t+1/t的最小值怎么求

　　排序不等式是数学上的一条不等式。它可以推导出很多有名的不等式，例如算术几何平均不等式，柯西不等式，和切比雪夫总和不等式。 　　排序不等式的和是两组实数，而且是一个排列。排序不等式指出，顺序和不小于乱序和，乱序和不小于逆序和。与很多不等式不同，排序不等式不需限定的符号。

上面的能看懂就好啦~~~~ 注：k、n、n-1、jn是下标，a、b是主字母 证明顺序和不小于乱序和: 不妨设在乱序和S中jn≠n时（若jn=n，则考虑jn-1），且在和S中含有项akbn（k≠n），则akbn+anbjn≤anbjn+anbn （1） 因为左-右=（an-ak）（bn-bjn）≥0 由此可知，当jn≠n时，调换S=a1bj1+...+akbjk+...+anbjn(jn≠n)中bn与jn位置（其余不动）所得新和S1≥S。 调整好an及bn后，接着再仿上调整an-1与bn-1，又得S2≥S。 如此至多经n-1次调整得顺序和 a1b1+a2b2+...+anbn≥a1bj1+a2bj2+...+anbjn （2） 这就证得“顺序和不小于乱序和” 显然，当a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn时（2）式中等号成立。反之，若他们不全相等，则必存在jn及k，使bn>bjn，an>ak，这时（1）中不等号成立。因而对这个排列（2）中不等号成立。 类似的可证“乱序和不小于逆序和”。

排序不等式是数学上的一种不等式。它可以推导出很多有名的不等式，例如：算术几何平均不等式(简称算几不等式)，柯西不等式，和切比雪夫总和不等式。

题目有问题：取：a=1,b=2,c=1/2所求公式小于号成立a=1,b=2,c=2带入，发现所求公式大于号成立所以不等式不成立。ps:个人猜测左面的平方是没有的就是类似(a+b)/(2c)+......的形式,pps:排序不等式（sequenceinequality,又称排序原理）是高中数学竞赛大纲、新课标普通高中课程标准试验教科书（人民教育出版社）数学（选修4-5第三讲第三节）要求的基本不等式。　　设有两组数a1,a2,……an;b1,b2,……bn满足a1≤a2≤……≤an,b1≤b2≤……≤bn，其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……，bn的任一排列，则有　　a1*bn+a2*b{n-1}+...+an*b1　　≤a1*c1+a2*c2}+……+an*cn}　　≤a1*b1+a2*b2+……+an*bn.　　当且仅当a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn时等号成立，即反序和等于顺序和。和你给出完全不一样，这个是用数学归纳法证明的

1.设a1,a2,a3为正数，求证：(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2≥a1+a2+a3不妨设a1≥a2≥a3则a1a2≥a1a3≥a2a3(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2≥a1+a2+a3即证(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3^2)≥(a1+a2+a3)a1a2a3(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1^2a2a3+a1a2^2a3+a1a2a3^2同序和≥乱序和(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1a2*a1a3+a1a2*a2a3+a1a3*a2a3即(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1^2a2a3+a1a2^2a3+a1a2a3^2则原不等式得证2.设x>0,求证1+x+x^2+x^3+....+x^(2n)>=(2n+1)*x^n给你两种证法:1.用排序不等式:1+x+x^2+...+x^2n=x^0*x^0+x^(1/2)*x^(1/2)+x^1*x^1+...x^(n-2/2)*x(n-2/2)+x^(n-1/2)*x^(n-1/2)+x^n*x^n(顺序和)≥x^0*x^n+x^(1/2)*(x^(n-1/2)+x^1*x^(n-2/2)+...+x^(n-1/2)*x^(1/2)+x^n*x^0(乱序和)=x^n+x^n+x^n+...+x^n=(2n+1)x^n等号成立当且仅当x=12.用基本不等式，算术平均≥几何平均1+x+x^2+...+x^n≥(2n+1)(1*x*x^2*..*x^2n)(1/(2n+1))=(2n+1)(x^(2n+1)*n)^(1/(2n+1))=(2n+1)x^n等号成立当且仅当x=1

