减，先通分，把两个分数的分母转为以相同，在进行加减运算。最后结果约分。例：1/3+1/4=4/12+3/12=(4+3)/12=7/123/5-1/3=9/15-5/15=(9-5)/15=4/152、分数的乘法（1）整数乘分数，分母不变，分子乘整数作为新的分子，最后结果进行约分。例3x3/13=(3x3)/13=9/13（2）分数乘分数，则用分母乘分母作为新的分母，用分子乘分子作为新的分子，最后结果进行约分。例：2/5x3/7=(2x3)/(5x7)=6/353、分数的除法（1）分数除以整数，则用该分数乘以整数的倒数，再按分数乘法进行计算。最后结果进行约分。例：3/5÷4=3/5x1/4=(3x1)/(5x4)=3/20（2）分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，再按分数乘法进行计算。最后结果进行约分。例：2/5÷4/7=2/5x7/4=(2x7)/(5x4)=14/20=7/10扩展资料：1、分数的种类（1）真分数真分数的值小于1。分子比分母小。例如：1/3、3/5。（2）假分数假分数的值大于1，或者等于1。分子比分母大或相等。例如：4/3、5/5、8/7。2、分数的混合运算在分数混合运算中，加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。（1）混合运算顺序同级运算时，从左到右依次计算。两级运算时，先算乘除，后算加减。有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。（2）混合运算例题（3+4）x1/2-2/3÷1/4=7x1/2-2/3÷1/4=7/2-2/3x4/1=7/2-8/3=21/6-16/6=(21-16)/6=5/6

先乘除 后加减 除以一个数等于成这个数的倒数 乘的话分子相乘 分母相乘能约分先约 分子和分母约 加减要先通分

加减法的方法是 分母一定要一样,即分母不一样的需要同分,一样的话直接分子相加减就可以乘法的运算方法是 分母与分母相乘,分子与分子相乘,分子分母有公约数的可以约分除法的运算方法是除以一个分数就是乘以这个分数的倒数,然后按照乘法的规则运算即可

1、分母相同时，只把分子相加、减,分母不变； 2、分母不相同时，要先通分成同分母分数再相加、减。分数乘法法则：把各个分数的分子乘起来作为分子，各个分数的分母相乘起来作为分母，（即乘上这个分数的倒数），然后再约分。分数的除法法则：1、用被除数的分子与除数的分母相乘作为分子； 2、用被除数的分母与除数的分子相乘作为分母。分数的意义：一个物体，一个图形，一个计量单位，都可看作单位“1”。把单位“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数叫做分数。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分数单位。百分数与分数的区别：1、意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称。2、百分数不可以约分，而分数一般通过约分化成最简分数。3、任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义。4、应用范围的不同，百分数在生产和生活中，常用于调查、统计、分析和比较，而分数常常在计算、测量中得不到整数结果时使用。

分数加、减计算法则：1）分母相同时,只把分子相加、减,分母不变；2）分母不相同时,要先通分成同分母分数再相加、减.分数乘法法则：把各个分数的分子乘起来作为分子,各个分数的分母相乘起来作为分母,（即乘上这个分数的倒数）,然后再约分.分数的除法法则：1）用被除数的分子与除数的分母相乘作为分子；2）用被除数的分母与除数的分子相乘作为分母.

分数加、减计算法则： 1）分母相同时,只把分子相加、减,分母不变； 2）分母不相同时,要先通分成同分母分数再相加、减. 分数乘法法则： 把各个分数的分子乘起来作为分子,各个分数的分母相乘起来作为分母,（即乘上这个分数的倒数）,然后再约分. 分数的除法法则： 1）用被除数的分子与除数的分母相乘作为分子； 2）用被除数的分母与除数的分子相乘作为分母.

