叛逆连队2 bc2 3分钟断线一次 显示：Your connection to the server has been lost.

BC2属于日本标准锡青铜铸件牌号，执行标准：JIS H 5111:1988，如下图：BC2锡青铜铸件常用于机械零件，其强度大、耐蚀性佳，延展性好、耐磨性优良，适合制造阀、齿轮、凸轮、轴承、凡而、重机械配件、耐磨机件，化学成分如下图：

BC2没有对应的国内牌号。产品牌号：CAC402C产品代号：BC2C类别：日本铸造铜合金分类：上海秉争实业锡青铜

ic是工业时代，bc是自动化生产，都是mod

BC2摄像头通过软件升级可以关掉红外灯。萤石云摄像头关闭，灯光可以在打开监控页面，进入设置，进入系统设置，进入器件管理，点击关闭的摄像头，点击关闭夜光模式，到晚上灯光就不会亮了，摄像头也会拍不清楚了萤石云摄像头关闭，灯光可以在打开监控页面，进入设置，进入系统设置，进入器件管理，点击关闭的摄像头，点击关闭夜光模式，到晚上灯光就不会亮了，摄像头也会拍不清楚了

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答:萤石bc2 红外线灯关闭。猫眼的红外灯是根据画面照射亮度自动调节的，不建议手动关闭。 如遇特殊情况需要手动调节，可参考如下步骤： 1、轻按猫眼室内主机的屏幕唤醒键，唤醒室内主机显示屏；2、在主界面点击“设置”图标；3、在设置界面，点击“屏幕设置”；4、在屏幕设置界面，点击“日夜切换”；6、在日夜切换界面，可选择猫眼红外的切换模式。

APP可以关。启动并登入萤石电脑客户端，进入“本地应用”（旧版本“高级配置”），鼠标左击选中要设置的设备，点击“网络参数配置”旁边的“高级配置”，然后进入“前端参数”，日夜转换，选择“白天”，则全天24小时红外补光灯被禁用，有光情况下画面显示彩色，无光少光情况下补光灯不工作画面可能全黑。

战地风云：叛逆连队

B2C本身就是电商的一种模式。有综合百货类，如一号店有垂直类，如家电类京东有自有品牌，如凡客

B2C网站吧，就像天猫、京东神马的

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你确定是bc2 不是b2c 吗

一直插电不好。根据自己的需要通电时间自己确定无需24小时通电，因为萤石摄像机如果安装在家里的话可能泄露隐私一般进家后把摄像机电源断掉是可以的，不影响摄像机开启后的使用，如果不涉嫌隐私也可以24小时开机。

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《战地：叛逆连队2》（Battlefield: Bad Company 2），是EA DICE开发的一款第一人称射击游戏。游戏开发商美国艺电确定2010年3月2日为游戏Xbox 360、PS3、PC版的首发日期。该游戏是EA DICE开发的第9款“战地”系列作品，也是《战地：叛逆连队》的直接续作，在继承前作特性的基础上，强化了多人联机载具对战和团队合作元素的设定。游戏使用加强版的寒霜引擎，加入了建筑物框架破坏和物体分块破坏的支持。