设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n−1 +……+ a n ≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。 以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.证明时可采用逐步调整法。例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。很多竞赛书上都有的，可以去找找。

设a1<=a2<=…<=an b1<=b2<=…<=bn(这里没有规定 ai , bi >0 )用数学归纳法证明：n=2 时 a1b2+a2b1<=a1a2+b1b2 <==> (a1-a2)(b1-b2)>=0 成立假设n=k时 成立n=k+1 对于 乱序和≤反序和将与a1 ，b1 有关的拿出来有 a1bl+b1at(乱序)给出 a1bl+b1at<=a1b1+atbl <==> (a1-at)(b1-bl)>=0 成立剩下 k项满足假设。对于 反序和≤乱序和将与a1 ，b(k+1) 有关的拿出来有a1bl+b(k+1)at(乱序)给出 a1bl+b(k+1)at>=a1b(k+1)+atbl <==> (a1-at)(b(k+1)-bl)<=0 成立剩下 k项满足假设。其实排序不等式主要应用的是 如果 a<=b ; c<=d&&&&&&&&&&&&&&&& (a-b)(c-d)>=0 &&&&&&&&&&&&&&希望对你有帮助！

设f(x)为凸函数，则[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。 加权形式为： f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

http://hi.baidu.com/nvguizhenz/blog/item/c085b92b10fb4625d52af14c.html觉得好请加分.

简单画下图形可知:ha=csinB,hb=asinC,hc=bsinA原不等式即证:asinA+bsinB+csinC>=csinB+asinC+bsinA正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC,∴a,b,c和sinA,sinB,sinC大小顺序相同排序不等式:顺序和>=乱序和>=反序和∴asinA+bsinB+csinC(顺序和)>=csinB+asinC+bsinA(乱序和)∴asinA+bsinB+csinC>=ha+hb+hc

由对称性设a>=b>=c分情况讨论当ac>=b^2ab>=ca>=bca/c>=c/b>=b/a则可以由排序不等式证明顺序大于乱序若另一种情况用乱序大于逆序

首先，当我们取x=3,y=2z=-1时会发现原不等式不成立。所以我认为，原条件中应为x,y,z都大于0。(谁大谁小不用写出来)下面我就这个条件来证一下上面的不等式。并且我假定sjy1742学友和其它会读到这个问题的朋友是了解排序不等式的内容的。证明:无妨假设x≥y≥z＞0所以有xy≥xz≥yz从而x^12≥y^12≥z^121/yz≥1/xz≥1/xy所以有x^12/yz+y^12/xz+z^12/xy≥x^12/xy+y^12/yz+z^12/xz①(这里用到了顺序和大于等于乱序和)把①式右边化简得到x^12/yz+y^12/xz+z^12/xy≥x^11/y+y^11/z+z^11/x②又因为x^11≥y^11≥z^111/z≥1/y≥/x所以有x^11/y+y^11/z+z^11/x≥x^11/x+y^11/y+z^11/z③(这里用到了乱序和大于等于反序和)把③式右边化简得到x^11/y+y^11/z+z^11/x≥x^10+y^10+z^10④综合②，④两式得有x^12/yz+y^12/xz+z^12/xy≥x^10+y^10+z^10证完。

好麻烦

先明确:当a1>a2>a3>...>an，b1>b2>b3>...>bn时，{an}{bn}中的的数组成实数对，再将实数对中的两数相乘，然后将所得所有乘积相加，此时，会有a1b1+a2b2+...+anbn(即正序和)>=akbt+axby+...+apbq(即乱序和)>=a1bn+a2b(n-1)+...+anb1(即倒序和)下面先证最简单的柯西不等式:(a1b1+a2b2)^2=a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1b1a2b2(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)=a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+a1^2*b2^2+a2^2*b1^2则只需证:2a1b1a2b2=<a1^2*b2^2+a2^2*b1^2设集合{a1b2，a2b1}，则由之前明确的结论知:2a1b1a2b2=<a1^2*b2^2+a2^2*b1^2成立所以(a1b1+a2b2)^2=a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1b1a2b2成立多元的柯西不等式可由此推广得证注:之前的结论可参考奥赛辅导书，在此不再给出证明。

