平方根的公式

平方根公式如图：

如果一个非负数x的平方等于a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数（radicand）。求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方。

结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大（对所有正数都成立）。一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。

拓展资料

平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，就是0本身；负数有两个共轭的纯虚平方根。

如果一个非负数x的平方等于a，即 ， ，那么这个非负数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数（radicand）。求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方。结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大（对所有正数都成立）。

一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

负数在实数系内不能开平方。只有在复数系内，负数才可以开平方。负数的平方根为一对共轭纯虚数。例如：-1的平方根为±i，-9的平方根为±3i，其中i为虚数单位。规定： ，或 。

规定：0的算术平方根是0.

【平方根计算步骤】

1. 将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11"56），分成几段，表示所求平方根是几位数；

   

2. 根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；

3. 从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；

4. 把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（20×3除256，所得的最大整数是 4，即试商是4）；

5. 用所求的平方根的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；

6. 用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．

　如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．

【开平方】

　　求一个数a的平方根的运算，叫做开平方,其中a叫做被开方数。在实数范围内a必须大于或等于零，即a为非负数；

平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root）。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，就是0本身；负数有两个共轭的纯虚平方根。

一般地，“√￣”仅用来表示算术平方根，即非负数的非负平方根。如：数学语言为：√￣16=4。语言描述为：根号下16=4（也可叫根号16=4）

描述

像加减乘除一样，求平方根也有自己的竖式算法。以计算

为例。过程如右下图：最后求出

约等于1.732（保留小数点后三位）。

过程1

因为每次补数需要补两位，所以被开方数不只一个数位时，要保证补数不能夹着小数点。例如三位数，必须单独用百位进行运算，补数时补上十位和个位的数。

过程2

每一个过渡数都是由上一个过渡数变化而后，上一个过渡数的个位数乘以2，如果需要进位，则往前面进1，然后个位升十位，以此类推，而个位上补上新的运算数字。简单地讲，过渡数27，是第一次商的1乘以20，把个位上的0用第二次商的7来换，过渡数343是前两次商的17乘以20=340，其中个位0用第三次商的3来换，第三个过渡数3462是前三次商173乘以20=3460，把个位0用第四次的商2来换，依次类推。

过程3

误差值的作用。如果要求精确到更高的小数数位，可以按规则，对误差值继续进行运算。

例子

计算√10

　　3. 1 6 2 2 7--------

　　-----------------------------

　　√10"00"00"00"00"--------

　　3| 9 3 第1位3

　　-------

　　6 1|100 2*3*10+1 =61 第2位1

　　| 61

　　-------

　　626 | 3900 2*31*10+6 =626 第3位6

　　| 3756

　　--------

　　6322|14400 2*316*10+2 =6322 第4位2

　　|12644

　　---------

　　63242|175600

　　|126484

　　-----------

　　632447|4911600

　　|4427129

　　---------

　　××××××00（如此循环下去）

　　所以，√10=3.16227…

再如√7

= 2. 6 4 5 …

　　---------------------

　　2 | 7

　　4

　　--------------

　　4 6 |300

　　276

　　--------------------

　　52 4 | 2400

　　2096

　　-----------------------------

　　528 5 | 30400

　　26425

　　-------------------------------

　　5290？| 3 9 75 00

开平方公式： X（n + 1） = Xn + (A / Xn − Xn)1 / 2.。（n，n+1是下角标）

举例

例如，A=5： 5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取 中间值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2； 即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23； 即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=-0.07272，-0.07272×1/2=-0.03636，2.2+0.03636=2.23。取3位数。 第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。 即5/2.23=2.2421525，,2.2421525-2.23=0.0121525，0.0121525×1/2=0.00607，2.23+0.00607=2.236. 每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。 例如A=200. 200介如10的平方---20的平方之间。初始值可以取11，12，13，14，15，16，17，18，19。我们去15. 第一步：15+（200/15-15)1/2=14。取19也一样得出14.。：19+（200/19-19)1/2=14.。 第二步：14+(200/14-14)1/2=14.1。 第三步：14.1+（200/14.1-14.1)1/2=14.14.

抄自百度百科

其实手动开方很麻烦 一般是知道几个常见数的开方即可

用计算器最简便...

