分式递推数列 特征方程法 详解 跪求

解:首先解方程;(x^2+2)/(2x-1)=x,解得x1=2,x2=-1，故 ( x(n)-2)/(x(n)+1)=q[x(n-1)-2][(x(n-1)+1],【1】【其中q为公比] x(n)=(x(n-1)*x(n-1)+2) / (2*x(n-1)-1)；【2】 联立【1】，【2】。解得q=? 有问题啊？你抄错了?检查一下，能用不动点法解的数列的一般形式是an={ma(n-1)+n}/{ra(n-1)+k}其中,m,n,r,k是常数，大致思路如上，望追问。。。

用裂项相消法或统一代数式

方程y"+y=0的通解为：y=C1cosx+C2sinx具体回答如下：特征方程：r+1=0可以解得：r1、2=±i所以通解为：y=C1cosx+C2sinx 所以答案是：y=C1cosx+C2sinx特征方程的高阶递推：对于更高阶的线性递推数列，只要将递推公式中每一个xn换成x，就是它的特征方程。最后我们指出。上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。

以后学了高等数学就明白了，不动点大多用于极限过程。如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式，微分方程初值问题解的存在唯一性定理，都是利用不动点理论证明的。 至于你的这个问题，是数列的计算技巧问题。这里利用特征根（也就是解得的不动点）可以把数列的通项公式写出来，进而得到周期。可以参看任何一本组合数学的书。由于数列是分式线性变换的迭代，可以和二阶矩阵的乘幂对应，所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解，都是类似的想法。——这就是这个题目背后的数学内容 具体的内容大概写起来很长，建议你去查书，组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分。 对于高中生，当然可以从更自然的角度去看这个问题：递推公式可以通过适当的变换，转化为（一个或两个）等比数列求解。

形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d)，a,c不为0的分式递推式都可用不动点法求。当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。典型例子：a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)简单地说就是在递推中令an=x代入a(n+1)也等于x然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）令x=(ax+b)/(cx+d)即cx2+(d-a)x-b=0令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p其中p可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。【注】形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d)，a,c不为0的分式递推式都可用不动点法求。让a(n+1)=an=x，代入化为关于x的二次方程(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出若无解，就只有再找其他方法了。并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。例1：在数列{an}中，a(n+1)=(2an+8)/an，a1=2，求通项【解】a(n+1)=(2an+8)/an，a(n+1)=2+8/an令an=x,a(n+1)=xx=2+8/xx^2-2x-8=0x1=-2,x2=4{(an-4)/(an+2)}为等比数列令(an-4)/(an+2)=bnb(n+1)/bn=[(a(n+1)-4)/(a(n+1)+2)]/[(an-4)/(an+2)]=-1/2b(n+1)=(-1/2)bnb1=-1/2bn=(-1/2)^n=(an-4)/(an+2)an=[4+2*(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1例2：a1=1,a2=1,a(n+2)=5a（n+1）-6an，【解】特征方程为：y²=5y-6那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3于是，a（n+2）-3a（n+1）=2[a（n+1）-3an](1)a（n+2）-2a（n+1）=3[a（n+1）-2an](2)所以，a（n+1）-3a（n）=-2^n(3)a（n+1）-2a（n）=-3^(n-1)(4)消元消去a（n+1），就是an,an=-3^(n-1)+2^n.

两者原则上应该是等价的，知道一个就可以确定另一个。但是实际操作往往不是这样。知道通项公式求递推公式特简单。知道S[n]等于n的一个式子，然后我当然可以把式子里面所有n换成n-1就得到S[n-1]，S[n]是前n项和，S[n-1]是前n-1项和。那么a[n]就是S[n]-S[n-1]，直接就算出来了。知道递推关系求通项不是很容易，有的相当难。我只说几种简单的。①等差、等比数列，这些书上都有，自己看书就可以了。②累加法，就是比等差数列稍微差一点的情况，a[n]-a[n-1]不是一个常数，而是n的一个式子，比如说就是n。这时候写成a[n]-a[1]=(a[n]-a[n-1])+(a[n-1]-a[n-2])+(a[n-2]-...-a[2])+(a[2]-a[1])=n+(n-1)+(n-2)+...+2=n(n+1)/2 -1然后移向就得到a[n]=a[1]+n(n+1)/2 -1③累乘法，与上面类似，和等比数列差一点，就是a[n]/a[n-1]是n的一个式子不是常数，这时候也可以仿照上面做法a[n]=a[n]/a[n-1]×a[n-1]/a[n-2]×...×a[2]/a[1]×a[1]然后做。 ④待定系数法。这个也是和等比数列差一点，就是做了平移变换以后就是等比数列的情况。比如a[n]=2a[n-1]+1，这个可以设一个系数λ，使得移动λ以后是等比数列，你看a[n]=2a[n-1]+1移动以后公比一定是2，于是设a[n]+λ=2(a[n-1]+λ)，打开括号移项得到a[n]=2a[n-1]+λ，比较原来的式子a[n]=2a[n-1]+1得到λ=1，于是设新的数列b[n]=a[n]+1，于是b[n]是等比数列。当然这种还可以转化，在a[n]=2a[n-1]+1两边除以2的n次方（写成2^n)得到a[n]/2^n=a[n-1]/2^(n-1)+1/2^n让新的数列b[n]=a[n]/2^n就转化成了上面累加法那种情况。难一点的还有特征方程法、不动点法（很少见，用于线性分式类型的递推关系，我也记不太清具体的了）。特征方程法网上有，可以看看。

什么是数列低腿公式啊？？？

数列的精髓在于递推 很多问题,比如微分方程,有时候没有解析解（有具体表达式的,可直接代入数值进行计算的解）. 那只有通过差分的方法,即进行微小分割,从而得到一个递推公式.由这个递推公式,用计算机就很轻松地得出数值解了. 所以数列在于递推而不在于解出通项公式. 有通项公式的,一般只有线性递推数列（包含等差数列、等比数列）、分式递推数列、某些排列组合数数列及其他少数特殊系数的非线性递推数列. 能解出通项公式的,重点就是线性递推数列.比如三阶的a+Aa+Ba+Ca=P(n)t^n+P(n)t^n+…… （P(n)、P(n)为关于n的多项式） 举几个一般形式 a+2a=(n^2+2n+3)2^n+3^n 一般不会这么难 a-2a=n2^n a+2a=1 a-3a=3^n 反正你看到左边是线性的,右边是一个指数函数加多项式的,就一定有通项公式,其他的就不要费劲去解了,一般都没有.

数列的通项公式可以直接根据N的值得出任何一项的值，而递推公式必须知道前一项的值才能得出后一项的值。

形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。典型例子：a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)简单地说就是在递推中令an=x代入a(n+1)也等于x然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）令x=(ax+b)/(cx+d)即cx2+(d-a)x-b=0令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。【注】形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。让a(n+1)=an=x，代入化为关于x的二次方程(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出若无解，就只有再找其他方法了。并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。例1：在数列{an}中，a(n+1)=(2an+8)/an，a1=2，求通项【解】a(n+1)=(2an+8)/an，a(n+1)=2+8/an令an=x,a(n+1)=xx=2+8/xx^2-2x-8=0x1=-2,x2=4{(an-4)/(an+2)}为等比数列令(an-4)/(an+2)=bnb(n+1)/bn=[(a(n+1)-4)/(a(n+1)+2)]/[(an-4)/(an+2)]=-1/2b(n+1)=(-1/2)bnb1=-1/2bn=(-1/2)^n=(an-4)/(an+2)an=[4+2*(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1例2：A1=1,A2=1,A(n+2)=5A（n+1）-6An，【解】特征方程为：y²=5y-6那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3An](1)A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2An](2)所以，A（n+1）-3A（n）=-2^n(3)A（n+1）-2A（n）=-3^(n-1)(4)消元消去A（n+1），就是An,An=-3^(n-1)+2^n.

为了方便记a(n)=ana(n)=[Aa(n-1)+B]/[Ca(n-1)+D]①[Ca(n-1)+D]a(n)=Aa(n-1)+BCa(n)a(n-1)+Da(n)-Aa(n-1)-B=0又设：b(n)=a(n)+p,p为常数，代入上式：C[b(n)-p][b(n-1)-p]+D[b(n)-p]-A[b(n-1)-p]-B=0Cb(n)b(n-1)+(D-Cp)b(n)-(A+Cp)b(n-1)+Cp^2+(D-A)p-B=0②对于②如果适当选取p使得Cp^2+(D-A)p-B=0③那么②就可以变形为Cb(n)b(n-1)+(D-Cp)b(n)-(A+Cp)b(n-1)=0即：k1+k2/b(n)+k3/b(n-1)=0,1/b(n)为一阶线性递推式很容易求出，进而可以求出a(n)；回过头来，观察①③式可以得到：p恰好是①中令a(n)=a(n-1)=x所得到的方程的根，于是把③叫着①的特征方程，p叫着①的特征根；而在函数上表达时a(n)=f(a(n-1)),令a(n)=a(n-1)=x可以看为x=f(x)，这在样的点在分析学（高等数学）上就叫不动点，所以用这种方法就叫不动点法。不动点大多用于极限过程。如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式，微分方程初值问题解的存在唯一性定理，都是利用不动点理论证明的，以后学了高等数学就明白了。至于当无不动点时又是周期数列，这是说③没有实根，可以用复数的三角形式表示两根，由于含有三角函数自然就是周期函数了。你可以结合实例自己推一下就很清楚了。

这个就是不动点的应用……你叫我不用，明显难为我。不要被这个东西吓到，其实很简单的。解：我令a1=4解方程x=(4x-2)/(x+1)x1=1 x2=2a(n+1)-x1=(4an-2)/(an+1)-x1a(n+1)-1=3(an-1)/(an+1) ① a(n+1)-x2=(4an-2)/(an+1)-x2a(n+1)-2=2(an-2)/(an+1) ②① ÷②：[a(n+1)-1]/[a(n+1)-2]=3(an-1)/2(an-2)令bn=(an-1)/(an-2)==>b(n+1)=3bn/2==>bn=b1*(3/2)^(n-1)又b1=a1-1/a1-2=3/2bn=(3/2)^n∴(an-1)/(an-2)=(3/2)^n∴an=………最后这个解出很容易，我手机不方便打不动点大多用在分式数列中，具体怎么推，是大学的东西了。有个方法就行了，不明白的追问。望采纳，谢谢。

特征方程式.　　一个数列:X(n+2)=C1X(n+1)+C2X(n) 　　设r，s使X(n+2)-rX(n+1)=s[X(n+1)-rXn] 　　所以X(n+2)=(s+r)X(n+1)-srXn 　　C1=s+r 　　C2=-sr 　　消去s就导出特征方程式 r^2-C1*r-C2=0以线性递推数列通项求法为例，这里说明特征方程的应用。 　　关于一阶线性递推数列： 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列： 　　对于数列a[1]=a，a[n+1]=ca[n]+d， 　　设a[n+1]+t=c(a[n]+t)....①， 　　化简得a[n+1]=ca[n]+(c-1)t，与原递推式比较，得d=(c-1)t， 　　将解得的t代入①即得等比数列{a[n]+t}，用等比数列通项即可得出原数列{a[n]}。 　　对于二阶线性递推数列，可采用特征方程法： 　　对于数列a[n]，递推公式为a[n+1]=pa[n]+qa[n-1]，其特征方程为x^2=px+q 即x^2-px-q=0， 　　1、 若方程有两相异根α,β，则a[n]=c1·α^[n-1]+c2·β^[n-1]；·· 　　2、 若方程有两等根α=β，则a[n]=(c1+nc2)·α^[n-1]， 　　其中 c1,c2 可由初始条件确定，初始条件通常为a[1]与a[2]。 　　对于更高阶的线性递推数列，只要将递推公式中每一个a[k]换成x，就是它的特征方程。解出所有根后，进一步应用时还应注意重根的问题；其中当所有根x=x0均相等时，以k阶为例，a[n]=[c1+c2(n-1)+c3(n-1)^2+……+cn(n-1)^(k-1)]·x0^(n-1)。 　　最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。