分类: 理工学科 解析: 教学目标 1．了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算、作图和证明． 2．通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力． 3．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育．教学重点与难点 重点是勾股定理的应用；难点是勾股定理的证明及应用． 教学过程设计 一、激发兴趣引入课题 通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题． 二、勾股定理的探索，证明过程及命名 1．猜想结论． 勾股定理叙述的内容是什么呢？请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣. 教师用计算机演示： （1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b和 c， ∠ACB＝ 90°，使△ABC运动起来，但始终保持∠ACB＝90°，如拖动 A点或B点改变a ,b的长度来拖动AB边绕任一点旋转△ACB等． （2）在以上过程中，始终测算a2，b2，c2，各取以上典型运动的某一两个状态的测算值（约7～8个）列成表格，让学生观察三个数之间有何数量关系，得出猜想． （3）对比显示锐角三角形、钝角三角形的三边的平方不存在这种关系，因此它是直角三角形所特有的性质．让学生用语言来叙述他的猜想，画图及写出已知、求证． 2．证明猜想． 目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了一面积证法（见课本第109页图（4）），而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法，下面咱们采纳其中一种（教师制作教具演示，见如图3－151）来进行证明． 3．勾股定理的命名． 我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？ （1）介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载； （2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582～493时期发现了勾股定理； （3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上． 三、勾股定理的应用 1．已知直角三角形任两边求第三边． 例 1在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c． （1）a＝ 6，b＝8求c及斜边上的高；（2）a＝40，c＝41,求 b；（3）b＝15 ，＝25求 a；(4)a:b＝3:4,c＝15,求b． 说明：对于（1），让学生总结基本图形（图3－153）中利用面积求斜边上高的基本方法；对于（4），引导学生利用方程的思想来解决问题． 教师板书（1），（4）的规范过程，让学生练习（2），（3）． 例2求图3－152所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0．lmm）． 教师就如何根据图纸上尺寸寻找直角三角形ABC中的已知条件，出示投影． 练习 1投影显示： （1）在等腰 Rt△ABC中， ∠C＝90°， AC:BC:AB＝__________； （2）如图 3－ 153 ∠ACB ＝90°，∠A= 30°，则BC:AC:AB＝___________；若AB＝8,则AC＝_____________；又若CD⊥AB，则CD=______________. （3）等边出△ABC的边长为 a，则高AD＝__________， S △ABC＝______________ 说明： （1）学会利用方程的思想来解决问题． （2）通过此题让学生总结并熟悉几个基本图形中的常用结论： ①等腰直角三角形三边比为1:1:； ②含30°角的直角三角形三边之比为1::2； ③边长为a的等边三角形的高为a，面积为 （板书）例 3 如图 3－154， AB＝AC＝20， BC＝32，△DAC＝ 90°．求 BD的长． 分析： （1）分解基本图形，图中有等腰△ABC和 Rt△ADC； （2）添辅助线——等腰△ABC底边上的高 AE，同时它也是Rt△ADC斜边上的高； （3）设BD为X．利用图3－153中的基本关系， 通过列方程来解决．教师板书详细过程． 解 作AE⊥BC于E．设BD为x,则DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2，将上式代入，得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2，即2AC2=DC2+EC2-DE2． ∴2×202=（32-x）2+162-(16-x)2,解得x=7. 2．利用勾股定理作图． 例4 作长为的线段． 说明：按课本第101页分析作图即可，强调构造直角三角形的方法以及自己规定单位长． 3．利用勾股定理证明． 例5 如图3-155，△ABC中，CD⊥AB于D，AC>BC. 求证：AC2-BC2=AD2-BD2=AB（AD-BD）． 分析： （1） 分解出直角三角形使用勾股定理． Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2；Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2． （2） 利用代数中的恒等变形技巧进行整理： AC2-BC2=（AD2+CD2）-（CD2+BD2） =AD2-BD2 ＝（AD+BD）（AD-BD） ＝AB（AD-BD）． 例6 已知：如图3-156，Rt△ABC,∠ACB=90°,D为BC中点，DE⊥AB于E，求证：AC2=AE2-BE2． 分析：添加辅助线———连结AD，构造出两个新直角三角形，选择与结论有关的勾股定理和表达式进行证明． 4．供选用例题． （1） 如图3-157，在Rt△ABC中 ,∠C=90°，∠A=15°，BC=1．求△ABC的面积． 提示：添加辅助线——BA的中垂线DE交BA于D，交AC于E，连结BE，构造出含30°角的直角三角形BCE，同时利用勾股定理解决，或直接在∠ABC内作∠ABE=15°，交CA边于E． （2） 如图3-158，△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，BC=8．求AC边的长． 分析：添加辅助线——作CD⊥AB于D，构造含45°，30°角的直角三角形列方程解决问题． （3）如图3-159（a），在四边形ABCD中，∠B= ∠D=90°，∠C=60°，AD=1，BC=2，求AB，CD． 提示：添加辅助线——延长BA，CD交于E，构造30°角的Rt△EAD,Rt△EBC.利用它们的性质来解决问题（见图3-159（b））.或将四边形ABCD分割成含30°的直角三解形及矩形来解决问题．（见图3-159（c）） 答案：AB=23-2，CD=4-3． （4）已知：3-160（a）,矩形ABCD．（四个角是直角） ①P为矩形内一点，求证PA2＋ PC2＝ PB2＋ PD2 ②探索P运动到AD边上（图3－160（b））、矩形ABCD外(图3－160（C））时，结论是否仍然成立． 分析： （1）添加辅助线——过P作EF⊥BC交AD干E，交BC于F．在四个直角三角形中分别 使用勾股定理． （2）可将三个题归纳成一个命题如下： 矩形所在平面上任一点到不相邻顶点的距离的平方和相等． 四、师生共同回忆小结 1．勾股定理的内容及证明方法． 2．勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为90°）转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2. 3．利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段 长；利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理． 五、作业 1． 课本第106页第2～8题． 2．阅读课本第109页的读一读：勾股定理的证明． 课堂教学设计说明 本教学设计需2课时完成． 1．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质．本教学设计利用计算机（几何画板软件动态显示）的优越条件，提供足够充分的典型材料——形状大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，体现了启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的教学方法． 2． 各学校根据自己的教学条件还可以采纳以下类比联想的探索方式来引入新课． （1）复习三角形三边的关系，总结出规律：较小两边的和大于第三边． （2）引导学生类比联想：较小两边的平方和与第三边的平方有何大小关系呢？ （3）举出三个事例（见图3－161（a）（b）（ c））． 对比发现锐角、钝角三角形中两较小边的平方和分别大于或小于第三边的平方，直角三角形中较小两边的平方和等于第三边的平方． （4）用教具演示图3－151，验证对直角三角形所做的猜想． 教学目的：1、会阐述勾股定理的逆定理 2、会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形 3、能正确、灵活的应用勾股定理及勾股的逆定理 教学重点：勾股定理逆定理的应用 教学难点：勾股定理逆定理的证明 教学方法：讲练结合 教学过程： 一、复习提问 1、 勾股定理的文字语言 2、 勾股定理的几何符号语言 3、 勾股定理的作用 4、 填空：已知一直角三角形的两边是5和12，则第三边的长是 。 二、导入新课 勾股定理是一个命题，任何命题都有逆命题，它的逆命题是什么？ 三、讲解新课 勾股定理的逆定理的文字语言：如果三角形的三边长：a、b、c有关系，a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 命题有真假之分，它是否为真命题，首先必须证明。 已知：在ΔABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2 求证：∠C=90º 分析：证明一个角为90º，可以证AC⊥BC 也可以利用书本上的方法证明，自学 通过证明，勾股定理的逆命题是个真命题，即勾股定理的逆定理。 勾股定理的逆定理的几何符号语言：在ΔABC中∵ a2+b2=c2 （或c2－a2 = b2 ） ∴∠C=90º（勾股定理的逆定理） 强调：只要满足上述关系，它必定是直角三角形，且较长的边是斜边，它所对的角是直角。 例如：三边长分别为3、4、5，能否组成直角三角形，5、12、13呢？9、40、41呢？ 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数） 书本102—103页，划出定义，完成作业103页1、3 例1 ΔABC的三边分别为下列各组值，能组成直角三角形的打“√”，并指出哪个是直角，否则打“×” ⑴a=1、b= 、c=1 ⑵a=1.2、b=1.6、c=2 ⑶a:b:c=2: :2 ⑷a=n2-1、b=2n、c= n2+1(n＞1) ⑸a=2n2+1、b=2n2+2n、c=2mn(m＞n)m、n为正整数 解⑴ ∵12+12=（ ）2 ∴ ΔABC是以∠B为直角的三角形 ⑵ ∵22-1.62=(2+1.6)(2-1.6)=1.44=（1.2）2 ∴ ΔABC是以∠B为直角的三角形 ⑶⑷⑸解略。 强调：对于数字较大，可以利用平方差公式，达到简便运算。 例2 已知：如图，AD=3，AB=4，∠BAD=90º，BC=12，CD=13， 求四边形ABCD的面积. 分析：连结BD，求出BD=5， ∵BD2+BC2=CD2 ∴∠CBD=90º ∴四边形ABCD的面积=ΔABD的面积+ΔBD的面积 解：略 例2 已知：如图，在ΔABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD2•BD 求证：ΔABC是直角三角形 分析：要证ΔABC是直角三角形 只要证AC2+BC2=AB2 在RtΔACD中，∵∠ACD=90º ∴AC2=AD2+CD2 同理可证，BC2=CD2+BD2 ∴AC2 + BC2 = AD2+2 CD2+BD2 =（AD+BD）2 ∴ΔABC是直角三角形 请学生自己完成证明过程。 三、课堂小结 1、 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，勾股定理为性质定理，他们互为逆定理 2、 勾股定理的逆定理的作用是用来判定一个三角形是否为直角三角形？