没必要用排序不等式，柯西不等式即可由柯西不等式:(a²+b²)×(1²+1²)≥(a+b)²得(a²+b²)≥(a+b)²/2故同理有:(c²+b²)≥(c+b)²/2,(a²+c²)≥(a+c)²/2则原式≥(a+b)/√2+(a+c)/√2+(c+b)/√2=√2(a+b+c),证毕不懂可追问，欢迎采纳

我是应届生，高考不考选修4系列，你只了解就行了，不必太仔细

在此证明一组数字由两个数字组成的情况。【注意：二！不是三！】如果大数乘大数，小数乘小数，你会获得2个红色区域，一个绿色区域，一个蓝色区域的值。如果大数乘小数，小数乘大数，你只会获得2个红色区域，一个绿色区域的值。所以大对大、小对小【也就是正序】的值不会比大对小、小对大【也就是反序】的值小。（为何不说大说不小，自行思考）也就是说，在有大对大、小对小的情况下，如果把可以改变顺序的那一列改变顺序使之变为大对小、小对大的情况，总的值不会变大。在有大对小、小对大的情况下，如果把可以改变顺序的那一列改变顺序使之变为大对大、小对小的情况，总的值不会变小。然后对于任意一个乱序的数列【简称乱序列】，我们可以从中选出一个最大的数字，放到最后面【此处采取和最后一个直接交换的手段完成此动作】去和另一个数列最大的相对，值不会因此减小。我们同样可以从中选出一个最大的数字，放到最前面【此处采取的手段同上】去和另一个数列最小的相对，值不会因此增大。做完上述中的其中一个后，我们可以无视这个最大的数字和它对应的另一个数字，大小关系不会因此受到影响，然后继续对其他没被无视的数字做这样的操作。这样做的结果是：如果是大对大，结果是正序列。故正序列的值不小于任意乱序列的值。如果是大对小，结果是反序列，故反序列的值不大于任意乱序列的值。证毕，我是初三的钟惠兴，卖国贼一枚

重要不等式和基本不等式分别是指：1、重要不等式是指，一个数的二倍与另一个数的二倍之和一定大于或者等于这两个数乘积的二倍，指在初等与高等数学中常用于计算与证明问题的不等式。包括，排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、幂平均不等式、权方和不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式等。2、基本不等式是指，一个数与另一个数的和除以数值二一定大于或者等于这两个数在开方情况下的乘积，基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为，两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。用向量来证：m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)。mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX。因为cosX≤1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn≤a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2。这就证明了不等式。柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法。

证法一(基本不等式法):a1²/a2+a2≥2a1a2²/a3+a3≥2a2…… ……a(n-1)²/an+an≥2a(n-1)an²/a1+a1≥2an以上n个式子相加后，再两边减去a1+a2+……+an，即得待证不等式.证法二(Cauchy不等式法):(a2+a3+……+a1)(a1²/a2+a2²/a3+……+an²/a1)≥(a1+a2+……+an)²两边除以a1+a2+……，即得待证式.证法三(权方和不等式法)a1²/a2+a2²/a3+……+an²/a1≥(a1+a2+……+an)²/(a2+a3+……+a1)=a1+a2+……+an，故原不等式得证.证法四(排序不等式法)不妨设a1>a2>……>an，则1/a2>1/a3>……>1/an.∴a1²/a2+a2²/a3+……+an²/a1≥a1²/a1+a2²/a2+……+an²/an=a1+a2+……+an故原不等式得证。还有很多其他证法，就不一一列举了。