特征方程求数列通项要把递推式中的an+1、an、an-1这些数列变量项，全都换成X，得到的一元方程，特征方程的解就是判断数列通项形式的依据。特征方程法只能求三种递推，常系数一阶线性、常系数二阶性和常数数分式式递推。 在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。

特征方程求数列通项如下：特征方程求数列的通项公式（二阶线性递推式）。已知数列{an}满足fn=afn−1+b，fn−2，a，b∈N，b=0，n>2，f1=c1，f2=c2，（c1，c2 为常数）。定义：x2=ax+b为递推式的特征方程，该方程的根为数列{an}的特征根即为p，q。特征方程是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程、矩阵特征方程、微分方程特征方程、积分方程特征方程等等。递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。

r^3-1=0 （r-1)(r^2+r+1)=0 r1=1,r2=-1/2+根号3/2i，r3=-1/2-根号3/2i

（1）x为奇数时，fx 为奇数 x为偶时，fx为偶 4x四次方必偶，fx与5x平方 同奇偶（2）x为奇数时，fx 为奇数 x为偶时，fx为偶 fx=x（2x平方-3）， 2x平方-3为奇数五（1）54.7% （2）美国168030*1.3=218439中国91850*2.125=195181.25追不上

公元1202年,意大利数学家斐波那契提出了一个智力题:第一个月买回一对小兔子,第二个月小兔长成大兔,第三个月生下一对小兔,小兔一个月后长成大兔,大兔每月都能生一对小兔,买兔养兔人家各月兔子的对数为 1,1,2,3,5,8,13,21,. 谁能往下写得多,谁聪明,这个智力游戏当时十分流行,这个数列就称为斐波那契数列,后来,斐波那契给出了这个数列的递推公式: a1=1,a2=1,a(m+2)=a(m+1)+am,(m≥1,m∈Z) 后来人们想找到数列的通项公式,但很久未成功,直到二百多年后,法国数学家比内终于得出了通项公式: an={[(√5+1)^n]/2-[(1-√5)^n]/2]}÷√5 一个以正整数为项的数列通项竟是含无理数的复杂分式,令人称奇! 这个通项的推导很复杂,这里无法叙述. 斐波那契数列美妙无比,以它前项为分子,后项为分母的数列: 2/3,3/5,5/8.8/13,.是黄金分割数0.618的分数表示 斐波那契数列像黄金分割一样,用途十分广泛,它在科研,文学,艺术,体育,医学等许多方面都有广泛应用,千多年来,对它的研究一直热烈进行,并逐步发展.有关的论文和专著很多,有兴趣的话,可以去书店买几本通俗小册子读读.

          高中数学的常见模型模型1：元素与集合模型 模型2：函数性质模型 模型3：分式函数模型 模型4：抽象函数模型 模型5：函数应用模型 模型6：等面积变换模型 模型7：等体积变换模型 模型8：线面平行转化模型 模型9：垂直转化模型 模型10：法向量与对称模型 模型11：阿圆与米勒问题模型 模型12：条件结构模型 模型13：循环结构模型 模型14：古典概型与几何概型 模型15：角模型 模型16：三角函数模型 模型17：向量模型 模型18：边角互化解三角形模型 模型19：化归为等差等比数列解决递推数列的问题模型 模型20：构造函数模型解决不等式问题 模型21：解析几何中的最值模型

你可以到武外在线详细学习高中数学课程，以下是帮你整理了一些高中数学的知识点：高中数学重点知识与结论分类解析一、集合与简易逻辑1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．2．对集合 ， 时，必须注意到“极端”情况： 或 ；求集合的子集时是否注意到 是任何集合的子集、 是任何非空集合的真子集．3．对于含有 个元素的有限集合 ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 4．“交的补等于补的并，即 ”；“并的补等于补的交，即 ”．5．判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或"即‘且"，不‘且"即‘或"”．6．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”．7．四种命题中“‘逆"者‘交换"也”、“‘否"者‘否定"也”．原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价．反证法分为三步：假设、推矛、得果．注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论"所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ．8．充要条件二、函 数1．指数式、对数式， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．2．（1）映射是“‘全部射出"加‘一箭一雕"”；映射中第一个集合 中的元素必有像，但第二个集合 中的元素不一定有原像（ 中元素的像有且仅有下一个，但 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集 的子集”．（2）函数图像与 轴垂线至多一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个．（3）函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像．3．单调性和奇偶性（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同．偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等．对于偶函数而言有： ．（2）若奇函数定义域中有0，则必有 ．即 的定义域时， 是 为奇函数的必要非充分条件．（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法（图像法）、特殊值法等等．（4）既奇又偶函数有无穷多个（ ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．（7）复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”．复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化。（即复合有意义）4．对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）（1）函数 与函数 的图像关于直线 （ 轴）对称．推广一：如果函数 对于一切 ，都有 成立，那么 的图像关于直线 （由“ 和的一半 确定”）对称．推广二：函数 ， 的图像关于直线 （由 确定）对称．（2）函数 与函数 的图像关于直线 （ 轴）对称．（3）函数 与函数 的图像关于坐标原点中心对称．推广：曲线 关于直线 的对称曲线是 ；曲线 关于直线 的对称曲线是 ．（5）类比“三角函数图像”得：若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期为 ．如果 是R上的周期函数，且一个周期为 ，那么 ．特别：若 恒成立，则 ．若 恒成立，则 ．若 恒成立，则 ．三、数 列1．数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前 项和公式的关系： （必要时请分类讨论）．注意： ； ．2．等差数列 中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性．（2） ； ．（3） 、 也成等差数列．（4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列．（5） 仍成等差数列．（6） ， ， ， ， ．（7） ； ； ．（8）“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和；（9）有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项．（10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解．（11）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法（也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式）．3．等比数列 中：（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性．（2） ； ．（3） 、 、 成等比数列； 成等比数列 成等比数列．（4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列．（5） 成等比数列．（6） ．特别： ．（7） ．（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前 项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前 项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；（9）有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和．（10）并非任何两数总有等比中项．仅当实数 同号时，实数 存在等比中项．对同号两实数 的等比中项不仅存在，而且有一对 ．也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解．（11）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法（也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式）．4．等差数列与等比数列的联系（1）如果数列 成等差数列，那么数列 （ 总有意义）必成等比数列．（2）如果数列 成等比数列，那么数列 必成等差数列．（3）如果数列 既成等差数列又成等比数列，那么数列 是非零常数数列；但数列 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．（4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列．注意：（1）公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 ．但也有少数问题中研究 ，这时既要求项相同，也要求项数相同．（2）三（四）个数成等差（比）的中项转化和通项转化法．5．数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），②等比数列求和公式（三种形式），③ ， ， ， ．（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）．（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前 和公式的推导方法之一）．（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有：① ，② ，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论．（6）通项转换法。四、三角函数1． 终边与 终边相同（ 的终边在 终边所在射线上） ． 终边与 终边共线（ 的终边在 终边所在直线上） ． 终边与 终边关于 轴对称 ． 终边与 终边关于 轴对称 ． 终边与 终边关于原点对称 ．一般地： 终边与 终边关于角 的终边对称 ． 与 的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定．2．弧长公式： ，扇形面积公式： ，1弧度（1rad） ．3．三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正．注意： ， ， ．4．三角函数线的特征是：正弦线“站在 轴上（起点在 轴上）”、余弦线“躺在 轴上（起点是原点）”、正切线“站在点 处（起点是 ）”．务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦" ‘纵坐标"、‘余弦" ‘横坐标"、‘正切" ‘纵坐标除以横坐标之商"”；务必记住：单位圆中角终边的变化与 值的大小变化的关系． 为锐角 ．5．三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”；6．三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限．7．三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数（常值）的变换，其核心是“角的变换”! 角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如 ， ， ， ， 等．常值变换主要指“1”的变换： 等．三角式变换主要有：三角函数名互化（切割化弦）、三角函数次数的降升（降次、升次）、运算结构的转化（和式与积式的互化）．解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次．注意：和（差）角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次（升次）公式中的符号特征．“正余弦‘三兄妹— "的联系”（常和三角换元法联系在一起 ）．辅助角公式中辅助角的确定： （其中 角所在的象限由a, b的符号确定， 角的值由 确定）在求最值、化简时起着重要作用．尤其是两者系数绝对值之比为 的情形． 有实数解 ．8．三角函数性质、图像及其变换：（1）三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性注意：正切函数、余切函数的定义域；绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变；其他不定．如 的周期都是 , 但 的周期为 ， y=|tanx|的周期不变，问函数y=cos|x|, ，y=cos|x|是周期函数吗？（2）三角函数图像及其几何性质：（3）三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换．（4）三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法（五点横坐标成等差数列）和变换法．9．三角形中的三角函数：（1）内角和定理：三角形三角和为 ，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方．（2）正弦定理： （R为三角形外接圆的半径）．注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解．（3）余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型．（4）面积公式： ．五、向 量1．向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征．2．几个概念：零向量、单位向量（与 共线的单位向量是 ，特别： ）、平行（共线）向量（无传递性，是因为有 ）、相等向量（有传递性）、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（ 在 上的投影是 ）．3．两非零向量平行（共线）的充要条件 ． 两个非零向量垂直的充要条件 ． 特别：零向量和任何向量共线． 是向量平行的充分不必要条件!4．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、 ，使a= e1＋ e2．5．三点 共线 共线；向量 中三终点 共线 存在实数 使得： 且 ．6．向量的数量积： ， ， ， ．注意： 为锐角 且 不同向； 为直角 且 ； 为钝角 且 不反向； 是 为钝角的必要非充分条件．向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用；对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量；向量的“乘法”不满足结合律，即 ，切记两向量不能相除（相约）．7． 注意： 同向或有 ； 反向或有 ； 不共线 ．（这些和实数集中类似）8.中点坐标公式 ， 为 的中点． 中， 过 边中点； ； ． 为 的重心；特别 为 的重心． 为 的垂心； 所在直线过 的内心（是 的角平分线所在直线）； 的内心． ．六、不等式1．（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．（2）解分式不等式 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）；（3）含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？（一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）；（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论．注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集．2．利用重要不等式 以及变式 等求函数的最值时，务必注意a，b （或a ，b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值（一正二定三等四同时）．3．常用不等式有： （根据目标不等式左右的运算结构选用）a、b、c R， （当且仅当 时，取等号）4．比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法5．含绝对值不等式的性质： 同号或有 ； 异号或有 ．注意：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用方程函数思想和“分离变量法”转化为最值问题）．6．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题（1）．恒成立问题若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 （2）．能成立问题若在区间 上存在实数 使不等式 成立,即 在区间 上能成立, ,则等价于在区间 上 若在区间 上存在实数 使不等式 成立,即 在区间 上能成立, ,则等价于在区间 上的 ．（3）．恰成立问题若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 ．若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 ,七、直线和圆1．直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围；直线方向向量的意义（ 或 ）及其直线方程的向量式（ （ 为直线的方向向量））．应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况？2．知直线纵截距 ，常设其方程为 或 ；知直线横截距 ，常设其方程为 （直线斜率k存在时， 为k的倒数）或 ．知直线过点 ，常设其方程为 或 ．注意：（1）直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、向量式．以及各种形式的局限性．（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截矩式呢？）与直线 平行的直线可表示为 ；与直线 垂直的直线可表示为 ；过点 与直线 平行的直线可表示为： ；过点 与直线 垂直的直线可表示为： ．（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0．直线两截距相等 直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 或直线过原点．（3）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合．3．相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是 ，而其到角是带有方向的角，范围是 ．注：点到直线的距离公式 ．特别： ； ； ．4．线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解．5．圆的方程：最简方程 ；标准方程 ；一般式方程 ；参数方程 为参数）；直径式方程 ．注意：（1）在圆的一般式方程中，圆心坐标和半径分别是 ．（2）圆的参数方程为“三角换元”提供了样板，常用三角换元有： ， ， ， ．6．解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质（如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等）的作用!”（1）过圆 上一点 圆的切线方程是： ，过圆 上一点 圆的切线方程是： ，过圆 上一点 圆的切线方程是： ．如果点 在圆外，那么上述直线方程表示过点 两切线上两切点的“切点弦”方程．如果点 在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于 （ 为圆心）的直线方程， （ 为圆心 到直线的距离）．7．曲线 与 的交点坐标 方程组 的解；过两圆 、 交点的圆（公共弦）系为 ，当且仅当无平方项时， 为两圆公共弦所在直线方程．八、圆锥曲线1．圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制条件，在圆锥曲线问题中，如果涉及到其两焦点（两相异定点），那么将优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其焦点、准线（一定点和不过该点的一定直线）或离心率，那么将优先选用圆锥曲线第二定义；涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用．（1）注意：①圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用；②圆锥曲线第二定义是：“点点距为分子、点线距为分母”，椭圆 点点距除以点线距商是小于1的正数，双曲线 点点距除以点线距商是大于1的正数，抛物线 点点距除以点线距商是等于1．③圆锥曲线的焦半径公式如下图：2．圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势．其中 ，椭圆中 、双曲线中 ．重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质"”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点．注意：等轴双曲线的意义和性质．3．在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解．特别是：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“判别式≥0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式≥0”．②直线与抛物线（相交不一定交于两点）、双曲线位置关系（相交的四种情况）的特殊性，应谨慎处理．③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式（ ， , ）或“小小直角三角形”．④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化．4．要重视常见的寻求曲线方程的方法（待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法、向量法等）, 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质（定义法、几何法、代数法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等），这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点．注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化．②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合（如角平分线的双重身份）、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等．九、直线、平面、简单多面体1．计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角计算2．计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法（直线上向量与平面法向量夹角的余角），三余弦公式（最小角定理， ），或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解．注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等 斜线在平面上射影为角的平分线．3．空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，请重视线面平行关系、线面垂直关系（三垂线定理及其逆定理）的桥梁作用．注意：书写证明过程需规范．特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化．②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 （构造） 为特殊几何体（如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等）中问题，并获得去解决．③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题．4．直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质．如长方体中：对角线长 ，棱长总和为 ，全（表）面积为 ，（结合 可得关于他们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式）， ；如三棱锥中：侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等） 顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直（两对对棱垂直） 顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等（侧面与底面所成相等）且顶点在底上在底面内 顶点在底上射影为底面内心．如正四面体和正方体中： 5．求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积（转换）法、比例（性质转换）法等．注意：补形：三棱锥 三棱柱 平行六面体 分割：三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 ．6．多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种， 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．9．球体积公式 ，球表面积公式 ，是两个关于球的几何度量公式．它们都是球半径及的函数．十、导 数1．导数的意义：曲线在该点处的切线的斜率（几何意义）、瞬时速度、边际成本（成本为因变量、产量为自变量的函数的导数）． ， （C为常数）， ， ．2．多项式函数的导数与函数的单调性：在一个区间上 （个别点取等号） 在此区间上为增函数．在一个区间上 （个别点取等号） 在此区间上为减函数．3．导数与极值、导数与最值：（1）函数 在 处有 且“左正右负” 在 处取极大值；函数 在 处有 且“左负右正” 在 处取极小值．注意：①在 处有 是函数 在 处取极值的必要非充分条件．②求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，列表求出极值．特别是给出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑 ，又要考虑验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记．③单调性与最值（极值）的研究要注意列表！（2）函数 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”；注意：利用导数求最值的步骤：先找定义域 再求出导数为0及导数不存在的的点，然后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小就为最小值．4．应用导数求曲线的切线方程，要以“切点坐标”为桥梁，注意题目中是“处”还是“过”，对“二次抛物线”过抛物线上一点的切线 抛物线上该点处的切线，但对“三次曲线”过其上一点的切线包含两条，其中一条是该点处的切线，另一条是与曲线相交于该点．5．注意应用函数的导数，考察函数单调性、最值（极值），研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题．