同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加，先通分再计算，结果能约分要约分。分数乘法：分数相乘，用分子乘积做分子，分母乘积做分母；分数乘整数，分子和整数乘积做分子。分数除法：分数相除，等于乘以该分数的倒数，结果化简。

如果是加，这俩个数分母先加，然后再分子相加

求函数的值域，没有固定的方法，通常是把问题转化为求它的反函数的定义域。（具体求法祥见例题）。

一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。 练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ） A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞） （答案：D）。 六．图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。 点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 解：原函数化为 －2x+1 (x≤1) y= 3 (-1<x≤2) 2x-1(x>2) 它的图象如图所示。 显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。 点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 七．单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。 点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 八．换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设t=√2x+1 （t≥0）,则 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。 点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。 点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝） 十．比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。 例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。 点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。 函数的值域为｛z|z≥1｝. 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。 练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。 ∴函数y的值域为y≠3的一切实数。 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2） 十二．不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。 解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x≠0 解得，0＜x<1。 ∴函数的值域（0，1）。 点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。以下供练习选用：求下列函数的值域1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）2．Y=2x/(2x－1)。 （y>1或y<0） 注意变量哦希望能帮助你

上下底面面积之比是1：9，上底边长为2，即下底边长6故上底面积√3，下底面积9√3下底三角形顶点到其中心的距离为（2/3）*6*sin60=4sin60下底三角形顶点到其中心的距离为---------------------=（4/3）*sin60而侧棱与底面成60度，故侧棱长=（4-4/3）sin60/cos60=8√3/3故等腰梯形的侧面的高=√[（8√3/3）^2-2^2]=√(52/3),故三个侧面的面积=3*(6+2)/2*√(52/3)=8√39所以三棱台的表面积=10√3+8√39=67.3

值域是函数值所在的集合。一旦函数的定义域和对应法则确定了，函数的值域也就随之确定。下面介绍几种常用的求函数值域的方法:1.配方法2.区间划分法3.不等式比较法4.函数变换法5.换元法6.

用反函数啊(就是x用y来表示)那么值域就变成定义域了,那么求出来的值域就是原题的定义域.例如y=2x+1的值域是(2,6),求x的定义域.换成反函数为:x=y/2-1/2,y的定义域为(2,6).又因为这个是单调递增函数,所以值域为(1/2,5/2).故原题x的定义域为(1/2,5/2).当然我举的例子比较简单,一般的题估计比较难,重点在判断函数的单调性上.

指数函数的值域直接记忆就行，y=a^x (a>0且a≠1)的值域都是(0,+∞）

1．观察法用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]y=(1 x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用于二次(型)函数。y＝x^2-4x 3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3. 换元法多用于复合型函数。通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量（新量）的变化范围。4. 不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x 1）/(e^x-1), (0<x<1).0<x<1,1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,1/(e^x-1)>1/(e-1),y=1 2/(e^x-1)>1 2/(e-1).值域(1 2/(e-1),＋∞).5. 最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6. 反函数法有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.7. 单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b),f(a)

配方吧，画个图就更清晰了。

具体的题 方法 不一样

一、判别式法求值域的理论依据 求函数的值域 象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。 解：由得： （y-1）x2+(1-y)x+y=0 ① 上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程 为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y的范围就是原函数的值域？ 我们可以设计以下问题让学生回答： 当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1） 当x=2时，y=? () 当y=时，x=?（2） 以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？ （因为将y=0和y=代入方程①，方程的△≥0） 当y=-1时，x=? 当y=2时，x=? 以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？ （因为将y的值代入方程①式中△<0,所以无解） 当y在什么范围内，可以求出对应的x值？ 函数的值域怎样求？ 若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。 二、判别式法求值域的适用范围 前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？ 求的值域 从表面上看，此题可以用判别式法求值域。 由原函数得：（y-3）x2+2x+(1-y)=0 =4-4（y-3）(1-y)≥0 即（y-2）2≥0 ∴y∈R 但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。问题出在哪里呢？ 我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x-1）,因此原函数可以化简为，用反函数法可求得，又x≠1代入可得y≠2，故可求得原函数的值域为。 因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。特别值得注意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x≠1，故y≠2。 求函数的值域 此函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？ 由得：3yx2+(2y-1)x+y+5=0 1）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y可以取到0 2）当3y≠0时，令△=(2y-1)2－4×3y (y+5)≥0 解得： 由1）、2）可得原函数的值域为 上面求得的值域对不对呢？显然y=在所求得的值域范围内，但当y=时，可求得x=2，故了限定了自变量x的取值范围的函数不能用判别式法求值域。 此题可用导数法求得原函数在区间[3，5]内单调递增，故函数的定义域为。 综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域： 分子分母的最高次为二次的分式函数； 分子分母无公约数； 未限定自变量的取值范围。 最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二步一定要看变形后的二次项（x2项）系数是否含有y，若含有y，则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论。 利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验错因：把 代入方程（＊）显然无解，因此 不在函数的值域内。事实上， 时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“ ”来判定其根的存在情况二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化 解中函数式化为方程时产生了增根（ 与 虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉 与 时方程中相应的 值。所以正确答案为 ，且 。三、注意变形后函数值域的变化四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。

