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三角形ABC中AB=AC,角BAC等于100度,P是三角形ABC内一点,BP平分角ABC,角BCP等于30度,求角APC的度数?

2023-06-11 09:15:16
共2条回复
南yi

解:设AB=a,作BM⊥PA、AN⊥BC,垂足M、N

∵AB=AC, ∠A=100°

故:∠ABM=10°,∠ABN=40°

故:BM=a*cos10°,AM=a*sin10°

AP=BC=2BN=2a*cos40°

故:tan∠APB=BM/PM=BM/(AM+AP)

= a*cos10°/( a*sin10°+2a*cos40°)

= cos10°/( sin10°+2cos40°)

== cos10°/( sin10°+sin50°+sin50°)

= cos10°/[sin(30°-20°)+sin(30°+20°)+sin50°]

= cos10°/(2sin30°cos20°+sin50°)

= cos10°/(cos20°+ cos40°)

= cos10°/[cos(30°-10°)+ cos(30°+10°)]

= cos10°/(2cos30°cos10°)

=√3/3

故;∠APB=30°

设AC=X,先求出 BC (亦即AP),于是得CP

在三角形BCP,用余弦定理求出BP ,角BCP=140度 ,再用正弦定理,求出角APB=30度

问题呢……

证明:过点A做AH垂直BC于点H,过点A做AM垂直BP于点M,所以∠AHC=∠AMB=90度

又因为AB=AC∠A等于100度 所以三角形ABC为等腰三角形,∠ABC=∠ACB=40度,的结论三角形AMB相似于三角形AHC(HL)所以∠ABM=∠HAC因为是等腰三角形AH是∠A的角平分线,因此∠ABM=∠HAC=50度,又因为∠ABC+∠CBM=∠ABM,所以∠CBM=10度。因为∠ACB=40度即得∠BCP=140度,所以∠CBP+∠CPB=40度,∠CBM与∠CBP 是同角,所以,∠CPB=30度 即∠APB=30度

Chen

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