一次函数求解析式的方法最常用的就是已知一次函数两个点的坐标，然后代入一次函数的解析式y=kx+b，得到关于k，b的二元一次方程组，然后求出K，b的值，求可得到一次函数的解析式。当然还有根据题目中的已知条件采用其它方法求解析式。

第一步：整体观察，若有线性趋势则走思路A，若没有线性趋势或线性趋势不明显则走思路B。 注：线性趋势是指数列总体上往一个方向发展，即数值越来越大，或越来越小，且直观上数值的大小变化跟项数本身有直接关联（别觉得太玄乎，其实大家做过一些题后都能有这个直觉） 第二步思路A：分析趋势 1， 增幅（包括减幅）一般做加减。 基本方法是做差，但如果做差超过三级仍找不到规律，立即转换思路，因为公考没有考过三级以上的等差数列及其变式。 例1：-8，15，39，65，94，128，170，（） A．180 B.210 C. 225 D 256 解：观察呈线性规律，数值逐渐增大，且增幅一般，考虑做差，得出差23,24,26,29,34,42，再度形成一个增幅很小的线性数列，再做差得出1，2，3，5，8，很明显的一个和递推数列，下一项是5+8=13，因而二级差数列的下一项是42+13=55，因此一级数列的下一项是170+55=225，选C。 总结：做差不会超过三级；一些典型的数列要熟记在心 2， 增幅较大做乘除 例2：0.25，0.25，0.5，2，16，（） A．32 B. 64 C.128 D.256 解：观察呈线性规律，从0.25增到16，增幅较大考虑做乘除，后项除以前项得出1，2，4，8，典型的等比数列，二级数列下一项是8*2=16，因此原数列下一项是16*16=256 总结：做商也不会超过三级 3， 增幅很大考虑幂次数列 例3：2，5，28，257，（） A．2006 B。1342 C。3503 D。3126 解：观察呈线性规律，增幅很大，考虑幂次数列，最大数规律较明显是该题的突破口，注意到257附近有幂次数256，同理28附近有27、25，5附近有4、8，2附近有1、4。而数列的每一项必与其项数有关，所以与原数列相关的幂次数列应是1，4，27，256（原数列各项加1所得）即1^1,2^2,3^3,4^4,下一项应该是5^5，即3125，所以选D 总结：对幂次数要熟悉 第二步思路B：寻找视觉冲击点 注：视觉冲击点是指数列中存在着的相对特殊、与众不同的现象，这些现象往往是解题思路的导引 视觉冲击点1：长数列，项数在6项以上。基本解题思路是分组或隔项。 例4：1，2，7，13，49，24，343，（） A．35 B。69 C。114 D。238 解：观察前6项相对较小，第七项突然变大，不成线性规律，考虑思路B。长数列考虑分组或隔项，尝试隔项得两个数列1，7，49，343；2，13，24，（）。明显各成规律，第一个支数列是等比数列，第二个支数列是公差为11的等差数列，很快得出答案A。 总结：将等差和等比数列隔项杂糅是常见的考法。 视觉冲击点2：摇摆数列，数值忽大忽小，呈摇摆状。基本解题思路是隔项。 20 5 例5：64，24，44，34，39，（） 10 A．20 B。32 C 36.5 D。19 解：观察数值忽小忽大，马上隔项观察，做差如上，发现差成为一个等比数列，下一项差应为5/2=2.5，易得出答案为36.5 总结：隔项取数不一定各成规律，也有可能如此题一样综合形成规律。 视觉冲击点3：双括号。一定是隔项成规律！ 例6：1，3，3，5，7，9，13，15，（），（） A．19，21 B。19，23 C。21，23 D。27，30 解：看见双括号直接隔项找规律，有1，3，7，13，（）；3，5，9，15，（），很明显都是公差为2的二级等差数列，易得答案21，23，选C 例7：0，9，5，29，8，67，17，（），（） A．125，3 B。129，24 C。84，24 D。172，83 解：注意到是摇摆数列且有双括号，义无反顾地隔项找规律！有0，5，8，17，（）；9，29，67，（）。支数列二数值较大，规律较易显现，注意到增幅较大，考虑乘除或幂次数列，脑中闪过8，27，64，发现支数列二是2^3+1，3^3+2，4^3+3的变式，下一项应是5^3+4=129。直接选B。回头再看会发现支数列一可以还原成1-1，4+1,9-1,16+1,25-1. 总结：双括号隔项找规律一般只确定支数列其一即可，为节省时间，另一支数列可以忽略不计 视觉冲击点4：分式。 类型（1）：整数和分数混搭，提示做乘除。 例8：1200，200，40，（），10/3 A．10 B。20 C。30 D。5 解：整数和分数混搭，马上联想做商，很易得出答案为10 类型（2）：全分数。解题思路为：能约分的先约分；能划一的先划一；突破口在于不宜变化的分数，称作基准数；分子或分母跟项数必有关系。 例9：3/15，1/3，3/7，1/2，（） A．5/8 B。4/9 C。15/27 D。-3 解：能约分的先约分3/15=1/5；分母的公倍数比较大，不适合划一；突破口为3/7，因为分母较大，不宜再做乘积，因此以其作为基准数，其他分数围绕它变化；再找项数的关系3/7的分子正好是它的项数，1/5的分子也正好它的项数，于是很快发现分数列可以转化为1/5，2/6，3/7，4/8，下一项是5/9，即15/27 例10：-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9 A．7/3 B 10/9 C -5/18 D -2 解：没有可约分的；但是分母可以划一，取出分子数列有-4，10，12，7，1，后项减前项得 14，2，-5，-6，（-3.5），（-0.5） 与分子数列比较可知下一项应是7/（-2）=-3.5，所以分子数列下一项是1+（-3.5）= -2.5。因此（-2.5）/9= -5/18 视觉冲击点5：正负交叠。基本思路是做商。 例11:8/9, -2/3, 1/2, -3/8,（） A 9/32 B 5/72 C 8/32 D 9/23 解：正负交叠，立马做商，发现是一个等比数列，易得出A 视觉冲击点6：根式。 类型（1）数列中出现根数和整数混搭，基本思路是将整数化为根数，将根号外数字移进根号内 例12：0 3 1 6 √2 12 ( ) ( ) 2 48 A. √3 24 B．√3 36 C．2 24 D．2 36 解：双括号先隔项有0，1，√2，（），2；3，6，12，（），48.支数列一即是根数和整数混搭类型，以√2为基准数，其他数围绕它变形，将整数划一为根数有√0 √1 √2 （）√4，易知应填入√3；支数列二是明显的公比为2的等比数列，因此答案为A 类型（2）根数的加减式，基本思路是运用平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b) 例13：√2-1，1/(√3+1),1/3,() A(√5-1)/4 B 2 C 1/(√5-1) D √3 解：形式划一：√2-1=（√2-1）（√2+1）/(√2+1)=(2-1)/ (√2+1)=1/(√2+1),这是根式加减式的基本变形形式，要考就这么考。同时，1/3=1/(1+2)=1/(1+√4),因此，易知下一项是1/(√5+1)=( √5-1)/[( √5)^2-1]= (√5-1)/4. 视觉冲击点7：首一项或首两项较小且接近，第二项或第三项突然数值变大。基本思路是分组递推，用首一项或首两项进行五则运算（包括乘方）得到下一个数。 例14：2，3，13，175，（） A．30625 B。30651 C。30759 D。30952 解：观察，2，3很接近，13突然变大，考虑用2，3计算得出13有2*5+3=3，也有3^2+2*2=13等等，为使3，13，175也成规律，显然为13^2+3*2=175,所以下一项是175^2+13*2=30651 总结：有时递推运算规则很难找，但不要动摇，一般这类题目的规律就是如此。 视觉冲击点8：纯小数数列，即数列各项都是小数。基本思路是将整数部分和小数部分分开考虑，或者各成单独的数列或者共同成规律。 例15：1.01，1.02，2.03，3.05，5.08，（） A．8.13 B。 8.013 C。7.12 D 7.012 解：将整数部分抽取出来有1，1，2，3，5，（），是一个明显的和递推数列，下一项是8，排除C、D；将小数部分抽取出来有1，2，3，5，8，（）又是一个和递推数列，下一项是13，所以选A。 总结：该题属于整数、小数部分各成独立规律 例16：0.1，1.2，3.5，8.13，( ) A 21.34 B 21.17 C 11.34 D 11.17 解：仍然是将整数部分与小数部分拆分开来考虑，但在观察数列整体特征的时候，发现数字非常像一个典型的和递推数列，于是考虑将整数和小树部分综合起来考虑，发现有新数列0，1，1，2，3，5，8，13，（），（），显然下两个数是8+13=21，13+21=34，选A 总结：该题属于整数和小数部分共同成规律 视觉冲击点9：很像连续自然数列而又不连贯的数列，考虑质数或合数列。 例17：1，5，11，19，28，（），50 A．29 B。38 C。47 D。49 解：观察数值逐渐增大呈线性，且增幅一般，考虑作差得4，6，8，9，……，很像连续自然数列而又缺少5、7，联想和数列，接下来应该是10、12，代入求证28+10=38，38+12=50，正好契合，说明思路正确，答案为38. 视觉冲击点10：大自然数，数列中出现3位以上的自然数。