函数定义域为x不等于-1,x=y/(1-y),y不等于1,所以函数的值域为{y|y不等于1},这种一次分式函数都可以用求反函数的定义域来求的.

摘要： 求函数的值域是高中数学的重点学习内容，也是近几年高考考查的重点内容之一。其方法灵活多样，综合性强，是高中学生学习的难点之一。 关键词： 函数 值域 求法 中图分类号：O174 文献标志码：A 函数值域和最值的常用求法有：直接法、配方法、反函数法、判别式法、换元法、数形结合法、均值不等式法、单调性法和导数法等。而分式型函数的值域，（特别是二次分式函数）一直是高考的重点、热点。数形结合的思想渗透在学习的每一个角落，要求较高，学生很难灵活运用。而两者已成为高考的一个新视。本文讨论几种特殊情形函数的值域的求法。 1换元法 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。

一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。五．最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。六．图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为－2x+1(x≤1)y=3(-12)它的图象如图所示。显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七．单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设t=√2x+1（t≥0）,则x=1/2(t2-1)。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝九．构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）十一．利用多项式的除法例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3。∴函数y的值域为y≠3的一切实数。点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）十二．不等式法例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知x/(1-x)＞01-x≠0解得，0＜x1或y<0）

　一.观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。二.反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。四.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。五.最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。六.图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。　七.单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例7求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。八.换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例8求函数y=x-3+√2x+1的值域。　九.构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例9求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。　十.比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。　十一.利用多项式的除法例11求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。十二.不等式法例12求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

网络资料： 1.求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义. （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用. 2.求函数的定义域 求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时,常有以下几种情况： ①若f（x）是整式,则函数的定义域是实数集R； ②若f（x）是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f（x）是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 3.求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式,尤其注意形如型的函数） （4）函数的单调性：特别关注的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4.求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小,证明不等式,解不等式. 5.函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称,比较f（x） 与f（－x）的关系.f（x） －f（－x）＝0f（x） ＝f（－x） f（x）为偶函数； f（x）+f（－x）＝0f（x） ＝－f（－x） f（x）为奇函数. 判别方法：定义法,图象法,复合函数法 应用：把函数值进行转化求解. 6.周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）＝f（x）,则T为函数f（x）的周期. 其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）＝f（x－a）,则2a为函数f（x）的周期. 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式.

(1)设x=tanθ，则y=(1+x+x²)/(1+x²) =(1+tanθ+tan²θ)/(1+tan²θ) =1+(1/2)sin2θ.而sin2θ∈[-1，1]，∴y∈[1/2，3/2]。(2)设x-1=sinθ，则y=x+√[x(2-x)] =(x-1)+1+√[1-(ⅹ-1)²] =1+sinθ+cosθ =1+√2sin(θ+π/4)∵sin(θ+π/4)∈[-1，1]，∴y∈[1-√2，1+√2]。

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1

主要看函数能变成的形式，都是换成初等基本函数。

常用的求值域的方法： （1）化归法；（2）图象法（数形结合）， （3）函数单调性法， （4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等 函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。下面就函数的值域的求法，举例说如下。 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。 练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ） A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞） （答案：D）。 六．图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。 点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 解：原函数化为 －2x+1 (x≤1) y= 3 (-1<x≤2) 2x-1(x>2) 它的图象如图所示。 显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。 点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 七．单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。 点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 八．换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设t=√2x+1 （t≥0）,则 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。 点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。 点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝） 十．比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。 例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。 点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。 函数的值域为｛z|z≥1｝. 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。 练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。 ∴函数y的值域为y≠3的一切实数。 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2） 十二．不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。 解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x≠0 解得，0＜x<1。 ∴函数的值域（0，1）。 点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。以下供练习选用：求下列函数的值域1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）2．Y=2x/(2x－1)。 （y>1或y<0）