战地系列，那部最好玩？《战地系列》哪部最好玩？有奖励写回答共3个回答we爱聊聊关注成为第78位粉丝战地系列，从一开始就没考虑过故事模式，他将全部精力都放在了多人对战的体验上，要不是COD的故事编的太好，DICE根本就没想过在战地系列游戏中包含故事模式。战地3,4的故事模式要说讲点内容，那是压根没有的，与其说这是个故事模式，不如说是为了吸引盗版玩家的一个鱼钩，你们看，我的引擎多好，我的枪声多逼真，我的爆炸效果多么惊人，快来买正版吧，你会享受到比故事模式爽快十倍的感觉！其实我觉得战地系列是从BC2开始迈入一个新的台阶，BC2之前的战地系列开镜了精度也没提示多少，画面也是从BC2开始能看，之前那个主机版的BC和1943真心弱。不过我觉得战地的巅峰是战地3，战地4只是战地3的升级而已。战地1的画面大进步，我期待战地5回归现代战场。我觉得战地2 的沙盒模组还不错， 自由度高 ，飞机无限， 坦克无限 。 在COD4出来之前，战地2几乎一直是我每天的日常，这个游戏真是很好玩，格局太大了，后面有指挥官控制炮火支援，天上有战斗机和轰炸机，突破有直升机，坦克，装甲运兵车，简直就是我们童年时的战争梦。可是，战地2毁也毁在这个格局太大上，他的设计理念太超前，引擎技术以及对玩家电脑硬件的要求都远超时代，我当时的机器玩AION和COD4都没问题。玩战地2依然会有点费力，而且国内的服务器也不是太稳定，SAGA还好一点，但也停了。之后我用了一些平台来找服务器玩，勉强玩了一段时间，也慢慢不行了，再后来COD4出了，KDS做了一个服务器，PING很好，就转游戏了。