因为数列题运算强度不大，不太可能用大自然数做运算，因而这类题目一般都是考察微观数字结构。 例18：，59367，7695，967，（） A．5936 B。69 C。769 D。76 解：发现出现大自然数，进行运算不太现实，微观地考察数字结构，发现后项分别比前项都少一位数，且少的是1，3，5，下一个缺省的数应该是7；另外缺省一位数后，数字顺序也进行颠倒，所以967去除7以后再颠倒应该是69，选B。 例19：1807，2716，3625，（） A．5149 B。4534 C。4231 D。5847 解：四位大自然数，直接微观地看各数字关系，发现每个四位数的首两位和为9，后两位和为7，观察选项，很快得出选B。 第三步：另辟蹊径。 一般来说完成了上两步，大多数类型的题目都能找到思路了，可是也不排除有些规律不容易直接找出来，此时若把原数列稍微变化一下形式，可能更易看出规律。 变形一：约去公因数。数列各项数值较大，且有公约数，可先约去公约数，转化成一个新数列，找到规律后再还原回去。 例20：0，6，24，60，120，（） A．186 B。210 C。220 D。226 解：该数列因各项数值较大，因而拿不准增幅是大是小，但发现有公约数6，约去后得0，1，4，10，20，易发现增幅一般，考虑做加减，很容易发现是一个二级等差数列，下一项应是20+10+5=35，还原乘以6得210。 变形二：因式分解法。数列各项并没有共同的约数，但相邻项有共同的约数，此时将原数列各数因式分解，可帮助找到规律。 例21：2，12，36，80，（） A．100 B。125 C 150 D。175 解：因式分解各项有1*2，2*2*3，2*2*3*3，2*2*2*2*5,稍加变化把形式统一一下易得1*1*2，2*2*3，3*3*4，4*4*5，下一项应该是5*5*6=150，选C。 变形三：通分法。适用于分数列各项的分母有不大的最小公倍数。 例22：1/6,2/3,3/2,8/3,() A.10/3 B.25/6 C.5 D.35/6 解：发现分母通分简单，马上通分去掉分母得到一个单独的分子数列1，4，9，16，（）。增幅一般，先做差的3，5，7，下一项应该是16+9=25。还原成分母为6的分数即为B。 第四步：蒙猜法，不是办法的办法。 有些题目就是百思不得其解，有的时候就剩那么一两分钟，那么是不是放弃呢？当然不能！一分万金啊，有的放矢地蒙猜往往可以救急，正确率也不低。下面介绍几种我自己琢磨的蒙猜法。 第一蒙：选项里有整数也有小数，小数多半是答案。 见例5：64，24，44，34，39，（） A．20 B。32 C 36.5 D。19 直接猜C！ 例23：2，2，6，12，27，（） A．42 B 50 C 58.5 D 63.5 猜：发现选项有整数有小数，直接在C、D里选择，出现“.5”的小数说明运算中可能有乘除关系，观察数列中后项除以前项不超过3倍，猜C 正解：做差得0，4，6，15。（0+4）*1.5=6 (2+6)*1.5=12 (4+6)*1.5=15 (6+15)*1.5=31.5，所以原数列下一项是27+31.5=58.5 第二蒙：数列中出现负数，选项中又出现负数，负数多半是答案。 例24：-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9,( ) A．7/3 B.10/9 C -5/18 D.-2 猜：数列中出现负数，选项中也出现负数，在C/D两个里面猜，而观察原数列，分母应该与9有关，猜C。 第三蒙：猜最接近值。有时候貌似找到点规律，算出来的答案却不在选项中，但又跟某一选项很接近，别再浪费时间另找规律了，直接猜那个最接近的项，八九不离十！ 例25：1，2，6，16，44，（） A．66 B。84 C。88 D。120 猜：增幅一般，下意识地做了差有1，4，10，28。再做差3，6，18，下一项或许是（6+18）*2=42，或许是6*18=108，不论是哪个，原数列的下一项都大于100，直接猜D。 例26：0.，0，1，5，23，（） A．119 B。79 C 63 D 47 猜：首两项一样，明显是一个递推数列，而从1，5递推到25必然要用乘法，而5*23=115，猜最接近的选项119 第四蒙：利用选项之间的关系蒙。 例27：0，9，5，29，8，67，17，（），（） A．125，3 B129，24 C 84，24 D172 83 猜：首先注意到B，C选项中有共同的数值24，立马会心一笑，知道这是阴险的出题人故意设置的障碍，而又恰恰是给我们的线索，第二个括号一定是24！而根据之前总结的规律，双括号一定是隔项成规律，我们发现偶数项9，29，67，（）后项都是前项的两倍左右，所以猜129，选B 例28：0，3，1，6，√2，12，（），（），2，48 A．√3，24 B。√3，36 C 2，24 D√2，36 猜：同上题理，第一个括号肯定是√3！而双括号隔项成规律，3，6，12，易知第二个括号是24，很快选出A

对于求解线性递推数列，我们还经常使用生成函数法，而对于常系数线性递推数列，其生成函数是一个有理分式，其分母即特征多项式。为n*n的矩阵A的特征多项式为|λI-A|，其中I为n*n的单位矩阵。

可以。特征多项式在进行化简的时候，是可以列变换的计算的时候很简单。对于求解线性递推数列，还经常使用生成函数法，而对于常系数线性递推数列，其生成函数是一个有理分式，其分母即特征多项式。

你给出的函数关系,如果将x,y分别替换成an与an+1,可以看出相应的数列的递推关系不是分式线性递推关系.不动点法对于这样的问题失效.

简单。当遇到不动点为复数时，由于数列是在实数范围内研究的，因此事实上是不动点不存在。这个时候多数是个周期数列的递推式，而且往往周期T=6较多。你就利用题目给出的首项和第二项进行递推，最后会发现是个周期数...

一般来说,都有几种不同的分类,常见的一些分式递推都有套路.你最好能具体的说几个题,这样我比较方便跟你说.

方程y"+y=0的通解为：y=C1cosx+C2sinx具体回答如下：特征方程：r+1=0可以解得：r1、2=±i所以通解为：y=C1cosx+C2sinx 所以答案是：y=C1cosx+C2sinx特征方程的高阶递推：对于更高阶的线性递推数列，只要将递推公式中每一个xn换成x，就是它的特征方程。最后我们指出。上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。

有通项公式的,一般只有线性递推数列（包含等差数列、等比数列）、分式递推数列、某些排列组合数数列及其他少数特殊系数的非线性递推数列. 反正你看到左边是线性的,右边是一个指数函数加多项式的,就一定有通项公式,其他的就不要费劲去解了,一般都没有.

无规律的数列不可求通项，如随机数列。。。

随机数

我之前在网上找的。正好没删。感觉比楼上的实用。有例题,建议你自已把例题推一下。其实感觉高考不用掌握特征根的。不过掌握了更好==============================数列{An}：满足An+2 + s*An+1 + t*An=0 则其对应的特征方程为：x^2 +sx+t=0 ,设其两根为α、β 1).当α≠β时，An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1) 2).当α＝β时，An=(kn+m)*α^(n-2) 其中k、m的值的求法，用A1、A2的值代入上面的通项公式中，建立方程组解之即可 (1).数列{An}满足：An+2 -4*An+1 +4An=0 ,A1=1 ,A2=2 ,求通项An 解：特征方程为 (x-2)^2=0 ,所以α＝β＝2 设An=(kn+m)*α^(n-2) ， 所以(k+m)/2 = 1 ,(2k+m)=2 ,解得：k=2 ,m=0 所以An=(kn+m)*α^(n-2)=n*2^(n-1) (2).裴波那契数列{An}满足：An+2 -An+1 -An=0 ,A1=1 ,A2=1 ,求通项An 解：特征方程为 x^2 -x-1=0 ,所以α=(1-√5)/2 ,β=(1+√5)/2 设An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1) ，则有 k + m = 1 ,k*(1-√5)/2 + m*(1+√5)/2 = 1 解得：k=-(√5/5)*α ,m=(√5/5)*β 所以An= (√5/5)*β^n - (√5/5)*α^n

y"+y=0，特征方程r^2+1=0,根±i通解y=C1cosx+C2sinx

特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程，积分方程特征方程等等。【扩展】递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。

方程y"+y=0的通解为：y=C1cosx+C2sinx具体回答如下：特征方程：r+1=0可以解得：r1、2=±i所以通解为：y=C1cosx+C2sinx 所以答案是：y=C1cosx+C2sinx特征方程的高阶递推：对于更高阶的线性递推数列，只要将递推公式中每一个xn换成x，就是它的特征方程。最后我们指出。上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。