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首先要调整好自己的心态，其次才是学习函数本身内容，函数知识是高中最重要的内容之一，也是对自己初中知识的进一步升华，对于函数的学习不仅要掌握基本的定义和知识点，同时也要掌握好的学习方法，才能更好的运用函数的知识。怎样学好高中函数(一)把握数形结合的特征和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换. (二)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识. (三)准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线. (四)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面：(1)原始意义上的函数问题;(2)方程、不等式作为函数性质解决;(3)数列作为特殊的函数成为高考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中. 高中函数学习方法 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 高中函数知识点 函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数y=1/x的值域 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 熟悉函数的知识点，掌握函数的学习方法，再加上勤奋努力，学好函数就不难啦

　　常见函数定义域 　　1、分式函数1/f(x)型.解分母f(x)≠0即可； 　　2、无理函数√f(x)型.解f(x)≥0； 　　3、对数函数型,解真数式>0,底数式>0且不为1； 　　4、正切函数tanf(x)型.解f(x)≠kπ+π/2,k为整数. 　　一般地,实际解题是多个题型的综合,因此,应综合应用. 　　函数定义域的认识 　　我们可以从以下几个方面来认识f(x)。 　　第一：对代数式的认识。每一个代数式它的本质就是一个函数。像x2-1这个代数式，它就是一个函数，其自变量是x，对x的每一个值x2-1都有唯一的值与之对应，所以x2-1的所有值的集合就是这个函数的值域。 　　第二：对抽象数的认识，对于一个没有具体解析式的抽象函数，由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域，很难理解它的符号及其意义。 　　例如：f(x+1)的`自变量是什么呢?它的对应法则还是f吗?f(x+1)的自变量是x,它的对应法则不是f。 　　我们不妨作如下假设，如果f(x)=x+1，那么f(x+1)=(x+1)+1,f(x+1)与(x+1)+1这个代数式相等，即：(x+1)+1的自变量就是f(x+1)的自变量。(x+1)+1的对应法则是先把自变量加1再平方，然后再加上1。 　　再如，f(x)与f(t)是同一个函数吗? 　　只须列举一个特殊函数说明。 　　显然，f(x)与f(t)它们的对应法则是相同的，如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的，则f(x)与f(t)就是相同的函数，否则，它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。 　　例：已知f(x+1)=x+1 ，f(x+1)的定义域为[0，2]，求f(x)解析式和定义域 　　设x+1=t，则；x=t-1，那么用t表示自变量f的函数为：(也就是把x=t-1代入f(x+1)=x+1中) 　　f(t)=f(x+1)=(t-1)+1 　　=t-2t+1+1 　　=t-2t+2 　　所以，f(t)=t-2t+2， 则f(x)=x-2x+2 　　或者用这样的方法——更直观： 　　令 f(x+1)=x+1 中的x=x-1，这样就更直观了，把x=x-1代入 f(x+1)=x+1，那么： 　　f(x)=f[(x-1)+1]=(x-1)+1 　　=x-2x+1+1 　　=x-2x+2 　　所以，f(x)=x-2x+2 　　而f(x)与f(t)必须x与t的取值范围相同，才是相同的函数， 　　由t=x+1，f(x+1)的定义域为[0，2]，可知道：t∈[1，3] 　　f(x)=x-2x+2的定义域为：x∈[1，3] 　　综上所述，f(x)=x-2x+2(x∈[1，3] 　　函数定义域的区别值域 　　值域定义 　　函数中，因变量的取值范围叫做函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法 　　(1)化归法； 　　(2)图象法(数形结合) 　　(3)函数单调性法， 　　(4)配方法 　　(5)换元法 　　(6)反函数法(逆求法) 　　(7)判别式法 　　(8)复合函数法 　　(9)三角代换法 　　(10)基本不等式法等。