分类: 理工学科 解析: bbs.eduol/printpage.asp?BoardID=39&ID=171933 魅力无比的定理证明 ——勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 1．中国方法 画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 a2+b2=c2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2．希腊方法 直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 容易看出， △ABA" ≌△AA"" C。 过C向A""B""引垂线，交AB于C"，交A""B""于C""。 △ABA"与正方形ACDA"同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA""C与矩形AA""C""C"同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA"≌△AA""C，知正方形ACDA"的面积等于矩形AA""C""C"的面积。同理可得正方形BB"EC的面积等于矩形B""BC"C""的面积。 于是， S正方形AA""B""B=S正方形ACDA"+S正方形BB"EC， 即 a2+b2=c2。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等； ⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 如图， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 ② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD • BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD • AB。 ② 我们发现，把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 如此等等。 【附录】 一、【《周髀算经》简介】 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。 二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。 于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 如图， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 ② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD • BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD • AB。 ② 我们发现，把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 如此等等。 参考资料：zhidao.baidu/question/5159445 勾股定理的证明 罗洪信 （2002年4月25日参加桂林市创新教育课堂教学大比武用） 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】（邹元治证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º, ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 . ∴ . ∴ . 【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 . ∴ . ∴ . 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 . 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD‖BC. ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 . ∴ . ∴ . 【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴ . 【证法6】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP‖BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP‖BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于 ， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 = . 同理可证，矩形MLEB的面积 = . ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ ，即 . 【证法8】（利用相似三角形性质证明） 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB， 即 . 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 . ∴ ，即 . 【证法9】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. ∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a. ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . ∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形. ∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a . ∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为 ① ∵ = ， ， ∴ = . ② 把②代入①，得 = = . ∴ . 【证法10】（李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. ∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 . 过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 . 由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR. 又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a， ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 . ∵ ， ， ， 又∵ ， ， ， ∴ = = ， 即 . 【证法11】（利用切割线定理证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得 = = = ， 即 ， ∴ . 【证法12】（利用多列米定理证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD‖CB，过点B作BD‖CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 ， ∵ AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b， ∴ ，即 ， ∴ . 【证法13】（作直角三角形的内切圆证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r. ∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴ = = r + r = 2r, 即 ， ∴ . ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， 又∵ = = = = ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 【证法14】（利用反证法证明） 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D. 假设 ，即假设 ，则由 = = 可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则 ∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B， ∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º， ∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º. 这与作法CD⊥AB矛盾. 所以， 的假设不能成立. ∴ . 【证法15】（辛卜松证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 = . ∴ , ∴ . 【证法16】（陈杰证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC， 则 AD = c. ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ∴ DM = EM―ED = ―a = b. 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a， ∠AED = 90º， AE = b， ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º. ∴ 作AB‖DC，CB‖DA，则ABCD是一个边长为c的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE. 连结FB，在ΔABF和ΔADE中， ∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE， ∴ ΔABF ≌ ΔADE. ∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中， ∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG. ∵ ， ， ， ， ∴ = =