柯西不等式：排序不等式：由其对称性可设a1>=a2>=a3>=……>=an所以a1^2>a2^2>a3^2>……>an^21/a1<1/a2<1/a3<1/a4<……<1/an所以左式为乱序和，右式=a1^2/a1+a2^2/a2+……+an^2/an为倒序和由排序不等式乱序和大于倒序和可知左式大于右式本题还可以用均值不等式的左右同加a1+a2+a3+……+an由均值不等式a1^2/a2+a2>=2a1将n个上式相加即可得所证

4,5,6,8,10

排序不等式是：倒序<=乱序<=顺序；所以最好是A和B都排序成顺序才会得到最大值。但如果A保持不动，让B排序使得得到的乘积最大，这其实是一个整数二元线性规划问题。你可以设一个矩阵C，这个矩阵是7x7的，行元素表示对应A中1到7的位置，列元素的含义是对应B元素不排序的值。在7x7矩阵中aij表示：A中从头开始第i个元素与B中从头开始第j个元素相对应，则在此处取值为1，否则取值为零。而7x7矩阵每一行求和为1，每一列求和为1。这样只有求解max（CA）就ok。解决这样的二元整数规划，你可以尝试使用匈牙利算法，或者直接使用Lingo或者Matlab求解。这属于运筹学问题。

我只找到这么多 绝对值的三角不等式： 定理：若为实数,则,当且仅当时,等号成立. 绝对值的三角不等式一般形式： ,简记为. 柯西不等式 定理：（向量形式）设为平面上的两个向量,则. 当及为非零向量时,等号成立及共线存在实数,使. 当或为零向量时,规定零向量与任何向量平行,即当时,上式依然成立. 定理：（代数形式）设均为实数,则, 当且仅当时,等号成立. 柯西不等式的一般形式 定理：设为实数,则 , 当且仅当时,等号成立（当某时,认为）. 闵可夫斯基不等式 定理：设均为实数,则, 当且仅当存在非负实数（不同时为0）,使时,等号成立. 闵可夫斯基不等式的一般形式： 定理：设是两组正数,则 或, 当且仅当时,等号成立. 排序不等式 定理：设为两组实数为的任一排列,则有. 当且仅当或时,等号成立. 排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和. 切比晓夫不等式： 定理：设为任意两组实数, ①如果或,则有②如果或,则有①②两式,当且仅当或时,等号成立. 平均值不等式 定理：设为个正数,则,当且仅当时,等号成立. 当时,当且仅当时,等号成立. 加权平均不等式（） 定理：设为正数,都是正有理数,并且,那么. 杨格不等式： 定理：设为有理数,满足条件（互称为共轭指标）,为正数,则. 当时,此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式. 贝努利不等式（）： 定理：设,且,为大于1的自然数,则. 贝努利不等式的一般形式： （1）设,且同号,则； （2）设,则①当时,有；②当或时,有,①②当且仅当时等号,成立.

1. 重要不等式：如果a、b R, 那么a+b≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)2. 定理：如果a、b是正数, 那么 ≥ (当且仅当a=b时取“=”号); 如果a、b、c R +, 则 ≥ (当且仅当a=b=c时取“=”号).3. 定理: ≤ ≤ ≤ (a 、 a 、… 、a R +)(当且仅当a = a = … = a 时取“=”号) (依次为调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数 ) 4. 命题: 已知x, y R +, (1) 积xy为定值p, 和x+y有最小值2 ; (2) 和x+y为定值s, 积xy有最大值 p 2.5. 常用不等式: ①a 2+b 2 ≥ (a+b) 2≥ab ②a 2+b 2+c 2≥ (a+b+c) 2 ③a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca ④a 2+ab+b 2≥ (a+b) 2

是的吧。。

在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面为世界十大著名不等式。平均不等式（均值不等式）柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）闵可夫斯基不等式贝努利不等式赫尔德不等式排序不等式含有绝对值的不等式艾尔多斯—莫迪尔不等式琴生不等式排序不等式以上这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，如果它们已变成了我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。