下面所介绍的仅仅是数列的特征方程数列特征方程式.一个数列:设 有r，s使∴得消去s就导出特征方程式∴ 关于一阶线性递推数列： 其通项公式的求法一般采用如下的参数法 ，将递推数列转化为等比数列：对于数列 ,设 ....①，化简得 ，与原递推式比较，得 ，将解得的t代入①即得等比数列 ，用等比数列通项即可得出原数列 。 对于二阶线性递推数列，可采用特征方程法：对于数列 ，递推公式为 ，其特征方程为 即 ，1、 若方程有两相异根 ，则2、 若方程有两等根 ，则 ，其中 可由初始条件确定，初始条件通常为a1与a2。例：求斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...的通项公式 线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2.则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n∵F(1)=F(2)=1∴C1*X1 + C2*X2C1*X1^2 + C2*X2^2解得C1=1/√5，C2=-1/√5∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 对于更高阶的线性递推数列，只要将递推公式中每一个 换成 ，就是它的特征方程。解出所有根后，进一步应用时还应注意重根的问题；其中当所有根 均相等时，以k阶为例，最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。

a[n]={[(√5+1)^n]/2-[(1-√5)^n]/2]}÷√5

生成函数是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。 如：序列{0,1，2，3，4，5...n}的生成函数为：g(x)=0+x+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n生成函数最绝妙的是，某些生成函数可以化简为一个很简单的函数。也就是说，不一定每个生成函数都是用一长串多项式来表示的。比如，这个函数f(n)=1 （n当然是属于自然数的），它的生成函数就应该是g(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...（每一项都是一，即使n=0时也有x^0系数为1，所以有常数项）。再仔细一看，这就是一个有无穷多项的等比数列求和嘛。如果-1<x<1，那么g(x)就等于1/(1-x)了。在研究生成函数时，我们都假设级数收敛，因为生成函数的x没有实际意义，我们可以任意取值。于是，我们就说，f(n)=1的生成函数是g(x)=1/(1-x)。我们举一个例子说明，一些具有实际意义的组合问题也可以用像这样简单的一个函数全部表示出来。考虑这个问题：从只有4个MM的二班选n个MM出来有多少种选法。学过简单的排列与组合的同学都知道，答案就是C(4,n)。也就是说。从n=0开始，问题的答案分别是1,4,6,4,1,0,0,0,...（从4个MM中选出4个以上的人来方案数当然为0喽）。那么它的生成函数g(x)就应该是g(x)=1+4x+6x^2+4x^3+x^4。这不就是……二项式展开吗？于是，g(x)=(1+x)^4。你或许应该知道，(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k；但你或许不知道，即使k为负数和小数的时候，也有类似的结论：(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k+C(k,k+1)x^(k+1)+C(k,k+2)x^(k+2)+...（一直加到无穷；式子看着很别扭，自己写到草稿纸上吧，毕竟这里输入数学式子很麻烦）。其中，广义的组合数C(k,i)就等于k(k-1)(k-2)…(k-i+1)/i!，比如C(4,6)=4*3*2*1*0*(-1)/6!=0，再比如C(-1.4,2)=(-1.4)*(-2.4)/2!=1.68。后面这个就叫做牛顿二项式定理。当k为整数时，所有i>k时的C(k,i)中分子都要“越过”0这一项，因此后面C(k,k+1),C(k,k+2)之类的都为0了，与我们的经典二项式定理结论相同；不同的是，牛顿二项式定理中的指数k可以是任意实数。我们再举一个例子说明一些更复杂的生成函数。n=x1+x2+x3+...+xk有多少个非负整数解？这道题是学排列与组合的经典例题了。把每组解的每个数都加1，就变成n+k=x1+x2+x3+...+xk的正整数解的个数了。教材上或许会出现这么一个难听的名字叫“隔板法”：把n+k个东西排成一排，在n+k-1个空格中插入k-1个“隔板”。答案我们总是知道的，就是C(n+k-1,k-1)。它就等于C(n+k-1,n)。它关于n的生成函数是g(x)=1/(1-x)^k。这个生成函数是怎么来的呢？其实，它就是(1-x)的-k次方。把(1-x)^(-k)按照刚才的牛顿二项式展开，我们就得到了x^n的系数恰好是C(n+k-1,n)，因为C(-k,n)*(-x)^n=[(-1)^n*C(n+k-1,n)]*[(-1)^n*x^n]=C(n+k-1,n)x^n。这里看晕了不要紧，后文有另一种方法可以推导出一模一样的公式。事实上，我们有一个纯组合数学的更简单的解释方法。因为我们刚才的几何级数1+x+x^2+x^3+x^4+...=1/(1-x)，那么(1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k就等于1/(1-x)^k。仔细想想k个(1+x+x^2+x^3+x^4+...)相乘是什么意思。(1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k的展开式中，n次项的系数就是我们的答案，因为它的这个系数是由原式完全展开后k个指数加起来恰好等于n的项合并起来得到的。现在我们引用《组合数学》上最经典的一个例题:我们要从苹果、香蕉、橘子和梨中拿一些水果出来，要求苹果只能拿偶数个，香蕉的个数要是5的倍数，橘子最多拿4个，梨要么不拿，要么只能拿一个。问按这样的要求拿n个水果的方案数。结合刚才的k个(1+x+x^2+x^3+x^4+...)相乘，我们也可以算出这个问题的生成函数。引用内容g(x)=(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+..)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x)=[1/(1-x^2)]*[1/(1-x^5)]*[(1-x^5)/(1-x)]*(1+x) （前两个分别是公比为2和5的几何级数，第三个嘛，(1+x+x^2+x^3+x^4)*(1-x)不就是1-x^5了吗）=1/(1-x)^2 （约分，把一大半都约掉了）=(1-x)^(-2)=C(1,0)+C(2,1)x+C(3,2)x^2+C(4,3)x^3... （参见刚才对1/(1-x)^k的展开）=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....于是，拿n个水果有n+1种方法。我们利用生成函数，完全使用代数手段得到了答案！如果你对1/(1-x)^k的展开还不熟悉，我们这里再介绍一个更加简单和精妙的手段来解释1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....。1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...是前面说过的。我们对这个式子等号两边同时求导数。于是，1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....。一步就得到了我们所需要的东西！不断地再求导数，我们同样可以得到刚才用复杂的牛顿二项式定理得到的那个结论。生成函数还有很多其它的处理手段，比如等式两边同时乘以、除以常数（相当于等式右边每一项乘以、除以常数），等式两边同时乘以、除以一个x（相当于等式右边的系数“移一位”），以及求微分积分等。神奇的生成函数啊。我们用两种方法得到了这样一个公式：1/(1-x)^n=1+C(n,1)x^1+C(n+1,2)x^2+C(n+2,3)x^3+...+C(n+k-1,k)x^k+...。这个公式非常有用，是把一个生成函数还原为数列的武器。而且还是核武器。接下来我们要演示如何使用生成函数求出Fibonacci数列的通项公式。Fibonacci数列是这样一个递推数列：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。现在我们需要求出它的生成函数g(x)。g(x)=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+...等式两边同时乘以x，我们得到：x*g(x)=x^2+x^3+2x^4+3x^5+5x^6+8x^7+...就像我们前面说过的一样，这相当于等式右边的所有系数向右移动了一位。现在我们两式相加，我们得到：g(x)+x*g(x)=x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+...把这最后一个式子和第一个式子好好对比一下。如果第一个式子的系数往左边移动一位，然后把多余的“1”去掉，就变成了最后一个式子了。由于递推函数的性质，我们神奇地得到了：g(x)+x*g(x)=g(x)/x-1。也就是说，g(x)*x^2+g(x)*x-g(x)=-x。把左边的g(x)提出来，我们有：g(x)(x^2+x-1)=-x。于是，我们得到了g(x)=x/(1-x-x^2)。现在把x/(1-x-x^2)还原成通项公式。这不是我们刚才的1/(1-x)^n的形式，我们要把它变成这种形式。我们发现，1-x-x^2=[1-(1-√5)x/2]*[1-(1+√5)x/2] （(1-√5)/2和(1+√5)/2是怎么算出来的？显然它们应该是x^2-x-1=0的两个根）。那么x/(1-x-x^2)一定能表示成?/[1-(1-√5)x/2]+?/[1-(1+√5)x/2]的形式（再次抱歉，输入数学公式很麻烦，将就看吧）。这是一定可以的，因为适当的?的取值可以让两个分式通分以后分子加起来恰好为一个x。?取值应该是多少呢？假设前面一个?是c1，后面那个是c2，那么通分以后分子为c1*[1-(1+√5)x/2]+c2*[1-(1-√5)x/2]，它恰好等于x。我们得到这样两个式子：常数项c1+c2=0，以及一次项-c1*(1+√5)/2-c2*(1-√5)/2=1。这两个式子足够我们解出c1和c2的准确值。你就不用解了，我用的Mathematica 5.0。解出来c1=-1/√5，c2=1/√5。你不信的话你去解吧。现在把x/(1-x-x^2)变成了-(1/√5)/[1-(1-√5)x/2] + (1/√5)/[1-(1+√5)x/2]。我们已经知道了1/[1-(1-√5)x/2]的背后是以(1-√5)/2为公比的等比数列，1/[1-(1+√5)x/2]所表示的数列公比为(1+√5)/2。那么，各乘以一个常数，再相加，我们就得到了Fibonacci数列的通项公式：f(n)=-(1/√5)*[(1-√5)/2]^n + (1/√5)*[(1+√5)/2]^n。或许你会问，这么复杂的式子啊，还有根号，Fibonacci数列不都是整数吗？神奇的是，这个充满根号的式子对于任何一个自然数n得到的都是整数。熟悉用特征方程解线性递推方程的同学应该知道，以上过程实质上和找特征根求解没有区别。事实上，用上面所说的方法，我们可以求出任何一个线性齐次递推方程的通项公式。什么叫做线性齐次递推呢？就是这样的递推方程：f(n)等于多少个f(n-1)加上多少个f(n-2)加上多少个f(n-3)等等。Fibonacci数列的递推关系就是线性齐次递推关系。我们最后看一个例子。我们介绍硬币兑换问题：我有1分、2分和5分面值的硬币。请问凑出n分钱有多少种方法。想一下刚才的水果，我们不难得到这个问题的生成函数：g(x)=(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+..)=1/[(1-x)(1-x^2)(1-x^5)]。现在，把它变成通项公式。我们的步骤同刚才的步骤完全相同。我们把(1-x)(1-x^2)(1-x^5)展开，得到1-x-x^2+x^3-x^5+x^6+x^7-x^8。我们求出-1+x+x^2-x^3+x^5-x^6-x^7+x^8=0的解，得到了以下8个解：-1,1,1,1,-(-1)^(1/5),(-1)^(2/5),-(-1)^(3/5),(-1)^(4/5)。解得(1-x)(1-x^2)(1-x^5)=(1+x)(1-x)^3(1+(-1)^(1/5) x)()()() （省略不写了）。注意那个(1-x)^3。由于等根的出现，我们不得不把(1-x)^3所包含的(1-x)和(1-x)^2因子写进一会儿的分母里，不然会导致解不出合适的c来。你可以看到很多虚数。不过没关系，这些虚数同样参与运算，就像刚才的根式一样不会影响到最后结果的有理性。然后，我们像刚才一样求出常数满足1/(1-x)(1-x^2)(1-x^5)=c1/()+c2/(1-x)+c3/(1-x)^2+c4/(1-x)^3...+c8/()。生成函数还有很多东西，例如：Catalan数列啊，指数生成函数啊，之类的。