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广勾股定理：在任一三角形中，(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．证明(1)设△ABC中，BC是锐角A的对边(图2－4)．作BH⊥AC于H，因为AB2=BH2+AH2，BC2=BH2＋CH2，所以，BC2-AB2=CH2-AH2．∴BC2=AB2+CH2-AH2．(1)但是CH2=(AC－AH)2=AC2-2AC·AH+AH2．(2)将(2)代入(1)就得到BC2=AB2＋AC2-2AC·AH．(当H在AC边的延长线上时，结论是一样的．)

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[编辑本段]勾股定理 勾股定理: 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定古埃及人利用打结作RT三角形理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。 定理： 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^平方+b^平方=c^平方； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是四，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理） 来源： 毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 有关勾股定理书籍 《数学原理》人民教育出版社 《探究勾股定理》同济大学出版社 《优因培教数学》北京大学出版社 《勾股模型》 新世纪出版社 《九章算术一书》 《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社[编辑本段]最早的勾股定理 从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图 设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米 ∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。[编辑本段]《周髀算经》简介 青朱出入图 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。 三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成玹方。依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补虚，只要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c2 ）．由此便可证得a2+b2=c2[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 如下: 解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的的正方形面积。 勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， a^2;+b^2;=c^2; 说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c^2= a^2+b^2=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。 勾股定理的种证明方法（部分） 【证法1】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴ . 【证法6】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP‖BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP‖BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（赵浩杰证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90º， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90º, ∴∠ABG +∠CBJ= 90º, ∵∠ABC= 90º, ∴G,B,I,J在同一直线上， 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法8】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ ，即 .

分类: 教育/科学 >> 升学入学 >> 中考 解析: 魅力无比的定理证明 ——勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 1．中国方法 画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 a2+b2=c2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2．希腊方法 直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 容易看出， △ABA" ≌△AA"" C。 过C向A""B""引垂线，交AB于C"，交A""B""于C""。 △ABA"与正方形ACDA"同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA""C与矩形AA""C""C"同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA"≌△AA""C，知正方形ACDA"的面积等于矩形AA""C""C"的面积。同理可得正方形BB"EC的面积等于矩形B""BC"C""的面积。 于是， S正方形AA""B""B=S正方形ACDA"+S正方形BB"EC， 即 a2+b2=c2。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等； ⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 如图， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 ② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD • BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD • AB。 ② 我们发现，把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 如此等等。 【附录】 一、【《周髀算经》简介】 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。 二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。 于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 转引自：.ntu.edu/education/yanjiu/中“数学的发现”栏目。图无法转贴魅力无比的定理证明 ——勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 1．中国方法 画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 a2+b2=c2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2．希腊方法 直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 容易看出， △ABA" ≌△AA"" C。 过C向A""B""引垂线，交AB于C"，交A""B""于C""。 △ABA"与正方形ACDA"同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA""C与矩形AA""C""C"同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA"≌△AA""C，知正方形ACDA"的面积等于矩形AA""C""C"的面积。同理可得正方形BB"EC的面积等于矩形B""BC"C""的面积。 于是， S正方形AA""B""B=S正方形ACDA"+S正方形BB"EC， 即 a2+b2=c2。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等； ⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 如图， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 ② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD • BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD • AB。 ② 我们发现，把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 如此等等。 【附录】 一、【《周髀算经》简介】 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。 二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。 于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 转引自：.ntu.edu/education/yanjiu/中“数学的发现”栏目。图无法转贴，请查看原文