答：夹逼准则在求级数极限、函数项极限和多项式极限中有非常大的应用，乃至在以后的数学分析课程中，夹逼准则都是一种首要考虑的数学方法。这里根据初等函数特征，试着总结一下：1、与不等式的结合使用根据夹逼准则证明和定义可以知道，其构成形式非常灵活，将求极限归结到了不等式的应用中，因此，对于不等式的基本性质，定理一般都是可以应用的，如均次方根定理，最值定理，绝对值不等式定理，排序不等式等等；2、与放缩法的结合使用放缩法是非常灵活的，往往需要根据题设具体分析和研究，但是也是有规律可循的，例如：根据伯努利方程：（1+p）^n ≥ 1+ np，可以对含有n次方的分式进行放缩；利用指数性质 x^n可以对多次幂进行放缩；利用三角函数的性质：|sinx|≤1进行转换放缩等等。3、与泰勒级数的结合使用这种主要针对多项式的夹逼准则应用，将常用的泰勒公式如：e^x，ln（1+x）等在分子或分母中展开，利用相互消去，求得最简式，然后求出极限4、与排列组合的结合使用这里主要是针对带有阶乘的运算式，利用排列组合的公式定义将阶乘转化，然后求极限

均值不等式：a＋b>=2根号a*b（基本不等式）

1、二维形式：(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc2、三角形式：√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]等号成立条件：ad=bc3、向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。4、一般形式：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。扩展资料：不等式的特殊性质有以下三种：①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。常用定理①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。③如果不等式F（x）<G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)<G（x）与不等式H（x）F（x）<H（ x ）G（x） 同解。④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。 排序不等式：对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S≤M≤L。当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时，等号成立。参考资料来源：百度百科-柯西不等式

因为a,b,c都为正数，所以[（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca)]/2 ≥ 根 号[（a的三次方/bc）*（b的三次方/ca）]，去掉根号得 [（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca）]/2 ≥ ab/c ---1式 同理可得[（b的三次方/ac）+（c的三次方/ab）]/2 ≥ bc/a ---2式 [（a的三次方/bc）+（c的三次方/ab）]/2 ≥ ac/b ---3式 把1式，2式，3式相加得 （a的三次方/bc）+（b的三次方/ca）+（c的三次方/ab） ≥ (ab/c) + (bc/a) +(ac/b) , 又 因为 [(ab/c) + (bc/a)] ≥ 根号 2*[(ab/c) * (bc/a)]，再去掉根号得 (ab/c) + (bc/a) ≥ 2b ---4式 同理可得 (bc/a) +(ac/b) ≥ 2c ---5式 (ab/c) + (ac/b) ≥ 2a ---6式 再把4式，5式，6式相加得2*[(ab/c) + (bc/a) +(ac/b)] ≥ 2(a+b+c) 即(ab/c) + (bc/a) +(ac/b) ≥ a + b + c 又因为（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca）+（c的三次方/ab） ≥ (ab/c) + (bc/a) +(ac/b) , 所以（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca）+（c的三次方/ab）≥a+b+c

因[(a+b+c)/3]^3 =(1/27)(a+b+c)(a+b+c)^2 =(1/27)(a+b+c)[(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)] 而由基本不等式或排序不等式有 2(ab+bc+ca)≤2(a^2+b^2+c^2)（a=b=c时取等） 则[(a+b+c)/3]^3 ≤(1/9)(a+b+c))(a^2+b^2+c^2)（a=b=c时取等） =(1/9)[(a^3+b^3+c^3)+(ab^2+bc^2+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)] 又由排序不等式有 ab^2+bc^2+ca^2≤a^3+b^3+c^3（a=b=c时取等） a^2b+b^2c+c^2a≤a^3+b^3+c^3（a=b=c时取等） 所以[(a+b+c)/3]^3≤(a^3+b^3+c^3)/3（a=b=c时取等） 即原命题成立 说明： 令a≤b≤c 则a^2≤b^2≤c^2 依据排序不等式,以上两组数的同序积和不小于乱序积和 这里a^3+b^3+c^3为同序积和 而ab^2+bc^2+ca^2、a^2b+b^2c+c^2a都是乱序积和