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以后学了高等数学就明白了，不动点大多用于极限过程。如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式，微分方程初值问题解的存在唯一性定理，都是利用不动点理论证明的。 至于你的这个问题，是数列的计算技巧问题。这里利用特征根（也就是解得的不动点）可以把数列的通项公式写出来，进而得到周期。可以参看任何一本组合数学的书。由于数列是分式线性变换的迭代，可以和二阶矩阵的乘幂对应，所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解，都是类似的想法。——这就是这个题目背后的数学内容 具体的内容大概写起来很长，建议你去查书，组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分。 对于高中生，当然可以从更自然的角度去看这个问题：递推公式可以通过适当的变换，转化为（一个或两个）等比数列求解。

构造法求数列的通项公式在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式。构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.供参考。1、构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.例1设各项均为正数的数列的前n项和为Sn，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.解：，∴，∵，∴.即是以2为公差的等差数列，且.∴例2数列中前n项的和，求数列的通项公式.解：∵当n≥2时，令，则，且是以为公比的等比数列，∴.2、构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.例3设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式an.解：由题设得.∵，，∴.∴.例4数列中，，且，（n∈N*），求通项公式an.解：∵∴（n∈N*）3、构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.例5数列中，，前n项的和，求.解：，∴∴4、构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.例6设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，.，，，∴例7已知数列中，，n≥2时，求通项公式.解：∵，两边取倒数得.可化为等差数列关系式.∴

由来编辑三角形数传说古希腊毕达哥拉斯（约公元前570-约公元前500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如，他们研究过三角形点阵由于这些数可以用如右图所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数。正方形数类似地，被称为正方形数，因为这些数能够表示成正方形。因此，按照一定顺序排列的一列数成为数列。2概念编辑数列的函数理解：①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。数列的一般形式可以写成简记为{an}，项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence），项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。数列的各项都是正数的为正项数列；从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；如：1，2，3，4，5，6，7；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；如：8，7，6，5，4，3，2，1；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列；各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）；各项相等的数列叫做常数列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式（注：通项公式不唯一）。递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列中项的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an=f(n)。如果可以用一个公式来表示，则它的通项公式是a(n)=f(n).并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如：π的不同近似值，根据精确的程度，可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…它没有通项公式。数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。3表示方法编辑如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如。数列通项公式的特点：（1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。（2）有些数列没有通项公式如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如=2+1 (n>1)数列递推公式的特点：（1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。（2）有些数列没有递推公式有递推公式不一定有通项公式4等差数列编辑定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前N项和用Sn表示。缩写等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。有关系：A=（a+b）/2通项公式an=a1+(n-1)da1=S1(n=1)时an=Sn-S(n-1) (n≥2)时an=kn+b(k,b为常数) 推导过程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3······+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an)故 Sn=n(a1+an)/2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n性质且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…，n}若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq,p,q可以相同，也可以不同，但以下不成立：若m+n=p,则am+an不=apS2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)（an+1）Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等。前n项和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1首项=2×前n和÷项数-末项末项=2×前n和÷项数-首项设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项，则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。其于数学的中的应用，可举例：快速算出从23到132之间6的整倍数有多少个算法不止一种，这里介绍用数列算令等差数列首项a1=24（24为6的4倍），等差d=6,;于是令an = 24+(n-1)*6<=132即可解出n=195等比数列编辑定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。缩写等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。有关系：G^2=ab；G=±(ab)^(1/2)注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。通项公式an=a1*q^(n-1) （其中首项是a1 ，公比是q）an=Sn-S(n-1) (n≥2)前n项和当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)当q=1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=na1前n项和与通项的关系an=a1=s1（n=1）an=sn-sn-1（n≥2）性质（1）若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；（2）在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}（4）等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(6)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。注意：上述公式中a^n表示a的n次方。应用等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式---复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。（1）等比数列的通项公式是：an=a1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。（2）求和公式：Sn=na1(当q=1时)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q不等于 1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底对数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。6等和数列编辑定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。对一个数列，如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列性质必定是循环数列证明：对任意正整数n，有an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k，　所以对任意正整数n，an = an+k，如果这个数列有n+k项的话。练习1、下面一列整数中（每个字母或括号都代表一个整数），任意相临的3个整数的和都是20，则x+y+z=？ 　x，2，（），（），（），4，（），y，（），（），z2．（2004年湖南省理科实验班联合招生考试数学卷第2试第三题） 　圆周上放着120个正数（不一定是整数），今知其中任何相连的35个数的和都是200．证明：这些数中的每一个数都不超过30．（旁注：题目中“相连”即“相邻”之意） 　答案： 　第1题 　：　x=14,y=2,z=2 ，　故：　x+y+z=18 ；　第2题 ：　（120,35）=5 ，使5个数为一组，每7组的和是200，那么每组有 200/7<30 　所以每一个数都不超过30。列的通项求法7一般有编辑an=Sn-Sn-1 （n≥2）累和法（an-an-1=... an-3 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an ）。累乘法逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。8特殊数列编辑1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/21,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/29,99,999,9999,99999,......... ------an=（10^n)-11,11,111,1111,11111.......--------an=[（10^n)-1]/9衍生m,mm,mmm,mmmm,mmmmm......---------an=[（10^n)-1]*m/9,m为1-9的整数1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^21,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)9特别数列编辑在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn即三者是等差数列，同样在等比数列中。三者成等比数列不动点法（常用于分式的通项递推关系）不动点法求数列通项对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求不动点法求数列通项公式的证明幂次数列表：1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 2 4 8 16 32 64 128 256 512 10243 3 9 27 81 243 7294 4 16 64 256 10245 5 25 125 6256 6 36 216 129610前N项和编辑(一)1.等差数列：通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1，公差d, an第n项数ak=ak+(n-k)d ak为第k项数若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/22.等差数列前n项和:设等差数列的前n项和为Sn即 Sn=a1+a2+...+an;那么 Sn=na1+n(n-1)d/2=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n还有以下的求和方法： 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法(二)1.等比数列:通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项，an为第n项an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)则an/am=q^(n-m)(1)an=am*q^(n-m)(2)a,G,b 若构成等比中项，则G^2=ab (a,b,G不等于0)(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq2.等比数列前n项和设 a1,a2,a3...an构成等比数列前n项和Sn=a1+a2+a3...anSn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式，但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去，所以希望这个公式也要理解)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);注： q不等于1;Sn=na1 注:q=1求和一般有以下5个方法： 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法

是2阶自回归+1阶移动平均过程Xt=0.883859*Xt-2-0.887175*εt-1+εt其中SIGMASQ只要正数，且显著即可。不必引用。∵特征根是λ1=1+i√2，λ2=1-i√2∴特征方程是(λ-(1+i√2))(λ-(1-i√2))=0==>λ²-2λ+3=0扩展资料：对于更高阶的线性递推数列，只要将递推公式中每一个换成，就是特征方程。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。

虚根出现周期的原因是因为特征根解出来的两虚根必定共轭，是可以通过欧拉公式变形为三角形式，因此存在周期性。不过一般来说，通过不动点解出来的分式递推式，如果出现虚根的话用i表示的通项公式往往比较难以看出周期，所以碰到这类情况的时候可以尝试通过穷举几项归纳出周期或者类比熟悉的三角公式（一般类比正切公式较多，如tan45°，tan60°等等）达到推出其他更简洁形式的通项公式。用举个简单的例子，如a(n+1)=(1+an)/(1-an)，a1=2这个解出来的是虚根，如果记得结论，可以知道{an-i/an+i}是公比为-1-i/-1+i的等比数列，不过计算量很大，而且算出来的形式也不简洁。这里可以尝试穷举法，很容易知道周期，也可以通过类比正切三角公式，这个形式跟tan（45°+x）=1+tanx/1-tanx是一模一样的，因此假设an=tanx，an=tan（45°+x），显然是满足等式的，显然arctanan+1=45°+arctanan，因此{arctanan}是首项为arctan2，公差为π/4的等差数列了，因此，这个递推式有一个简洁的通项公式为an=arctan[arctan2+(n-1)π/4]，因此有类似的如带根号3的，多多留意一下即可。不过这推理过程高中都不需要理解，只要记住结论直接构造就行。

正解，Xn={2^n+2^[n-1]+1}/{2^n+2^[n-1]-1}

不动点法求数列通项详细推导过程数列中，A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An （A后的括号代表下标）求An通项这道体我当时记了个方法：原式变形后 A(n+2)+A(n+1)-2An＝0令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以｛A(n+1)-An｝为公比-2的数列；｛A(n+1)+2An｝为公比1的数列然后联立 解出来上述方法，应该说是特征根法和不动点法。特征根：对于多个连续项的递推式（不含常数项），可化为X的(n-1)次方程.即：a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可写为：a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0然后求出根（实根虚根都可以），不同项写成C*x^(n-1),相同项写成关于n的整式，有多少同根，n的次数就是同根数减1，比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通项就是：a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系数，要靠已知项联立方程求解。不动点：比如：已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大于等于1),求ana(n+1)=(an+2)/an(*)令an=x,a(n+1)=xx=(x+2)/xx^2-x-2=0x1=2,x2=-1{(an-2)/(an+1)}为等比数列令(an-2)/(an+1)=bnb(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)](将a(n+1)用*式换成an)=-1/2b(n+1)=(-1/2)bnb1=-1/2bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1)an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1注：形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。让a(n+1)=an=x，代入化为关于x的二次方程(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出