战地系列，那部最好玩？《战地系列》哪部最好玩？有奖励写回答共3个回答we爱聊聊关注成为第78位粉丝战地系列，从一开始就没考虑过故事模式，他将全部精力都放在了多人对战的体验上，要不是COD的故事编的太好，DICE根本就没想过在战地系列游戏中包含故事模式。战地3,4的故事模式要说讲点内容，那是压根没有的，与其说这是个故事模式，不如说是为了吸引盗版玩家的一个鱼钩，你们看，我的引擎多好，我的枪声多逼真，我的爆炸效果多么惊人，快来买正版吧，你会享受到比故事模式爽快十倍的感觉！其实我觉得战地系列是从BC2开始迈入一个新的台阶，BC2之前的战地系列开镜了精度也没提示多少，画面也是从BC2开始能看，之前那个主机版的BC和1943真心弱。不过我觉得战地的巅峰是战地3，战地4只是战地3的升级而已。战地1的画面大进步，我期待战地5回归现代战场。我觉得战地2 的沙盒模组还不错， 自由度高 ，飞机无限， 坦克无限 。 在COD4出来之前，战地2几乎一直是我每天的日常，这个游戏真是很好玩，格局太大了，后面有指挥官控制炮火支援，天上有战斗机和轰炸机，突破有直升机，坦克，装甲运兵车，简直就是我们童年时的战争梦。可是，战地2毁也毁在这个格局太大上，他的设计理念太超前，引擎技术以及对玩家电脑硬件的要求都远超时代，我当时的机器玩AION和COD4都没问题。玩战地2依然会有点费力，而且国内的服务器也不是太稳定，SAGA还好一点，但也停了。之后我用了一些平台来找服务器玩，勉强玩了一段时间，也慢慢不行了，再后来COD4出了，KDS做了一个服务器，PING很好，就转游戏了。

战地系列，从一开始就没考虑过故事模式，他将全部精力都放在了多人对战的体验上，要不是COD的故事编的太好，DICE根本就没想过在战地系列游戏中包含故事模式。战地3,4的故事模式要说讲点内容，那是压根没有的，与其说这是个故事模式，不如说是为了吸引盗版玩家的一个鱼钩，你们看，我的引擎多好，我的枪声多逼真，我的爆炸效果多么惊人，快来买正版吧，你会享受到比故事模式爽快十倍的感觉！其实我觉得战地系列是从BC2开始迈入一个新的台阶，BC2之前的战地系列开镜了精度也没提示多少，画面也是从BC2开始能看，之前那个主机版的BC和1943真心弱。不过我觉得战地的巅峰是战地3，战地4只是战地3的升级而已。战地1的画面大进步，我期待战地5回归现代战场。我觉得战地2 的沙盒模组还不错， 自由度高 ，飞机无限， 坦克无限 。 在COD4出来之前，战地2几乎一直是我每天的日常，这个游戏真是很好玩，格局太大了，后面有指挥官控制炮火支援，天上有战斗机和轰炸机，突破有直升机，坦克，装甲运兵车，简直就是我们童年时的战争梦。可是，战地2毁也毁在这个格局太大上，他的设计理念太超前，引擎技术以及对玩家电脑硬件的要求都远超时代，我当时的机器玩AION和COD4都没问题。玩战地2依然会有点费力，而且国内的服务器也不是太稳定，SAGA还好一点，但也停了。之后我用了一些平台来找服务器玩，勉强玩了一段时间，也慢慢不行了，再后来COD4出了，KDS做了一个服务器，PING很好，就转游戏了。

3,4,5