我只知道当ABC都是60度时最大，值为2分之3根号3过程不清楚哎

买那本华东师范大学出版社的《高中数学竞赛多功能题典》，后面有重要的竞赛的定理，概念 。1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。2.代数周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。参考资料：http://www.jxllt.com/?artid=MzIxMzQ=&F=dmlldy5odG0= 望采纳谢谢

主观期望原则亦即期望效用原理,是由冯·诺伊曼和摩根斯坦开创的不确定条件下消费者的选择理论,核心内容是一个基数效用函数,一组完备无缺的被选方案,一个与每一策略相联系的有关未来可能状态的联合概率分布,还有一个使期望效用极大化的策略. 一位聪明的瑞士数学家，丹尼尔•贝努利在1738年观察到，人们似乎按照下列方式行动：在一种公平的赌博中，他们认为赢到的一美元的价值小于他们所输掉的一美元价值。这就意味着：人们厌恶风险，并且相继增加的新的美元财富给他们带来的是越来越多的真实效用。 希望这些对你有帮助！

排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。设有两组数a1,a2，……an，b1,b2，……bn满足a1≤a2≤……≤an，b1≤b2≤……≤bn则有a1bn+a2bn-1+……+anb1≤a1bt+a2bt+……+anbt≤a1b1+a2b2+……+anbn，式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列，当且仅当a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn时成立。以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.证明时可采用逐步调整法。证明：其余不变时，将a1b1+a2b2调整为a1b2+a2b1，值变小，只需作差证明（a1-a2）*（b1-b2）≥0，这由题意可知成立。依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。亦可用以下方法：设c1，c2，...,cn是a1，a2，...,an的任意一个排列，Si=c1+c2+...+ci，Ti=a1+a2+...+ai，其中i≤n。显然，Si≥Ti,a1*bn+a2*bn-1+...+an*b1=(T2-T1）*bn+(T3-T2）*bn-1+...+(Tn-Tn-1）*b1=Tn*b1-Tn-1*(b1-b2）-...-T1*(bn-1-bn）≤Sn*b1-Sn-1*(b1-b2）-...-S1*(bn-1-bn)=(S2-S1）*bn+（S3-S2）*bn-1+...+(Sn-Sn-1)*b1=c1*a1+c2*a2+...+cn*an.这样就证明了反序和≤乱序和。同理可证：乱序和≤同序和。

简单画下图形可知:ha=csinb,hb=asinc,hc=bsina原不等式即证:asina+bsinb+csinc>=csinb+asinc+bsina正弦定理:a/sina=b/sinb=c/sinc,∴a,b,c和sina,sinb,sinc大小顺序相同排序不等式:顺序和>=乱序和>=反序和∴asina+bsinb+csinc(顺序和)>=csinb+asinc+bsina(乱序和)∴asina+bsinb+csinc>=ha+hb+hc

你用右边减左边a1^2+...+an^2-(a1c1+...+ancn)=1/2{[a1^2+c1^2-2a1c1]+...+[an^2+cn^2-2ancn]}这样就成了一列平方数的和。

证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a2≥b2≥c2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a3+b3≥a2b+b2a，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2（a3+b3+c3）≥a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）．又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc...

证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a2≥b2≥c2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a3+b3≥a2b+b2a，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2（a3+b3+c3）≥a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）．又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca．所以2（a3+b3+c3）≥6abc，∴a3+b3+c3≥3abc．当且仅当a=b=c时，等号成立．

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)因为a、b为正数，且a^2+b^2>=2ab所以a^3+b^3>=(a+b)(2ab-ab)，即a^3+b^3>=(a+b)ab即：a^3+b^3>=a^2b+ab^2同理：b^3+c^3>=b^2c+bc^2c^3+a^3>=c^2a+ca^2将上三式相加并整理得：2(a^3+b^3+c^3)>=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)