1利用待定常数法(重点） 例1 已知数列｛n ｝中，若1=1，且n+1=3n-4(n=1,2,3,…). 求数列的通项公式n. 分析：若关系式是n+1=3n即为等比数列，因此考虑处理-4，若能化为n+1+x=3(n+x),则可构造等比数列｛n+x｝。 解：设n+1=3n-4恒等变形为n+1+x=3（n+x)，即n+1=3n+2x,比较系数得：x=-2 n+1-2=3(n-2) 数列｛n-2｝是以1-2=-1为首项，公比为3的等比数列 n-2=（-1）3n-1 即n = -3n-1+2. 说明：给出一阶递推关系式形如 (n=1,2,…),A、B为常数，均可使用待定常数法，构造等比数列求出通项。 例2 已知数列｛n ｝中，前n项和sn = 2n-3n, 求数列的通项公式n. 分析：已知等式中不是递推关系式，利用可转化为：n -2n-1=2,考虑3n-1是变量，引入待定常数x时，可设n- x=2(n-1- x),从而可构造等比数列。 解：1=s1=21-3 则1=3， 当n2时， =（2n-3n）-（2n-1-3n-1）即n-2n-1=2 ,设其可恒等变形为：n- x=2(n-1- x)，（需要注意的是上面的指数，这是某种关系而不是固定的常数，故在恒等变形时需注意两边对应的关系，而不应该用X代替x，也可以不设“-”设“+”，结果是一样的。） 即 n -2n-1=x ,比较系数得：x=2. n- 2=2(n-1- 2 ) 数列｛n- 2｝是以1-6=-3为首项，公比为2的等比数列。 n- 2=（-3）2n-1 n=2-3. 说明：对于型如n=An-1+f(n)（A为常数）的一阶递推关系式。可利用待定常数法，构造等比数列；但须体现新数列相邻两项的规律性，设其可恒等变形为：n- xg(n)=A[n-1- xg(n-1)],若x存在,则可构造等比数列{ n- xg(n)}。 2 利用配方法 有些递推关系式经“配方”后，可体现等差（比）的规律性。 例3 设n0，1=5，当n2时，n+n-1=+6, 求数列的通项公式n。 分析：给出的递推关系式不能反映规律性，因此考虑去分母得：2n-2n-1=7+6(n-n-1),为体现规律性，变形为：2n-2n-1-6n+6n-1=7，即（n-3）2-(n-1-3)2=7. 解：由n+n-1=+6（n2）变形为： 2n-2n-1=7+6(n-n-1) 即（n-3）2-(n-1-3)2=7 （n2） 数列{ }是以(1-3)2=4为首项，公差为7的等差数列 =4+7（n-1）=7n-3，而n0 n=+3 说明：递推关系式中含有二次项、一次项时可考虑用配方法，揭示规律，构造等差（比）数列。 3 利用因式分解 有些递推关系式经因式分解后，可体现等差（比）的规律性。 例4已知数列｛n ｝是首项为1的正项数列，且2n+1 + 3n+1 - 22n + 3n - nn+1=0求数列的通项公式n。 分析:由已知递推关系式，若配方，则无法配成完全平方或完全平方项之和。因此考虑用因式分解化简，寻求更实质的关系。可变形为：n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2n）=0。 解：由已知有：n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2 n）=0 （n+1 + n）[（n+1 + 3）-2n]=0，而n0 n+1 + 3 -2n=0，则利用待定常数法有（n+1 - 3）-2（n -3）=0 数列{n -3}是以1-3=-2为首项，公比为2的等比数列。 n-3 =（-2）2n-1 即n = 3-2n 说明：因式分解能达到化简的目的，使递推关系式简化，凸显规律性。 5 利用倒数 有些数列的递推关系式，经取倒数变形后，显现出规律性，可构造等比（差）数列。 例7 已知x1=1,x2=2,xn+ 2=,试求xn 。 分析：由递推关系式结构特征，易联想到倒数，即有 xn+2 =，从而 =，可构造等比数列。 解：对递推关系式两边取倒数得：= 可变形为=（-）（） 数列{}是以=-为首项，公比为-的等比数列 =（-）(-= (n2) =+()+()+ … +() = 1 + （-）+（-）2 + … + = + (n2) = (n2) 而当n=1时亦满足。 = (n1) 说明：递推关系式中含有相邻两项之积与相邻两项之和的关系，可考虑取倒数（或化为分式），揭示规律，构造等比（差）数列。 例8已知数列｛n ｝中，1=7，n2时，，求数列的通项公式n 分析：已知递推关系式右边为分式，取倒数后可化为：，未能反映规律， 但若能化为的关系，则可揭示规律；结合待定常数法，可确定A值。 解：由已知： （A0）即(2A+1≠0) 令，解得：A=1 已知关系式可恒等变形为，取倒数得： （n2）。 数列{}是以=为首项，公差为的等差数列。 = +（n-1）,即 （n1） 说明：①例8中的递推关系式结构特征，亦易想到取倒数，但要灵活结合待定常数法，构造新数列，凸显等差的规律性。 ②引入待定常数A是为了揭示变化的一致性（规律性），若A值存在，则可反映此变化规律。若A值不存在，则考虑其它变形。 6 利用换元 有些数列的递推关系式看起来较为复杂，但应用换元和化归思想后，可构造新数列进行代换，使递推关系式简化，从而揭示等差（比）规律，求出通项。 例9已知数列｛an ｝中， 求（1981年第22届IMO预选题）。 分析：已知递推关系式中的较难处理，考虑用换元去掉根式，即令（0）。 解：令，则=5， 0，从而= 由已知递推关系式有： 化简得：=（）2 2=， 由待定常数法得：2（-3）= -3 数列{-3}是以-3=2为首项，公比为的等比数列。 -3=2（）n-1 即 = + 3 == (n1) 说明：对于递推关系式中较难处理的根式（比如不能反映相邻项的规律性），可采用换元去掉根式，化简递推关系式，揭示相邻项的变化规律，构造等比（差）数列。 例10 设=1，=（nN）,求证：（1990年匈牙利奥林匹克试题）。 分析：比较已知与结论，应先求通项公式。待证的不等式中含有，且已知递推关系式中含有，据此两个信息，考虑进行三角代换，化简递推关系式。 证明：由已知0，引入数列{}使=tan,(0,) 由已知有：= 即=，又=1，，从而 即数列{}是以为首项，公比为的等比数列 = = ， 而当x(0,)时，有tanxX = tan 说明：对于递推关系式中，型如可考虑采用三角代换，化简递推关系式，揭示规律性。 总之，构造等比（差）数列关键在于抓住递推关系式的结构特征，选择恰当方法进行恒等变形，往往能揭示等比（差）规律，顺利求出通项。 参考文献： ⑴ 罗增儒. 递推数列.«高考到竞赛»（数学），陕西师范大学出版社，2002，7。 ⑵ 陈传理、刘诗雄. 递推数列.«高中数学竞赛名师讲座»，华中师范大学出版社，1993，4。 ⑶ 秦永. 递推数列.中学数学教学参考（陕西师范大学），2003（4）。 ⑷ 樊友年.构造法解数列综合题. 中学数学教学参考，2002（7）。知识还是靠一点一滴积累的，有时最笨的方法也可能是最简单的方法。

楼主、您好：求通项公式：1.叠加法通常是形如An-（An-1）=k的形势，其中后面的k要么是常数，要么就是可以求和的例如：已知数列An，An-（An-1）=n，A1=1，求An；就可以这么写：A2 - A1= 2A3 - A2= 3……An - An-1 =n全部加起来，就得到An-A1=（2+3+……+n），即可解出An。这个办法的关键在于后面的k要可以求和。这里的2，3，4……是可以求和的。等比数列当然也可以，比如An - An-1 =2^n。2.叠乘法形如An / An-1 =k的递推公式可以用叠乘法，思路和上面一样，不过同样的，k要能够求积。3.前项后项之间的线性关系形如An = k【（An-1）】+b 的递推关系属于此类。解决方法是把它弄成一个等比数列。弄的办法是，把原式两遍加上m，使其满足：An+m = k【（An-1）+（b+m）/k】其中，（b+m）/k应该等于m （因为我们想要把它弄成等比数列），解出m=b/（k-1），然后的事情你就会了吧。先把数列An + m的通项公式搞定，然后减去m就可以了。4.构造辅助数列在高考范围内，这个一般不会太难，主要的思想是把递推公式中不好处理、带n的东西弄成常数，然后剩下的事情是自然的事。例如：An= - An-1 + 3^n，A1=0,求通项公式这里面我们就可以把烦人的3^n除下去，让它变成常数。然后是 An/3^n = - An-1 /3^n +1这时有个思想：An和n一拨，An-1 和 n-1 一拨。右边的An-1 和n一拨，这不对，所以乘一个1/3出来，得到：An /3^n = -1/3（（An-1）/3^n+1）+1看明白了吧，你不觉得眼熟吗？“前后项的线性关系”没错吧。按照那个思路，这道题就解决了。其实一般的辅助数列他都给你造好了，那就更简单了。记住：只要在题目中看见“设Bn=……”，那么它再难也是简单题。原则就是一个：凑，方法是：看谁跟谁一拨。方法跟上面的一样。求和主要就是列项和错位相减，列项适用于形如（1×2）分之1 + （2×3）分之1这样，可以对消掉中间项的分式；而错位相见适用于一个等差数列与一个等比数列的乘积数列。如An= n*(2^n），就可以用错位相减。方法是：先写几项，然后乘上公比，做差，计算中间等比数列的和，整理答案。例如求上面的数列前N项和：Sn= 1×2 + 2×4 + 3×8 +……+ n×2^n2Sn= 1×4 + 2×8 +……+ （n-1）×2^n + n×2^(n+1)上减下：-Sn=2+（4+8+……+2^n）-n×2^（n+1）把中间的等比数列之和求出来，题目即可解出。现在主要就是考察这些，知道这些方法后，他难不住你的。 希望能够帮到您。