如:67081的平方根手工方式计算

67081的平方根=259

算法1：

假设被开放数为a，如果用sqrt（a）表示根号a 那么(（sqrt(x)-sqrt(a/x))^2=0的根就是sqrt（a）

变形得

sqrt(a)=（x+a/x）/2

所以你只需设置一个约等于（x+a/x）/2的初始值，代入上面公式，可以得到一个更加近似的值，再将它代入，就得到一个更加精确的值……依此方法，最后得到一个足够精度的（x+a/x）/2的值。

如：计算sqrt(5)

设初值为2

1)sqrt(5)=(2+5/2)/2=2.25

2)sqrt(5)=(2.25+5/2.25)/2=2.236111

3)sqrt(5)=(2.236111+5/2.236111)/2=2.236068

这三步所得的结果和sqrt(5)相差已经小于0.001

或者可以用二分法：

设f(x)=x^2-a

那么sqrt(a)就是f(x)=0的根。

你可以先找两个正值m,n使f(m)<0,f(n)>0

根据函数的单调性，sqrt(a)就在区间（m，n）间。

然后计算（m＋n）/2，计算f（（m＋n）/2），如果它大于零，那么sqrt(a)就在区间（m，（m＋n）/2）之间。

小于零，就在（（m＋n）/2，n）之间，如果等于零，那么（m＋n）/2当然就是sqrt(a)。这样重复几次，你可以把sqrt(a)存在的范围一步步缩小，在最后足够精确的区间内随便取一个值，它就约等于sqrt(a)。

67081的平方根=259

算法1：

假设被开放数为a，如果用sqrt（a）表示根号a 那么(（sqrt(x)-sqrt(a/x))^2=0的根就是sqrt（a）

变形得

sqrt(a)=（x+a/x）/2

所以你只需设置一个约等于（x+a/x）/2的初始值，代入上面公式，可以得到一个更加近似的值，再将它代入，就得到一个更加精确的值……依此方法，最后得到一个足够精度的（x+a/x）/2的值。

如：计算sqrt(5)

设初值为2

1)sqrt(5)=(2+5/2)/2=2.25

2)sqrt(5)=(2.25+5/2.25)/2=2.236111

3)sqrt(5)=(2.236111+5/2.236111)/2=2.236068

这三步所得的结果和sqrt(5)相差已经小于0.001

或者可以用二分法：

设f(x)=x^2-a

那么sqrt(a)就是f(x)=0的根。

你可以先找两个正值m,n使f(m)<0,f(n)>0

根据函数的单调性，sqrt(a)就在区间（m，n）间。

然后计算（m＋n）/2，计算f（（m＋n）/2），如果它大于零，那么sqrt(a)就在区间（m，（m＋n）/2）之间。

小于零，就在（（m＋n）/2，n）之间，如果等于零，那么（m＋n）/2当然就是sqrt(a)。这样重复几次，你可以把sqrt(a)存在的范围一步步缩小，在最后足够精确的区间内随便取一个值，它就约等于sqrt(a)。

述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11"56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；

2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；

3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；

4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除 256，所得的最大整数是 4，即试商是4)；

5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3＋4)×4＝256，说明试商4就是平方根的第二位数)；

6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．

如果是求整数的近似平方根，比如说“根号17=4”这样，倒是有一个方法利用等差数列求和公式得出的一个结论1+3+5+...+(2n-3)+(2n-1)=n^2 (即1~2n-1的n项奇数和为n^2)设要求x的平方根，可以不断让x减去奇数序列，直到x<0，设此时减到了第n个奇数，那么n-1就是所求的平方根如求根号1717-1=16>0,继续16-3=1313-5=88-7=11-9=-8<0,结束 9是第5个奇数，因此5-1=4即是17的平方根 如果要精确到小数点后多位数字，就要用幂级数展开的方法，不过计算量也挺大的

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的1"69)，分成几段，表示所求平方根是几位数；

2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的1的平方根—1)；

3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(69—即169减去所求出的1)；

4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(69除以1×20，所得的最大整数是3，即试商是3)；

5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×1＋3)×3＝69，说明试商3就是平方根的第二位数)；

例:531441

根号531441,先从个位开始,每两个数字为一节.531441可分为53,14,41.先从53开始,显然7乘7等于49最接近53,所以根的第一位是7此时的除数也是7.则余4,再把14移上去,就是414,这时把除数的个位(7)乘20,再加N,这个N就是根的第2位.显然这个N是2,即:7乘20=140,140+2=142,此时除数是142,而根的第二位是2.142乘2=284,414-284=130,把41移上去,就是13041,此时除数是142,按上述:142的个位(2),乘20=1440,再加N,这里的N是根的第三位.此时N应是9.即1440+9=1449,且1449乘9=13041,所以根的第三位是9.综上所述根是729.729乘729=531441.

在实数范围内，正数的平方根有两个，且互为相反数;0的平方根是0; 负数没有平方根。

希望对你有帮助请采纳

平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root）。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根[1]

如果一个非负数x的平方等于a，即

，

，那么这个非负数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为

，读作“根号a”，a叫做被开方数

若ax^2+bx+c=0.

则x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a. [b^2-4ac≥0，a≠0]