没有条件的话，结论是错误的，当a+b无限接近-c的时候，右边是无穷大。若a,b,c属于R+，用权方和不等式1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=(1+1+1)^2/(a+b+b+c+a+c)=9/2(a+b+c)

【均值不等式的简介】概念：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qna1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r<s时，D(r)≤D(s)注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)●【均值不等式的变形】(1)对正实数a,b，有a²+b²≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a²+b²>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a×b)(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a²+b²≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a²+b²≥½×(a+b)²≥ab(7)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c)²(8)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥¾×a+b)²2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a²+b²)/2）●【均值不等式的证明】方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)●【均值不等式的应用】例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3所以，2√x≥3-1/x例二长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p周长最小值为4√p例三长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16面积最大值是p^2/16

重要不等式和基本不等式分别是指：1、重要不等式是指，一个数的二倍与另一个数的二倍之和一定大于或者等于这两个数乘积的二倍，指在初等与高等数学中常用于计算与证明问题的不等式。包括，排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、幂平均不等式、权方和不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式等。2、基本不等式是指，一个数与另一个数的和除以数值二一定大于或者等于这两个数在开方情况下的乘积，基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为，两个正实数的算术平均数大于或等于几何平均数。用向量来证：m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)。mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX。因为cosX≤1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn≤a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2。

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基本不等式和重要不等式能同时取等号。基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。重要不等式，是指在初等与高等数学中常用于计算与证明问题的不等式。包括，排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、幂平均不等式、权方和不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式等。重要不等式包括基本不等式，二者不能画等号。

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步. 柯西不等式非常重要,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解. 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用.用不等号将两个解析式连结起来所成的式子.在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子,那它就是一个不等式.例如2x＋2y≥2xy,sinx≤1,ex＞0 ,2x＜3,5x≠5等。不等式分为严格不等式与非严格不等式.一般地,用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式,用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式.用不等号可以将两个解析式连结起来所成的式子.在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子,那它就是一个不等式.例如2x+2y≥2xy,sinx≤1,ex>0 ,2xx是超越不等式. 　　不等式分为严格不等式与非严格不等式.一般地,用纯粹的大于号、小于号“>”“0 (i=1,2,…,n)则,当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号。 　　2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n),则,当且仅当b1=b2=…=bn时取等 　　柯西不等式的一般证法有以下几种： ①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论. ②用向量来证. m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn) mn=a1b1+a2b2+.+anbn=(a1^+a2^+.+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.+bn^)^1/2乘以cosX． 因为cosX小于等于1,所以：a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^+a2^+.+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.+bn^)^1/2 这就证明了不等式． 柯西不等式还有很多种,这里只取两种较常用的证法． 【柯西不等式的应用】 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据,我们在教学中应给予极大的重视. 巧拆常数： 例：设a、b、c 为正数且各不相等. 求证： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)>(9/a+b+c) 分析：∵a 、b 、c 均为正数 ∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1) 　　证明2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等,故等号不能成立 ∴原不等式成立.排序不等式　　对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn,y1≤y2≤…≤yn,设yi1,yi2,…,yin是后一组的任意一个排列, 　　记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1,M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin,L=x1y1+x2y2+…+xnyn,那么恒有S≤M≤L.

∵a^2+b^2≥2ab,b^2+c^2≥2bc,,a^2+c^2≥2ac(a+b+c)^2 =a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤a²+b²+c²+a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2=3a²+3b²+3c²∴a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2 ∵（a^2+b^2）+（c^2+a^2）+（b^2+c^2）≥2ab+2ac+2bc即a²+b²+c²≥ab+bc+ac ∴1/3(a+b+c)^2 =1/3(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)≥1/3(3ab+3bc+3ac)=ab+bc+ac∴:a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac【证毕】

首先你要知道是在什么前提下才能使用基本不等式一正：两个数都是正数。二定：乘积是一个定值。三相等：等号成立的条件。如：a+b≥2√ab要成立，首先确定a>0,b>0,其次ab为定值,最后等号成立的条件是a=b要能够取到。

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