第一步:整体观察，若有线性趋势则走思路A，若没有线性趋势或线性趋势不明显则走思路B。 注:线性趋势是指数列总体上往一个方向发展，即数值越来越大，或越来越小，且直观上数值的大小变化跟项数本身有直接关联(别觉得太玄乎，其实大家做过一些题后都能有这个直觉) 第二步思路A:分析趋势 1， 增幅(包括减幅)一般做加减。 基本方法是做差，但如果做差超过三级仍找不到规律，立即转换思路，因为公考没有考过三级以上的等差数列及其变式。 例1:-8，15，39，65，94，128，170，() A.180 B.210 C. 225 D 256 解:观察呈线性规律，数值逐渐增大，且增幅一般，考虑做差，得出差23,24,26,29,34,42，再度形成一个增幅很小的线性数列，再做差得出1，2，3，5，8，很明显的一个和递推数列，下一项是5+8=13，因而二级差数列的下一项是42+13=55，因此一级数列的下一项是170+55=225，选C。 总结:做差不会超过三级;一些典型的数列要熟记在心 2， 增幅较大做乘除 例2:0.25，0.25，0.5，2，16，() A.32 B. 64 C.128 D.256 解:观察呈线性规律，从0.25增到16，增幅较大考虑做乘除，后项除以前项得出1，2，4，8，典型的等比数列，二级数列下一项是8*2=16，因此原数列下一项是16*16=256 总结:做商也不会超过三级 3， 增幅很大考虑幂次数列 例3:2，5，28，257，() A.2006 B。1342 C。3503 D。3126 解:观察呈线性规律，增幅很大，考虑幂次数列，最大数规律较明显是该题的突破口，注意到257附近有幂次数256，同理28附近有27、25，5附近有4、8，2附近有1、4。而数列的每一项必与其项数有关，所以与原数列相关的幂次数列应是1，4，27，256(原数列各项加1所得)即1^1,2^2,3^3,4^4,下一项应该是5^5，即3125，所以选D 总结:对幂次数要熟悉 第二步思路B:寻找视觉冲击点 注:视觉冲击点是指数列中存在着的相对特殊、与众不同的现象，这些现象往往是解题思路的导引 视觉冲击点1:长数列，项数在6项以上。基本解题思路是分组或隔项。 例4:1，2，7，13，49，24，343，() A.35 B。69 C。114 D。238 解:观察前6项相对较小，第七项突然变大，不成线性规律，考虑思路B。长数列考虑分组或隔项，尝试隔项得两个数列1，7，49，343;2，13，24，()。明显各成规律，第一个支数列是等比数列，第二个支数列是公差为11的等差数列，很快得出答案A。 总结:将等差和等比数列隔项杂糅是常见的考法。 视觉冲击点2:摇摆数列，数值忽大忽小，呈摇摆状。基本解题思路是隔项。 20 5 例5:64，24，44，34，39，() 10 A.20 B。32 C 36.5 D。19 解:观察数值忽小忽大，马上隔项观察，做差如上，发现差成为一个等比数列，下一项差应为5/2=2.5，易得出答案为36.5 总结:隔项取数不一定各成规律，也有可能如此题一样综合形成规律。 视觉冲击点3:双括号。一定是隔项成规律! 例6:1，3，3，5，7，9，13，15，()，() A.19，21 B。19，23 C。21，23 D。27，30 解:看见双括号直接隔项找规律，有1，3，7，13，();3，5，9，15，()，很明显都是公差为2的二级等差数列，易得答案21，23，选C 例7:0，9，5，29，8，67，17，()，() A.125，3 B。129，24 C。84，24 D。172，83 解:注意到是摇摆数列且有双括号，义无反顾地隔项找规律!有0，5，8，17，();9，29，67，()。支数列二数值较大，规律较易显现，注意到增幅较大，考虑乘除或幂次数列，脑中闪过8，27，64，发现支数列二是2^3+1，3^3+2，4^3+3的变式，下一项应是5^3+4=129。直接选B。回头再看会发现支数列一可以还原成1-1，4+1,9-1,16+1,25-1. 总结:双括号隔项找规律一般只确定支数列其一即可，为节省时间，另一支数列可以忽略不计 视觉冲击点4:分式。 类型(1):整数和分数混搭，提示做乘除。 例8:1200，200，40，()，10/3 A.10 B。20 C。30 D。5 解:整数和分数混搭，马上联想做商，很易得出答案为10 类型(2):全分数。解题思路为:能约分的先约分;能划一的先划一;突破口在于不宜变化的分数，称作基准数;分子或分母跟项数必有关系。 例9:3/15，1/3，3/7，1/2，() A.5/8 B。4/9 C。15/27 D。-3 解:能约分的先约分3/15=1/5;分母的公倍数比较大，不适合划一;突破口为3/7，因为分母较大，不宜再做乘积，因此以其作为基准数，其他分数围绕它变化;再找项数的关系3/7的分子正好是它的项数，1/5的分子也正好它的项数，于是很快发现分数列可以转化为1/5，2/6，3/7，4/8，下一项是5/9，即15/27 例10:-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9 A.7/3 B 10/9 C -5/18 D -2 解:没有可约分的;但是分母可以划一，取出分子数列有-4，10，12，7，1，后项减前项得 14，2，-5，-6，(-3.5)，(-0.5) 与分子数列比较可知下一项应是7/(-2)=-3.5，所以分子数列下一项是1+(-3.5)= -2.5。因此(-2.5)/9= -5/18 视觉冲击点5:正负交叠。基本思路是做商。 例11:8/9, -2/3, 1/2, -3/8,() A 9/32 B 5/72 C 8/32 D 9/23 解:正负交叠，立马做商，发现是一个等比数列，易得出A 视觉冲击点6:根式。 类型(1)数列中出现根数和整数混搭，基本思路是将整数化为根数，将根号外数字移进根号内 例12:0 3 1 6 √2 12 ( ) ( ) 2 48 A. √3 24 B.√3 36 C.2 24 D.2 36 解:双括号先隔项有0，1，√2，()，2;3，6，12，()，48.支数列一即是根数和整数混搭类型，以√2为基准数，其他数围绕它变形，将整数划一为根数有√0 √1 √2 ()√4，易知应填入√3;支数列二是明显的公比为2的等比数列，因此答案为A 类型(2)根数的加减式，基本思路是运用平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b) 例13:√2-1，1/(√3+1),1/3,() A(√5-1)/4 B 2 C 1/(√5-1) D √3 解:形式划一:√2-1=(√2-1)(√2+1)/(√2+1)=(2-1)/ (√2+1)=1/(√2+1),这是根式加减式的基本变形形式，要考就这么考。同时，1/3=1/(1+2)=1/(1+√4),因此，易知下一项是1/(√5+1)=( √5-1)/[( √5)^2-1]= (√5-1)/4. 视觉冲击点7:首一项或首两项较小且接近，第二项或第三项突然数值变大。基本思路是分组递推，用首一项或首两项进行五则运算(包括乘方)得到下一个数。 例14:2，3，13，175，() A.30625 B。30651 C。30759 D。30952 解:观察，2，3很接近，13突然变大，考虑用2，3计算得出13有2*5+3=3，也有3^2+2*2=13等等，为使3，13，175也成规律，显然为13^2+3*2=175,所以下一项是175^2+13*2=30651 总结:有时递推运算规则很难找，但不要动摇，一般这类题目的规律就是如此。 视觉冲击点8:纯小数数列，即数列各项都是小数。基本思路是将整数部分和小数部分分开考虑，或者各成单独的数列或者共同成规律。 例15:1.01，1.02，2.03，3.05，5.08，() A.8.13 B。 8.013 C。7.12 D 7.012 解:将整数部分抽取出来有1，1，2，3，5，()，是一个明显的和递推数列，下一项是8，排除C、D;将小数部分抽取出来有1，2，3，5，8，()又是一个和递推数列，下一项是13，所以选A。 总结:该题属于整数、小数部分各成独立规律 例16:0.1，1.2，3.5，8.13，( ) A 21.34 B 21.17 C 11.34 D 11.17 解:仍然是将整数部分与小数部分拆分开来考虑，但在观察数列整体特征的时候，发现数字非常像一个典型的和递推数列，于是考虑将整数和小树部分综合起来考虑，发现有新数列0，1，1，2，3，5，8，13，()，()，显然下两个数是8+13=21，13+21=34，选A 总结:该题属于整数和小数部分共同成规律 视觉冲击点9:很像连续自然数列而又不连贯的数列，考虑质数或合数列。 例17:1，5，11，19，28，()，50 A.29 B。38 C。47 D。49 解:观察数值逐渐增大呈线性，且增幅一般，考虑作差得4，6，8，9，……，很像连续自然数列而又缺少5、7，联想和数列，接下来应该是10、12，代入求证28+10=38，38+12=50，正好契合，说明思路正确，答案为38. 视觉冲击点10:大自然数，数列中出现3位以上的自然数。因为数列题运算强度不大，不太可能用大自然数做运算，因而这类题目一般都是考察微观数字结构。 例18:763951，59367，7695，967，() A.5936 B。69 C。769 D。76 解:发现出现大自然数，进行运算不太现实，微观地考察数字结构，发现后项分别比前项都少一位数，且少的是1，3，5，下一个缺省的数应该是7;另外缺省一位数后，数字顺序也进行颠倒，所以967去除7以后再颠倒应该是69，选B。 例19:1807，2716，3625，() A.5149 B。4534 C。4231 D。5847 解:四位大自然数，直接微观地看各数字关系，发现每个四位数的首两位和为9，后两位和为7，观察选项，很快得出选B。 第三步:另辟蹊径。 一般来说完成了上两步，大多数类型的题目都能找到思路了，可是也不排除有些规律不容易直接找出来，此时若把原数列稍微变化一下形式，可能更易看出规律。 变形一:约去公因数。数列各项数值较大，且有公约数，可先约去公约数，转化成一个新数列，找到规律后再还原回去。 例20:0，6，24，60，120，() A.186 B。210 C。220 D。226 解:该数列因各项数值较大，因而拿不准增幅是大是小，但发现有公约数6，约去后得0，1，4，10，20，易发现增幅一般，考虑做加减，很容易发现是一个二级等差数列，下一项应是20+10+5=35，还原乘以6得210。 变形二:因式分解法。数列各项并没有共同的约数，但相邻项有共同的约数，此时将原数列各数因式分解，可帮助找到规律。 例21:2，12，36，80，() A.100 B。125 C 150 D。175 解:因式分解各项有1*2，2*2*3，2*2*3*3，2*2*2*2*5,稍加变化把形式统一一下易得1*1*2，2*2*3，3*3*4，4*4*5，下一项应该是5*5*6=150，选C。 变形三:通分法。适用于分数列各项的分母有不大的最小公倍数。 例22:1/6,2/3,3/2,8/3,() A.10/3 B.25/6 C.5 D.35/6 解:发现分母通分简单，马上通分去掉分母得到一个单独的分子数列1，4，9，16，()。增幅一般，先做差的3，5，7，下一项应该是16+9=25。还原成分母为6的分数即为B。 第四步:蒙猜法，不是办法的办法。 有些题目就是百思不得其解，有的时候就剩那么一两分钟，那么是不是放弃呢?当然不能!一分万金啊，有的放矢地蒙猜往往可以救急，正确率也不低。下面介绍几种我自己琢磨的蒙猜法。 第一蒙:选项里有整数也有小数，小数多半是答案。 见例5:64，24，44，34，39，() A.20 B。32 C 36.5 D。19 直接猜C! 例23:2，2，6，12，27，() A.42 B 50 C 58.5 D 63.5 猜:发现选项有整数有小数，直接在C、D里选择，出现“.5”的小数说明运算中可能有乘除关系，观察数列中后项除以前项不超过3倍，猜C 正解:做差得0，4，6，15。(0+4)*1.5=6 (2+6)*1.5=12 (4+6)*1.5=15 (6+15)*1.5=31.5，所以原数列下一项是27+31.5=58.5 第二蒙:数列中出现负数，选项中又出现负数，负数多半是答案。 例24:-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9,( ) A.7/3 B.10/9 C -5/18 D.-2 猜:数列中出现负数，选项中也出现负数，在C/D两个里面猜，而观察原数列，分母应该与9有关，猜C。 第三蒙:猜最接近值。有时候貌似找到点规律，算出来的答案却不在选项中，但又跟某一选项很接近，别再浪费时间另找规律了，直接猜那个最接近的项，八九不离十! 例25:1，2，6，16，44，() A.66 B。84 C。88 D。120 猜:增幅一般，下意识地做了差有1，4，10，28。再做差3，6，18，下一项或许是(6+18)*2=42，或许是6*18=108，不论是哪个，原数列的下一项都大于100，直接猜D。 例26:0.，0，1，5，23，() A.119 B。79 C 63 D 47 猜:首两项一样，明显是一个递推数列，而从1，5递推到25必然要用乘法，而5*23=115，猜最接近的选项119 第四蒙:利用选项之间的关系蒙。 例27:0，9，5，29，8，67，17，()，() A.125，3 B129，24 C 84，24 D172 83 猜:首先注意到B，C选项中有共同的数值24，立马会心一笑，知道这是阴险的出题人故意设置的障碍，而又恰恰是给我们的线索，第二个括号一定是24!而根据之前总结的规律，双括号一定是隔项成规律，我们发现偶数项9，29，67，()后项都是前项的两倍左右，所以猜129，选B 例28:0，3，1，6，√2，12，()，()，2，48 A.√3，24 B。√3，36 C 2，24 D√2，36 猜:同上题理，第一个括号肯定是√3!而双括号隔项成规律，3，6，12，易知第二个括号是24，很快选出A

虚根出现周期的原因是因为特征根解出来的两虚根必定共轭，是可以通过欧拉公式变形为三角形式，因此存在周期性。不过一般来说，通过不动点解出来的分式递推式，如果出现虚根的话用i表示的通项公式往往比较难以看出周期，所以碰到这类情况的时候可以尝试通过穷举几项归纳出周期或者类比熟悉的三角公式（一般类比正切公式较多，如tan45°，tan60°等等）达到推出其他更简洁形式的通项公式。用举个简单的例子，如a(n+1)=(1+an)/(1-an)，a1=2这个解出来的是虚根，如果记得结论，可以知道{an-i/an+i}是公比为-1-i/-1+i的等比数列，不过计算量很大，而且算出来的形式也不简洁。这里可以尝试穷举法，很容易知道周期，也可以通过类比正切三角公式，这个形式跟tan（45°+x）=1+tanx/1-tanx是一模一样的，因此假设an=tanx，an=tan（45°+x），显然是满足等式的，显然arctanan+1=45°+arctanan，因此{arctanan}是首项为arctan2，公差为π/4的等差数列了，因此，这个递推式有一个简洁的通项公式为an=arctan[arctan2+(n-1)π/4]，因此有类似的如带根号3的，多多留意一下即可。不过这推理过程高中都不需要理解，只要记住结论直接构造就行。